3 chuỗi số và chuỗi hàm

Sự hội tụ, phân kỳ của một chuỗi số... Định nghĩa chuỗi sốVí dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số 1... Tính chất của chuỗi sốVí dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số... Tiêu chuẩn

"Đừng xấu hổ khi không biết, chỉ xấu hổ khi

không học."

Khuyết danh

1 1 Chuỗi số

2 2 CSD

3 3 CS ĐD

4 4 Chuỗi hàm

1 Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số

tổng n-riêng phần của chuỗi đã cho

Sự hội tụ, phân kỳ của một chuỗi số

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

n=1

qn.Giải

1 Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số

 Nếu |q| < 1 :ta có lim

n→+∞qn= 0, từ đólim

1 Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số

n=1n(n + 1)Giải.

Tách số hạng tổng quát un của chuỗi bởi

Sn= 1

12



13

+ + 1

1 Chuỗi số −→ 1.1 Định nghĩa chuỗi số

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

(1)

Tính chất 1.

n→+∞un= 0

b) lim

n→+∞un khác 0 hoặc không tồn tại =⇒ Chuỗi phân kỳ

Chú ý Chiều ngược lại của tính chất a) không đúng, tức lànếu

lim

n→+∞un= 0thì ta không có kết luận chuỗi hội tụ hay phân kỳ

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi

∞

X

n=1

n3n − 2.

1 Chuỗi số −→ 1.2 Tính chất của chuỗi số

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi

∞

X

n=1

n tan 1n

.Giải Ta có

nên chuỗi đã cho phân kỳ

Ví dụ Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

13

n→+∞un không tồn tại Chuỗi đã cho phân kỳ

1 Chuỗi số −→ 1.2 Tính chất của chuỗi số

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

Định nghĩa (chuỗi số dương).

Từ định nghĩa chuỗi số dương, chứng minh tính chất sau

Tính chất của chuỗi số dương

2 Chuỗi số dương −→ 2.2 Tiêu chuẩn tích phân

Tiêu chuẩn tích phân

Cho hàm sốliên tục, không âm y = f (x ) vànghịch biến trên

có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ

Ví dụ Chứng minh rằng chuỗi số dương

Hãy dùng tính chất của chuỗi số dương chứng minh tiêu chuẩn sau.

L = 0 : (2) hội tụ =⇒ (1) hội tụ

L = +∞ :(1) hội tụ =⇒ (2) hội tụ

0 < L < +∞ :(1) và (2) có cùng tính chất hội tụ, phân kỳ

2 Chuỗi số dương −→ 2.3 Tiêu chuẩn so sánh

Ví dụ : Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

∞

X

n=1

n + 12n2+ 3Giải Chuỗi

∞

X

n=1

n + 12n2+ 3 (1) có SHTQ là un=

n + 12n2+ 3 Xét chuỗi



1 n

n→+∞

n(n + 1)2n2+ 3 =

12nên hai chuỗi (1) và (2) cùng tính chất hội tụ, phân kỳ theo tiêu

chuẩn so sánh Mà chuỗi (2) là chuỗi phân kỳ nên chuỗi (1) cũng

phân kỳ

Ví dụ xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau

, (2)

2 Chuỗi số dương −→ 2.4 Tiêu chuẩn D’Alembert

un Tiêu chuẩn sau đây cho biết

sự hội tụ, phân kỳ của CSD này thông qua giá trị của L

Tiêu chuẩn D’Alembert

Ví dụ Xét sự hội tụ phân kỳ của chuỗi số

2 Chuỗi số dương −→ 2.4 Tiêu chuẩn D’Alembert

Ví dụ xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau

Hướng dẫn (1) : L = 0 < 1 nên chuỗi hội tụ

(2) : L = e > 1 nên chuỗi phân kỳ

un Tiêu chuẩn Cauchy xác định

sự hội tụ, phân kỳ của CSD này thông qua giá trị của L

Tiêu chuẩn Cauchy

L < 1 =⇒ chuỗi hội tụ

L > 1 =⇒ chuỗi phân kỳ

L = 1 =⇒ không có kết luận Nếu có n0 nào đó mà√n

un ≥ 1với n ≥ n0 thì chuỗi phân kỳ

2 Chuỗi số dương −→ 2.5 Tiêu chuẩn Cauchy

Ví dụ Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số

n 2

Giải Ta có un= 2n



1 −1n

n 2, nên

n

e < 1suy ra chuỗi đã cho hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy

Ví dụ xét sự hội tụ, phân kỳ của các chuỗi số sau

∞

X

n=1

 3n + 12n + 5

 (2n + 1)π2

làcác chuỗi đan dấu

Chú ý sin (2n + 1)π

2



= (−1)n

3 Chuỗi đan dâu −→ 3.2 Tiêu chuẩn Leibniz

Tiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấu

Nếu dãy số un giảm và lim

Ví dụ Xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số sau

Lưu ý Chuỗi này không phải là chuỗi số dương, nên chúng ta

không thể áp dụng được Tiêu chuẩn So sánh, Tiêu chuẩn

D’Alembert và Tiêu chuẩn Cauchy

Câu hỏi Vậy chúng ta có những công cụ nào có thể dùng để xét

sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số này ?

Trả lời Có thể dùngTiêu chuẩn Leibniz cho chuỗi đan dấuhoặc

Tính chất chung của chuỗi số Hãy giải bài toán trên

Định nghĩa chuỗi hàm

Cho một dãy các hàm số {un(x )} (theo biến x ) cùng xác định trên

miền D Khi đó tổng vô hạn

∞

P

n=1

un(x ) = u1(x ) + u2(x ) + + un(x ) + được gọi là một chuỗi hàm (số)

Chú ý Ứng với một giá trị cụ thể của x thì chuỗi hàm trở thành

một chuỗi số Chẳng hạn, ứng với x = 1/2 chuỗi hàm

n

(là một chuỗi số hội tụ)

4 Chuỗi hàm (số) −→ 4.1 Định nghĩa

Miền hội tụ của chuỗi hàm

Tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho chuỗi số

∞

X

n=1

un(x ) hội tụđược gọi là miền hội tụ của nó

Ví dụ Tìm miền hội tụ của các chuỗi số sau :

Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

Giá trị R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa

là một chuỗi luỹ thừa với an= 1, n = 1, 2, Hơn nữa, chuỗi luỹ

thừa này có bán kính hội tụ là R = 1 vì chuỗi hàm này hội tụ

trên (−1, 1) và phân kỳ trên (−∞, −1) ∪ (1, +∞)

an

n→+∞

np|an| = Lthì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là R = 1

Giải • Chuỗi (*) là chuỗi luỹ thừa với an= (−1)n n

an+1

an

n→+∞

(n + 1)3(n + 1) − 2 :

n3n − 2

chưa khẳng định được hội tụ hay phân kỳ tại x = 1 hoặc x = −1

n→+∞ và n lẻ

13

n→+∞(−1)n n

3n − 2 không tồn tại Suy ra (2) phân kỳ.

• Vậy miền hội tụ của chuỗi (*) là D = (−1; 1)

n=1

(−1)n (x − 3)(2n + 1)3n (∗)

Giải • Đặt X = (x − 3)2 ≥ 0 với mọi x ∈ R Khi đó chuỗi (*) trở

an+1

an

4 Chuỗi hàm (số) −→ 4.3 Tìm MHT của CLT

Do đó, bán kính hội tụ của chuỗi (**) là R = 1

L = 3 Suy ra chuỗi(**) hội tụ với X ∈ [0; 3), phân kỳ với X ∈ (3; +∞) và chưa

khẳng định được hội tụ hay phân kỳ tại X = 3

"Một ngày ngồi trách móc sao bằng một giờ

làm việc Một giờ này làm lòng ta nhẹ và túi

ta nặng."

Benjamin Franklin

HẾT.

& #34 ;Một ngày ngồi trách móc giờ

làm việc Một làm lòng ta nhẹ túi

ta nặng.& #34 ;

Benjamin Franklin

HẾT.... data-page="40">

4 Chuỗi hàm (số) −→ 4 .3 Tìm MHT CLT

Do đó, bán kính hội tụ chuỗi (**) R = 1

L = Suy chuỗi< /sup>(**) hội tụ với X ∈ [0; 3) , phân kỳ với X ∈ (3; +∞) chưa

khẳng... Lthì bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa R = 1

Giải • Chuỗi (*) chuỗi luỹ thừa với an=