4 nguyen ham, tich phan

Tính diện tích S của phần hình phẳng được giới hạn bởi y = x2,... Định nghĩa và các chú ýTrong định nghĩa tích phân xác định, Z được gọi là dấu tích phân a, b được gọi là cận tích phân C

"Hỏi một câu chỉ dốt chốc lát Nhưng không

hỏi sẽ dốt nát cả đời."

Ngạn ngữ phương Tây

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 Nguyên hàm −→ 1.1 Định nghĩa

Định nghĩa

Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (a; b) Khi đó hàm số

y = F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số y = f (x ) nếu

F (x ) có đạo hàm trên (a; b) và

F0(x ) = f (x ) với mọi x ∈ (a; b)

Ví dụ : Chứng minh rằng hàm số F (x ) = x sin(x ) + cos(x ) + 2016

là một nguyên hàm của hàm số f (x ) = x cos(x ) trên R

1 Nguyên hàm −→ 1.2 Tính chất

Note Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì mọi nguyên hàm

của f (x ) đều có dạng

F (x ) + C ,điều này có ý nghĩa là nếu chỉ cần tìm được một nguyên hàm của

f (x ) thì ta có thể tìm được mọi nguyên hàm của f (x )

Tính chất

Cho c là một hằng số, gọi F (x ), G (x ) lần lượt là các nguyên hàm

của f (x ), g (x ) trên (a; b) Khi đó

c.F (x ) là một nguyên hàm của c.f (x ) trên (a; b)

F (x ) + G (x ) là một nguyên hàm của f (x ) + g (x ) trên (a; b)

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 Nguyên hàm −→ 1.2 Tính chất

Câu hỏi : Nếu F (x ), G (x ) lần lượt là các nguyên hàm của f (x ),

g (x ) trên (a; b) thì F (x ).G (x ) có phải là một nguyên hàm của

f (x ).g (x ) ? Cho ví dụ minh họa

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

1 Nguyên hàm −→ 1.3 Các nguyên hàm cơ bản

Nguyên hàm các hàm số sơ cấp cơ bản

cos(x ) có các nguyên là sin(x )

tan(x ) có các nguyên là tan2(x ) + 1 = 1

cos2(x )cot(x ) có các nguyên là −

cot2(x ) + 1

1 Nguyên hàm −→ 1.4 Các phương pháp tìm nguyên hàm

1 Nguyên hàm −→ 1.4 Các phương pháp tìm nguyên hàm

Định lý (PP Nguyên hàm từng phần)

Cho f (x ), g (x ) có các nguyên hàm tương ứng là F (x ), G (x ) Nếu

f (x )G (x ) có một nguyên hàm là H(x )thì

2 Tích phân xác định −→ 2.1 Ý tưởng tích phân

Bài toán tính diện tích

Tính diện tích S của phần hình phẳng được giới hạn bởi y = x2,

2 Tích phân xác định −→ 2.1 Ý tưởng tích phân

Ký hiệu ∆xi = xi − xi −1, ta có

S ≈ S1+ S2+ + SN

≈

NX

2 Tích phân xác định −→ 2.1 Ý tưởng tích phân

2 Tích phân xác định −→ 2.1 Ý tưởng tích phân

= 13

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.1 Ý tưởng tích phân

S có thể được xấp xỉ bởi cách làm tổng quát như hình sau

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.2 Định nghĩa và các chú ý

Định nghĩa (Tích phân xác định)

Cho hàm số f xác định trên [a; b] Gọi x0= a, x1, x2, , xN = b là

một N-phân hoạch của [a; b] sao cho

∆xi = xi − xi −1 −→ 0 when N → +∞

với i = 1, 2, , N Lấy xi∗ ∈ [xi −1; xi], nếu giới hạn

limmax{∆x i }→0

NX

i =1

f (xi∗).∆xi

tồn tại hữu hạnthì giới hạn này được gọi là tích phân xác địnhcủa

f trên [a; b] và f được gọi là khả tích trên [a; b]

Chú ý 1 Giá trị của giới hạn lim

max{∆x i }→0

NX

i =1

f (xi).∆xi khôngphụ thuộc vào cách chọn phân hoạch x0= a, x1, x2, , xN = b

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.2 Định nghĩa và các chú ý

Định nghĩa (Tích phân xác định)

Cho hàm số f xác định trên [a; b] Gọi x0= a, x1, x2, , xN = b là

một N-phân hoạch của [a; b] sao cho

i =1

f (xi∗).∆xi

tồn tại hữu hạnthì giới hạn này được gọi là tích phân xác địnhcủa

f trên [a; b] và f được gọi là khả tích trên [a; b]

Chú ý 1 Giá trị của giới hạn lim

max{∆x i }→0

NX

i =1

f (xi).∆xi khôngphụ thuộc vào cách chọn phân hoạch x0= a, x1, x2, , xN = b

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.2 Định nghĩa và các chú ý

Trong định nghĩa tích phân xác định,

Z

được gọi là dấu tích phân

a, b được gọi là cận tích phân

Chú ý 2 Tích phân

Z b

a

f (x )dx là một số thực và không phụthuộc vào x , nên

2 Tích phân xác định −→ 2.2 Định nghĩa và các chú ý

Chú ý 3 Tổng

NX

i =1

f (xi∗).∆xiđược gọi là tổng Riemann Khi N tăng lên, tổng này sẽ xấp xỉ một

cách chính xác hơn giá trị tích phân

2 Tích phân xác định

• Nếu f có thể âm dương tuỳ ý như hình sau

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

trong đóA+ là diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox và

phía dưới đồ thị của f, và A− là diện tích của phần hình phẳng

phía dưới Ox và phía trên đồ thị của f

Chú ý 4 Có rất nhiều hàm số mà giới hạn tương ứng

limmax{∆x i }→0

NX

i =1

f (xi∗).∆xikhông tồn tại hoặc không hữu hạn Hãy tìm một hàm số như thế !

Định lý (Tính khả tích của hàm số liên tục)

Nếu f liên tục trên đoạn [a; b] thì f khả tích trên [a; b]

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.3 Tổng trên Riemann

Trong định nghĩa tích phân, nếu ta chọn mộtN-phân hoạch đều

2 Tích phân xác định −→ 2.3 Tổng trên Riemann

2 Tích phân xác định −→ 2.4 Tính chất

Định lý (Tính chất cơ bản của tích phân xác định)

Cho c là một hằng số và f , g là các hàm khả tích trên [a; b] Khi

2 Tích phân xác định −→ 2.4 Tính chất

Định lý (Phép toán +, − và × đối với tích phân xác định)

Cho c là một hằng số và f , g là các hàm khả tích trên [a; b] Khi

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

2 Tích phân xác định −→ 2.5 TPXĐ và Nguyên hàm

Nếu dùng định nghĩa để tính tích phân xác định, chúng ta sẽ gặp

rất nhiều khó khăn khi tính tổng Riemann (phải nhờ đến máy vi

tính) Tuy nhiên định lý sau đây giúp cho giải quyết được những

khó khăn này

Định lý cơ bản của Giải tích

Cho f là hàm số liên tục trên [a; b] Khi đó

3 Tích phân bất định −→ 3.1 Định nghĩa

Từ định lý cơ bản của Giải tích, tích phân xác định có thể tính

được thông qua nguyên hàm thay vì tính tổng Riemann rồi chuyển

qua giới hạn N → +∞

Tuy nhiên việc không có ký hiệu cho nguyên hàm là rất bất tiện

một ký hiệu thuận tiện cho nguyên hàm

f (x )dx = F (x ) với mọi x ∈ [a; b]

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

Tên gọiTích phân bất địnhcũng được thống nhất.

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

3 Tích phân bất định −→ 3.1 Định nghĩa

Chú ý 2 Từ chú ý 1, ta thấy TPXĐ và TPBĐ là 2 khái niệm

khác nhau về mặt ý nghĩa Người ta chỉcố tình ký hiệu giống nhau

để thuận tiện cho việc tính toán Giữa TPXĐ và TPBĐ có một số

điểm khác nhau cơ bản sau :

bằng tổng Riemann(khi cố gắng tính diện tích của một hình

phẳng nào đó)

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

3 Tích phân bất định −→ 3.1 Định nghĩa

• Ký hiệu vi phân dx trong TPBĐ

Z

f (x )dx chỉ mang tính hìnhthức (cho biết tên của biến số là x ) Tuy nhiên với TPXĐ

3 Tích phân bất định −→ 3.2 Phép toán TPBĐ

Khái niệm NH và TPBĐ thực ra là như nhau về mặt ý nghĩa, chỉ

khác về mặt ký hiệu Do đó tính chất của TPBĐ được suy ra từ

tính chất của NH

Định lý (Phép toán +, − và × đối với tích phân bất định)

Cho c là một hằng số và f , g xác định trên [a; b] Khi đó

4 Kỹ thuật tính tích phân −→ 4.2 TP Hàm hữu tỉ

Tích phân hàm hữu tỉ

Z P(x )Q(x )dx với bậcP(x ) < bậcQ(x )

(mx + n) = a tan t.

Dạng 3 Q(x ) bậc cao =⇒ Khai triển phân thức

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

4 Kỹ thuật tính tích phân −→ 4.2 TP Hàm hữu tỉ

4 Kỹ thuật tính tích phân −→ 4.3 TP Hàm lượng giác

Tích phân hàm lượng giác

R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) =⇒ đặt t = cos x R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) =⇒ đặt t = sin x R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) =⇒ đặt t = tan x

4 Kỹ thuật tính tích phân −→ 4.4 TP Hàm căn thức

5 Ứng dụng của TPXĐ

Tích phân xác định được ứng dụng rất nhiều trong

Tính diện tích hình phẳng (hình nằm trong một mặt phẳng)

Tính thể tích vật thể tròn xoay

Tính độ dài đường cong

Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay

(Dành cho Toán cao cấp A1, B1, C2)

5 Ứng dụng của TPXĐ −→ 5.1 Tính diện tích HP

Định lý (Tính diện tích hình phẳng)

Diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = f (x ),

y = g (x ), x = a và x = b được cho bởi công thức

S =

Z b

a

f (x ) − g (x )

x2− x

dx

Z 1

0(x2− x)dx

... Toán cao cấp A1, B1, C2)

= 3x2

x =1/2

ln(x... Toán cao cấp A1, B1, C2)

5 Ứng dụng TPXĐ −→ 5.1 Tính diện tích HP

Câu hỏi :... hạn đường

y2+ 8x = 16 y2− 24x = 52

28

16 − y2

y2− 52 24

dy

Z 5

−5(25