Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét

Mời quý thầy cô và các bạn học sinh cùng tham khảo tài liệu Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét. Hi vọng đây sẽ là tư liệu hữu ích giúp các bạn ôn tập, hệ thống lại kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập chính xác để chuẩn bị cho các kì thi quan trọng sắp tới.

CHUYÊN Đ   Ề

NG D NG 

N I DUNG CHUYÊN Đ  : Ộ Ề

NG D NG C A H  TH C VI­ÉT TRONG GI I TOÁN

2

b x

a

− − ∆

2

b x

a

− + ∆

=

x x

2

x x

V y đ t :ậ ặ ­ T ng nghi m là S  : ổ ệ S =  1 2

b

x x

a

− + =

c

x x a

=

Nh  v y ta th y gi a hai nghi m c a phư ậ ấ ữ ệ ủ ương trình (*) có liên quan ch t ch  v iặ ẽ ớ   các h  s  ệ ố a, b, c. Đây chính là n i dung c a Đ nh lí VI­ÉT, sau đây ta tìm hi u m t s  ộ ủ ị ể ộ ố

ng d ng c a đ nh lí này trong gi i toán

1. D ng đ c bi t: ạ ặ ệ

Xét phương trình (*) ta th y :ấ

a) N u cho ế x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0    a + b + c = 0

Nh  vây phư ương trình có m t nghi m ộ ệ x1 = 1 và nghi m còn l i là ệ ạ x2 c

a

=

b) N u cho ế x = −1 thì ta có (*)  a.(−1)2 + b(−1) + c = 0   a − b + c = 0

Nh  v y phư ậ ương trình có m t nghi m là  ộ ệ x1 = − 1 và nghi m còn l i là ệ ạ x2 c

a

−

=

Ví d : ụ  Dùng h  th c VI­ÉT đ  nh m nghi m c a các phệ ứ ể ẩ ệ ủ ương trình sau:

1) 2x2 + + = 5x 3 0 (1) 2) 3x2 + − = 8x 11 0   (2)

Ta th y :ấ

Phương trình (1) có d ng a ạ − b + c = 0   nên có nghi m ệ x1 = − 1 và  2

3 2

x = −

Phương trình (2) có d ng a + b + c = 0 nên có nghi m ạ ệ x1 = 1 và  2

11 3

x =−

Bài t p áp d ng:ậ ụ  Hãy tìm nhanh nghi m c a các phệ ủ ương trình sau:

1. 35x2 − 37x+ = 2 0 2. 7x2 + 500x− 507 0 =

3. x2 − 49x− 50 0 = 4. 4321x2 + 21x− 4300 0 =

2. Cho ph ươ ng trình , có m t h  s  ch a bi t, cho tr ộ ệ ố ư ế ướ c m t nghi m ộ ệ   tìm nghi m  ệ

còn l i và ch  ra h  s  c a ph ạ ỉ ệ ố ủ ươ ng trình :

Víd : ụ  a) Phương trình x2 − 2px+ = 5 0. Có m t nghi m b ng 2, tìm ộ ệ ằ p và nghi m th  ệ ứ

hai

b) Phương trình  x2 + 5x q+ = 0 có m t nghi m b ng 5, tìm ộ ệ ằ q và nghi m th  hai.ệ ứ c) Cho phương trình : x2 − 7x q+ = 0, bi t hi u 2 nghi m b ng 11. Tìm ế ệ ệ ằ q và hai 

nghi m c a phệ ủ ương trình

d) Tìm q và hai nghi m c a phệ ủ ương trình : x2 −qx+ 50 0 = , bi t phế ương trình có 2  nghi m và có m t nghi m b ng 2 l n nghi m kia.  ệ ộ ệ ằ ầ ệ

Bài gi i: ả

a) Thay x1 = 2 v à phương trình ban đ  u ta đ    c : ầ ư ợ

1

4 4 5 0

4

T   ừ x x1 2 = 5 suy ra  2

1

2

x x

b) Thay x1 = 5 v à phương trình ban đ  u ta đ    cầ ư ợ

25 25 + + =q 0 q= − 50

T   ừ x x1 2 = − 50 suy ra  2

1

5

x x

c) Vì vai trò c a ủ x1  và x2 bình đ ng nên theo đ  bài gi  s  ẳ ề ả ử x x1 − = 2 11 và theo VI­ÉT ta có 

1 2 7

Suy ra q x x= 1 2 = − 18

d) Vì vai trò c a ủ x1  và x2 bình đ ng nên theo đ  bài gi  s  ẳ ề ả ử x1 = 2x2 và theo VI­ÉT ta có 

1 2 50

2

2

5

5

x

x

= −

V i ớ x2 = − 5 th ì x1 = − 10

V i ớ x2 = 5 th ì x1 = 10

1. L p ph ậ ươ ng trình b c hai khi bi t hai nghi m  ậ ế ệ x x1 ; 2

Ví d  : ụ  Cho  x1 = 3;  x2 = 2 l p m t phậ ộ ương trình b c hai ch a hai nghi m trênậ ứ ệ

1 2

5 6

S x x

P x x

= + =

= =  v y ậ x x1 ; 2là nghi m c a phệ ủ ương trình có d ng:ạ

Bài t p áp d ng:  ậ ụ

4.  x1 = 1 + 2 vµ  x2 = 1 − 2

2. L p ph ậ ươ ng trình b c hai có hai nghi m tho  mãn bi u th c ch a hai nghi m  ậ ệ ả ể ứ ứ ệ

c a m t ph ủ ộ ươ ng trình cho tr ướ c:

V

     í d :   ụ    Cho phương trình :  x2 − + = 3x 2 0  có 2 nghi m phân bi t  ệ ệ x x1 ; 2. Không gi iả  

phương trình trên, hãy l p phậ ương trình b c 2 có  n là  ậ ẩ y  tho  mãn :  ả 1 2

1

1

y x

x

2 1

2

1

y x

x

= +

Theo h   th  c VI­ ÉT ta c ó:ệ ứ

1 2

2 2

x x

+

2 2

P y y x x x x

0

y −Sy P+ =

2 2

y − y+ = y − y+ =

Bài t p áp d ng: ậ ụ

1/ Cho phương trình 3x2 + 5x− = 6 0 có 2 nghi m phân bi t  ệ ệ x x1 ; 2. Không gi i phả ươ  ng trình, Hãy l p phậ ương trình b c hai có các nghi m ậ ệ 1 1

2

1

y x

x

1

1

y x

x

= +

0

6 2

y + y− =  hay 6y2 + 5y− = 3 0) 2/ Cho phương trình : x2 − − = 5x 1 0 có 2 nghi m ệ x x1 ; 2. Hãy l p phậ ương trình b c 2 cóậ  

n y tho  mãn  

1 1

2 2

y =x   (có nghi m là lu  th a b c 4 c a các nghi m c aệ ỹ ừ ậ ủ ệ ủ  

phương trình đã cho)

(Đáp s  : ố y2 − 727y+ = 1 0) 3/ Cho phương trình b c hai:  ậ x2 − 2x m− 2 = 0  có các nghi m  ệ x x1 ; 2. Hãy l p phậ ương  

trình b c hai có các nghi m ậ ệ y y1; 2 sao cho :

a) y1 = −x1 3   và y2 = −x2 3 b) y1 = 2x1 − 1   và y2 = 2x2 − 1

N u hai s  có T ng b ng S và Tích b ng P thì hai s  đó là hai nghi m c a ế ố ổ ằ ằ ố ệ ủ

phương trình :

Ví d  : ụ  Tìm hai s  a, b bi t t ng S = a + b = ố ế ổ −3 và tích P = ab = −4

Vì a + b = −3 và  ab = −4 n ên  a, b là nghi m c a phệ ủ ương trình : x2 + − = 3x 4 0

gi i phả ương trình trên ta được x1 = 1 và x2 = − 4

V y ậ n u a = 1 thì b = ế −4

n u a = ế −4 thì b = 1

Bài t p áp d ng: ậ ụ  Tìm 2 s  a và b bi t T ng S và Tích P ố ế ổ

1. S = 3 và  P = 2

Bài t p nâng cao ậ : Tìm 2 s  a và b bi tố ế

1. a + b = 9  và   a2 + b2 = 41

2. a −b = 5  và   ab = 36

3. a2 + b2 = 61  v à   ab = 30

H ướ ng d n: ẫ  1) Theo đ  bài đã bi t t ng c a hai s  a và b , v y đ   áp d ng h  th c ề ế ổ ủ ố ậ ể ụ ệ ứ VI­ ÉT thì c n tìm tích c a a v à b.ầ ủ

2

a b

a b a b a ab b ab − +

2

4

9 20 0

5

x

x x

x

=

=

V y: ậ N u a = 4 thì b = 5 ế

n u a = 5 thì b = 4ế

2) Đã bi t tích:  ab = 36 do đó c n tìm t ng : a + bế ầ ổ

Cách 1: Đ  t c = ặ −b ta có : a + c = 5 và a.c = −36

2

4

5 36 0

9

x

x x

x

= −

=

Do đó n u a = ế −4 thì c = 9 nên b = −9

n u a = 9 thì c = ế −4 nên b = 4

Cách 2: T  ừ ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

a b− = a b+ − ab a b+ = a b− + ab=

( )2 2 13

13

13

a b

a b

a b

+ = −

+ =

*) V i ớ a b+ = − 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phệ ủ ương trình : 

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x x

x

= −

= −

V y a =ậ − 4 thì b = − 9

*) V i ớ a b+ = 13 và ab = 36, nên a, b là nghi m c a phệ ủ ương trình : 

1 2

2

4

13 36 0

9

x

x x

x

=

=

V y a = 9 thì b = 4ậ

3) Đã bi t  ab = 30, do đó c n tìm a + b:ế ầ

a b+ =a + +b ab= + = = 11

11

a b

a b

+ = − + =

*) N u ế a b+ = − 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phệ ủ ương trình: 

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x x

x

= −

= −

V y n u a =ậ ế − 5 thì b = − 6 ; n u a =ế − 6 thì b = − 5

*) N u ế a b+ = 11 và ab = 30 thì a, b là hai nghi m c a phệ ủ ương trình : 

1 2

2

5

11 30 0

6

x

x x

x

=

=

V y n u a = 5 thì b = 6 ; n u a = 6 thì b = 5.ậ ế ế

Đ i các bài toán d ng này đi u quan tr ng nh t là ph i bi t bi n đ i bi u th c ố ạ ề ọ ấ ả ế ế ổ ể ứ nghi m đã cho v  bi u th c có ch a t ng nghi m S và tích nghi m P đ  áp d ng h  ệ ề ể ứ ứ ổ ệ ệ ể ụ ệ

th c VI­ÉT r i tính giá tr  c a bi u th cứ ổ ị ủ ể ứ

1. Bi n đ i bi u th c đ  làm xu t hi n :  ( ế ổ ể ứ ể ấ ệ x1 +x2) và   x x1 2

1 2 ( 1 2 1 2 2 ) 2 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2

x +x = x + x x +x − x x = x +x − x x

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 1 2

x + =x x +x x −x x +x = x +x x +x − x x 

1 2 ( ) 1 ( ) 2 1 2 2 1 2 ( 1 2 ) 2 1 2 2 1 2

x +x = x + x = x +x − x x = x +x − x x  − x x

1 2 1 2

x x x x

+

Ví d  2ụ x x1 − = 2 ?

1 2 1 2 4 1 2 1 2 1 2 4 1 2

x −x = x +x − x x x − =x x +x − x x

T  các bi u th c đã bi n đ i trên hãy bi n đ i các bi u th c sau:ừ ể ứ ế ổ ế ổ ể ứ

1 2

x −x ( =(x x1 − 2) (x1 +x2) =…….)

1 2

x −x ( = ( ) ( 2 2) ( ) ( )2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

x −x x +x x +x = x −x x +x −x x   =……. )

1 2

x −x ( = ( 2 2) ( 2 2)

1 2 1 2

1 2

x +x ( =  2 3 2 3 ( 2 2) ( 4 2 2 4)

1 2 1 2 1 1 2 2

Bài t p áp d ngậ ụ

1 2

x −x 6.  5 5

1 2

x +x 7.  7 7

1 2

x +x 8. 

x +x

2. Không gi i ph ả ươ ng trình, tính giá tr  c a bi u th c nghi m ị ủ ể ứ ệ

a) Cho phương trình : x2 − + = 8x 15 0 Không gi i phả ương trình, hãy tính

1 2

x +x (34) 2. 

1 2

1 1

15

2 1

x x

x + x 34

1 2

x +x (46) b) Cho phương trình : 8x2 − 72x+ 64 0 =  Không gi i phả ương trình, hãy tính:

1. 

1 2

1 1

x + x 9

1 2

x +x (65)

c) Cho phương trình : x2 − 14x+ 29 0 =  Không gi i phả ương trình, hãy tính:

1. 

1 2

1 1

x + x 14

1 2

d) Cho phương trình : 2x2 − + = 3x 1 0 Không gi i phả ương trình, hãy tính:

1. 

1 2

1 1

x + x (3) 2.  1 2

1 x 1 x

x x

(1)

1 2

x +x (1) 4.  1 2

2 1 1 1

x x

x +x

e) Cho phương trình x2 − 4 3x+ = 8 0 có 2 nghi m ệ x 1  ; x 2 , không gi i phả ương trình, tính

1 1 2 2

3 3

1 2 1 2

Q

x x x x

x x x x

=

+

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Q

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

SỐ

Đ  làm các bài toán lo i này, ta làm l n lể ạ ầ ượt theo các bước sau:

­ Đ t đi u ki n cho tham s  đ  phặ ề ệ ố ể ương trình đã cho có hai nghi m ệ x1 và x2 (thường là 

a   0 và     0)

­ Áp d ng h  th c VI­ÉT vi t S = ụ ệ ứ ế x1 + x2  v à P = x1 x2  theo tham s  ố

­ Dùng quy t c c ng ho c th  đ  tính tham s  theo ắ ộ ặ ế ể ố x1 và x2 . T  đó đ a ra h  th c liênừ ư ệ ứ  

h  gi a các nghi m ệ ữ ệ x1 và x2

Ví d  1ụ

   :   Cho phương trình : (m− 1) x2 − 2mx m+ − = 4 0  có 2 nghi m  ệ x x1 ; 2. L p h  th cậ ệ ứ   liên h  ệ gi a ữ x x1 ; 2 sao cho chúng không ph  thu c vào ụ ộ m.

Đ  phể ương trình trên có 2 nghi m ệ x1 và x2 th ì :

2

1 1

4

5

m m

m m m

−

−

V

Theo h  th  c VI­ ÉT ta có :ệ ứ

m

m

−

Rút  m t  (1) ta có :ừ

1 2

1 2

Rút m t  (2) ta có :ừ

1 2

1 2

m = − − = x x

Đ ng nh t các v  c a (3) và (4) ta có:ồ ấ ế ủ

x x = x x − = + − + + − =

Ví d  2:ụ G i ọ x x1 ; 2 là nghi m c a phệ ủ ương trình : (m− 1) x2 − 2mx m+ − = 4 0. Ch ng minhứ  

r ng  bi u th c ằ ể ứ A= 3(x1 +x2)+ 2x x1 2 − 8 không ph  thu c giá tr  c a ụ ộ ị ủ m.

Đ  phể ương trình trên có 2 nghi m ệ x1 và x2 th ì :

2

1 1

4

5

m m

m m m

−

−

V

Theo h  th c VI­ ÉT ta c ó :ệ ứ

1 2

1 2

2 1 4

1

m

x x

m m

x x

m

+ =

−

−

=

−

thay v ào A ta c ó:

( 1 2) 1 2

A x x x x

V y A = 0 v i m i ậ ớ ọ m 1 và  4

5

m  Do đó bi u th c A không ph  thu c vào ể ứ ụ ộ m

­ L u ý đi u ki n cho tham s  đ  phư ề ệ ố ể ương trình đã cho có 2 nghi mệ

­ Sau đó d a vào h  th c VI­ÉT rút tham s  theo t ng nghi m, theo tích nghi mự ệ ứ ố ổ ệ ệ   sau đó đ ng nh t các v  ta s  đồ ấ ế ẽ ược m t bi u th c ch a nghi m không ph  thu c vàoộ ể ứ ứ ệ ụ ộ   tham s ố

Bài t p áp d ng: ậ ụ

1. Cho phương trình : x2 −(m+ 2) (x+ 2m− = 1) 0  có 2 nghi m ệ x x1 ; 2. Hãy l p h  th c liênậ ệ ứ  

h  gi a ệ ữ x x1; 2 sao cho x x1 ; 2 đ c l p đ i v i ộ ậ ố ớ m.

H ướ ng d n: ẫ  D  th y ễ ấ ( )2 ( ) 2 ( )2

do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghi m phân bi t ệ ệ x1 và x2 

Theo h  th c VI­ ÉT ta cóệ ứ

1 2

1 2

1 2

1 2

2(1) 2

1

2

m x x

x x m

x x

x x m m

= + − + = +

+

T  (1) và (2) ta có:ừ

( )

1 2

1

2

x x

2. Cho phương trình : x2 +(4m+ 1) x+ 2(m− = 4) 0

Tìm h  th c liên h  gi a ệ ứ ệ ữ x1 và x2 sao cho chúng không ph  thu c vào ụ ộ m.

H ướ ng d n: ẫ  D  th y ễ ấ ∆ = (4m+ 1) 2 − 4.2(m− = 4) 16m2 + 33 0 >  do đó phương trình đã cho  luôn có 2 nghi m phân bi t ệ ệ x1 và x2 

Theo h  th c VI­ ÉT ta cóệ ứ

(4 1) 4 ( ) 1(1)

x x m m x x

T  (1) và (2) ta có:ừ

(x x ) 1 2x x 16 2x x (x x ) 17 0

VI.TÌM GIÁ TR  THAM S  C A PHỊ Ố Ủ ƯƠNG TRÌNH THO  MÃN BI U TH C Ả Ể Ứ

Đ i v i các bài toán d ng này, ta làm nh  sau:ố ớ ạ ư

­ Đ t đi u ki n cho tham s  đ  phặ ề ệ ố ể ương trình đã cho có hai nghi m ệ x1 và x2 (thườ  ng

là a   0 và     0)

­ T  bi u th c nghi m đã cho, áp d ng h  th c VI­ÉT đ  gi i phừ ể ứ ệ ụ ệ ứ ể ả ương trình (có  n ẩ

là tham s ).ố

­ Đ i chi u v i đi u ki n xác đ nh c a tham s  đ  xác đ nh giá tr  c n tìm.ố ế ớ ề ệ ị ủ ố ể ị ị ầ

Ví d  1: ụ  Cho phương trình : mx2 − 6(m− 1) x+ 9(m− = 3) 0

Tìm giá tr  c a tham s  ị ủ ố m đ  2 nghi mể ệ x1 và x2 tho  mãn h  th c :  ả ệ ứ x1 + =x2 x x1 2

Bài gi i: Điả ều ki n đ  phệ ể ương trình c ó 2 nghi m ệ x1 và x2 l à :

Theo h   th  c VI­ ÉT ta c ó: ệ ứ 1 2

1 2

6( 1) 9( 3)

m

x x

m m

x x

m

− + =

−

=   v à t   gi   thi  t:  ừ ả ế x1 + =x2 x x1 2. Suy  ra:

6(m 1) 9(m 3) 6(m 1) 9(m 3) 6m 6 9m 27 3m 21 m 7

(tho  mãn đi u ki n xác đ nh )ả ề ệ ị

V y v i m = 7 thì phậ ớ ương trình đã cho có 2 nghi m  ệ x1  và  x2  tho  mãn h  th c :ả ệ ứ  

1 2 1 2

x + =x x x

Ví d  2: ụ   Cho phương trình : x2 −(2m+ 1)x m+ 2 + = 2 0

Tìm m đ  2 nghi m ể ệ x1 và x2 tho  mãn h  th c : ả ệ ứ 3x x1 2 − 5(x1 +x2) + = 7 0

Bài gi i: Đi u ki n đ  phả ề ệ ể ương trình có 2 nghi m ệ x1 &x2 là :

' (2m 1) 4(m 2) 0

4m + 4m+ − 1 4m − 8 0

7

4 7 0

4

m− m

2

1 2

2 1 2

x x m

x x m

= + và t  gi  thi t ừ ả ế 3x x1 2 − 5( x1 +x2) + = 7 0. Suy ra

2

2

2

3( 2) 5(2 1) 7 0

3 6 10 5 7 0

2( )

3

m TM

m m

m KTM

=

=

V y   v i   m   =   2   thì   phậ ớ ương   trình   có  2   nghi m  ệ x1  và  x2  tho   mãn   h   th c   :ả ệ ứ  

( )

1 2 1 2

3x x − 5 x +x + = 7 0

Bài t p áp d ngậ ụ

1. Cho phương trình : mx2 + 2(m− 4) x m+ + = 7 0

Tìm m đ  2 nghi m ể ệ x1 và x2 tho  mãn h  th c : ả ệ ứ x1 − 2x2 = 0

2.  Cho phương trình : x2 +(m− 1)x+ 5m− = 6 0

Tìm m đ  2 nghi m ể ệ x1 và x2 tho  mãn h  th c: ả ệ ứ 4x1 + 3x2 = 1

3.  Cho phương trình : 3x2 −(3m− 2) (x− 3m+ = 1) 0. 

Tìm m đ  2 nghi m ể ệ x1 và x2 tho  mãn h  th c : ả ệ ứ 3x1 − 5x2 = 6

Hướng d n cách gi i: ẫ ả

Đ i v i các bài t p d ng này ta th y có m t đi u khác bi t so v i bài t p   Ví ố ớ ậ ạ ấ ộ ề ệ ớ ậ ở

d  1 và ví d  2   ch  ụ ụ ở ỗ

+ Trong ví d  thì bi u th c nghi m đã ch a s n t ng nghi m ụ ể ứ ệ ứ ẵ ổ ệ x1 +x2 và tích nghi mệ  

1 2

x x nên ta có th  v n d ng tr c ti p h  th c VI­ÉT đ  tìm tham s  ể ậ ụ ự ế ệ ứ ể ố m.

+ Còn trong 3 bài t p trên thì các bi u th c nghi m l i không cho s n nh  v y, do đó ậ ể ứ ệ ạ ẵ ư ậ

v n đ  đ t ra   đây là làm th  nào đ  t  bi u th c đã cho bi n đ i v  bi u th c có ấ ề ặ ở ế ể ừ ể ứ ế ổ ề ể ứ

ch a t ng nghi m ứ ổ ệ x1+x2 và tích nghi m ệ x x1 2r i t  đó v n d ng tồ ừ ậ ụ ương t  cách làm đã ự trình bày   Ví d  1 và ví d  2.ở ụ ụ

15

1 2

( 4)

(1) 7

m

x x

m m

x x

m

− − + = +

=

1 2 1 2

1 2 1

3

2( ) 3

x x x

x x x x

x x x

+ =

­ Th  (1) vào (2) ta đ a đế ư ược v  phề ương trình sau:  2

m + m− = m = m = −  

1 2

1 (1)

5 6

x x m

x x m

+ = −

2 1 2

2

1 3( )

1 3( ) 4( ) 1 4( ) 1

7( ) 12( ) 1

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  (2)

1

m

m m

m

=

− =

BT3: ­ Vì ∆ = (3m− 2) 2 + 4.3(3m+ = 1) 9m2 + 24m+ 16 (3 = m+ 4) 2 0 v i m i s  th c m nên ớ ọ ố ự

phương trình luôn có 2 nghi m phân bi t.ệ ệ

1 2

3 2

3 (1) (3 1) 3

m

x x

m

x x

− + =

=

­ T  gi  thi t: ừ ả ế 3x1 − 5x2 = 6. Suy ra:  1 1 2 [ ] [ ]

2 1 2

2

64 5( ) 6 3( ) 6

x x x

x x x x x x

x x x

x x x x x x

  (2)

­ Th  (1) vào (2) ta đế ược phương trình: 

0

15

m

m m

m

=

= −     (tho  mãn )ả

Cho phương trình: ax2 + + =bx c 0 (a   0) .Hãy tìm đi u ki n đ  phề ệ ể ương trình có 

2 nghi m:  ệ trái d u, cùng d u, cùng d ấ ấ ươ ng, cùng âm ….

Ta l p b ng xét d u sau:ậ ả ấ

trái d u ấ m P < 0    0    0   ; P < 0

cùng d u, ấ P > 0    0    0   ; P > 0

cùng d ươ ng, + + S > 0 P > 0    0    0   ; P > 0 ; S > 0

cùng âm − − S < 0 P > 0    0    0   ; P > 0 ; S < 0

Ví d : ụ Xác đ nh tham s  m sao cho ph ị ố ươ ng trình:

( )

2x − 3m+ 1 x m+ − − =m 6 0  có 2 nghi m trái d u.ệ ấ

Đ  phể ương trình có 2 nghi m trái d u thì ệ ấ

2 2

(3 1) 4.2.( 6) 0

6

2

m

m m

− −

V y v i ậ ớ − < < 2 m 3 thì phương trình có 2 nghi  m trái d u.ệ ấ

Bài t p tham kh o:ậ ả

1. mx2 − 2(m+ 2)x+ 3(m− = 2) 0  có 2 nghi m cùng d u.ệ ấ

2. 3mx2 + 2 2( m+ 1) x m+ = 0 có 2 nghi m âm.ệ

3.(m− 1)x2 + 2x m+ = 0 có ít nh t m t nghi m không âm.ấ ộ ệ

VIII   TÌM   GIÁ   TR   L N   NH T   HO C   GIÁ   TR   NH   NH T   C A   BI UỊ Ớ Ấ Ặ Ị Ỏ Ấ Ủ Ể  

Áp d ng tính chụ ất sau v  b t đ ng th c: trong m i trề ấ ẳ ứ ọ ường h p n u ta luôn phân tích ợ ế

được:

A m

C

k B

+

=

−   (trong đó A, B là các bi u th c không âm ;  m, k là h ng s )ể ứ ằ ố (*)

Ví d  1: ụ  Cho phương trình : x2 +(2m− 1) x m− = 0

G i ọ x1 và x2 là các nghi m c a phệ ủ ương trình. Tìm m đ  :ể

2 2

1 2 6 1 2

A x= + −x x x  có giá tr  nh  nh t.ị ỏ ấ

1 2

(2 1)

x x m

x x m

= −

1 2 6 1 2 1 2 8 1 2

A x= + −x x x = x +x − x x

2 2

m m m

2

m=

Ví d  2: ụ   Cho phương trình :  x2 −mx m+ − = 1 0

G i ọ x1 và x2 là các nghi m c a phệ ủ ương trình. Tìm giá tr  nh  nh t và giá tr  ị ỏ ấ ị

l n nh t c a bi u th c sau:ớ ấ ủ ể ứ

1 2

2 2

1 2 1 2

x x B

x x x x

+

=

1 2 1

x x m

x x m

+ =

= −

B

Cách 1: Thêm b t đ  đ a v  d ng nh  ph n (*) đã h ng d nớ ể ư ề ạ ư ầ ướ ẫ

Ta bi n đ i B nh  sau:ế ổ ư

1

B

2

1

2

m

m

−

−

+

V y ậ max B=1  m = 1

V i cách thêm b t khác ta l i có:ớ ớ ạ

B

2 2

2

2

m

m

+

+

2

B= − m= −

Cách 2: Đ a v  gi i ph ng trình b c 2 v i  n là ư ề ả ươ ậ ớ ẩ m và B là tham s , ta s  tìm đi u ố ẽ ề

ki n cho tham s  ệ ố B đ  phể ương trình đã cho luôn có nghi m v i m i ệ ớ ọ m.

2 2

2

m

m

+

Ta có: ∆ = − 1 B B(2 − = − 1) 1 2B2 +B

Đ  phể ương trình (**) luôn có nghi m v i m i m thì ệ ớ ọ    0