giáo án toán học hệ thức vi ét và ứng dụng của hệ thức vi ét

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm củ

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.

Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông

Nội dung chính của chuyên đề gồm :

Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) (*)

Có hai nghiệm 1

2

b x

các hệ số a,b,c Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu một số

ứng dụng của định lí này trong giải toán

I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1 Dạng đặc biệt:

Xét phương trình (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm x 1 1 và nghiệm còn lại là 2 c

x a

x 

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 1 và 2

113

c) Cho phương trình : x2  7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai

nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2 qx50 0 , biết phương trình có 2nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

x x

2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = 0 có 2 nghiệm

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệmkia

3 Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0 Biết hiệu hai nghiệm bằng 1

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình

4 Tìm nghiệm của phương trình:

a) 5x2  24x 19  0 b) x2  (m5)xm40

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Ví dụ1:

Cho x 1 3; x 2 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Theo hệ thức Vi-et ta có 1 2

1 2

5 6

í dụ: Cho phương trình : x2 3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải

phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

Ta có 3 ; 1 1 21 23

1

1 2 1

2 1 2 1

2

x x y x

x y

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

2

9 2

3 3

2

9 2

3 3

2

1

2 1

9

2  y 

0 9

Không tính y1; y2 mà áp dụng Định lí Vi-et tính S y1 y2 ;Py1y2 sau đó lập

phương trình bậc hai có các nghiệm là y1; y2

Theo Định lí Vi-et ta có:

2

9 2

3 3 )

( 1 1 ) ( 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

x x x x x x x x x

x x x y y

S

2

9 2

1 1 1 2

1 1 1 )

1 ).(

1

(

2 1 2

1 2

1

1

x x x

x x

; 6

97 5

2 1

6 1

; 97 5

6 1

1 2 2 2

5

2 1 2

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ do đó

nên chọn Cách 2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

6

5 2 3 5 3

5 )

( 1 1 ) (

1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 2 1 2

x x x x x x x x x

x x x

1 1 1 2 1 1 1 )

1 ).(

1 (

2 1 2

1 1

2 2

x x

x x x

3 2 3 1

2 1

Giải: Điều kiện  = p2 - 4q  0 (*) ta có:

5xx

3 2 3 1

x

xx2 1

2 1

2 2 2 1

2 1

225

x x x x

x

5x4xx

x

2 1

2 1 2

1

2 1 2 1 2

2

25

2

x x x

25 p

2

2 4 q

Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

Bài tập ỏp dụng:

1/ Cho phương trỡnh 3x25x 6 0 cú 2 nghiệm phõn biệt x x1; 2 Khụng giải

phương trỡnh, Hóy lập phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm 1 1

cú ẩn y thoả món y1x14 và y2  x24 (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệmcủa phương trỡnh đó cho)

(Đỏp số : y2  727 y   1 0)3/ Cho phương trỡnh bậc hai: x2  2 x m  2  0 cú cỏc nghiệm x x1; 2 Hóy lậpphương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm y y1; 2 sao cho :

3 3

2 1

x x

x x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a , b là nghiệm của phương trình : x23x 4 0

giải phương trình trên ta được x 1 1 và x 2 4

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

*) Với a b   13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :

1 2

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1x2) và x x1 2

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm

V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a

 0 và   0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên

11

m  Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình : m1x2 2mx m  4 0 Chứngminh rằng biểu thức A  3  x x1 2  2 x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

2

11

1

m

x x

m m

Ví dụ 3: Cho Phương trình mx2 (2m3)x m  4 0 ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 không phụ thuộc vào m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệmsau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vàotham số

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy  (4m1)2 4.2(m 4) 16 m2 33 0 do đó phương trình

đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Khi m 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

m

x x

m m

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 2(m 4)x m  7 0 Tìm giá trị của tham số m để

phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 2 x2  0

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1x2 và x x1 2 nên ta

không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và x x1 2

rồi tìm m như ví dụ trên

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 là:

01615

m m

m

x x

m m

2 2' (2m 1) 4(m 2) 0

3x x  5 x x  7 0

Ví dụ 4: Cho phương trình x2  2(m 1)x2m 5 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

6 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là

độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5

x x nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-et để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứatổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã

trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

BT1: - ĐK:  m2 22m25 0 11 96m11 96

- Theo Vi-et: 1 2

1 2

1 (1)

m

x x

m m

Khi m = 1 thì ta có ∆’ = 0 tức là : x1x2 khi đó x14  x24 x13 x23 thỏa

Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: m 1hay  1m1 Khi m 1hay  1 m1 ta có

–x2 = 32 nên ta biến đổi:

x13 –x23 = (x1- x2)(x12 + x1x2 + x22) =4((x1+x2)2 – x1x2) = 4((m+1)2 – (m-5)) = 32

 m2 + m + 6 = 8 1

2

m m

Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m2 – 12 = 0, khi

và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2

VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2  bx c   0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Phương trình dã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có 2 nghiệm cùng

Bài 2 Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa

Suy ra: minA 8 2m 3 0 hay 3

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều

kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

0a

Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)

Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:

abc

3 2

Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0

  = (a3 - a)2 - 4a2  0  a2 [(a2 - 1)2 - 4]  0

 (a2 - 3) (a2 + 1)  0  a2 - 3  0  a2  3

 a  3 (a > 0)  min a = 3 tại b = c = 3

Vậy: amin = 3 tại b = c = 3

Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trongcác biến a, b, c

3 Dấu ‘=’ xảy ra khi m =1

3

4 Cho phương trình : x2 (m1)x m 2 m 2 0

Với giá trị nào của m, biểu thức C x12x22 dạt giá trị nhỏ nhất.

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều

kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1x2

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trình x2 (3m1)x2(m21) 0 (1) ,(m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 6: Cho phương trình x2(m 2)x 8 0 , với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Q = (x121)(x22  4) có giá trị lớn nhất

HD:  m 22 8 0 với mọi m Vậy pt có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Do x x  nên 1 2 8 2

1

8

x x

36 khi và chỉ khi m = 0 hay m = 4

Người viết:

Nguyễn Tiến Đức