chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng

tổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảotổng hợp tài liệu ôn tập môn toán ,tài liệu ôn tập môn toán đầy đủ chi tiết dành cho học sinh lớp 12 và giáo viên nghiên cứu học tập và tham khảo

1 Khái niệm nguyên hàm

 Cho hàm số Cho Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f Cho hàm số xác Cho hàm số định Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số Hàm Cho hàm số số Cho hàm số F Cho hàm số đgl Cho hàm số nguyên hàm Cho hàm số của Cho hàm số f Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số nếu:

'( ) ( )

F x f x , Cho hàm số x Cho hàm số  Cho hàm số K

 Cho hàm số Nếu Cho hàm số F(x) Cho hàm số là Cho hàm số một Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số của Cho hàm số f(x) Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số thì Cho hàm số họ nguyên hàm Cho hàm số của Cho hàm số f(x) trên Cho hàm số K Cho hàm số là:

f x dx F x C 

 , Cho hàm số C Cho hàm số  Cho hàm số R

 Cho hàm số Mọi Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f(x) Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số đều Cho hàm số có Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số trên Cho hàm số K

2 Tính chất

 Cho hàm số f x dx f x C'( )  ( )  Cho hàm số   f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

 Cho hàm số kf x dx k f x dx k( )   ( ) ( 0) Cho hàm số

3 Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 Cho hàm số 0dx C 

 Cho hàm số dx x C  

 Cho hàm số 1 , ( 1)

 Cho hàm số e dx e x  xC

 Cho hàm số (0 1)

 Cho hàm số cos xdxsinx C

 Cho hàm số sin xdx cosx C

 Cho hàm số 12 tancos x dx x C

4 Phương pháp tính nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến số

Nếu Cho hàm số f u du F u C( )  ( ) Cho hàm số Cho hàm số và Cho hàm số u u x ( ) Cho hàm số có Cho hàm số đạo Cho hàm số hàm Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số thì:

 ( ) '( )  ( )

f u x u x dx F u x C



b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Nếu Cho hàm số u, v Cho hàm số là Cho hàm số hai Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số có Cho hàm số đạo Cho hàm số hàm Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số thì:

udv uv  vdu

VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I NGUYÊN HÀM

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.

Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm.

– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 1. Tìm Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số của Cho hàm số các Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số f x( ) x2–3x 1

f x  h) Cho hàm số f x( ) tan 2x i) Cho hàm số f x( ) cos 2x

k) Cho hàm số ( ) 2 1 2

p) Cho hàm số f x( ) e3 1x

 Cho hàm số Cho hàm số

Bài 2. Tìm Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số F(x) Cho hàm số của Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f(x) Cho hàm số thoả Cho hàm số điều Cho hàm số kiện Cho hàm số cho Cho hàm số trước:

a) Cho hàm số f x( )x3 4x5; F(1) 3 b) Cho hàm số ( ) 3 5cos ;f x   x F( ) 2 c) Cho hàm số f x( ) 3 5x2; F e( ) 1

Bài 3. Cho Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số g(x) Tìm Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số F(x) Cho hàm số của Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f(x) Cho hàm số thoả Cho hàm số điều Cho hàm số kiện Cho hàm số cho Cho hàm số trước:

a) Cho hàm số ( ) cos 2; ( ) sin ; 3

2

g x x x x f x x x F 

 



b) Cho hàm số g x( )xsinx x f x 2; ( )xcos ;x F( ) 0 

c) Cho hàm số g x( )x x x f xln  2; ( ) ln ; x F(2)2

Bài 4. Chứng Cho hàm số minh Cho hàm số F(x) Cho hàm số là Cho hàm số một Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số của Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f(x):

a) Cho hàm số ( ) (4 5)

( ) (4 1)

x x

4( ) ln

32( )

x

F x

x x

2 1( ) ln

a) Cho hàm số ( ) 23 (3 2) 2 4 3 .

x x

VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f x dx( ) bằng phương pháp đổi biến số

 Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u x u x thì ta đặt  ( ) '( ) t u x ( ) dt u x dx '( ) .

Khi đó: f x dx( ) = ( )g t dt , trong đó ( )g t dt dễ dàng tìm được.

 Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau Cho hàm số (đổi biến số dạng 1):

a) Cho hàm số (5 x 1)dx b) Cho hàm số 5

(3 2 )

dx x

2 3

cos x dx x

 Cho hàm số m) Cho hàm số tan2

cos

xdx x

 o) Cho hàm số x e x21dx

x



q) Cho hàm số ln xdx3

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau Cho hàm số (đổi biến số dạng 2):

a) Cho hàm số 2 3



g) Cho hàm số

2

21

 i) Cho hàm số x x3 21.dx

VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số sinx xdx b) Cho hàm số xcosxdx c) Cho hàm số (x25)sinxdx

d) Cho hàm số (x22x3)cosxdx e) Cho hàm số xsin2xdx f) Cho hàm số xcos2xdx

g) Cho hàm số x e dx x h) Cho hàm số x e dx 3 x2 i) Cho hàm số ln xdx

k) Cho hàm số x xdxln l) Cho hàm số ln xdx2 m) Cho hàm số ln(x21)dx

n) Cho hàm số xtan2xdx o) Cho hàm số x2cos2xdx p) Cho hàm số x2cos2xdx

q) Cho hàm số xln(1x dx2) r) Cho hàm số 2x x dx s) Cho hàm số x xdxlg

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số e dx x b) Cho hàm số ln xdx

 h) Cho hàm số sin(ln ) x dx i) Cho hàm số cos(ln ) x dx

Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số e x.cosxdx b) Cho hàm số e x(1 tan xtan )2x dx c) Cho hàm số e x.sin 2xdx

d) Cho hàm số ln(cos )2

VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Bước 1: Tìm hàm g(x).

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

1 2

F x  A x B x C là nguyên hàm của f(x).

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số sin

e e



k) Cho hàm số x e x x dx

VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

– Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức.

– Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

 f(x) là hàm lượng giác

Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản Chẳng hạn:

+ Nếu ( sin ,cos ) R  x x R(sin ,cos )x x thì đặt t = cosx

+ Nếu (sin , cos ) R x  x R(sin ,cos )x x thì đặt t = sinx

+ Nếu ( sin , cos ) R  x  x R(sin ,cos )x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx)

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số x x (dx1) b) Cho hàm số (x 1)(2dx x 3)

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 1

Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số sin 2 sin 5 x xdx b) Cho hàm số cos sin3 x xdx c) Cho hàm số (tan2xtan )4x dx

d) Cho hàm số cos2

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

1 Khái niệm tích phân

 Cho hàm số Cho Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số f Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số và Cho hàm số a, b Cho hàm số  Cho hàm số K Cho hàm số Nếu Cho hàm số F Cho hàm số là Cho hàm số một Cho hàm số nguyên Cho hàm số hàm Cho hàm số của Cho hàm số f Cho hàm số trên Cho hàm số K Cho hàm số thì:

F(b) – F(a) Cho hàm số đgl Cho hàm số tích phân của f từ a đến b Cho hàm số và Cho hàm số kí Cho hàm số hiệu Cho hàm số là Cho hàm số b ( )

 Cho hàm số Ý nghĩa hình học: Cho hàm số Nếu Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số y = f(x) Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số và Cho hàm số không Cho hàm số âm Cho hàm số trên Cho hàm số đoạn Cho hàm số [a; Cho hàm số b] Cho hàm số thì

diện Cho hàm số tích Cho hàm số S Cho hàm số của Cho hàm số hình Cho hàm số thang Cho hàm số cong Cho hàm số giới Cho hàm số hạn Cho hàm số bởi Cho hàm số đồ Cho hàm số thị Cho hàm số của Cho hàm số y = f(x), Cho hàm số trục Cho hàm số Ox Cho hàm số và Cho hàm số hai Cho hàm số đường thẳng Cho hàm số x = a, x = b Cho hàm số là: Cho hàm số b ( )

a

Sf x dx Cho hàm số

2 Tính chất của tích phân

 Cho hàm số

  Cho hàm số (k: const)

 Cho hàm số b ( ) ( ) b ( ) b ( )

3 Phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

b) Phương pháp tích phân từng phần

Nếu Cho hàm số u, v Cho hàm số là Cho hàm số hai Cho hàm số hàm Cho hàm số số Cho hàm số có Cho hàm số đạo Cho hàm số hàm Cho hàm số liên Cho hàm số tục Cho hàm số trên Cho hàm số K, Cho hàm số a, b  K Cho hàm số thì:

Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b a

vdu

 dễ tính

II TÍCH PHÂN

hơn

b a

udv

VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm

Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:

( ) ( ) ( )

b a

f x dx F b F a 



Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:

– Nắm vững bảng các nguyên hàm.

– Nắm vững phép tính vi phân.

Bài 6. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số   

1

dx x x

d) Cho hàm số

2

dx x

k) Cho hàm số 2 2 3

14

Bài 7. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 2

0 3 3

31

x



 f) Cho hàm số 04x x29dx

Bài 8. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  



0

) 6 2

sin( x dx b) Cho hàm số 2

tan

cos

x dx x

k) Cho hàm số 3 2

Bài 9. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 1

VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:

Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau Cho hàm số (đổi biến số dạng 1):

a) Cho hàm số  

1

0

19

) 1

1 0

3 2

3

) 1

x

c)

2

dx x

x x

i) Cho hàm số ln2

0 1

x x

e dx e

ln2

m) Cho hàm số  

e

dx x

x x

1

lnln31

n) Cho hàm số 



2

0 cos2 4sin2

2sin



dx x x

x o) Cho hàm số  

sin.cos



dx x

2sin



dx x x

x

Bài 4. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau Cho hàm số (đổi biến số dạng 2):

a) Cho hàm số 

c) Cho hàm số  

2

1

2

x Cho hàm số

d) Cho hàm số 

2

4 x 1

x xdx

g) Cho hàm số

x x x dx



VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:

( )

b

x a

Bài 4. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 4

0

2sin

(



xdx x

x c) Cho hàm số 

g) Cho hàm số xe x dx



xdx

e x m) Cho hàm số 

e xdx









VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  

Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  



2

0

2 cos

1 x dx b) Cho hàm số

VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 

d) Cho hàm số

1 x

dx x

f) Cho hàm số  

4

1

2(1 x)

x dx

g) Cho hàm số  

x x

dx x

i) Cho hàm số 1 30

11

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 

2

1

2 3

dx x

4

9 4

x

x x x

d) Cho hàm số

1

0

1(x2) (x3) dx

0

11

01 x dx x

1

1 x dx x

2

1 x dx x







VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  

d) Cho hàm số   

g) Cho hàm số

k) Cho hàm số  

dx

x x 



Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số

11

k) Cho hàm số



2 2 2

2

0 1

x dx x

Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 2

0

cos

7 cos2

xdx x

cos

2 cos

xdx x

cos

1 cos

xdx x

tancos 1 cos

Bài 4. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số

e dx

e 

g) Cho hàm số

VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác

Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 

4

0

cos.2

d) Cho hàm số 



dx x

x x

n) Cho hàm số 4 3

q) Cho hàm số 2 3

2 0

Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  

x b) Cho hàm số   

2

6

cossin

2cos2

sin1





dx x x

x x

c) Cho hàm số dx

x x





Cho hàm số

d) Cho hàm số 2 4 4



dx x e

x x f) Cho hàm số    x x dx



Cho hàm số

g) Cho hàm số 3





Bài 3. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 2

Bài 4. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số  

2

0

cos)12

cos



dx x x

d) Cho hàm số 2 3

n) Cho hàm số 2 2

cos



x dx

VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit

Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 

0 e x 5

dx

c) Cho hàm số 1 0

14

0 1

1

dx e

e

x x

g) Cho hàm số

e 



Bài 2. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 

2 dx

xe x

c) Cho hàm số   1 0



xdx x



g) Cho hàm số

x dx x

VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt

Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ

 Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì a ( ) 0

Bước 2: Tính tích phân

0( )

a



 bằng phương pháp đổi biến Đặt t = – x.

– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K  I = J + K = 0

– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K  I = J + K = 2K

Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:

Để tính J ta cũng đặt: t = –x.

Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;

Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ

Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Tìm hàm g(x).

Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:

1 2

F x  A x B x C là nguyên hàm của f(x).

Bài 1. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau Cho hàm số (dạng 1):

a) Cho hàm số

4

4 4

1cos

1cos ln

sin1

a) Cho hàm số 1 4

2

2 1

Bài 4. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau Cho hàm số (dạng 4):

a) Cho hàm số 2

Bài 5. Tính Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau Cho hàm số (dạng 5):

a) Cho hàm số 2

VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi

Giả sử cần tính tích phân n b ( , )

a

I f x n dx (n  N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường gặp một số yêu cầu sau:

 Thiết lập một công thức truy hồi, tức là biểu diễn I n theo các I n-k (1  k  n).

 Chứng minh một công thức truy hồi cho trước.

 Tính một giá trị I cụ thể nào đó n0

Bài 1. Lập Cho hàm số công Cho hàm số thức Cho hàm số truy Cho hàm số hồi Cho hàm số cho Cho hàm số các Cho hàm số tích Cho hàm số phân Cho hàm số sau:

a) Cho hàm số 2

0

sin

n n

h) Cho hàm số 1 2

0

n n