Chuyên Đề Hệ Thức Vi- Ét Và Ứng Dụng Của Hệ Thức Vi- Ét

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm củ

Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số , thông qua đó học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.

Vậy nên nhóm toán chúng tôi xây dựng chuyên đề này ngoài mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức còn giúp các em làm quen với một số dạng toán có trong đề thi vào lớp 10 trung họcphổ thông

Nội dung chính của chuyên đề gồm :

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a,b,c

Đây chính là nội dung của Định lí Vi-et, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán

I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :

1 Dạng đặc biệt:

Xét phương trình (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*) a.12 + b.1 + c = 0 hay a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm x 1 1 và nghiệm còn lại là 2 c

x a



b) Nếu cho x =  1 thì ta có (*) a.( 1)2 + b( 1) + c = 0 hay a  b + c = 0

Như vậy phương trình có một nghiệm là x  và nghiệm còn lại là 1 1 x2 c

x 

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x 1 1 và 2

113

a) Phương trình x2 2px50 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình x2 5x q 0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2  7x q 0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của

x x

2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = 0 có 2 nghiệm

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình biết nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia

3 Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = 0 Biết hiệu hai nghiệm bằng 1

Tìm m và tìm 2 nghiệm của phương trình

4 Tìm nghiệm của phương trình:

a) 5x2  24x 19  0 b) x2  (m5)xm40

II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

 =    2

133

= 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 là : x2 - 3x +

2

1 = 0 hay 2x2 - 2 3x + 1 = 0

Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của chúng là x 1 ; x 2 thỏa mãn :

í dụ: Cho phương trình : x2  3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải phương trình trên,

hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

2 1 2 1

2

x x y x

x y

+ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1; y2 (dạng 2.1)

9 2

3 3

2

9 2

3 3

2

1

2 1

3 3 )

( 1 1 ) ( 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

x x x x x x x x x

x x x y y

S

2

9 2

1 1 1 2

1 1 1 )

1 ).(

1

(

2 1 2

1 2

1

1

x x x

x x

; 6

97 5

2 1

6 1

; 97 5

6 1

1 2 2 2

5

2 1 2

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ do đó nên chọn Cách

2 để việc tính toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

6

5 2 3 5

3

5 )

( 1 1 ) ( 1 1

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 2 1 2

x x x x x x x x x

x x x

1 1 1 2 1 1 1 )

1 ).(

1 (

2 1 2

1 1

2 2

x x

x x x

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x + px + q = 0 sao cho hai nghiệm x1; x2 của phơng trình

5xx3 2 3 1

2 1

Giải: Điều kiện  = p2 - 4q  0 (*) ta có:

5xx3 2 3 1

x

xx2 1

2 1

2 2 2 1

2 1

2 25

x x x x

x

5x4xx

x

2 1

2 1 2

1

2 1 2 1 2

225

2

x x x

25 p

2

2 4 q

Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

Bài tập ỏp dụng:

1/ Cho phương trỡnh 3x2 5x 6 0 cú 2 nghiệm phõn biệt x x1; 2 Khụng giải phương trỡnh, Hóy lập

phương trỡnh bậc hai cú cỏc nghiệm 1 1

4

1 1

y x và y2  x24 (cú nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của cỏc nghiệm của phương trỡnh đó cho)

(Đỏp số : y2  727 y   1 0)3/ Cho phương trỡnh bậc hai: x2  2 x m  2  0 cú cỏc nghiệm x x1; 2 Hóy lập phương trỡnh bậc hai

cú cỏc nghiệm y y1; 2 sao cho :

3 3

2 1

x x

x x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trỡnh tỡm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được.

III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

2

0

x  Sx P  (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

Ví dụ1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4

Vì a + b =  3 và ab =  4 nên a , b là nghiệm của phương trình : x23x 4 0

giải phương trình trên ta được x 1 1 và x 2 4

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

* Lưu ý: Với trường hợp này ta cũng có thể nhận xét ngay

0 15 24 9 6 4 3

*) Với a b   13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 2 1

*) Nếu a b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 2 1

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5

IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1x2) và x x1 2

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 8x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

Nhận xét: Với dạng bài này ta không cần giải phương trình để tìm các nghiệm

V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a  0 và   0)

- Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các

m  Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình : m1x2 2mx m  4 0 Chứng minh rằng biểu thức

A  x x   x x  không phụ thuộc giá trị của m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 thì :

2

11

1

m

x x

m m

Ví dụ 3: Cho Phương trình mx2 (2m3)x m  4 0 ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 không phụ thuộc vào m

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhấtcác vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số

2 Cho phương trình : x2  4 m  1  x  2  m  4   0 có 2 nghiệm x x1; 2

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Dễ thấy  (4m1)2 4.2(m 4) 16 m233 0 do đó phương trình đã cho luôn có 2

nghiệm phân biệt x1 và x2

Theo hệ thức Vi- et ta có

Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x x1; 2 không phụ thuộc vào m.

Hướng dẫn: Khi m 1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

Bàigiải:Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 là

m

x x

m m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2  x x1. 2

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 2(m 4)x m  7 0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình cóhai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 2 x2  0

Nhận xét:

Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1x2 và x x1 2 nên ta không thể áp dụng

ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và x x1 2 rồi tìm m như ví

dụ trên

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 là:

01615

m m

m

x x

m m

Ví dụ 4: Cho phương trình x2 2(m 1)x2m 5 0

a)Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

(x12 2mx12m1)(x22 2mx2 2m1) 0

Giải:

a) ' = m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0, m  pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:

6 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là độ dài

hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạng huyền bằng 5

+ Trong ví dụ thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm x1 x2 và tích nghiệm x x1 2 nên ta có thể

vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-et để tìm tham số m.

+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x x1 2rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.

BT1: - ĐK:  m2 22m25 0 11 96m11 96

- Theo Vi-et: 1 2

1 2

1 (1)

x x

m m

Khi m = 1 thì ta có ∆’ = 0 tức là : x1x2 khi đó x14 x24 x13 x32 thỏa

Điều kiện cần để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt là: m 1hay  1m1

Cho phương trình: ax2  bx c   0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:

trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x +6m +1 =0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm lớn hơn 2

GiảiĐặt x = t+2 ( t>0) Khi đó phương trình đã cho trở thành: t2 – 2mt +2m- 3=0 (*)

Phương trình dã cho có 2 nghiệm lớn hơn 2 khi phương trình (*) có 2 nghiệm cùng dương

3. m  1  x2  2 x m   0 có ít nhất một nghiệm không âm.

4 x2- (2m-3)x +m2 -3m = 0 có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa mãn 1<x1x2 6

Bài 2 Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm đó

c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa mãn −1<x1<x2<1

d) Trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 , hãy lập một hệ thức

giũa x1 và x2 không có m

VIII TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

A m C

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B

để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

B B

0a

Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min)

Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:

abc

3 2

Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0

  = (a3 - a)2 - 4a2  0  a2 [(a2 - 1)2 - 4]  0

 (a2 - 3) (a2 + 1)  0  a2 - 3  0  a2  3

 a  3 (a > 0)  min a = 3 tại b = c = 3

Vậy: amin = 3 tại b = c = 3

Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c

3 Dấu ‘=’ xảy ra khi m =1

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B

để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì   0

B B

B B

a) Giải phương trình (1) khi m = 1

b) Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1x2

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Cho phương trình x2 (3m1)x2(m2 1) 0 (1) ,(m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 2

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

1 2

A x x

Bài 5: Cho phương trình x2  2(m 1)x 3 m0 Tìm m để hai nghiệm x x1; 2

thỏa mãn x12 x22 10

Bài 6: Cho phương trình x2(m 2)x 8 0 , với m là tham số

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Do x x  nên 1 2 8 2

1

8

x x

m = 0 hay m = 4