Các dạng toán và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Hầu hết các bài toán có dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinhphải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập trìnhhoặc hệ phươn

Hầu hết các bài toán có dữ kiện ràng buộc nhau, ẩn ý dưới dạng lời văn, buộc học sinhphải có suy luận tốt mới tìm được sự liên quan giữa các đại lượng dẫn đến việc lập trìnhhoặc hệ phương trình mà thực chất các vấn đề khoa học giải toán là giải phương trình.

2 Lý do về mặt thực tiễn:

Trong phân phối chương trình toán ở trường trung học cơ sở thì tới lớp 8 học sinhmới được học về khái niệm phương trình và các phép biến đổi phương trình Nhưng việcgiải phương trình đã có trong chương trình toán cấp 1 với mức độ và yêu cầu tùy theotừng đối tượng học sinh

Một đặc thù riêng của loại toán này là các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế.Chính vì vậy mà việc chọn ẩn thường là những số liệu liên quan đến thực tế Do đó khigiải toán học sinh thường mắc sai lầm thoát ly thực tế, dẫn đến quên điều kiện hoặc điềukiện sai, thiếu; học sinh không khai thác hết được những mối liên hệ ràng buộc của thực

tế Từ những lý do đó mà học sinh rất sợ và ngại làm loại toán này Mặt khác cũng có thểtrong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ của giáo viên mới chỉ dạy cho học sinh ởmức độ truyền thụ tinh thần của sách giáo khoa khi chưa biết phân loại toán, chưa kháiquát được cách giải cho mỗi dạng Kỹ năng phân tích, tổng hợp của học sinh còn yếutrong quá trình đặt ẩn số, mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán dẫn đến lúng túngtrong giải toán loại này

Chính vì vậy muốn giải toán bằng cách lập phương trình thì điều quan trọng làphải biết cách diễn đạt những mối liên hệ cho trong bài thành những mối quan hệ toánhọc

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình học sinhcòn lúng túng, không biết bắt đầu làm từ bước nào nên sẽ dẫn đến làm nhầm

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Các dạng toán về giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

IV ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Học sinh lớp 9 Trường THCS Trần Hưng Đạo

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:

– Phương pháp nghiên cứu lý luận

– Phương pháp khảo sát thực tiễn

– Phương pháp phân tích

– Phương pháp tổng hợp

– Phương pháp khái quát hóa

– Phương pháp quan sát

– Phương pháp kiểm tra

– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

VI NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Kinh nghiệm “Các dạng toán và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình – áp dụng tại trường THCS Trần Hưng Đạo ” đã được

vận dụng trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 9 ở trường THCS Trần Hưng Đạo vàbước đầu đã giúp cho học sinh hứng thú hơn trong việc học Toán

Việc vận dụng đề tài áp dụng vào giảng dạy môn Toán, đặc biệt là đối với học sinhlớp 8, lớp 9 sẽ giúp cho học sinh dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán bằng cách lậpphương trình và hệ phương trình qua đó kích thích lòng say mê tìm hiểu môn Toán, yêuthích môn Toán cũng như các môn khoa học khác

PHẦN II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

Việc giải các bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình đối với họcsinh THCS là một việc làm mới mẻ Đề bài cho không phải là những phương trình, hệphương trình có sẵn mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lượng, học sinhphải chuyển đổi được mối quan hệ giữa các đại lượng được mô tả bằng lời văn sang mốiquan hệ toán học Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều gắn bó với cáchoạt động thực tế của con người, xã hội hoặc tự nhiên,… Do đó trong quá trình giải họcsinh thường quên, không quan tâm đến yếu tố thực tiễn dẫn đến đáp số vô lý Một đặc thù

riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều được gắn liền với nội dung thực tế.Chính vì vậy mà việc chọn ẩn số thường là những số liệu có liên quan đến thực tế Do đókhi giải toán học sinh thường mắc sai lầm và thoát ly thực tế

II CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cầnphải tạo ra cho các em có niềm yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và

tự mình tìm ra câu trả lời Khi gặp các bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng,tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập Để giúp học sinh bớt khó khăn và cảm

thấy dễ dàng hơn trong việc “Các dạng toán và phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình” lớp 8, lớp 9 tôi thấy cần phải hướng dẫn học sinh

cách lập phương trình, hệ phương trình rồi giải phương trình, hệ phương trình một cách

kỹ càng, yêu cầu học sinh có kỹ năng thực hành giải toán phần này cẩn thận

CHƯƠNG II: CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

I NỘI DUNG CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ GỒM:

3.2 Dạng toán năng suất

3.3 Dạng toán công việc

3.4 Dạng toán hình học

3.5 Dạng toán vật lý, hóa học

3.6 Dạng toán về quan hệ giữa các số

II NỘI DUNG CỤ THỂ

1 Phương pháp chung

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình) gồm các công việc sau

- Chọn ẩn số ( ghi rõ đơn vị ) và đặt điều kiện cho ẩn;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình)

- Tùy từng phương trình (hệ phương trình) mà chọn cách giải cho ngắn gọn và phùhợp

Bước 3: Trả lời (Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình ( nghiệm của hệ

phương trình), nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận)

Lưu ý: Trước khi thực hiện bước 1, học sinh cần phải đọc kỹ đề bài, nhận dạng bài toán

là dạng toán nào, sau đó tóm tắt đề bài rồi giải Bước 1 có tính chất quyết định nhất Thường đầu bài hỏi số liệu gì thì ta đặt cái đó là ẩn số Xác định đơn vị và điều kiện của

ẩn phải phù hợp với thực tế cuộc sống.

2 Phân tích, tìm hiểu những yêu cầu khi giải bài toán bằng cách lập phương trình

và hệ phương trình

Tuy đã có quy tắc trên nhưng người giáo viên trong quá trình hướng dẫn cần đảm bảo cho học sinh thực hiện theo các yêu cầu sau :

Yêu cầu 1 : Lời giải không phạm sai lầm và không có sai sót mặc dù nhỏ.

Để học sinh không mắc phải sai lầm này người giáo viên phải hướng dẫn học sinhtìm hiểu đề toán Do đó trước khi giải giáo viên phải yêu cầu học sinh đọc thật kỹ đề bài,đọc lại đề bài nhiều lần, từng câu, từng chữ trong đề bài để nắm được đề bài đã cho những

gì, yêu cầu tìm những gì Từ đó giúp học sinh hiểu kỹ đề toán và trong quá trình giảikhông có sai sót nhỏ hoặc không phạm sai lầm Việc hiểu kỹ nội dung đề bài là tiền đềquan trọng trong việc giải bài tập toán Nó giúp học sinh rất nhiều trong việc chọn ẩn, đặtđiều kiện của ẩn, suy luận, lập luận logic, kỹ năng tính toán, …

Giáo viên phải rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn và đối chiều vớiđiều kiện của ẩn cho thích hợp để tránh việc sai sót khi kết luận bài toán

Ví dụ 1 : Bài tập 37 SBT Toán 9 tập 2 - trang 09

Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn

số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 99 Tìm số đã cho

Phân tích :

Học sinh cần phải nắm được cấu tạo số trong hệ thập phân:

+ số có hai chữ số ab thì được biểu diễn là 10a b

Ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số cần tìm Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số

có hai chữ số Điều đó chứng tỏ rằng hai chữ số ấy đều phải khác 0

Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số mới là : yx 10 y x 

Theo các điều kiện của đề bài ta có hệ phương trình :

Sau khi tìm ra 1

8

x y

Yêu cầu 2 : Lời giải phải có căn cứ chính xác.

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, giáo viên cần lưu ý học sinh lập luậnphải có căn cứ và phải chính xác, khoa học Vì mỗi câu lập luận trong bài giải đều liênquan đến ẩn số và các dữ kiện đã cho trong đề toán Do đó giáo viên cần phải giúp họcsinh hiểu được đâu là ẩn số, đâu là các dữ kiện đã cho trong bài toán, để từ đó dựa vàonhững yếu tố và các mối liên quan giữa các đại lượng đã cho và ẩn số để lập luận và lậpnên phương trình Vì thế, trước khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng cách lậpphương trình, giáo viên nên hướng dẫn học sinh luyện tập các phương pháp biểu diễn sựtương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức chứa ẩn, trong đó ẩn số đại diện cho mộtđại lượng nào đó chưa biết Học sinh có thể sử dụng cách lập bảng (có thể viết ngoài giấynháp) để biểu diễn các đại lượng chưa biết bởi những biểu thức của ẩn cùng với các quan

hệ của chúng

Ví dụ 2 : Bài toán SGK toán 9 tập 2 - trang 22

Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu ?

Phân tích :

Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được xem là xong 1 công việc), ta suy ra trong một ngày cả hai đội làm chung 1

24 công việc Tương

tự, số phần công việc mà mỗi đội làm trong một ngày và số ngày cần thiết để đội đó hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Khi đó nếu gọi :

+ x là số ngày để đội A làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ y là số ngày để đội B làm một một mình hoàn thành toàn bộ công việc

+ x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A

+ y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B

Ta có bảng sau :

Công việc Năng suất Thời gian

Qua đó ta thấy rằng khi chọn ẩn là “thời gian” thì hệ phương trình phức tạp hơn

so với khi chọn ẩn là “năng suất làm việc” Do đó khi giải cần chú ý đến việc chọn ẩn.

Yêu cầu 3 : Lời giải phải đầy đủ và mang tính toàn diện.

Giáo viên khi giảng dạy cho học sinh giải loại toán này cần phải chú ý đến tínhtoàn diện của bài giải Nghĩa là lời giải của bài toán phải đầy đủ, chính xác, không thừacũng không thiếu Phải làm sao sử dụng hết tất cả các dữ kiện của đề bài, không bỏ sótmột dữ kiện, một chi tiết nào dù là nhỏ, khi đã sử dụng hết tất cả các dữ kiện của bài toán,lập được phương trình, giải tìm được kết quả thì cuối cùng các em phải chú ý đối chiếukết quả với điều kiện của ẩn hoặc có thể thử lại kết quả để trả lời, kết luận bài toán chochính xác Có như vậy mới thể hiện được tính đầy đủ và toàn diện nhất

Ví dụ 3: Bài tập 30 SGK Toán 9 tập 2- trang 22

Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ôtô tại A.

Hướng dẫn giải :

Gọi độ dài của quãng đường AB là x (km)

thời gian dự định đi từ A đến B là y (giờ)

Ta có bảng sau :

Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (giờ)

x

y x

Lưu ý học sinh : Thời điểm xuất phát của ôtô là : 12 – 8 = 4 giờ sáng

Yêu cầu 4: Lời giải bài toán càng đơn giản càng tốt

Bài giải phải đảm bảo được 3 yêu cầu trên không sai sót, có lập luận, mang tínhtoàn diện và phù hợp kiến thức, trình độ của học sinh, đại đa số học sinh hiểu và làm được

Ví dụ: Bài toán cổ SGK toán 8 tập 2 - trang 24

Gọi số chân gà là x (x Z,0 x 100

   ) và số chân chó là y (y Z ,0 y100)Theo đề ra ta có hệ phương trình :

10036

Yêu cầu 5 : Lời giải phải trình bày khoa học

Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình chúng ta cần lậpluận dựa vào các dữ kiện của đề bài Tuy nhiên khi lập luận trình bày lời giải cần phải cóthứ tự, vấn đề nào cần lập luận trước, vấn đề nào cần lập luận sau Giữa các bước lập luậnbiểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng phải logic, chặt chẽ với nhau, bước sau là sự

kế thừa của bước trước, bước trước nêu ra nhằm chủ ý cho bước sau tiếp nối Không nêndiễn giải lung tung, không có trình tự, dài dòng giữa các bước

Trên đây là 5 yêu cầu quan trọng khi thực hiện giải bài toán bằng cách lập phươngtrình và hệ phương trình mà giáo viên cần lưu ý cho học sinh Ngoài việc nhắc nhở họcsinh nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình, nắmvững các yêu cầu đặt ra trong việc giải toán, học sinh là đối tượng để giải tốt các bài tập,nhưng việc quan trọng nhất trong thành công dạy học vẫn là do người giáo viên Để họcsinh học được tốt, hiểu được bài, vận dụng được lý thuyết để giải bài tập thì trước hết giáoviên phải soạn bài thật tốt, chuẩn bị một hệ thống các câu hỏi phù hợp, một số bài tập trắcnghiệm, tự luận đơn giản phù hợp với từng đối tượng học sinh Phân tích thật rõ ràng và tỉ

mỉ các ví dụ trong sách giáo khoa ở các tiết dạy trên lớp hoặc phân tích thật kĩ các bài tậpmẫu cho học sinh qua các giờ học tự chọn để làm nền tảng cho học sinh giải các bài tậpkhác Mặt khác giáo viên có thể chia học sinh thành các nhóm nhỏ, mỗi nhóm có mộtnhóm trưởng tổ chức thảo luận các bài tập mẫu để các em học sinh yếu kém có thể hiểuđược bài một cách sâu hơn, giúp các em có thể giải được một số bài tập tương tự, làm chocác em không chán nản, không ngại khó khi giải bài tập giải bài toán bằng cách lậpphương trình Từ đó giúp các em có hứng thú giải những bài tập dạng khó hơn Do vậygiáo viên cần phải cho học sinh những bài tập tương tự để các em tự làm và cũng cần phảiphân loại rõ ràng cho học sinh từng dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình để

từ đó học sinh có thể chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn

3 Phân loại và hướng dẫn giải các dạng toán cụ thể về giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

3.1 Dạng bài toán về chuyển động

- Phương pháp giải

Toán chuyển động gồm 3 đại lượng: Quãng đường, vận tốc, thời gian.

S = v.t quãng đường = vận tốc ´ thời gian

t = S

v thời gian = quãng đường : vận tốc

v = S

t vận tốc = quãng đường : thời gian

Đi nhanh hơn thì vận tốc lớn hơn;

Đi chậm hơn thì vận tốc nhỏ hơn;

Đến sớm hơn (đến trước) thì thời gian ít hơn;

Đến muộn hơn ( đến chậm, đến sau) thì thời gian nhiều hơn.

Thường chọn vận tốc làm ẩn và phương trình là phương trình thời gian.

- Một số dạng bài tập thường gặp và ví dụ minh họa

+ Dạng “Khởi hành cùng lúc, cùng nơi và đi cùng chiều” :

Ví dụ 1: Bài 47/Trang 59 (SGK)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc Vận tốc xe của Bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ Tính vận tốc xe của mỗi người.

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ

40 phút ở bến B rồi quay lại bến A Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ Hãytìm vận tốc của canô trong khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là 3 km/h

Ca nô đi khi nước đứng yên x

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài

120 km Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi là 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi

Bài tập đề nghị:

Bài 1 Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đã định Nếu vận tốc tăng thêm 20

km/h thì thời gian đi được sẽ giảm 1 giờ Nếu vận tốc giảm bớt 10 km/h thì thời

gian đi sẽ tăng thêm 1 giờ Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô

ĐS: 40 km/h; 3 giờ.

Bài 2 Hai địa điểm A và B cách nhau 85 km Cùng lúc, một canô đi xuôi dòng thừ A đến

B và một canô đi ngược dòng từ B đến A, sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau Tính vậntốc thật của mỗi canô, biết rằng vận tốc canô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc canô đi

ngược dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h (vận tốc thật của các canô

không đổi)

ĐS: 27 km/h; 24 km/h.

Bài 3 Quãng đường AB dài 200 km Cùng lúc một xe máy đi từ A đến B và một ô tô đi

từ B đến A Xe máy và ô tô gặp nhau tại điểm C cách A 120 km Nếu xe máy khởi