Nộidung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh THCS ngoài việcdạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng phápgiải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạ
Trang 1Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/
Dạy học toán là dạy cho học sinh phơng pháp học toán và giảitoán để vận dụng kiến thức đã học vào thực tế cuộc sống Nộidung kiến thức toán học đợc trang bị cho học sinh THCS ngoài việcdạy lí thuyết còn phải chú trọng tới việc dạy học sinh phơng phápgiải một số bài toán, nhng để nắm vững cách giải 1 dạng toán nào
đó đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức đã học một cáchlinh hoạt, sáng tạo, tính cẩn thận, kết hợp với sự khéo léo và kinhnghiệm đã tích luỹ đợc để giải quyết các bài tập có liên quan.Thông qua việc giải bài tập chống t tởng hình thức hoá, t tởng ngạikhó đặc biệt việc xác định các vấn đề thiếu căn cứ Do đónâng cao năng lực t duy, óc tởng tợng, sáng tạo, rèn khả năng phán
đoán, suy luận của học sinh
b) Cơ sở thực tiễn:
hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc hệ thức Vi – ét vào tính tổng vàtích các nghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
- Nắm đợc những ứng dụng của hệ thức Vi - ét nh :
+ Nhẩm nghiệm của phơng trình bậc hai trong các trờng hợp a+ b + c = 0 ; a - b + c = 0 , hoặc các trờng hợp mà tổng, tíchcủa hai nghiệm là những số nguyên với giá trị tuyệt đối khôngquá lớn
Trang 2+ Tìm đợc hai số biết tổng và tích của chúng
+ Biết cách biểu diễn tổng các bình phơng, các lập phơng củahai nghiệm qua các hệ số của phơng trình
Trong chơng trình giảng dạy bộ môn toán ở lớp 9 tôi nhận thấyhọc sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc vận dụng hệ thức Vi
- ét và vận dụng đợc hệ thức Vi – ét vào tính tổng và tích cácnghiệm của phơng trình bậc hai 1 ẩn số
t việc việc làm khá mới mẻ đề bài toán đã cho không phải lànhững
Một đặc điểm quan trọng của hệ thức Vi - ét và vận dụng đợc
hệ thức Vi – ét vào tính tổng và tích các nghiệm của phơngtrình bậc hai 1 ẩn số
Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc trong việc giáo dục t tởngqua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giảipháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các bài kiểmtra, thi tuyển sinh vào lớp 10
Qua một số năm giảng dạy Toán ở trờng THCS đợc giao côngtác bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề naychính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đềtài này chỉ tập trung vào vấn đề:
“Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
và hệ phơng trình dạng toán chuyển động”
2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
a) Đối t ợng nghiên cứu : Là học sinh lớp 9
Trang 3b) Ph ơng pháp nghiên cứu :
- Nghiên cứu tài liệu SGK; SBT toán đại số lớp 8; lớp 9 Đề thi vào ờng THPT, Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8, 9 Toán bồi d-ỡng học sinh Đại Số 9 Rèn luyện kĩ năng giải Toán THCS Tuyển chọncác đề toán thi vào lớp 10
tr Nghiên cứu tài liệu Bồi duõng thờng xuyên chu kì III quyển 1, 2
PHần II - giải quyết vấn đề
A Một số vấn đề lí thuyết :
1) Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai một ẩn số:
Đối với phơng trình bậc hai:
Biệt thức (Kí hiệu : đọc là đen ta)
+) Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm: ;
+) Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép là:
+) Nếu < 0 phơng trình vô nghiệm
2) Các phơng pháp giải phơng trình – Hệ phơng trình:
Trang 4a) Giải phơng trình:
+) Phơng trình bậc nhất một ẩn có 1 nghiệm duynhất
+) Phơng trình bậc hai một ẩn số dùng công thứcnghiệm
- Biểu thị các số liệu cha biết qua ẩn số và các số liệu cha biết
- Lập phơng trình, hệ phơng trình biểu thị sự tơng quan giữa các đại lợng
ớc 3: Chọn kết qua thích hợp và trả lời bài toán.
Chú ý so sánh điệu kiện đặt ra cho ẩn xem có thích hợp không vàtrả lời kết quả của bài toán
Trang 5Dạng toán cực trị đối với học sinh THCS là khó và mới các em thờng gặp khó khăn trong việc đi tìm lời giải của bài toán cực trị ;
có những bài toán các em không biết bắt đầu từ đâu? Vận dụng kiến thức gì trong chơng trình đã học? Làm thế nào để tìm đợcgiá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, ngắn nhất, dài nhất v.v trong bài toán ấy?
Toán cực trị là loại toán có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày chẳng hạn:
Hai nhà máy đợc xây dựng bên cùng một bờ sông tại hai địa
điểm A; B Hãy tìm cạnh bờ sông một địa điểm C để xây dựng một trạm bơm đa nớc về hai nhà máy sao cho độ dài đờng ống dẫn nớc là ngắn nhất ? v.v Đặc biệt nó mang nội dung sâu sắc
Trang 6trong việc giáo dục t tởng qua môn toán; hình thành cho học sinh thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống sau này.
Chính vì vậy bài toán này thờng xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, các kì thi tuyển sinh vào lớp 10
Qua một số năm giảng dạy toán THCS đợc giao công tác bồi ỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 tôi rất quan tâm vấn đề nay chính vìvậy tôi mạnh dạn nghiên cứu và hoàn thành đề tài này Với thời gian hạn chế và mong muốn nghiên cứu sâu hơn nên đề tài này chỉ tập trung vào vấn đề:
“một số phơng phápgiải toán cực trị đại số”
2) Đối t ợng và ph ơng pháp nghiên cứu:
a, Đối t ợng nghiên cứu : Là học sinh lớp 9
I Khái niệm : Hệ thuc Vi et
1 m đợc gọi là một giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
a, f(x) m với D
b, x0 D sao cho f(x0) = m ; Kí hiệu m = max f(x), D
2 m đợc gọi là một giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
a, f(x) m với D
Trang 7b, x0 D sao cho f(x0) = m ; KÝ hiÖu m = min f(x), D
b, DÊu “=” x¶y ra khi x,y cïng dÊu
c, DÊu “=” x¶y ra khi x,y cïng dÊu
Trang 8
nếu (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi x, y cùng dấu ( hay x.y 0 )
3) Bất đẳng thức Cô si: (chỉ áp dụng với các số không âm )
Trang 9Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
III Một số ph ơng pháp giải bài toán cực trị: (tìm giá trị lớn
nhất,giá trị nhỏnhất)
1) Ph ơng pháp bất đẳng thức :
Giả sử cho hàm số f(x) xác định trên miền D
a, f(x) m hoặc f(x) n
b, Chỉ ra x = x0 D sao cho dấu đẳng thức xảy ra
2) Ph ơng pháp miền giá trị của hàm số:
Giả sử tìm cực trị của hàm số f(x) với D Gọi y0 là một giá trị của tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho có nghĩa hệ phơng trình sau có nghiệm :
Tuỳ dạng phơng trình mà ta có điều kiện thích hợp sau khi rút gọn đa về dạng:
Trang 10V× y0 lµ mét gi¸ trÞ bÊt k× cña f(x) nªn ta cã:
Trang 15( Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005)
= 2 + m
m = Vậy với m = thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: B
c) Để đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)
-1 = 2.2+ m -1 = 4 + m
m = - 5 Vậy với m = -5 thì đồ thị hàm số y = 2x + m đi qua: C ( 2; - 1)
2) Toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thị hàm số y = 3x – 2 là nghiệm của hệ phơng trình
Trang 16Vậy toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + m với đồ thịhàm số y = 3x – 2 là
Để đồ thị hàm số (*) cắt đồ thị hàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV
Vậy với thì đồ thị hàm số y = 2x + m cắt đồ thịhàm số y = 3x – 2 trong góc phần t thứ IV
Câu II: ( 2 điểm)
1) Cho hàm số f(x) = – 4x + 1 So sánh f(1) và f(2)
2) Cho hàm số có đồ thị là (P) và đờng thẳng (d) cóphơng trình y = x + m Tìm m để (d) cắt (P) tại hai
điểm phân biệt có hoành độ là x1, x2 thỏa mãn Câu
-Có – 3 > - 7 nên f(1) >f(2)2)
Trang 18b) Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn
Trang 19Cho Parabol và điểm
1) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ
số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B vớimọi giá trị của k
2)Gọi , là hoành độ giao điểm của A và B Xác định k để
đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị ấy
Câu 5: (1đ) Gọi y1 và y2 là hai nghiệm của phơng trình:
Tìm a; b sao cho phơng trình có hai nghiệm là:
và
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol và điểm
2) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ
số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B vớimọi giá trị của k
2) Gọi , là hoành độ giao điểm của A và B Xác định k để
đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị ấy
Câu II: ( 2,5 điểm)
Cho Parabol và điểm
3) Chứng minh rằng phơng trình đờng thẳng đi qua M có hệ
số góc là k luôn cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt A và B vớimọi giá trị của k
2)Gọi , là hoành độ giao điểm của A và B Xác định k để
đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị ấy
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình
Tính ( x1 và x2 là hai nghiệm của
ph-ơng trình)
Bài 3 (1 điểm) Cho phơng trình
Trang 20Tính ( x1 và x2 là hai nghiệm của
2) Gọi ; là các nghiệm của phơng trình Tìm a để phơngtrình có tổng bình
phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 5: (1 điểm)
Cho Parabol (P) và đờng thẳng (D) đi qua 2 điểm A và Bnằm trên P có hoành độ lần lợt là -2 và 4 Tìm điểm M trêncung AB của (P) tơng ứng hoành độ
x sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất ?
Câu 2: (2 điểm) Cho phơng trình:
Dề thi vào THPT Tỉnh thai bình
Câu3: (2,0điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có
phơng trình : y = 2x2 , một đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng m
và đi qua điểm I(0;2)
Trang 211) Viết phơng trình đờng thẳng (d)
2) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
3) Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1, x2 CMR :
Bài 3: (1,5 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y =
x + 2 và Parabol (P): y = x2
4) Xác định toạ độ hai giao điểm A và B của (d) với (P)
5) Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với –1 m 2) CMR: SMAB
Bài 2: (1,25 điểm) Cho phơng trình: ( là tham số)
1 Tìm các giá trị của để phơng trình có nghiệm và tínhcác nghiệm của phơng trình theo
2 Tìm giá trị của để phơng trình có hai nghiệm sao chomột nghiệm gấp đôi nghiệm kia
6) Đề thi vào THPT Quôc học huê 005- 006
Bài 2: (2,5 điểm)
Cho parabol (P) có đỉnh ở gốc toạ độ O và đi qua điểm
.7) Viết phơng trình của parabol (P)
8) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng
và đi qua điểm Với giá trị nào của thì đờngthẳng cắt parabol (P) tại hai điểm có hoành độ sao
Trang 22a) Tìm hệ số và vẽ (P)
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B Xác
định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và đờng thẳng AB
b) Suy ra giá trị lớn nhất của biểu thức Giá trị đó đạt
đợc khi bằng bao nhiêu ?
Bài 3: (1,25 điểm)
Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng
và đi qua giao điểm của hai đờng thẳng và
Bài 4: (1,25 điểm)
Cho phơng trình Tìm giá trị của , biết rằng
ph-ơng trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện
Cho phửụng trỡnh :x 2mx m m 1 0 2 2 vụựim laứ tham soỏ vaứ x laứ aồn soỏ
a)Giaỷi phửụng trỡnh vụựi m = 1.
b)Tỡm m ủeồ phửụng trỡnh coự hai nghieọm phaõn bieọt x ,x 1 2
c)Vụựi ủieàukieọn caõu b haừy tỡm m ủeồ bieồu thửực A x x x x 1 2 1 2
ủaùt giaự trũ nhoỷ nhaỏt
Trang 23a) Tìm a biết (P) luôn đi qua A(2;-1)
b) Tìm m biết (D) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm
c) Gọi B là giao của (D) với trục tung; C là điểm đối xứng của A qua trục tung
b) CMR: (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
c) CMR: A = x1(1-x2)+ x2(1-x1) không phụ thuộc vào m
Bài 3(2,0 điểm)
Cho y = ax2 (P)
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm A(1; )
b) Trên (P) lấy M, N có hoành độ lần lợt là 2 và 1 Viết phơng trình MN
c) Xác định hàm số y = ax+b (D) biết (D) song song với MN và tiếp xúc với (P)
a) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
c) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2(2,0 điểm):
Trang 24Cho phơng trình : mx2+2(m-2)x+m-3 = 0 (1)
e) Tìm m để (1) có hai nghiệm trái dấu
f) Xác định m để (1) có hai nghiệm trái dấu sao cho nghiệm
âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
g) Gọi x1 , x2 là nghiệm của phơng trình Viết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc m
h) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
câu 4: (2 điểm)
Cho hàm số:
y=x2 (P)y=3x=m2 (d)
1 Chứng minh rằng với bất kỳ giá trị nào của m, đờng thẳng(d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
2 Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đờng thẳng (d)
và (P) Tìm m để có đẳng thức y1+y2 = 11y1y2
Trang 25câu 2: (3 điểm)
Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=x2/2 ; (d): y=mx-m+2 (m là tham số)
1 Tìm m để đờng thẳng (d) và (P) cùng đi qua điểm cóhoành độ bằng x=4
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng (d) luôncắt (P) tại 2 điểm phân biệt
3 Giả sử (x1;y1) và (x2;y2) là toạ độ các giao điểm của đờngthẳng (d) và (P) Chứng minh rằng
1 Với a=2 tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P)
2 Chứng minh rằng với mọi a đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2
3 Giả sử phơng trình có 2 nghiệm trái dấu, chứng minh phơng trình
qx 2 +px+1=0 (2) cũng có 2 nghiệm trái dấu Gọi x 1 là nghiệm âm của phơng trình (1), x 2 là nghiệm âm của phơng trình (2) Chứng minh
2 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1,
x2 thoả mãn điều kiện: x1<1<x2
Trang 262 Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là:
3 Tính giá trị của P(x)=x4-7x2+2x+1+ , khi
câu 1: (2,5 điểm)
1 Cho 2 số sau:
Chứng tỏ a3+b3 là số nguyên Tìm số nguyên ấy
2 Số nguyên lớn nhất không vợt quá x gọi là phần nguêncủa x và ký hiệu là [x] Tìm [a3]
câu 2: (2,5 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình là y=mx-m+1
1 Chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn điqua một điểm cố định Tìm điểm cố định ấy
2 Tìm m để đờng thẳng (d) cắt y=x2 tại 2 điểm phân biệt
Gọi u và v là các nghiệm của phơng trình: x2+px+1=0
Gọi r và s là các nghiệm của phơng trình : x2+qx+1=0
ở đó p và q là các số nguyên
1 Chứng minh: A= (u-r)(v-r)(u+s)(v+s) là số nguyên
2 Tìm điều kiện của p và q để A chia hết cho 3
bài 3: (2 điểm)
Cho phơng trình:
(x2+bx+c)2+b(x2+bx+c)+c=0
Nếu phơng trình vô nghiệm thì chứng tỏ rằng c là số dơng
Trang 272 Chứng minh rằng bất cứ đờng thẳng nào đI qua điểm A
và không song song với trục tung bao giờ cũng cắt (P) tại 2
điểm phân biệt
bài 2(2,5 điểm):
Cho phơng trình: x2-2mx+m2- 0,5 = 0
1 Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm của
ph-ơng trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm và các nghiệm ấy là
số đo của 2 cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnhhuyền bằng 3
bài 3(1 điểm):
Trên hệ trục toạ độ Oxy cho (P) có phơng trình: y=x2
Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳngy=3x+12 và có với (P) đúng một điểm chung
Lập phơng trình bậc hai với hệ số nguyên có 2 nghiệm là:
Tính:
bài 3(2 điểm):
Tìm m để phơng trình: , có đúng 2 nghiệmphân biệt
bài 2(2 điểm):
Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn đẳng thức x+y= Tính giá trị của x và y để biểu thức sau: P=(x4+1)(y4+1), đạtgiá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy?
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình: x 2 -2(m+1)x+m 2 -1 = 0 với x là ẩn, m là số cho trớc.
1 Giải phơng trình đã cho khi m = 0.
2 Tìm m để phơng trình đã cho có 2 nghiệm dơng x 1 ,x 2 phân biệt thoả mãn điều kiện x 1 -x 2 =
bài 1.(1,5 điểm)
Cho phơng trình x2+x-1=0 Chứng minh rằng phơng trình
có hai nghiệm trái dấu Gọi x1 là nghiệm âm của phơngtrình Hãy tính giá trị của biểu thức:
Trang 28bài 3.(3 điểm)
Cho parabol (P) và đờng thẳng (d) có phơng trình:
(P): y=mx2
(d): y=2x+m trong đó m là tham số, m≠0
1 Với m= , tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P)
2 Chứng minh rằng với mọi m≠0, đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
3 Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ là