ổn định của dầm liên tục và của dàn

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định lực tới hạn cho các dầm liên tục và các thanh trong dàn phẳng.

Chương 5

ỔN ĐỊNH CỦA DẦM LIÊN TỤC VÀ CỦA DÀN

Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp xác định lực tới hạn cho các dầm liên tục và các thanh trong dàn phẳng

Những bài toán này thường được đưa về bài toán ổn định của thanh đơn giản, thanh liên tục trên gối đàn hồi hoặc thanh làm việc trong môi trường đàn hồi

5.1 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp lực, phương trình ba mô men

Ta vận dụng phương pháp lực đã nghiên cứu trong chương 4 để tính ổn định của dầm liên tục Giả sử dầm có tiết diện không đổi trong từng nhịp và chịu lực dọc trục đặt ở các gối tựa (hình 5-1a) Ta chọn hệ cơ bản như trên (hình 5-1b) thì phương trình chính tắc viết cho gối thứ i bất kỳ sẽ chỉ có ba số hạng:

0 M

δ M δ M

δi(i−1) (i−1) + ii i + i(i+1) (i+1) = (5-1)

Đó là phương trình ba mô men

Các hệ số của phương trình được xác định theo các trạng thái đơn vị như trên (hình 5-2) Những dầm đơn giản chịu tải trọng như trên (hình 5-2) đã được nghiên cứu trong mục 2, chương 4 Theo công thức (4-5) ta có:

k P1

i+1 i

2

k P ki-1P k Pi k Pi+1

k1P k P2 k Pi-1 k Pi k Pi+1

i-1

P a,

b,

Hình 5-1 Sơ đồ tính ổn định dầm liên tục

i+1 i

i-1

l

M =1 P

i

i-1

δi(i-1)

l

li

M i

i+1

βi αi+1

i(i+1)

l

δ i+1

M i+1

δ =α +βii i+1 i

Hình 5-2 Sơ đồ tính theo ba mô men

( )i i 1)

6EJ

=

− (5-2)

1 i

1 i

i 1

i i

3EJ v

α 3EJ

+

+

+

=ϕ ϕ l i l i (5-3)

( )i 1 1

i

1 i 1)

6EJ

+

+ + = l (5-4) Trong đó các hàm số α(vi) và β(vi) được xác định theo công thức sau:

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

i

i 2

i i

tgv

v 1 v

3 v

α (5-5)

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

sinv

v v

6 v

β

i

i 2 i

i (5-6) Với

i

i i

EJ

P k

v =l i (5-7)

Thay (5-2), (5-3) và vào (5-1) ta được:

( )v M 2[λ α( )v λ α( )v ]M λ β( )v M 0

β

λi i i−1+ i i + i+1 i+1 i + i+1 i+1 i+1 = (5-8)

Đó là phương trình ba mô men khi tính ổn định của dầm liên tục chịu tác dụng của lực dọc trục

Trong đó:

i

0 i

J

J

i

l

=

Với J0 là đại lượng bất kỳ, thường lấy bằng mô men quán tính của một nhịp nào đó Trình tự tính toán theo các bước sau:

1- Xác định các chiều dài quy ước λi theo (5-9)

2- Xác định các đại lượng vi theo (5-7) Trong trường hợp vi có các giá trị khác nhau ta cần biểu thị các vi theo một đại lượng vk nào đó theo biểu thức sau:

k i i k

k k i

J E k

J E k v

k

i

l

l

Trong đó:

k k k

k k

J E

P k

3- Thiết lập các phương trình ba mô men theo (5-8) Dầm có n gối tựa trung gian ta

sẽ lập được n phương trình Hệ phương trình này là thuần nhất

4- Thiết lập phương trình ổn định bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương trình bằng không

5- Giải phương trình ổn định ta sẽ tìm được nghiệm vk và từ (5-11) suy ra lực tới

hạn cần tìm

Lực tới hạn tìm được ở trên tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định với các

mô men ở gối tựa khác không Trong bài toán dầm liên tục, ngoài nghiệm tìm được theo

cách trình bày kể trên ta còn phải tìm nghiệm tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn

định với các mô men gối tựa M1 = M2 = M3 = = Mn = 0, nếu về ý nghĩa vật lý, trường

hợp này có thể xảy ra

Nếu dầm liên tục có gối bên trái là ngàm thì hệ số δ11 được xác định như sau:

2

2 1

1

1

EJ

l v

EJ

Trong đó:

v 4

1 v tgv 2

v 2

v tg v

2tgv vcosv)

v(sinv

vsinv 2cosv

2 v

2 ϕ

=

−

−

=

−

−

−

=

Bảng các hàm số ϕ2(v) cho trong phần phụ lục

Do đó phương trình ba mô men thứ nhất có dạng:

[6 λ1γ v1 + 2 λ2γ v2 ]M1+ λ2β( )v2 M2 = 0 (5-13) Nếu dầm liên tục có gối bên phải là ngàm thì

1 n

1 n n n

n

3EJ

v

+ +

Do đó, phương trình ba mô men cuối cùng có dạng:

v 6

v 2 M

1 n 1 n

n n 1 n n

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡ +

+ +

+ +

α λ β

Các phương trình viết cho những gối tựa khác vẫn có dạng (5-8)

5.2 Cách tính ổn định của dầm liên tục theo phương pháp chuyển vị

Nội dung phương pháp chuyển vị đã trình bày trong chương 4 Hệ cơ bản chọn như

trên (hình 5-3a và b)

Theo (4-27), phương trình chính tắc biểu thị điều kiện phản lực mô men tại liên kết

đặt thêm vào thứ k bằng không có dạng:

0 Z r Z r Z

rk(k−1) k−1+ kk k + k(k+1) k+1 = , (5-15)

k+1 k

a,

l

Z1 Zk-1 Zk Zk+1 Zn

b,

l1

1

Z Zk-1 Zk Zk+1 Zn

Hình 5-3 Sơ đồ tính dầm theo PP chuyển vị

trong đó k biến thiên từ 1 đến n

Phương trình (5-15) chỉ gồm ba số hạng nên được gọi là phương trình ba góc xoay

Các hệ số của phương trình này được xác định theo các công thức sau:

( )k

3 1)

k

k l

=

− (5-16)

1 k

1 k k

2 k

k

+

+ +

l

( k 1)

3 1 k

1 k 1)

+

+

l (5-18) Công thức (5-17) chỉ nghiệm đúng với trường hợp k > 1 và k < n Khi k = 1 và

k = n, biểu thức của hệ số rkk phụ thuộc vào điều kiện liên kết ở các đầu dầm Nếu các gối biên là ngàm như trên (hình 5-3a) thì các hệ số r11 và rnn được xác định theo công thức (5-17) Nếu các gối biên là khớp tựa như trên (hình 5-3b) thì r11 và rnn được xác định theo công thức sau:

2

2 1

1 1

1

l

1 n

1 n n

2 n

n

+

+

+

l

l (5-20) Theo các phương trình thuần nhất (5-15) ta có thể thiết lập phương trình ổn định của dầm theo phương pháp chuyển vị bằng cách cho định thức các hệ số của hệ phương trình

đó bằng không: D = 0 (5-21)

Sau khi khai triển định thức D và giải phương trình (5-21) ta dễ dàng tìm được lực tới hạn cho dầm liên tục Quá trình thực hiện tương tự như đã trình bày trong mục 5, chương 4

Lực tới hạn tìm được theo điều kiện (5-21) xảy ra tương ứng với trường hợp dầm bị mất ổn định trong đó các chuyển vị xoay Zk khác không Trong thực tế có thể xảy ra trường hợp dầm bị mất ổn định với các chuyển vị xoay Zk bằng không Bởi vậy, khi nghiên cứu ổn định của dầm liên tục ta cần phải xét cả 2 trường hợp có thể xảy ra Chẳng hạn đối với dầm liên tục hai nhịp, phương trình chính tắc có dạng:

3EJ

1 1

⎢⎣

.

ϕ ϕ

l

Phương trình này có thể thoả mãn với Z1 = 0 tương ứng với dạng mất ổn định đối xứng và cũng có thể thoả mãn với Z1 ≠ 0 tương ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng Trong trường hợp Z1 ≠ 0, ta có:

v tgv 3

tgv v v

2

−

=

5.3 Ổn định của các thanh chịu nén trong dàn

Dưới tác dụng của tải trọng, các thanh chịu nén của dàn bị có thể bị mất ổn định và làm cho toàn dàn bị phá hoại Những thanh chịu nén trong dàn có thể là:

1 Các thanh đứng, thanh biên hoặc thanh xiên không cắt qua các thanh khác, thí dụ như thanh AB, AC và CD trên (hình 5-5) Để kiểm tra ổn định, ta coi thanh là thanh đơn giản có liên kết khớp ở hai đầu, sau đó ta có thể tính theo công thức

đã nghiên cứu trong mục 2 hoặc mục 8 của chương 2 (Giả thiết thanh có khớp ở hai đầu chỉ là gần đúng)

2 Những thanh đứng hoặc thanh xiên cắt qua một, hai hoặc nhiều thanh đứng hoặc thanh xiên khác Trên (hình 5-4) trình bày một số thí dụ về những thanh thuộc loại này

Các thanh chịu nén ACB trên (hình 5-4avà b) là thanh xiên cắt qua một thanh xiên khác ở giữa nhịp Các thanh ACDB trên (hình 5-4c và d) là thanh xiên cắt qua hai thanh đứng hoặc hai thanh xiên khác của dàn Khi mất ổn định, những thanh này làm việc giống như những thanh đặt trên hai khớp tựa cứng ở hai đầu

và có một, hai hoặc nhiều gối tựa đàn hồi ở trong nhịp (hình 5-6)

Như vậy, bài toán ổn định của những loại thanh này được đưa về bài toán ổn định của thanh liên tục có các gối tựa trung gian là gối tựa đàn hồi Cách giải quyết bài toán này sẽ nghiên cứu trong mục 4 Khi số lượng các gối tựa đàn hồi trung gian tương đối lớn ta có thể giải quyết bài toán này theo trường hợp thanh làm việc trong môi trường đàn hồi

A

B

C

D

Hình 5-5 Sơ đồ dàn

B

F A

1

J JC E

A C B

A C

B D

A

B

C

e q

h f

D J

J1

a,

b,

c,

d,

Hình 5-4 Sơ đồ các dạng dàn a), b)- các thanh xiên cắt thanh xiên

khác ở giữa nhịp; c), d)- thanh xiên cắt qua hai thanh đứng hoặc hai

thanh xiên khác của dàn

3 Hệ thanh biên trên của cầu dàn hở tức là cầu dàn không có giằng gió ở phía trên

Hệ thanh biên này chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài thanh Khi mất ổn định, hệ thanh biên trên bị cong ra ngoài mặt phẳng dàn, các khung ngang trong cầu gồm dầm ngang của bộ phận mặt cầu và thanh đứng ngăn cản không cho phép hệ thanh biên chuyển vị tự do và làm việc giống như những liên kết đàn hồi Kinh nghiệm cho biết, khi số đốt của dàn lớn hơn bốn thì ta có thể thay các gối đàn hồi bằng nền đàn hồi Như vậy, bài toán này được đưa về trường hợp thanh làm việc trong môi trường đàn hồi chịu lực nén thay đổi dọc theo chiều dài thanh

5.4 Ổn định của thanh liên tục có gối tựa đàn hồi

5.4.1 Ổn định của thanh liên tục hai nhịp có gối trung gian là gối đàn hồi (hình 5-6)

Gọi c là độ cứng của liên kết đàn hồi Độ cứng c chính là phản lực cần tác dụng tại liên kết đàn hồi để sao cho liên kết biến dạng với giá trị bằng đơn vị

Để giải bài toán này theo phương pháp chuyển vị ta có hệ cơ bản như trên (hình 5-7a) Vì hệ đang xét có tính chất đối xứng nên ta có thể phân tích bài toán thành hai trường hợp: Thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng (đường I trên hình 5-6) và thanh bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng (đường II trên hình 5-6)

5.4.1.1 Trường hợp thanh bị mất ổn định theo dạng đối xứng

Trong trường hợp này ta có Z1 ≠ 0, Z2 = 0

l/2

I

l/2 II

Hình 5-6 Sơ đồ thanh

Z2 EJ=const

1

Z

3iϕ (v)

1

1

l η (v) 3i

2 Z 3iϕ (v)1

a,

b,

c,

M1

2 M

Hình 5-7 Hệ cơ bản và các biểu đồ mô men

0

4 3 2 1

P/P¥le

cl3 2

π EJ

Hình 5-8 Sự biến thiên của tỷ

Phương trình chính tắc có dạng:

0 Z

r11 1 =

Phương trình ổn định:

r11 = 0

Từ biểu đồ đơn vị M 1 vẽ trên (hình 5-7b) ta dễ dàng xác định được:

3i 2.

2 1

11 = η + =

trong đó:

EJ

P EJ

P

v1

2 1

l

( )

48EJ

c v

3 1

l

−

=

η (5-22) Như vậy, nếu biết độ cứng của liên kết đàn hồi thì ta có thể sử dụng bảng 2 trong phần phụ lục để xác định thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn

5.4.1.2 Trường hợp thanh bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng

Trong trương hợp này ta có Z1 = 0; Z2 ≠ 0

Phương trình chính tắc có dạng:

0 Z

r22 2 =

Phương trình ổn định:

r22 = 0

Từ biểu đồ M 2 vẽ trên (hình 5-7c) ta dễ dàng xác định được phản lực đơn vị r22:

r22 = 2.3iϕ1(v) = 0

Suy ra: ϕ1(v) = 0

Phương trình này thoả mãn với v = π Do đó, ta có:

2 2

2 1

2 th

EJ 4 EJ P

l l

π π

=

= (5-24)

Sau khi xác định lực tới hạn tương ứng với hai trường hợp biến dạng nói trên ta sẽ chọn giá trị nhỏ nhất làm giá trị tới hạn

Trên (hình 5-8) là đồ thị biểu diễn luật biến thiên của tỷ số lực tới hạn với lực Ơle theo các độ cứng khác nhau của gối đàn hồi Ta thấy: Khi c < 16π2EJ/l2 thì thanh sẽ mất

ổn định theo dạng đối xứng, còn khi c > 16π2EJ/l2 thì thanh sẽ bị mất ổn định theo dạng phản đối xứng, lúc này lực tới hạn được xác định theo công thức (5-24) và không phụ thuộc độ cứng c

Để nghiên cứu sự ổn định của các thanh chịu nén ACB trong dàn (hình 5-4a và b) ta

có thể áp dụng lời giải vừa tìm được ở trên Gọi EJ là độ cứng của thanh chịu nén ACB đang khảo sát; EJ1 là độ cứng của thanh bị cắt ECF Muốn áp dụng kết quả trên ta cần

xác định độ cứng c của liên kết đàn hồi Trong trường hợp này độ cứng c có giá trị bằng

lực cần tác dụng tại giữa nhịp của thanh

1 δ

1

2

=

= 48EJ

cl

3

1

l

48EJ

c = (5-25)

mất ổn định đối xứng:

( )

J

J

1 = −

η (5-26)

Nếu biết tỷ số J1/J thì ta có thể tìm được thông số v và từ đó suy ra lực tới hạn Có

thể biểu thị lực tới hạn của thanh theo công thức quen thuộc như sau:

( )µ 2

π

l

EJ P

2

th = (5-27)

Hệ số µ phụ thuộc tỷ số J1/J có các giá trị cho trong bảng 5-1

Bảng 5-1 Bảng các giá trị của hệ số m

J1/J 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 1,0 2,0 3,0 π2/3

µ 0,950 0,912 0,845 0,818 0,793 0,750 0,714 0,586 0,516 0,500

Nếu xét dạng mất ổn định phản đối xứng thì theo 24) ta có µ = 0,5 Theo

(5-26), trị số này tương ứng với khi J1/J = π2/3 = 3,2898 Như vậy khi J1/J <

π2/3 thì thanh sẽ bị mất ổn định theo dạng đối xứng còn khi J1/J > π2/3 thì thanh sẽ bị mất

ổn định theo dạng phản đối xứng và hệ số µ có giá trị không đổi bằng 0,5 Trên (hình

5-9) là đồ thị biến thiên của hệ số µ theo các tỷ số J1/J khác nhau

5.4.2 Ổn định của thanh liên tục ba nhịp có gối trung gian là gối đàn hồi

Xét hệ cho trên (hình 5-10) Giả sử độ cứng c của hai gối trung gian như nhau Hệ

đang xét có tính chất đối xứng nên ta có thể phân tích bài toán thành hai trường hợp: biến

dạng đối xứng và biến dạng phản đối xứng

P

P

I

II l

Hình 5-10 Sơ đồ thanh

0

0,8 0,6 0,4 0,2

J1

J

1,0

0,5

3

µ

0,714 0,586

0,516 0,5

5.4.2.1 Trường hợp hệ bị mất ổn định theo dạng đối xứng

Ta có sơ đồ tính có dạng như trên (hình 5-11a)

- Hệ cơ bản (hình 5-11b)

- Phương trình ổn định:

0 r r

r r

D

22 21

12

=

- Vẽ biểu đồ đơn vị (hình 5-11c và d)

- Xác định được phản lực đơn vị :

5

2 η

0

3

l ; r12 r21 3EJ3 ϕ1( )v

0

l

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ +

= +

=

2

v tg 2

v v

3EJ 2

v tg 2

v 2EJ v 3EJ

3

2 0

0 0

ϕ ϕ

l l

trong đó:

EJ

P EJ

P v

3 0

l

= ; (5-28)

EJ

c 6EJ

5c

f

3

l l

162 5

3

0 =

−

= (5-29) Sau khi thay phản lực đơn vị vào phương trình ổn định và khai triển ra ta được:

Z2

Z1

1

l ϕ (v) 3EJ

a,

b,

2

d,

Z =12

3EJ 2

l0

ϕ (v)1

0 l

2EJ v/2 tgv/2

l0 l /20

M2

1 M

P

P

P

P

Hình 5-11 Mất ổn định theo dạng đối xứng

( ) ( ) ( )

( )

2 3 1

2 3 1

2

5

1

1 1

2 1

v tg

v v

v tg

v v

v v

f

+

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡ +

−

=

ϕ

ϕ η ϕ

(5-30)

Nếu biết kích thước của thanh và độ cứng của liên kết đàn hồi, tức là biết giá trị của

đại lượng f thì sau khi giải phương trình (5-30) ta sẽ xác định được thông số v và từ đó

suy ra lực tới hạn Theo (5-28) ta có:

( )2

2 2

th

EJ EJ

9v P

l

π

2 =

Trong đó:

3v

π

theo dạng phản đối xứng

5-12b)

0 r r

r r D

22 21

12

phản lực đơn vị:

⎦

⎤

⎢

⎣

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

= +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

5

2 2

v η 8 v η

3EJ c 2

v η

24EJ v

η

3EJ

0 1

3 0 1

3 0 11

l l

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

2

v v

3EJ

0

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

2

v v

3EJ r

0

Thay các số liệu vừa tìm được ở trên vào phương trình ổn định và sau khi khai triển

ta được:

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

−

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

2

v 2 v

2

v 2 v 2

v 8 v 2

v 4 v 2

5

f

1 1

1 1

1 1

2

1 1

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ

(5-32)

trong đó f và v được xác định theo các công thức (5-29) và (5-28)

Tương tự như trên, nếu biết f và độ cứng của gối đàn hồi thì sau khi giải (5-32) ta sẽ

xác định được v và từ đó suy ra lực tới hạn theo (5-31)

Z 2

Z 1 b,

d,

Z =1 2

3EJ 2

l0 ϕ (v)1

M 2

1 M

P

P

P

P

ϕ (v/2) 12EJ 2

l0 1

ϕ (v)1 2 0 l

3EJ

ϕ (v/2)1 6EJ

l02 a,

Hình 5-12 Mất ổn định theo dạng phản xứng