skkn ứng dụng của hệ thức vi ét trong việc giải một số dạng toán THCS

Thông qua đó học sinh có cách nhìntổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Chính vìvậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “Ứng dung của hệ thức

Dạng toán 6 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x x1 ; 2 không phụ

thuộc vào tham số

10

Dạng toán 7 Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương

trình thỏa mãn một điều kiện cho trước

11

Dạng toán 8 Bài toán liên quan đến xét dấu các nghiệm 15Dạng toán 9 Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của phương

trình liên quan đến nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước

hoặc nghiệm của phương trình là hai số cho trước

17

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường

hội góp phần hiệu quả làm cho dân giàu nước mạnh xã hội công bằng, dân chủ

và văn minh

Toán THCS nói chung và toán về phương trình bậc hai nói riêng có rấtnhiều nhiều dạng bài tập nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trướcmột bài toán mới

Đối với học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinhlớp 9 nói riêng, mặc dù các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích,suy luận, để tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất nhiều hạn chế nhất

là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học Hơn nữa, các đề thi vào lớp

10 trung học phổ thông thì các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới

hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến Trong khi nội dung và thời lượng về phầnnày trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, họcsinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số Thông qua đó học sinh có cách nhìntổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Chính vìvậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “Ứng dung của hệ thức

Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS” đối với các em là dạng toán khó

Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng ,phương pháp để giải toán,ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó pháttriển khả năng tư duy, tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất

lượng học tập

Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, cáckiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Do vậy, khi học các em khôngnhững nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu củamình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán

Thông qua quá trình giảng dạy, qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu

và sự vận dụng kiến thức của học sinh Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thứcVi-ét vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót.Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện luậnphương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một điều kiện nàođó… Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9 Bởi lẽ từtrước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thứchoặc giải những phương trình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theotham số Mặt khác khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khókhăn trong việc phân tích, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bàitoán nên không định hướng được cách giải

Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có đượcđầy đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận cácdạng toán về phương trình bậc hai theo tham số Chính vì vậy tôi chọn đề tài

“Ứng dụng của hệ thức Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS ” với mục

đích khi các em gặp dạng toán đó không còn sợ sệt và ham muốn giải khi gặpdạng toán đó nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng toán vậndụng hệ thức vi ét, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toánnày

- Học sinh có khả năng làm thành thạo các dạng toán vận dụng hệ thức vi

ét

- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán va tính linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trò của việc vận dụng hệ thức vi ét trong giải toán, từ đógiáo dục ý thức học tập của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Học sinh lớp 9 trường THCS Quảng Thịnh, thành phố Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc, xử lý các văn bản, tài liệu làm

cơ sở lý luận cho đề tài

- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thử, dự giờ, trao đổi vớiđồng nghiệp nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài

- Phương pháp điều tra thực tiễn: Quan sát, điều tra, trắc nghiệm

- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các đồng nghiệp có kinhnghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài

- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi

- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống

kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đềtài Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

- Sử dụng các phương pháp thống kê toán học để xử lý các số liệu thuthập được

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động toán học Học sinh- chủ thể củahoạt động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên

tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưabiết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Theo tinhthần này trong tiết lên lớp , giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiếnhành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi phát hiện kiến thứcmới Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến vớihọc sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếmlĩnh tri thức

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp họcsinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiếnthức giúp rèn luyện khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học

Loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và cónhiều dạng toán Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi mỗi người dạy và học Toánphải nắm vững được các dạng toán và cách giải cho từng dạng Việc giới

thiệu các dạng toán vận dụng hệ thức vi-ét cho học sinh để các em có thể giảiđược các bài toán có liên quan đến việc vận dụng hệ thức vi-ét là một việc quantrọng và cần thiết.Vì không những giúp học sinh có thể giải được các bài toán

phức tạp mà sử dụng các phương pháp trong sách giáo khoa là không giải được;

mà còn làm cho học sinh hứng thú học tập môn học hơn, có phương pháp suyluận, ngoài ra còn phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh vềmọi mặt

Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáokhoa hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “ Hệ thức vi-ét và ứng dụng” chỉ góigọn trong 2 tiết với những đơn vị kiến thức như: Hệ thức vi ét, nhẩm nghiệm củaphương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích Chính vì thế mà học sinh cònrất thiếu kĩ năng cũng như phương pháp giải khi gặp những bài toán khó

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môntoán lớp 9 Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ kiến tập các giáo viên trongtrường, thông qua các kỳ thi khảo sát chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấpTỉnh, kỳ thi vào lớp 10 THPT bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có

kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập vận dụng hệ thức vi-ét Vì lý do đó

để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân dạng và có cách giải

cụ thể cho từng dạng

Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán

ở hai lớp 9A, 9B vào trung tuần tháng 2 năm học 2017-2018 được thống kênhư sau như sau:

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp

để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trìnhgiải những bài toán về vận dụng hệ thức vi-ét Tôi mạnh dạn nêu ra một số dạngtoán vận dụng hệ thức vi-ét và biện pháp giải các dạng toán đó như sau :

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai

thì có thể suy ra nghiệm kia

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

 thì hai số đó là hai nghiệm của

phương trình x2 – Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P  0)

Các quy tắc, các phép tính , các phép biến đổi , quy tắc dấu và quy tắc dấungoặc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức,thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều ,xácđịnh đúng các hệ số a; b (hoặc b’); c.tính đúng  (hoặc '), biến đổi biểu thức cóliên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm

- Thực hiện đổi mới ngay trong việc giảng dạy

- Dạy học theo phuơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề

- Hợp tác nhóm

- Đổi mới qua việc dạy tự chọn (Bám sát, nâng cao)

- Đổi mới qua việc dạy bồi dưỡng học sinh

- Đúc rút kinh nghiệm khi giải toán vận dụng hệ Thức Vi-ét theo từngdạng , dạng nào sử dụng phương pháp nào

+ Quan sát đặc điểm của bài toán : Nhận xét xem mối quan hệ giữa các hệ sốtrong phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là phần tham số trong các hệ số + Nhận dạng bài toán : Xét xem bài toán thuộc dạng nào Lựa chọn phươngpháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp giải phùhợp với bài toán

- Sắp xếp bài toán theo mức độ tiếp thu của từng học sinh, những dạngtoán cơ bản

- Xây dựng các phương pháp giải các dạng toán vận dụng Hệ thức Vi-ét

2.3.2 Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

* Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện

xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (tức là kiểm tra

b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 0, b = 2b’ = 10, c = 1)

Ta có:  ' 52 25.1 0  Phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 x2 b 10 2, x x1 2 c 1

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và

tích các nghiệm theo m: x2 + 2m 1 x + m2 = 0

Giải

x2 + 2m 1  x + m2 = 0 (a = 1 0, b = 2b’ =2 m 1  , c = m2 )

Ta có:  ' m 1 2  1.m2 m2 2m 1 m  2  1 2m

Để phương trình có nghiệm ' 0 1 2m 0 m 1

2

       

Vậy với m 1

2

 , phương trình có hai nghiệm x1, x2

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

 

 

2 2

2 m 1

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét ,hãy tính tổng và tích

các nghiệm của mỗi phương trình:(Bài 36 trang 43-Sbt toán 9 tập 2)

2

2

  

2 2 5 2 0 1, 4 3 1, 2 0 c x x d x x       Bài 2 Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x x1 , 2 là hai nghiệm (nếu có) không giải phương trình hãy điền vào những chỗ trống (….)(Bài 25 trang 52-SGK toán 9 tập 2) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 7 1 0, , ,

.5 35 0, , ,

.8 1 0, , ,

.25 10 1 0, , ,

Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.

*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương

trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a 0 ), ta áp dụng nhận xét sau:

Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a + b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = c

a

 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) có a - b + c = 0 thì phương

trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - c

a

Chú ý : Nếu a+c=-b ta dùng tổng a+b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương

trình

Nếu a+c=b ta dùng tổng a-b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương trình

Trường hợp 2: Cho phương trình x 2 + bx + c = 0.

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập hệ phương trình cho các nghiệm x1

Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó

ta tính ngay được m + n Khi đó:

- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận)

- Nếu m + n - b, thì ta dừng lại và kết luận bài toán không nhẩm đượcnghiệm

Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và

x2 = n

 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:

- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại vàđưa ra lời kết luận nghiệm

- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừnglại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm

* Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0 Do đó phương trình

Bài 1.Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau(Bài 37-trang 4 SBT

  

Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình

bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.

* Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) cho biết một nghiệm x1 = m Tìm nghiệm còn lại x2 ?

Bài tập áp dụng:

Bài 1.a Chứng tỏ rằng phương trình 4x2  24x 32 0  có một nghiệm

là 2 Tìm nghiệm kia

b Chứng tỏ rằng phương trình 4x2  3x 115 0  có một nghiệm là 5 Tìmnghiệm kia

Bài 2.Dùng hệ thức Vi-ét Tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị

của m trong mỗi trường hợp sau ( Bài 40-Trang 44-SBT Toán 9 tập 2)

a Phương trình x2  m -35 0x  , biết nghiệm x1=7

b Phương trình 2

- 3 1 +m 0

x x  , biết nghiệm x1=12,5

c Phương trình 4x2  3 -m +3m 0x 2  , biết nghiệm x1=-2

d Phương trình 3x2  2m 3x +5 0  , biết nghiệm x1=1

a u+v=14; u.v=40 b u+v=-7 ;u.v=12 c u+v=-5 ;u.v=-24

d u+v=4; u.v=19 e u- v=10 ;u.v=24 f u2 v2  85 ;u.v=18

Bài 2 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 28-trang 53 SGK

Toán 9 Tập 2)

a u+v=32; u.v=231 b u+v=-8 ;u.v=-105 c u+v=2 ;u.v=9

Bài 3 Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 32-trang 54 SGK

Toán 9 Tập 2)

a u+v=42; u.v=441 b u+v=-42 ;u.v=-400 c u-v=-5 ;u.v=24

Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà

không giải phương trình

* Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a 0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán

vị (đổi chỗ) x1 và x2 Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Xét biệt thức  b2  4ac 0 thì phương trình có hai nghiệmphân biệt x1, x2 (hoặc  ' 0)

 Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vàobiểu thức đã được biến đổi về dạng chứa tích và tổng các nghiêm x1 và

*Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 (a 0,  0 hoặc

a 0, ' 0   hoặc a   0; 0 )

Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số

Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm

không phụ thuộc vào tham số

* Ví dụ 1 Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)

Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

Giải

Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có:  ' m2 2m 2 m 1 2  1 0 vớimọi m Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2