Hãy tính các vi phân sau: công th c vi phân dy y dxã '.
Trang 1TR NG THPT LONG TH NH
Chuyên :
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
NG D NG
BÀI T P TÍCH PHÂN TRONG THI T T NGHI P
I H C CAO NG T 2003 – 2014 (Tài li u dành cho nhóm h c sinh khá - gi i ôn thi TNQG)
Tác gi : ng Trung Hi u
www
ieu
Trang 2Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
M c l c
A Nguyên hàm 2
I Nguyên hàm c b n 2
II Nguyên hàm h u t 2
III Tìm nguyên hàm b ng ph ng pháp i bi n 3
IV Ph ng pháp t ng ph n 4
V Tìm nguyên hàm th a i u ki n 4
B Tích phân 5
I Tích phân có tr tuy t i 5
II Ph ng pháp i bi n 5
III Ph ng pháp t ng ph n 6
C Bài t p tích phân t ng h p 7
D Bài t p tích phân trong k thi T t nghi p, i h c – Cao ng (2003-2014) 8
E ng d ng c a tích phân 10
B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM 11
CÔNG TH C L NG GIÁC TH NG DÙNG 12
Tài li u này c so n và tham kh o t các sách sau:
1 Tích phân – Chuyên Lê H ng Phong (Tr n c Huyên)
2.Bài t p nâng cao gi i tích 12 (Nguy n Huy oan)
3 Ph ng pháp gi i Toán 12 theo chuyên (Phan Doãn Tho i)
4 Nâng cao phát tri n toán 12 (Phan Huy Kh i)
5 Ôn t p toán 12 c b n và nâng cao (Tr n Ph ng Dung)
6 Gi i toán gi i tích 12 (Tr n Duy Hi u)
7 Gi i tích 12 theo chuên , t p 2 (Phan Huy Kh i)
8 Gi i tích, i s t h p (Tr n V n H o)
9 Tích phân (Tr n Ph ng)
10 Bài t p gi i tích 12 c b n và nâng cao (NXBGD)
11 Và các tài li u trên m ng Internet
H u h t các bài gi i, áp s c a bài t p u có trong các sách trên
www
ieu
Trang 3Chuyên : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
“ Nguyên hàm – Tích phân là m t ch r t r ng, bài t p a d ng và r t nhi u th lo i, các k thu t
gi i c ng r t nhi u và òi h i ng i h c có r t nhi u ki n th c liên quan
Trong chuyên nh này, tác gi c g ng h th ng l i các bài t p và nh ng ph ng pháp ph
bi n, thông d ng nh t gi i quy t các bài toán nguyên hàm tích phân th ng xu t hi n nh t trong
thi T t nghi p THPT Qu c Gia, i h c – Cao ng hàng n m ”
A NGUYÊN HÀM
I Nguyên hàm c b n, m r ng theo f ax b dx( ) 1F ax b( )
a
a) .(5xó7)10dx b).(5 4 )ó x dxó 5 c)
6
2 2 (4 ) 5
dx x
ó
e).3 (3ó x dx)7 f)
ø ÷3
3
4 6
dx
x ó
. g) 1
3x ó2dx
. ) 5
4 3
dx h
x
ó
.
i) e 5 7 xó dx
. j) 2dx7 5x
e ó
. k).cos(4xó5)dx l).sin (5 6 )2 ó x dx
II Nguyên hàm các hàm h u t ( )
( )
P x
Q x n gi n:
Tr ng h p 1: N u b c P x Q x( )m ( ) thì chia a th c r i tìm cách làm ti p
Tr ng h p 2: B c P(x)<Q(x) thì phân tích Q x( ) (ã ax b cx d ex fõ )( õ ).( õ )
Sau ó tìm cách tách ra nhi u phân th c con
( )( ).( )
ax b cx d ex f ax b cx d ex f
Tr ng h p 3: N u m u Q x( )ãax bx c2õ õ vô nghi m, thì tìm cách a v d ng
ax bx cõ õ ã a xõ õ
R i l ng giác hóa b ng cách t xõ ã tant
1 Tìm các nguyên hàm sau:
3 2ó x dx
. b) 5 6
3 1
x dx x
ó ó
. c) 3 2 6 5
4 3
x x dx x
ó õ ó
(4xó5)(3 2 )ó x dx
. e) 25
16dx
x ó
. f) 1 2
9 4ó x dx
. g) 2 2
4x 7x 3dx
ó
õ õ
. h) 22 3
x dx
x x
ó
ó ó
.
7 6dx
x ó x õ
. j) 4 42
x dx
x ó x õ
. k) 2 2
dx
x ó xõ x ó xõ
( 1)( 2)dx
x xó xó
( 1)( 1)xõ xó dx
. n) 2 2 3
(1 3 )(5 6 11)
x x x
ó
( 1)dx
x x õ
.
www
ieu
Trang 4Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
III Ph ng pháp i bi n:
Ghi nh : . f u du F u( )x ã ( )x õC và f ax b du( ) 1F ax b C( )
a
. Vi phân: dy y dxã '
1 Hãy tính các vi phân sau: (công th c vi phân dy y dxã ' )
a) d x( )2 b) d( )2
x c) d(ln )x d) d(sin )x e) d( 2x2ó5 1)xõ f) d e( tan 2 )x x g) 1 3
(5 4 )
d
x
2
4 2
sin
x
e d
x
ó
8 (
2 Hãy tìm các nguyên hàm sau ( i bi n a v áp d ng tr c ti p . f u du F u( )x ã ( )x õc )
Ví d : Tìm nguyên hàm I ã.x x2õ1dx
Cách 1: t u x2 1 u2 x2 1 2udu 2xdx dx udu
x
2 3
x
x
õ
2 1 1 ( 2 1) (2 2 1) 1 2 ( 2 1)2 1 2 1
I ã.x x õ dx ã . x õ d x õ ã x õ õC ã x õ õC a) .x x( 2ó6)ó 7dx b).x 31õx dx3 c) xe dxóx2
. d) 2 3
(1 )
x dx x
õ
. e) 12 sin dx1
x x
. f) (ln )x dx3
x
. g) 3sin2
cosx dx x
. h).cos sinx 3x dx
sin cos
x x dx
x x
õ
ó
. j) 8 102
x dx
x x
ó
ó õ
. k) 33 2 22
5
x x dx
x x
õ
õ õ
. l)
1
x x
e dx e
ó ó
õ
.
ln cos
x
e dx
x x x
õ
. n) x e2 2x3 ó 5dx
ln ln(ln )dx
x x x
. r).(xõ1)e x2 õ 2x dx s) 2
1
x x
e dx e
õ
. t) 6
9 4
x
x x dx
ó
. u) 2
x
e dx
. v).tan xdx2 w).cot xdx y) 16
cos x dx
. z)
1 x
dx e
õ
.
3 Tìm các nguyên hàm sau: ( i bi n t u= )
a).x3 3x2ó5dx b) sin x dx3 32
x
. c) 2 2
2 2
x
e dx x
ó
ó
. d) 1 2 ln1
1 1 x dx
õ
.
e) 6 53
2
x dx
x óx ó
. f) x 1 x dx
e eó ó
x
õ
sin 1
x x dx x
õ ó
. i).x(3óx dx)5 j).x 2 5ó xdx l)
1
dx x
ó
. m) sin32
cos x dx x
.
www
ieu
Trang 5n) 2 sin cos2 2 2
sin cos
x x dx
a x bõ x
(1 )
x dx x
õ
sinx dx
. p) 1
cosx dx
.
IV Ph ng pháp t ng ph n
Ghi nh : .udv uvã ó.vdu
Áp d ng:.P x( ) sin ,cos ,ø x x e dx x÷ ; .P x( ).ln ( )øQ x dx÷
Ví d : Tìm nguyên hàm I ã.xe dx x
Cách 1: t u x x du dx x
dv e dx v e
B
2 2 V y I xeã xó.e dx xe e C x ã xó xõ
Cách 2: I ã.xe dx x ã.xd e( )x ãxe xó.e dx x ãxe e C xó xõ (nh ng bài d nên làm theo cách 2)
1 Hãy tìm các nguyên hàm sau: (làm nhanh)
a).(xõ1)e dx2x b).xcosxdx c).(1 2 )ó x e dx x d) xe dxóx
. e).x xdxln f).x xln( õ1)dx g). x xdxln h) sin
3
x
x dx
. i).ln(xõ 1õx dx2) j) ln1
1
x
x dx
x
õ ó
cos x dx x
. l) 2
sinx dx x
. m) .xsin2xdx n).x3ln(2 )x dx p).xln(1õx dx2)
2 Tìm các nguyên hàm sau:
a) .x e dx 5 x2 b).x e dx 2 x c).(x2õ2xõ3)cosx d) 2 2
( 2)
x
x e dx
x õ
. e).e xcosxdx f).sin(ln )x dx g).ln xdx2 h) 2ln 2
(x x dx1)
x õ
.
1
x x x dx
x
õ õ
õ
1 cos
x
x e dx x
ó ó
. k) ln x dx33
x
.
V M t s bài t p liên quan n nguyên hàm
1 Tìm hàm s f(x) bi t '( ) 2sin 3cos
2
x
2
f : * ã9 )
8 (
2 Tìm hàm s f(x) n u bi t f x'( ) ax b2
x
ã õ và f( 1) 4, '(1) 0ó ã f ã
3 Bi t f x''( ) 12ã x2õ6xó4, (0) 4, (1) 1f ã f ã Hãy tìm hàm s f x( )
4 Tìm nguyên hàm F(x) c a f(x), bi t f x( ) 5ã x4õ2e3xó4sin x và F(1) 3ã
5 Tìm hàm s F(x), bi t nó là nguyên hàm c a hàm s f x ( ) x2 22x m
x
ó õ
và F(x) t c c tr t i x = 2 và F(2) = 3
www
ieu
Trang 6Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
B TÍCH PHÂN
f x dx ã f t dt ã f u du ã ãF b F aó
I Tích phân có d u giá tr tuy t i
Ph ng pháp: xét d u f(x), b d u | | , tách ra nhi u tích phân
a) 3
0
| 2 |
I ã. xó dx b) 2 2
0
I ã. x x dxó c) 5 2
2
| 5 4 |
I x x dx
ó
0
2
x ó x õxdx
.
3
|x 2 | |x 2 | dx
ó
. f) 2
3 x dx4
x
ó. õ h).|e2xóe xõ 1|dx
II i bi n s b ( )x ( )x a b ( ) ( )
a
f u du F uã ãF b F aó
1 Tính các tích phân sau:
1
(3x 2) dx
ó
õ
. b)2 2
1
3
x x õ dx
. c)
0
cos(2xõ )dx
. d)1 2
1
2 1 1
x dx
x x
ó
õ
õ õ
.
e) 2 4 2
1
1 x dx
x
õ
. f) 2
0
1 cos
x x dx x t
x ã ó
õ
0
cos
1 sinx dx x
õ
0
1 cos 3 (1 tan 3 )dx
x õ x
.
i)9 3
1
1
x óxdx
. j)3
4
1 sin 2x dx
0
1
x
e ó dx
. l) /3 4
/4tan cos
dx
x x
.
m)2
0
1
1 cos dx
x
õ
2 x dx1
x ó
. p)1 15 8
0
1 3
x õ x dx
. q) 2 42
1
1 1
x dx x
ó õ
.
r)2 23
6
cos
sin x dx
x
0
cos x dx
0
1 sin xdxõ
. u)2 3
0
4sin
1 cosx dx x
õ
v) 1
0
x
x e
e dxõ
. w) 2 2
0
cos
11 7sin cos
x dx
1
1 ln ln
e
x xdx x
õ
1
dx
xõ x
.
0 1 1
xdx
x
. z2) /2
0
sin 2 sin
1 3cos
x xdx x
õ õ
.
2 Tính các tích phân sau: ( t x theo hàm l ng giác)
a)
1
2
2
0
1 x dxó
0
1
1õx dx
. c) 2 2
0
a
a óx dx
. d) 2 2
0
1
a
x aõ
.
0
a dx
a óx
2
1
4dx
x õ
. g)1 2 2
0
1
x óx dx
. h)
0
1 sinx dx x t
x ã ó
õ
.
www
ieu
Trang 7i) 1/ 2
0
1
1 xdx
x
õ
ó
0 (16 )
dx x
õ
. k) 3 2 2
1 1
dx
x õx
. l)0 2
1
1
2 2dx
x x
ó. õ õ
1 3 2
dx
x x
. n) 2 sin2
1 cos
x x dx x
õ
. (xã 3 ót) o) 2 /2 2 2
0 1
x dx x
ó
. p) 3/2 2 2
0
(3óx ) 3óx dx
.
2/ 3 1
dx
x x ó
0
2
x x x dxó
. (1ó ãx cos )t s)7
4
1 (xó4)(7óx)dx
III Ph ng pháp t ng ph n b b b
a
udv uvã ó vdu
.
1 Tính các tích phân sau:
a) 1
0
x
xe dx
. b) 2
1
ln
x xdx
. c)2
0
sin
x xdx
. d) 2
1
ln
e
x dx x
.
e)2 5
1
ln
x xdx
. f)
0
cos
x
e xdx
. g) /2 2
0
sin
x
e xdx
. h)2
0
sin cos
x x xdx
.
i) /2 2
0
cos
x xdx
. j) /2
/4
cos ln(sin )x x dx
. k)
1
ln
e
x x dx
. l)ln 2 2
0
x
xe dxó
.
m) 1
0
ln(2 1)xõ dx
2
ln( 1) ln(xó ó xõ1) dx
1/2
1 (1 x )e dx x x
x
õ
õ ó
0
cos sin
x x xdx
.
0(1 )
x
xe dx
x
õ
. s)
1
1 ln
e
x
x xe dx x
õ
. t) /3 2
/6
ln(sin ) cos x dx x
. u)2
1
1 lnx e dx x
x
.
2 Tính các tích phân sau:
a) /4
0
(1 sin cos )
1 cos 2
x
x x e dx x
õ
õ
0
x
xe dx
. c) /2
/3
sin
1 cos
x x dx x
õ õ
. d) 2
1
ln
e
xdx
.
3
0
x
x e dx
. f) /2
0
1 sin
1 cos
x
x e dx x
õ õ
. g) /4
0 1 cos 2
xdx x
õ
. h) /4 2
0
tan
x x dx
.
i)1 2
0 x
x dx
e
. j)1 2
0
ln(1 )
x õx dx
. k)1 2 2
0
1
x õx dx
.
www
ieu
Trang 8Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
C BÀI T P TÍCH PHÂN T NG H P
1 Tính các tích phân sau:
0
sin 2
4 cos
x
x
ã
ó
. b) /4 2 2
0
sin 2 cos 4sin
x
ã
õ
. c) /2 3
/3
(sin cos ) sin cos
x x
x x
õ ã
ó
.
0
sin
4 sin2 2(1 sin cos )
x
: ó *
ã
0
2
1 2
x
x e x e
e
õ õ ã
õ
. f) /4 2
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
ó ã
õ
.
0
cos cos
x
I ã . e õ x xdx h) /2 2 2
/4 3sin cos
dx I
ã
õ
.
2 Tính các tích phân
a) 2 3 2
5
1 4
x x
ã
õ
. b) 2
11 1
x
x
ã
. c)
1
1 3ln ln
x
õ
d)
1
3 2ln
1 2ln
ó ã
õ
. e)0 3
1
x x dx
ó
õ
. f)1 2
0( 1) 1
x dx
xõ xõ
.
0
1
I ã . x õx dx i) 5 5 2 3
0
2 1
x x dx x
õ õ
.
3 Tính các tích phân (bi n i l ng giác)
a) /6
0
sin 2 cos3x xdx
. b) /4 3
0
sin x dx
. c) /2
0
sin 2 cos
1 cos
x xdx x
õ
.
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x dx
õ õ
. e) /2 3 5
0
sin cos x x dx
. f) /3 4
/4sin cos
dx
x x
.
g) /2 4
0
sin xdx
. h) /3 3
/4
1 sin x dx
. i) /4 4 4
0
sin cosx xdx
.
/6cos sin
dx
x x
. k) /4
0
1 sin
1 cosx dx x
õ õ
. l) /2
0
1
1 sinõ x dx
.
4 Tính các tích phân sau: ( t tan
2
x
t ã , i s hóa l ng giác)
a)1
01 sin cos
dx
x x
. b) /2
/3sin
dx x
. c) 2
04sin 3cos 5
dx
xõ xõ
.
d) /2
0 cos
dx
x
. e) /4 2
0 1 2sin
dx x
õ
.
www
ieu
Trang 9D BÀI T P TÍCH PHÂN TRONG CÁC K THI
T T NGHI P THPT (2003 – 2014)
0
1 x
I ã. óxe dx (PT14) 2 2 2
1
(x 1)
x
õ
0
( 1)cos
I ã. xõ xdx (TN13)
4 1 3
0
( 2 1)
I ã. x ó xõ dx(TX13) 5 ln 2ø ÷2
0
1
I ã . e ó e dx (PT12) 6 2 2
1
( 2)
I ã. xó xdx (TX12)
7
1
4 5ln
I dx
x
õ
0
(2 3) cos
I ã. xó xdx (TX11) 9 1 2 2
0
( 1)
I ã. x xó dx (PT10)
0
(5 2)
I ã. xó dx (Tx10) 11
0
(1 cos )
x õ x dx
0
(2 x)
I ã. x xe dxõ (Tx09)
13 1 2 3 4
1
(1 )
I x x dx
ó
0
(2 1)cos
I ã . xó xdx (PT08) 15 1
0
(1 x)
I ã. õe x dx (PT08)
16.4
0
sin cosx x dx
0
2 1
x
I dx
x
ã
õ
1
2 ln
K ã. x xdx(PT07)
19 2
1
ln
e
x dx
x
0
cos sin
Iã . x xdx (Tx06) 21 ln5
ln 2
( 1) 1
x x x
e e
e
õ ã
ó
22 1
0
(2 1) x
I ã. xõ e dx (PT06) 23 /2 2
0
sin 2
4 cosx dx
x
ó
0
(2sin 3)cos
Iã . xõ xdx (Tx06)
0
( sin )cos
I ã . xõ x xdx(PT05) 26.1 2
0
1
5 6dx
x ó xõ
26 Tìm nguyên hàm F(x) c a ( ) 3 23 2 3 1
2 1
x x x
f x
x x
ã
õ õ bi t (1) 1
3
F ã
I H C CAO NG (2003 – 2014)
1 2 2 2
1
3 1
x x
0
1 sin 2
I ã. xõ xdx (D14) 3 2 2
1
2ln
x
õ
4 2 2 2
1
1 ln
x
x
ó
0
2
I ã.x óx dx (B13) 6 1 2 2
0
( 1) 1
x
I dx x
õ ã
õ
7 5
11 2 1
dx I
x
ã
1
1 ln( 1)x
x
0 3 2
x
I dx
x x
ã
õ õ
www
ieu
Trang 10Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
10 4
0
(1 sin 2 )
I ã.x õ x dx(D12) 11 3
0 1
x
I dx
x
ã õ
. (C 12) 12 4
0
sin ( 1)cos sin cos
x x x x
x x x
õ õ ã
õ
0
1 sin
cos
x x
x
õ
0
4 1
2 1 2
x
I dx
x
ó ã
õ õ
1
2 1 ( 1)
x
x x
õ ã
õ
0
2
1 2
x
x e x e
e
õ õ ã
õ
1
ln (2 ln )
ã
õ
1
3
e
I x x dx
x
ã 9 ó )
19 1
0
2 1
1
x
I dx
x
ó ã
õ
0
(cos 1)cos
Iã. xó xdx(A09) 21 3 2
1
3 ln ( 1)
x
x
õ ã õ
22 3
1 x 1
dx
I
e
ã
ó
0
( x ) x
I ã. eó õx e dx (C 09) 24 6 4
0
tan cos 2
x
x
ã. (A08)
25 4
0
sin
4 sin 2 2(1 sin cos )
x dx I
: ó *
ã
1
ln x
I dx x
1
ln
e
I ã.x xdx(D07)
0
sin 2 cos 4sin
x
ã
õ
ln3 x 2 x 3
dx I
e eó
ã
õ ó
0
( 2) x
I ã . xó e dx(D06)
31 2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
x
õ ã
õ
0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
ã õ
0
cos cos
x
Iã. e õ x xdx(D05)
34 2
11 1
x
x
ã
1
1 3ln ln
x
õ
2
ln( )
I ã. x óx dx (D04)
37 2 3 2
dx I
x x
ã
õ
0
1 2sin
1 sin 2
x
x
ó ã õ
0
| |
I ã. x óx dx (D03)
www
ieu
Trang 11E NG D NG C A TÍCH PHÂN
I Di n tích hình ph ng
Ghi nh : di n tích gi i h n b i
( ), ( ), , `: | ( ) ( ) |
b a b a
y f x y x a x b la S f x dx
y f x y g x x a x bla S f x g x dx
.
1 Tính di n tích S c a các hình ph ng gi i h n b i các ng ã ch ra trong các câu sau:
a) Parabol yã4x xó 2 và tr c hoành b)y x yã 2, ã0,xã ó1,xã2
c)y 1 , 0, 1, 3y x x
x
ã ã ã ã d)yã2 ,x x yó 1 õ ã3
e)y2 ãx x y, õ ã2 f)x yã 2ó5 ,y xã3y yó 2
2 Tính di n tích hình ph ng S c a các ph n gi i h n b i:
a)yãsin ,x yãcos ,x xã / 4, xã5 / 4 b)y xã 3ó2x2ó3x và tr c Ox
c)x yã 3óy x, ã3y d)y e yã x, ã1, yã2, xã3
e) ( ) 3 4
x x
f x ã ó và ( ) 2 2
x x
g x ã õ f)x yã 2ó2, x e yã y, ã1, yã ó1
27
x
x
ã ã ã h) yã x y x, ã ó2 và tr c hoành
yã õ yã ó xõ yã ó õ j) 4 2
4
x
y ã ó và 2
4 2
x
y ã
3 Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i y xã 2ó4xõ5 và hai ti p tuy n t i A(1;2), B(4;5)
4 Tìm di n tích hình ph ng gi i h n b i y xã| 2ó4xõ3| và y xã õ3
5 Trong m t ph ng Oxy cho elip có ph ng trình 2 2 1
4
x õy ã và i m 1; 3
2
A:99 *))
8 ( n m trên elip G i (d)
là ti p tuy n v i elip t i A Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i ng th ng (d), tr c hoành và elip
II Th tích v t th tròn xoay:
2
V ã.S x dx quanh Ox V ã . f x dx quanh Oy V ã .g y dy
1 Tính th tính V c a hình tròn xoay
a)y x xã 2, ã2,yã0 quanh Ox b )y x xã 2, ã2,yã0 quanh Oy
c)yã3x x y xó 2, ã quanh Ox d)yãln ,x yã0,x eã quanh ng x eã
2 G i D là hình ph ng gi i h n b i các ng yã ó3 10,xõ yã1,y x xã 2 ( â0) Tính th tích c a kh i tròn xoay t o b i D khi quay quanh Ox
3 G i H là di n tích hình ph ng gi i h n b i yã4(xó2) ,2 y xã 2ó4xõ7 Tính th tích kh i tròn xoay
c t o thành khi quay H xung quanh tr c tung
www
ieu
Trang 12Ôn Thi 2015 (nâng cao) – Bài tâp Nguyên hàm – Tích phân - ng d ng – 0939.239.628
B ng công th c nguyên hàm:
NGUYÊN HÀM C B N NGUYÊN HÀM M R NG
1
2
2
1) 0
2)
1 1
5)
ln 7) cos sin
8) sin cos
1
cos
1
sin
x x
dx C
dx x C
x
x dx C
dx x C
x
e dx e C
a
a dx C a a
a xdx x C
xdx x C
dx x C x
dx x C x
õ
ã
ã õ
õ
ã õ
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
tan ln(cos )
cot ln(sin )
1 ln tan
1 ln tan
x dx x C
x dx x C
x
x
x
x
ã ó õ
.
.
.
.
.
1
2
2 2
1 ( )
( 1) 1
1
1 5)
1
ln 1
8) sin( )
ax b ax b
dx ax b C
ax b a
ax b
a
dx x C x
x
e dx e C
a
a
ax b dx ax b C
a
ax b dx
õ
õ
õ
õ
õ
õ
õ
.
2
2
2
2
2 2
2
2 2
1 cos( )
cos ( )
sin ( )
2 1
1 1
ax b C a
ax b a
ax b a
x a
x a a x a
dx x C x
x
a
a x
õ
õ ó
ó
ó
.
ieu
Trang 13I BI N CHO HÀM L NG GIÁC:
Khi c n ta có th t tan
2
x
t ã Khi ó ta có: sin 2 2 , cos 1 22 , 2 2
ó
Công th c c ng Công th c nhân ôi, nhân
ba
Công th c h b c Công th c bi n tích thành t ng
Công th c bi n i t ng thành
ieu