NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI – ÉT

Nội dung kiếnthức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết cònphải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưngđể nắm vững cách giải m

Dạy học toán là dạy cho học sinh phương pháp học toán và giải toán đểvận dụng kiến thức đã học vào giải toán thực tế cuộc sống Nội dung kiếnthức toán học được trang bị cho học sinh THCS ngoài việc dạy lí thuyết cònphải chú trọng tới việc dạy học sinh phương pháp giải một số bài toán, nhưng

để nắm vững cách giải một dạng toán nào đó đòi hỏi học sinh phải biết vậndụng kiến thức đã học một cách linh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận Thông quaviệc giải bài tập các em được rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức đã họcvào giải bài tập, kĩ năng trình bày, kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi, đồ dùngdạy học Do đó nâng cao năng lực tư duy, óc tưởng tượng, sáng tạo, rèn khảnăng phán đoán, suy luận của học sinh

1.2 Cơ sở thực tiễn:

Các bài toán ứng dụng hệ thức Vi - ét có một vị trí quan trọng trongchương trình dạy học toán THCS Học sinh vận dụng những ứng dụng của hệthức Vi - ét như: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai trong các trường hợp

a + b + c = 0; a - b + c = 0 hoặc các trường hợp mà tổng và tích của hai

nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối không quá lớn Tìm được hai

số biết tổng và tích của chúng Biết cách biểu diễn tổng các bình phương, các lập phương của hai nghiệm qua các hệ số của phương trình còn lúng túng, khókhăn trong quá trình vận dụng vào giải các bài toán có liên quan

Các bài toán về những ứng dụng hệ thức Vi - et rất phong phú đa dạng,

nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độcđáo; yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển

Chính vì vậy bài toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi họcsinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10

Qua một số năm giảng dạy toán THCS được giao công tác bồi dưỡng học sinh lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề này chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:

“NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI – ÉT”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này vớimục đích như sau :

+ Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến ứng dụng của hệ thứcvi-ét

+ Giúp giáo viên toán THCS nói chung và GV dạy toán 9 THCS nóiriêng có thêm thông tin về hệ thức vi - ột nhằm giúp họ rễ ràng phân tích đểđưa ra biện pháp tối ưu khi áp dụng Hệ thức vào dạy học và trong sáng kiến

này cũng tạo cơ sở để các GV khác xây dựng sáng kiến khác có phạm vi vàquy mô xuyên suốt hơn.

+ Qua sáng kiến này tôi muốn đưa ra một số ứng dụng cơ bản nhất của

Hệ thức vi - ét trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương phương trình bậchai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phảitrong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng qua sáng kiếnnày tôi muốn giúp GV toán 9 có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đếnviệc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về ứng dụng Hệ thức vi - ét chohọc sinh để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của họcsinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh.+ Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh

nghiệm để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo

III.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:

- Cơ sở lý luận và ứng dụng của Hệ thức Vi - ét

- Tìm hiểu thực trạng việc áp dụng Hệ thức Vi - ét vào giảng dạy ở trường THCS hiện nay

- Đề xuất một số biện pháp nhằm áp dụng Hệ thức Vi - ét vào giải Toán

9 nhanh và hiệu quả hơn

IV

ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

a Khách thể:

Bồi dưỡng cho giáo viên và học sinh trường THCS Trần Hưng Đạo về " Một

số ứng dụng của Hệ thức vi-ét trong giải toán lớp 9 "

b, Đối tượng nghiên cứu: Là học sinh lớp 9 A, B, C Trường THCS Trần

Hưng Đạo

V PH ƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU :

- Phân tích cơ sở lý luận của Hệ thức Vi - ét

- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT Toán 9, sách nâng cao

- Các đề thi vào các trường THPT, các chuyên đề đại số

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI:

Trong đề tài này, tôi chỉ đưa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định

lý Vi-ét trong việc giải một số bài toán thường gặp ở cấp THCS Do đó chỉ đềcập đến một số loại bài toán đó là:

Nhẩm nghiệm , Tìm hai số biết tổng và tích, Giải hệ phương trình đốixứng, Tìm điều kiện để 2 nghiệm liên hệ với nhau theo một hệ thức cho trước,Lập phương trình bậc hai có chứa hai biểu thức là 2 nghiệm của phương trình,Xét mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai Bài toán cực trịđơn giản, Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số.Giải một số bài toán về bất đẳng thức

- Giới hạn về đối tượng nghiên cứu.( Học sinh lớp 9 trường THCS TrầnHưng Đạo)

- Giới hạn về địa bàn nghiên cứu ( TT Chũ - Lục Ngạn - Bắc Giang)

- Giới hạn về khách thể khảo sát ( Giáo viên và học sinh trường THCS Trần Hưng Đạo)

- Việc áp dụng được các ứng dụng của Hệ thức vi - ét vào giảng dạy môn toán 9 ở trường THCS sẽ giúp cho giáo viên nâng cao hiểu biết về Hệ thức vi -ét và các ứng dụng của nó đồng thời giúp học sinh áp dụng thành thạo hệ thức vi- ét vào giải toán trong chương " HÀM SỐ y = ax2(a 0)và PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN " và thi vào lớp 10 THPT

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

a d

+) Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a + b + c = 0

thì phương trình có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a

 .

+) Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a - b + c = 0

thì phương trình có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a

 .

+) Hệ quả 3: Nếu phương trình ax + bx +cx + d = 0 a 0 3 2    có nghiệm x0

thì phương trình phân tich được thành    2 

0

x-x Ax +Bx + C = 0 +) Có nghiệm x 1 nếu a b c d    0

+) Có nghiệm x 1 nếu a b c d    0

2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:

Nếu 2 số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2  Sx P  0

Thật vậy: Các số u; v nếu tồn tại là các nghiệm của phương trình:

- Số giao điểm của đường thẳng y mx n  m 0 và đồ thị hàm số y ax 2

a 0 là nghiệm của hệ phương trình

4 Khái niệm về giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất:

Cho hàm số f x( )xác định trên miền D

1) m được gọi là một giá trị lớn nhất GTLN của f x( ) trên miền D nếu thoảmãn các điều kiện sau đây:

a, f x( ) m với xD

b, x0  D sao cho f x( ) 0 m; Kí hiệu m = max f x( ), xD

2) m được gọi là một giá trị nhỏ nhất GTNN của f x( )trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

1 Dạng I: Ứng dụng hệ thức Vi – ét vào việc nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 a 0 2    khi biết các hệ số a; b; c.

+ Hệ quả 1: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a + b + c = 0

thì phương trình có một nghiệm x 1 1còn nghiệm kia là x2 = c

a

+ Hệ quả 2: Nếu phương trình ax + bx + c = 0 a 0 2    có a - b + c = 0

thì phương trình có một nghiệm x1 = - 1 còn nghiệm kia là x2 = - c

thì x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình

1 Ví dụ 1:Tính nhẩm nghiệm của phương trình ( Bài 31 - SGK Toán 9 -

Trang 54)

a) - 5x + 3x + 2 = 0 2 b) 2008x + 2009 x + 1 = 0 2

c) 3x - 1 - 3 x - 1 = 0 2   d) m - 1 x - 2m + 3 x + m + 4 = 0 2  

Hướng dẫn cách giải:

- Muốn giải phương trình trên ta làm như thế nào ?

- Học sinh nêu cách làm là dùng công thức nghiệm để giải các phươngtrình này

- Có em đã phát hiện cách làm là vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩmcác nghiệm của phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 a 0 2    có a + b + c = 0

thì phương trình có một nghiệm x 1 1 còn nghiệm kia là 2

c x a

Các phần c,d,e tương tự học sinh có thể nhẩm.

Sau khi tính được nghiệm của phương trình xong tôi đã yêu cầu các em sử dụng máy tính bỏ túi Casio giải phương trình để kiểm tra các nghiệm vừa tìm được ở phần a và b

* lưu ý:

- Khi giải một phương trình bậc hai ta cần chú ý vận dụng hệ thức Vi – et

để tính nhẩm nghiệm của phương trình nếu có thể Nếu không tính nhẩmđược nghiệm của phương trình thì ta mới dùng công thức nghiệm để giải

- Việc vận dụng hệ quả của hệ thức Vi – et và tính toán cho phép tínhnhanh chóng nghiệm của phương trình

3 Ví dụ 3: Giải phương trình

+) Giải phương trình  2 5x - x + 7 = 0 2

Ta có    12 4.5.7 1 140    139 0 

 phương trình  2 có vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

+) Giải phương trình  2 2x - x + 5 = 0 2

Ta có    12 4.2.5 1 40    39 0 

 phương trình  2 vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm x 1

*Như vậy:

- Qua 2 ví dụ trên tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải phương trìnhbằng cách vận dụng hệ thức Vi – ét vào tính nhẩm nghiệm của phươngtrình bậc hai và phương trình bậc ba một ẩn

- Chú ý trong quá trình giải phương trình chúng ta nên vận dụng linhhoạt hệ thức vi – ét để

nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai bậc ba một ẩn

4 Ví dụ 4: Giải phương trình x + x +1 5x - 6x - 6 = 0 4    2 

Giải:

Nhận thây x = - 1 không là nghiệm của phương trình nên ta chia 2 vế của

phương trình cho x +12ta được phương trình:

+) Với y 1 1 

2

x 1

x +1  x 2  1.x 1  x 2  x 1 0  Giải phương trình này ta được 2 nghiệm x 1 5 ; x 1 5

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 1 1 5

em được rèn luyện kĩ năng biến đổi và trình bày lời giải, vận dụng kiến thức, khả năng phân tích, dự đoán

+ Phương pháp chung:

- Vận dụng các hệ quả của hệ thức Vi – ét để tính nhẩm các nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba Hoặc các phương trình đưa được về dạng cơ bản để tinh nhẩm nghiệm.

2 Dạng II: Ứng dụng của hệ thức Vi – ét vào việc tìm 2 số khi biết tổng

và tích của chúng:

Nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích u.v = P thì hai số u và v là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x - Sx + P = 0 2 ( SGK Toán 9 - Trang 52)

Điều kiện để có hai số là: S - 4P 0 2 

1.Ví dụ:1 a)Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của chúng bằng

180 b) Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 1 và

tích của chúng bằng 5

Hướng dẫn cách giải: Tìm 2 số biết tổng của chúng bằng 27 và tích của

chúng bằng 180

Tức là ta cần tìm 2 số x1 và x2 biết 1 2

1 2

27 180

lời giải như sau:

Giải:

a) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 27 và tích bằng 180Nên 2 số là nghiệm của phương trình: x - 27x + 180 = 0 2

Ta có:  = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 2    9 3 

 phương trình có 2 nghiệm 1

27 3

15 2

x    ; 2

27 3

12 2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của

phương trình: x - x + 5 = 0 2

Ta có:  = -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0 2  phương trình trên vô nghiệm

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài

Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

2 Ví dụ 2: a) Tìm các cạnh của hình chữ nhật biết chu vi là 100 m và diện

tích bằng 621 m2 b) Tìm các cạnh của hình chữ nhật có chu vi là 20 cm và diện tích bằng

lời giải như sau:

Giải:

Nên 2 số là nghiệm của phương trình: x - 27x + 180 = 0 2

Ta có:  = 27 - 4.1.180 = 729 - 720 = 9 > 0 2    9 3 

 phương trình có 2 nghiệm 1

27 3

15 2

x    ; 2

27 3

12 2

Vậy hai số cần tìm là 15 và 12

b) Vì 2 số cần tìm có tổng bằng 1 và tích bằng 5, Nên 2 số là nghiệm của

phương trình: x - x + 5 = 0 2

Ta có:  = -1 - 4.1.5 = 1- 20 = - 19 < 0 2  phương trình trên vô nghiệm

Vậy không có hai số nào thoả mãn điều kiện đề bài

Khai thác ví dụ 1 tôi nêu ra ví dụ sau:

Nên a và b là 2 nghiệm của phương trình bậc hai: x - 50x + 621 = 0 2

 phương trình có 2 nghiệm x 1 27; x 2 23

Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật là 27 (m ) và 23 (m)

b) Gọi các cạch của hình chữ nhật là a và b ta có hệ phương trình

Ta có:  2

       phương trình vô nghiệm

Vậy không tồn tại hình chữ nhật nào có chu vi là 20 cm và diện tích bằng 32

cm2

Lưu ý: Muốn tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng, ta áp dụng hệ thức

Vi – et để đưa về dạng phương trình bậc hai một ẩn rồi giải

3 Dạng III : Ứng dụng hệ thức Vi – et vào việc giải hệ phương trình đối

xứng

1 Khái niệm hệ phương trình đối xứng:

Một phương trình 2 ẩn gọi là đối xứng nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình không thay đổi

+) Biểu diễn từng phương trình qua x y ; xy

+) Đặt S x y ; P xy ta được hệ phương trình mới chứa các ẩn S và P +) Giải hệ phương trình tìm S và P

+) Các số x và y là nghiệm của phương trình t2  St P  0 (Vận dụng hệ thức Vi – et đảo- Tìm 2 số khi biết tổng và tích của chúng)

(Hệ đã cho có nghiệm khi hệ phương trình theo S và P có nghiệm thỏa mãn

2

S  4P 0)Tùy theo yêu cầu của bài toán ta giải hoặc biện luận phương trình theotham số t từ đó suy ra nghiệm hoặc kết luận cần thiết cho hệ phương trình

- Hoặc các em có thể biến đổi trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp

cộng đại số (không đặt ẩn phụ) ta cũng tính được 1

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là X 1 3 và X 2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 3;2 và 2;3

c)

2 2

18 12

Giải phương trình này ta được 2 nghiệm là t 1 4 và t 2 8

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 4;8 và 8; 4

theo định lí Vi – ét thì x; y là nghiệm của phương trình bậc hai: t2  t 2 0  (1)

vì a - b + c = 1- -1 + -2 = 0    nên phương trình (1) có nghiệm 2 là t 1 1 và

2 2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là  1; 2 và 2; 1  

* Chú ý: Nếu hệ đối xứng loại I có nghiệm x a

- Khi đó các em đều nhận thấy cách vận dụng hệ thức Vi – et vào nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai các em đã trình bày lời giải như sau:

phương trình bậc hai 2

2 3 0

t  t  (2) Giải pt (2) ta có    '  12 1.3 1 3    2 0  nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là 1; 2 và 2;1.

Tôi gợi ý đối với hpt này ta biến đổi vế trái của hpt thành tổng của x2 y xy2 ;khi đó ta có lời giải như sau:

b)

4 4

2 2

17 3

+) Với S 1 7  P 1 4 ta có 7

4

x y xy

là nghiệm của phương trình bậc hai t2  7t 4 0  (3)

Giải phương trình (3) ta có    72 4.1 4   49 16 65 0    nên phươngtrình (3) có 2

nghiệm phân biệt 1  7 65 7 65

là nghiệm của phương trình bậc hai t2  5t 2 0  (4)

Giải phương trình (4) ta có    72 4.1 4   49 16 65 0    nên phương

trình (4) có 2 nghiệm phân biệt 3  5 33 5 33

Từ  1 ;  2 và áp dụng hệ thức Vi - et suy ra x x+1 ; yy+1 là nghiệm củaphương trình bậc hai: 2

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là; 2;3; 3; 4  ; 3;2;  4; 3  .

+ Nhận xét: Bài toán nhìn vào rất phức tạp nhưng chỉ biến đổi đôi chút và

vận dụng linh hoạt hệ thức Vi – ét về tổng và tích của 2 số x +y và x.ynhưng nhìn nhận các số là x x  1 và y y  1 ta sẽ đưa được hệ phương

trình về dạng đơn giản hơn đó là hệ hai phương trình bậc hai, mỗi phương

trình bậc hai một ẩn

+ Phương pháp chung:

- Như vậy từ những bài toán giải hệ phương trình đối xứng loại I rất phức tạp

xong nếu biết biến đổi linh hoạt và vận dụng hệ thức Vi - et về tìm hai sốkhi biết tổng và tích của chúng ta sẽ đưa bài toán trở về dạng đơn giản hơn

từ đó tìm được nghiệm của hệ phương trình

- Khi giải hệ phương trình mà vế trái là những đa thức đối xứng thì ta có thểcoi các ẩn đó là nghiệm của một phương trình rồi sử dụng hệ thức Vi - et đểthiết lập phương trình mới này Nghĩa là ta đã chuyển việc giải hệ phươngtrình n ẩn về giải một phương trình bậc n một ẩn, nếu phương trình này giải

được thì đó là nghiệm của hệ n phương trình đã cho

Bài tập áp dụng:

1 Bài 1: Giải hệ phương trình

a) 2 2

2 4

hoặc thay vào trực tiếp để tính Khi đó các em có thể trình bày lời giải nhưsau

Hoặc học sinh có thể thay trực tiếp x  1 2 3; x  2 2 3 vào biểu thức B

- Khi đó phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 2 và x1 x2 = -2m

- Để phươntg trình có 2 nghiệm thoả mãn điều kiện  2  2

1 + x 1 + x = 5  x12x22x x12 22   1 5  2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 4

c) Ta có: 1 2

1 2

9 2 6

Chú ý: Để tính được tổng A B thì ta cần chứng minh được điều kiện

để tồn tại các căn thức và áp dụng công thức sau để tính hoặc bình phương biểu thức đó để tính theo tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc hai

+) A B  A B  2 AB

+) A A B B  A B A B  AB

+) A B B A  AB. A B

4 Ví dụ 4: Cho phương trình x2 m 4x 3m  3 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại.b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn 3 3

1 2 0

Hướng dẫn cách giải:

- Đối với phần a) các em hiểu phương trình có 1 nghiệm bằng 2 có nghĩa

là x = 2 từ đó các em thay x = 2 vào phương trình để tìm m từ đó tìm đượcnghiệm còn lại

- Đối với phần b) các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tíchcác nghiệm, thay vào biểu thức 3 3

m  m  m  thành m2  m 7 m 4  0 để tìm được m tôi đã gợi ý

sử dụng máy tính Casio để tìm được nghiệm x 1 4; 2

1 2598076211 2

(Nếu x a là một nghiệm của đa thức f x  khi đó f x  x a  hay

Cho phương trình: mx2  2mx  1 0 (m là tham số)

1 Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm và tính các nghiệm củaphương trình theo m

2 Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệmgấp đôi nghiệm kia

- Để phương trình có hai nghiệm sao cho một nghiệm gấp đôi nghiệm kia,giả sử x1  2x2

2

1 2

x m x

m x

8 1 9 2 3

m x

9 m 8 2 3

1) Giải phương trình khi m = 0

2) Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để phương trình

có nghiệm thỏa mãn x2  5x1  4

+Hướng dẫn cách giải:

Đối với phần 2 ta cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm từ đó

áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tích các nghiệm x 1 , x 2 của phương trình,

và kết hợp với điểu kiện bài toán x2  5x1  4 rồi giải hệ phương trình

1) Thay m = 0 vào phương trình ta được x2  2x 15 0 

Giải phương trình này ta được x 1 5 và x 2 3

Vậy với m = 0 thì phương trình có nghiệm x 1 5 và x 2 3.

Để phương trình  * có nghiệm thỏa mãn điều kiện x2  5x1  4  3

2

1 2 1

2

m x

2

m x

m x

21 5

Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn

đó các em đã biết áp dụng hệ thức Vi - et tính tổng và tích các nghiệm x1, x2của phương trình: 2

Giải:

- Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình: 1 2

2x  x m  x2  2x 2m 0 (1)

- Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt   '> 0  1 + 2m > 0  m

m m

Vậy với m 1 1; 2

1 2

m  thì phương trình có nghiệm thỏa mãn 2 2

2) Viết phương trình đường thẳng  d song song với x 2y 1 và đi quađiểm B(0; )m Với giá trị nào của m thì  d cắt parabol  P tại hai điểm

có hoành độ x x1 , 2 sao cho 3x1  5x2  5

Giải:

a) Vì Parabol  P có đỉnh ở gốc tọa độ O 0; 0 nên  P có dạng y ax 2 a 0

Vì  P đi qua điểm 1; 1

Mà đường thẳng y ax b  đi qua điểm B(0; )m ta có m a 0 b  b m

Vậy phương trình đường thẳng  d là 1

- Để đường thẳng  d cắt  P tại 2 điểm có hoành độ x1 và x2

 phương trình hoành độ giao điểm 1 2 1

4x 2x m

   có 2 nghiệm x1 và x2

Để phương trình  * có nghiệm thỏa mãn điều kiện 3x1  5x2  5  3

2

5 2 1 2

x x

5

2

x  ; 2

1 2

x  vào phương trình  2 ta được 5. 1 4

m  thì phương trình  * có nghiệm thỏa mãn 3x1  5x2  5

+ Chú ý: Trong bài tập trên ta đã vận dụng điều kiện để đường thẳng và

parabol cắt nhau tại 2 điểm phân biệt (Đường thẳng  d :y mx n  cắtParabol  P : y ax 2 tại 2 điểm phân biệt  phương trình ax2  mx n  0

có 2 nghiệm phân biệt) và hệ thức Vi - et để tính tổng và tích các nghiệm

để tính được giá trị của m thỏa mãn điều kiện bài toán

9 Ví dụ 9: Gọi x1; x2 x3; x4 là tất cả các nghiệm của phương trình:

x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 = 1       Tính x x x x1 2 3 4

Giải:

- Xét phương trình x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 = 1        1

 x + 2 x + 8      x + 4 x + 6 = 1  

* Phương pháp chung:

Như vậy trong bài toán tìm điều kiện của tham số để thỏa mãn điều kiện củacác nghiệm đối xứng hoặc liên hệ với nhau theo một hệ thức nào đó chúng tacần làm như sau:

+) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm   0 (hoặc a.c < 0).+) áp dụng hệ thức Vi – ét để tính tổng và tích của 2 nghiệm