Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mpABC.. Gọi I là trung điểm của cạnh BC a Chứng minh rằng: BC ADI b Gọi AH là đường cao của tam
Trang 1HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG III HÌNH HỌC 11 NĂM HỌC 2012 – 2013
A Lý thuyết:
1 Đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng:
* Đường thẳng d vuơng gĩc với mặt phẳng ( ) Ký hiệu: d ( )
* Nếu d ( )
a ( )
da * Nếu
d a ( )
d b ( )
a và b cắt nhau
d ( )
* Trong tam giác ABC, nếu d AC
dBC
* Nếu ( ) là mặt phẳng trung trực của AB
( ) AB tại I
I là trung điểm của AB (tức là IA IB)
* Nếu M thuộc mp trung trực của AB thì MA = MB
* Nếu AB, AC, AD cùng vuơng gĩc với đt d thì AB, AC, AD đồng phẳng (phải chung một điểm A)
* Nếu
a// b
a ( ) b ( ) * Nếu
( )//( )
d ( ) d ( )
* Nếu
d ( )
d ( ) ( )//( ) * Nếu
a ( )
b ( ) a // b
* Nếu AH ( )
thì + H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên ( )
+ OH là hình chiếu vuơng gĩc của AO trên ( )
+ AOH là gĩc giữa AO và mp ( ) với 00 AOH 90 0
b là hình chiếu vuông góc của b trên ( )
* Nếu: + O là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
+ Đường thẳng d đi qua O và vuơng gĩc với ABC
d là trục của ABC Khi đĩ: M d MA = MB = MC
* Giao điểm của 3 đường trung trực của ABC là tâm đường trịn ngoại tiếp ABC
* Nếu ABC là tam giác vuơng tại A thì tâm đường trịn ngoại tiếp của ABC là trung điểm của cạnh huyền BC
* Nếu ABC là tam giác đều thì tâm đường trịn ngoại tiếp của ABC là giao điểm của 3 đường cao (hoặc 3 đường phân giác, 3 đường trung tuyến, 3 đường trung trực)
* Nếu ABCD là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật) thì tâm đường trịn ngoại tiếp hình vuơng là giao điểm của 2 đường chéo
* Trong tam giác : + Giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm
+ Giao điểm của 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm
Bài tập mẫu
Phương pháp: Chứng minh đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng
Sử dụng: * Nếu
d a ( )
d b ( )
a và b cắt nhau
d ( ) * ABC , Nếu d AC
dBC
b là hình chiếu vuông góc của b trên ( )
1
A
Trang 2Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với
mp(ABC) a) Chứng minh rằng: BC (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh : AH SC
Giải: Phân tích cách giải (phương pháp phân tích đi lên): (nháp)
a) Trình bày: Ta có: + BC AB (gt)
+ BC SA (vì SA (ABC) )
Vậy: BC (SAB) (đpcm)
b)
Trình bày: Ta có: AH SB(gt) (1)
Ta lại có : BC (SAB) (cm câu a) BC AH (SAB)(2)
Từ (1) và (2) AH (SBC) AH SC (đpcm)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD)
a) Chứng minh rằng : DB (SAC) , CD (SAD) và BC (SAB)
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SC và SD Chứng minh: IJ (SAD)
Giải: a) * DB (SAC) :
Trình bày: Ta có: + DB AC (gt)
+ DB SA (vì SA(ABCD))
Vậy: DB (SAC) (đpcm)
* CD (SAD) :
Trình bày: Ta có: + CDAD (gt)
+ CDSA (vì SA(ABCD))
Vậy: CD (SAD) (đpcm)
* CD (SAD) :
Trình bày: Ta có: + BCAB (gt)
+ BCSA (vì SA(ABCD))
Vậy: BC (SAB) (đpcm)
b) Trình bày: Ta có: + CD (SAD)
+ IJ // CD (đường TB)
Vậy: IJ (SAD) (đpcm)
Bài 3: Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mp(ABC) Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam
giác ABC, SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng qui
b) SC (BHK) c) HK(SBC)
Giải: a) Trình bày: Gọi I là giao điểm của SK và BC
Ta có: + BC SK (gt) + BC SA (vì SA (ABC))
BC (SAI) BC AI AI là đường cao của ABC HAI (H là trực tâm của ABC) Vậy: AH, SK, BC đồng qui tại I (đpcm)
2
H
C
B A
S
BC SA (vì SA (ABC)
BC AB (gt)
BC (SAB)
BC (SAB) (cm câu a) (2)
AH BC
AH SB (gt) (1)
AH (SBC)
AH SC
DB SA (vì SA (ABCD))
DB (SAC)
DB AC (gt)
CD SA (vì SA (ABCD))
CD (SAD)
CD AD (gt)
BC SA (vì SA (ABCD))
BC (SAB)
BC AB (gt)
CD (SAD) (cmt)
IJ (SAD)
IJ // CD
J
I S
D
C B
A
Trang 3b) SC (BHK)
Trình bày: Ta có: + BH AC (H là trực tâm ABC)
+ BH SA (vì SA (ABC))
BH (SAC) SC BH và SC BK (K là trực tâm SBC) SC (BHK) (đpcm)
c) HK (SBC) Ta có: + SC (BHK) (theo câu b) HK SC (1)
Ta lại có: + BC (SAI) HK (theo câu a) HK BC (2)
Từ (1) và (2) HK (SBC) (đpcm)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mp(ABCD)
Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB, SC, SD
a) Chứng minh rằng: AH SC và AK SC Từ đó suy ra AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng b) Chứng minh rằng: HK (SAC) Từ đó suy ra HK AI
Giải: a) * Ta có: AH SB (gt) (1)
Ta lại có: + BC AB (gt)
+ BC SA (vì SA (ABCD))
BC (SAB) AH BC AH (2)
Từ (1) và (2) AH (SBC) AH SC (đpcm) (a)
* Ta có: AK SD (gt) (1)
Ta lại có: + CD AD (gt)
+ CD SA (vì SA (ABCD))
CD (SAD) AK CD AK (2)
Từ (1) và (2) AK (SCD) AK SC (đpcm) (b)
* AI SC (c) Từ (a), (b) và (c) AH, AK, AI cùng nằm trong một mặt phẳng
b) Ta có: + BD AC (đường chéo hình vuông ABCD)
+ BD SA (vì SA (ABCD))
BD (SAC) (1)
Ta có: SAB = SAD SB = SD SH = SK SK SH
SD SB HK // BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HK (SAC) AI HK AI
Phương pháp: Xác định và tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng ( )
a) Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp( )
3
Phân tích: Gọi I là giao điểm của SK và BC
AH, SK, BC đồng quy tại I
HAI
AI là đường cao của ABC
BC AI
BC (SAI)
BC SK (gt) BC SA (vì SA (ABC))
I
K H
C
B A
S
SC (BHK)
SC BK (K là trực tâm SBC) SC BH
BH (SAC)
BH AC (H là trực tâm ABC) BH SA (vì SA (ABC))
O
K I
H
D
C B
A S
A
Trang 4Cụ thể: Ta cĩ: AH ( ) OH là hình chiếu vuơng gĩc của AO trên ( )
AOH là gĩc giữa AO và mp( ) với O = AO ( )
b) Nếu đt d vuơng gĩc với mp( ) gĩc giữa đt d và mp( ) bằng 900
c) Tính gĩc: Vận dụng tỉ số gĩc nhọn trong tam giác vuơng
* sin đối
huyền
* cos kề
huyền
* tan đối
kề
d) Tính cạnh: Áp dụng: + Định lý Pitago
+ Trong tam giác đều: đường cao = cạnh 3
2 + Trong hình vuơng: đường chéo = cạnh 2
Bài 5: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng ABCD cạnh a, cĩ cạnh SA = a 2 và SA vuơng gĩc với mp(ABCD)
a) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của điểm A lên các đường thẳng SB, SD Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mp(AMN)
b) Tính gĩc giữa đường thẳng SC và mp(ABCD)
Giải: a) * Ta cĩ: AM SB (gt) (1)
Ta lại cĩ: + BC AB (gt)
+ BC SA (vì SA (ABCD))
BC (SAB) AM BC AM (2)
Từ (1) và (2) AM (SBC) AM SC (đpcm) (a)
* Ta cĩ: AN SD (gt) (1)
Ta lại cĩ: + CD AD (gt)
+ CD SA (vì SA (ABCD))
CD (SAD) AN CD AN (2)
Từ (1) và (2) AN (SCD) AN SC (đpcm) (b)
Từ (a) và (b) SC (AMN) Vậy : Gĩc giữa SC và (AMN) bằng 900
b) Ta cĩ: SA (ABCD) AC là hình chiếu vuơng gĩc của SC trên (ABCD)
SCA là gĩc giữa SC và (ABCD)
* Tính SCA : Xét tam giác vuơng SAC tại A, ta cĩ: tanSCA SA a 2AC a 2 1 SCA = 450
(vì AC là đường chéo = cạnh 2 = a 2 )
Bài 6: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, SB vuơng gĩc với đáy BC = 2a,
AC = a, SB = a Xác định và tính gĩc giữa cạnh SA vá mp(ABC)
Giải: Ta cĩ: SB (ABC) AB là hình chiếu vuơng gĩc của SA
trên (ABC) SAB là gĩc giữa SA và (ABC)
* Tính SAB: + Xét tam giác vuơng SAB tại A, ta cĩ: tanSAB ABSB
+ AB = BC2 AC2 4a a2 2 3a2 a 3
Vậy: tanSAB SB a 3
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi ABCD và cĩ cạnh SA vuơng gĩc với mp(ABCD)
Gọi I, K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI SK
SB SD Chứng minh:
a) BD SC b) IK (SAC)
c) Xác định và tính gĩc giữa SC và mp(ABCD), biết SA a 3 , AC = a ĐS: 60 0
4
a 2
N
M
D
C B
A S
a
2a
a
C B
A S
Trang 5HD: a) C/m: BD (SAC) b) C/m: IK // BD
Bài 2: Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mp(ABC) và có tam giác ABC vuông cân tại B
Trong mp(SAB) kẻ AM vuông góc với SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho SM SN
SB SC Chứng minh rằng: a) BC (SAB) b) AM (SBC) c) SB AN; HD: SB (AMN)
d) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SC và mp(ABC), biết AB = a, SC = 2a ĐS: 45 0
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I là
trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh rằng: BC (ADI)
b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI Chứng minh rằng: AH (BCD)
Bài 4: Cho hình thoi S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD = a
2 Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng: a) SO (ABCD) b) AC (SBD)
c) BD (SAC) d) Xác định và tính góc giữa SA và (ABCD), biết SA a 3
4
ĐS: 60 0
Bài 5: Trong mp( ) cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là điểm nằm
ngoài mp( ) sao cho SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:
a) SO ( ) b) Nếu trong mp(SAB) kẻ SH AB tại H thì AB (SOH)
c) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SB và mp(ABCD), biết BD = 4 3 , SO = 2 ĐS: 30 0
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, BC = a 3 SB vuông góc với mp(ABCD) a) Chứng minh rằng các mặt bên là những tam giác vuông
HD: Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) lần lượt là những tam giác vuông tại B, B, C, A
b) Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên SA CMR: BK SD ; HD: C/m: BK (SAD)
c) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SC và mp(ABCD), biết SA = 2a ĐS: 45 0
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA vuông góc với đáy (ABC) Gọi I
là trung điểm của BC a) Chứng minh rằng: BC (SAI)
b) Gọi O là trực tâm của tám giác ABC Chứng minh rằng: CO (SAB)
c) Kẻ OH SI Chứng minh rằng: OH SC
d) Xác định và tính góc giữa cạnh bên SB và mp(ABC), biết SA = a
3 ĐS: 30 0
2 Hai mặt phẳng vuông góc
* Góc giữa hai mặt phẳng (ABM) và (ABN) cắt nhau theo giao tuyến AB
Nếu MI AB
NI AB
thì MIN là góc giữa (ABM) và (ABN)
* Diện tích hình chiếu vuông góc của một đa giác :
Nếu S là diện tích của đa giác H nằm trong ( ), S1 là diện tích
của đa giác H1 nằm trong ( ), H1 là hình chiếu vuông góc của H
thì S Scos1 với là góc giữa 2 mp( ) và ( )
* Hai mp( ) và ( ) vuông góc với nhau Kí hiệu: ( ) ( )
* Nếu d ( )
d ( )
( ) ( )
* Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với đáy Độ dài cạnh bên là chiều
cao của lăng trụ đứng Hai mặt đáy song song, bằng nhau và cùng vuông góc với các cạnh bên Các mặt bên là những hình chữ nhật
* Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, gọi là hình lăng trụ đứng tam giác,
hình lăng trụ đứng tứ giác, hình lăng trụ đứng ngũ giác,
5
I
N
M
B A
Trang 6* Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều VD: Hình lăng trụ tam giác đều, hình
lăng trụ tứ giác đều
* Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình bình hành
* Hình hộp chữ nhật: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình chữ nhật
* Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng cĩ đáy là hình vuơng
* Hình chĩp đều: + Đáy là đa giác đều
+ Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các gĩc bằng nhau
+ Các cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy các gĩc bằng nhau
+ Chân đường cao trùng với tâm của đáy
Bài tập mẫu
Phương pháp : a) Chứng minh hai mặt phẳng ( ) và ( ) vuơng gĩc với nhau
Sử dụng định lí: Nếu d ( )
d ( )
( ) ( )
b) Xác định và tính gĩc giữa hai mặt phẳng:
Nếu MI AB
NI AB
thì MIN là gĩc giữa (ABM) và (ABN) (hình ở trên)
Chú ý: AB là giao tuyến của 2 mặt phẳng (ABM) và (ABN)
Bài 1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt
phẳng (ABC) và SA = a
2. a) Gọi H là trung điểm của BC Chứng minh rằng: (SAH) (ABC)
b) Xác định và tính gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC)
c) Tính diện tích tam giác SBC
Giải: a) Ta cĩ: + BC SA (vì SA (ABC))
+ BC AH (vì AH là đường cao ABC đều)
Suy ra: BC (SAH) và BC (ABC)
Vậy: (SAH) (ABC) (đpcm)
b) Ta cĩ: + BC (SAH) (c/m câu a) BC SH và BC AH
Suy ra: SHA là gĩc giữa 2 mp(ABC) và (SBC)
Xét tam giác vuơng SAH tại A, ta cĩ: tanSHA SA
AH
= a a 3 a 2: . 1
2 2 2 a 3 3 SHA = 30
0
c) Ta cĩ: SA (ABC) ABC là hình chiếu vuơng gĩc của SBC
ABC SBC
S S cosSHA
ABC
2 đều
(cạnh) 3 S
4
Cách khác: SBC
1
2
2
Bài 2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng Cạnh bên SA vuơng gĩc với mp(ABCD)
a) Chứng minh rằng: (SAD) (SCD), (SAC) (SBD), (SAB) (SBC)
b) Gọi BE, DF lần lượt là hai đường cao của SBD
Chứng minh rằng: (ACF) (SBC), (ACE) (SDC), (AEF) (SAC)
Giải: a) * (SAD) (SCD)
Ta cĩ: + CD AD (gt)
+ CD SA (vì SA (ABCD))
CD (SAD) và CD (SCD) (SAD) (SCD) (đpcm)
* (SAC) (SBD) Ta cĩ: + BD AC (đường chéo hình vuơng)
6
H C
B A
S
F
E
D
C B
A S
Trang 7+ BD SA (vì SA (ABCD))
BD (SAC) và BD (SBD) (SAC) (SBD) (đpcm)
* (SAB) (SBC) Ta có: + BC AB (gt) và BC SA (vì SA (ABCD))
BC (SAB) và BC (SBC) (SAB) (SBC) (đpcm)
b) * (ACF) (SBC) Ta có: + DA SA (vì SA (ABCD)) và DA AB (gt)
DA (SAB) DA SB và DF SB (gt) SB (ADF) SB AF (1)
Ta lại có: BC (SAB) AF BC AF (2)
Từ (1) và (2) AF (SBC) mà AF (ACF) (ACF) (SBC) (đpcm)
* (ACE) (SDC) Ta có: + AB SA (vì SA (ABCD)) và AB AD (gt)
AB (SAD) AB SD và BE SD (gt) SD (ABE) SD AE (1)
Ta lại có: CD (SAD) AE CD AE (2)
Từ (1) và (2) AE (SDC) mà AE (ACE) (ACE) (SDC) (đpcm)
* Ta có: + AF (SBC) AF SC (1) + AE (SDC) AE SC (2)
Từ (1) và (2) SC (AEF) mà SC (SAC) (AEF) (SAC) (đpcm)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với mp(ABC) Gọi
H là hình chiếu vuông góc của A trên SB AB = a 2 , SA = a 6
a) Chứng minh rằng: (SAB) (SBC), (SBC) (AHC)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
Giải: a) * (SAB) (SBC)
Ta có: + BC AB (gt) và BC SA (vì SA (ABC))
BC (SAB) mà BC (SBC) (SAB) (SBC) (đpcm)
* (SBC) (AHC)
Ta có: + AH SB (gt) (1)
+ BC (SAB) AH BC AH (2)
Suy ra: AH (SBC) mà AH (AHC) (SBC) (AHC) (đpcm)
b) Ta có: + BC AB (gt) và BC (SAB) BC SB
Vậy: SBA là góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
* Tính SBA : Xét tam giác vuông SAB tại A, ta có: tanSBA SA a 6AB a 2 3 SBA = 600
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi O là tâm của hình thoi và SB vuông
góc với mp(ABCD) BD = a và SB = a 3
6 a) Chứng minh rằng: (SBD) (ABCD)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên SO
Chứng minh rằng: (BHC) (SAC)
c) Xác định và tính góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD)
Giải: a) Ta có: + AC BD (đường chéo hình thoi)
+ AC SB (vì SB (ABCD))
AC (SBD) mà AC (ABCD) (SBD) (ABCD) (đpcm)
b) Ta có: + BH SO (gt) (1)
Ta lại có: + AC (SBD) BH AC BH (2)
Từ (1) và (2) BH (SAC) mà AC (SAC) (BHC) (SAC) (đpcm)
c) Ta có: + AC (SBD) SO (c/m câu a) SO AC và BD AC
SOB là góc giữa hai mp(SAC) và (ABCD)
Xét tam giác vuông SOB tại B, ta có: SB a 3 a a 3 2 3
Bài 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, H là chân đường cao của hình chóp
Gọi M là trung điểm của BC
7
H
C
B A
S
H
O
D
C B
A
S
C
B A
S
Trang 8a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAM)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SBC) và (ABC), biết SH = a
Giải: a) Ta có: + BC AM (gt)
+ BC SM (gt)
Suy ra: BC (SAM) mà BC (SBC) (SBC) (SAM) (đpcm)
b) Ta có: + BC AM (gt)
+ BC SM (gt)
Suy ra: SMH là góc giữa hai mp(SBC) và (ABC)
Xét tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có: tanSMH SH
HM
Mà: AM = 2a 3 a 3
1
3AM =
a 3
3 Suy ra:
a 3
3
Ghi nhớ: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC
thì AG 2AM
3
3
và GM 1AG
2
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SO là đường cao của hình chóp Gọi M
là trung điểm của CD SM = a 3
3 a) Chứng minh rằng: (SAC) (SBD), (SCD) (SOM)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SCD) và (ABCD)
Giải: a) * Ta có: + AC BD (gt)
+ AC SO (vì SO (ABCD))
AC (SBD) mà AC (SAC) (SAC) (SBD) (đpcm)
* Ta có: + CD SM (gt) và CD OM (gt)
CD (SOM) mà CD (SCD) (SCD) (SOM) (đpcm)
b) Ta có: + CD SM (gt) và CD OM (gt)
SMO là góc giữa hai mp(SCD) và (ABCD)
Xét tam giác vuông SOM tại O, ta có: OM a a 3 3
Bài tập tự luyện Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB (BCD) Trong BCD vẽ các đường cao BE và EF cắt nhau tại O,
trong mp(ADC) vẽ DK AC tại K Biết BE = a 2 và AB = a 6
3 a) CMR: * (ADC) (ABE) HD: c/m: CD (ABE)
* (ADC) (DFK) HD: c/m: DF (ABC) DF AC và c/m: AC (DFK)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(ADC) và (BCD) ĐS: 300
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng: (SAB) (SBC)
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB và K là điểm bất kỳ trên SC CMR: (AHK) (SBC) c) Xác định và tính góc giữa 2 mp(SBC) và (ABC) Biết SC = 2a và SA = 3a
2 ĐS: 60
0
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SB vuông góc với đáy Kẻ BK vuông
góc với AD tại K BK = 1
2 và SB =
3 4
8
B
A
G
M O
D
C B
A
S
Trang 9a) Chứng minh rằng: (SAB) (SAC), (SBD) (SCD), (SAD) (SBK)
b) Xác định và tính góc giữa hai mp(SAD) và (ABCD) ĐS: 300
Bài 4: Trong mp( ) cho tam giác ABC vuông ở B Một đoạn thẳng AD vuông góc với ( ) tại A
a) CMR: ABD là góc giữa hai mp(DBC) và (ABC) Tính ABD , biết AB = a
6 và DB =
a 3 b) CMR: (ABD) (BCD)
c) Gọi H, K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và với DB CMR: HK // BC
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a.
a) Chứng minh rằng: (SBD) (ABCD) HD: AC (SBD)
b) Chứng minh rằng: SBD vuông tại S HD: c/m: SAC = ABC = ADC
Bài 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao Chứng minh rằng:
a) SA BC HD: c/m: BC (SAH)
b) SB AC HD: c/m: AC (SBH)
Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a Gọi O là tâm
cùa hình vuông ABCD a) Tính độ dài đoạn thẳng SO
b) Gọi M là trung điểm của SC Chứng minh rằng: (MBD) (SAC) HD: BD (SAC)
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mp(MBD) và (ABCD) ĐS: MOC = 450
HD: * SOC vuông tại O và M là trung điểm của SC OM = a
2
* Vì BD (SAC) BD OM (SAC) và BD OC Vậy: MOC là góc giữa 2 mp(MBD) và (ABCD)
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I và cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh
SC = a 6
2 và SC vuông góc với mp(ABCD)
a) CMR: (SBD) (SAC) b) Trong SCA kẻ IK SA tại K Tính IK ĐS: IK = a
2 HD: b) AKI ~ ACS IK IA
SC SA ; IA =
a 3
2 ; AC = 2IA; SA =
3a 2 2 c) CMR: BKD 90 0 và suy ra mp(SAB) (SAD)
HD: * ABD đều cạnh a IB = ID = IK = a
2 BKD vuông tại K
* C/m: SA (BDK) SA DK và SA BK BKD là góc giữa 2 mp(SAB) và (SAD)
3 Khoảng cách:
* Nếu AH ( ) thì AH là khoảng cách từ * Nếu a và b chéo nhau, AB a, AB b thì AB
A đến mặt phẳng ( ) là đoạn vuông góc chung của a và b
Bài tập mẫu
Bài 1: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA vuông góc với
mp(ABC) và SA = a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
b) Gọi O là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
Giải: a) Kẻ AH SB (1)
Ta có: + CB AB (gt) và CB SA (vì SA (ABC))
Suy ra: CB (SAB) CB AH (SBC) (2)
9
A
A
b a
K
O
H
C
B A
S
2a a
Trang 10Từ (1) và (2), ta có: AH (SBC)
Vậy: AH là khoảng cách từ A đến mp(SBC)
* AB2 + BC2 = AC2 2AB2 = 4a2 AB = a 2
b) Dựng OK // AH OK (SBC) Vậy OK là khoảng cách từ O đến mp(SBC)
* OK = 1AH 1 a 3 a 3
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD cạnh a, tâm O Cạnh bên bằng 2a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SCD)
Giải: a) Ta có: SO (ABCD) SO là khoảng cách từ S đến mp(ABCD)
* SO =
2
b) Gọi M là trung điểm của CD Kẻ OH SM (1)
Ta có: + CD SO (vì SO (ABCD)) và CD OM
Suy ra: CD (SOM) OH CD OH (2)
Từ (1) và (2), ta có: OH (SCD) Suy ra: OH là khoảng cách từ O đến mp(SCD)
* 1 2 1 2 12 42 22 302
OH OM SO a 7a 7a OH
2 =
2 7a
30 OH =
a 210 30
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a Tính khoảng cách
từ S tới mặt đáy (ABC) ĐS: SH = a
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có góc BAD= 600 Gọi O là giao điểm của AC và BD Đường thẳng SO vuông góc với mp(ABCD) và SO = 3a
4 Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của BC, BE a) CMR: (SOF)(SBC) HD: BC(SOF)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp(SBC)
* d(O, (SBC)) = OH = 3a
8 HD: Kẻ OHSF, c/m OH(SBC)
* d(A, (SBC)) = IK = 2OH = 3a
4 HD: Gọi I FO AD, dựng IKSF IK(SBC)
Vì AD // (SBC) nên d(A, (SBC)) = d(I, (SBC)) = IK
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a có góc BAD= 600 và SA = SB = SD
= a 3
2 a) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD) và độ dài cạnh SC ĐS: SH =
a 15
6 (H là hình
chiếu vuông góc của S trên (ABCD) hay H là trọng tâm đều ABD), SC = a 7
2
b) CMR: (SAC)(ABCD) HD: Vì SH(ABCD)
c) CMR: SBBC HD: SC2 = SB2 + BC2 SBC vuông tại B (theo địng lý Pitago)
d) Gọi là góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD) Tính tan ĐS: SOH, tan = 5
10
H
D
C B
A O S
M