2 đạo hàm, vi phân và ứng dụng

Đạo hàmCác định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể xem trong giáo trình đã học ở cấp THPT... Công thức khai triển Taylor d

1.1 Đạo hàm

Các định nghĩa đạo hàm, bảng công thức đạo hàm của các hàm

sơ cấp cơ bản và cũng như đạo hàm hàm hợp có thể xem trong

giáo trình (đã học ở cấp THPT) Ở đây ta nhắc lại :

Đạo hàm của các hàm số lượng giác ngược

a) y = arcsin 3x b) y = arccosp1 − x2 c) y = arctan (cos 2x )

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 − x2)0q

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

a

1.2 Đạo hàm cấp cao

1

Lưu ý ta sử dụng công thức : sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

(5)=−2

1

C Đạo hàm y(10)= −29x cos 2x + 5 sin 2x

D Đạo hàm y(10)= −29x cos 2x − 5 sin 2x

1.3 Đạo hàm của hàm theo tham số

Định lý

Nếu hàm số y = f (x ) được cho dưới dạng tham số

y = y (t)thì yx0 = y

−3 cos2t sin t = − tan t.

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2.1 Vi phân

Ví dụ 2.1

Tìm vi phân của hàm số f (x ) = x2 bằng định nghĩa tại x0 = 3

Gọi ∆x là số gia của biến x tại x0 = 3 Ta có

∆f =f (3 + ∆x ) − f (3) = (3 + ∆x )2− 32 = 6∆x + α.∆x

với α = ∆x Chú ý rằng lim

∆x →0α = 0, do đó, α là một vô cùng bétrong quá trình ∆x → 0 Suy ra

Hàm số y = x2 khả vi tại x0 = 3

Vi phân của hàm số tại x0= 3 là df (3) = 6∆x

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2.1 Vi phân

Định lý cơ bản về vi phân

Cho hàm số y = f (x )có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f khả vi

tại x0 Hơn nữa khi f có vi phân tại x0 (tức là có đạo hàm tại x0)

2 = 2

1 2

 dx = 4dx −→ Chọn C

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

 π

√3π360sin 310 = f (x0+ ∆x ) ≈ f (x0) + df (x0) = 1

√3π

360.c) Đặt f (x ) = arcsin x , x0= 0, 5, ∆x = 0, 04, ⇒ f0(x ) = √1

3 Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)

Mục đích : Xấp xỉ một hàm số y = f (x ) cho trước bởi một đa

xnn! với n khá lớn.

Định lý (Công thức Taylor khai triển Taylor)

k + Rn(x ) với

Phần dư Lagrange : Rn(x ) = f

(n+1)(c)(n + 1)! (x − x0)

n+1, với c làmột số nằm giữa x và x0

Phần dư Peano : Rn(x ) = O

(x − x0)n



(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

3 Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)

3 Công thức khai triển Taylor (dành cho toán A1)

x →+∞(x + ex)x1

a) lim

x →0 +x4+ln x3 (00) = ex →0+lim

3 ln x 4+ln x (∞

x) = e3

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

 sin x cos2 x

g (x ) tồn tại hay không tồn tại.

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1x

Đạo hàm, Vi phân và Ứng dụng

"Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờ

làm việc Một giờ này làm lòng ta nhẹ và túi