ổn định của các thanh thẳng

Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển vị nhỏ. Giả sử ở trạng thái biến dạng, đ

2-1

Chương 2

ỔN ĐỊNH CỦA CÁC THANH THẲNG 2.1 Các phương trình tổng quát của đường đàn hồi trong thanh chịu uốn

Ta nghiên cứu thanh chịu lực nén P ở trạng thái cân bằng biến dạng với các chuyển

vị nhỏ Giả sử ở trạng thái biến dạng, đầu trái của thanh có chuyển vị thẳng theo phương

trục y là y(o) và chuyển vị góc là y’(o), đồng thời tại đầu trái của thanh cũng xuất hiện

mô men uốn M(o) và lực cắt Q(o) vuông góc với vị trí ban đầu của thanh (hình 2-1)

Mô men uốn tại tiết diện bất kỳ của thanh ở trạng thái biến dạng:

M(z) = M(o) + Q(o)z + P[y - y(o)]

Từ phương trình vi phân của đường đàn hồi :

EJ

M

y,, =−

ta có:

EJ

y(o)]

-P[y Q(o)z M(o)

−

=

y

Hay:

EJ

Py(o)

- Q(o)z M(o)

y α

y,, + 2 =− +

(2-1)

Trong đó:

EJ

P

Nghiệm của phương trình vi phân trên có dạng:

EJ

Py z Q M

z B z A z

α α

Trong đó: A, B là các hằng số tích phân được xác định theo các điều kiện biên ở

đầu trái khi z = 0 Muốn vậy trước tiên ta hãy lấy đạo hàm của y theo z ta có:

EJ α

Q(o) αBsinα

α cos αA )

Từ (2-3) và (2-4) ta có thể viết điều kiện biên ở đầu trái khi z = 0 như sau:

EJ α

Py(o) M(o) B

EJ α

Q(o) αA

(o)

y, = − 2 ;

M (0)

Q (0)

y (0) ,

y

z

z

y

P M Q

M+dM dy

dz

Hình 2-1 Sơ đồ biến dạng uốn dọc của thanh.

2-2

suy ra:

EJ

Q(o) (o)

y A

3 α

′

EJ a

M

B= 2 0 Thay các giá trị vừa tìm được của A và B vào (2-3) ta được phương trình của đường

đàn hồi:

EJ α

Q(o) cosα

1 EJ α

M(o) sinα

α

(o) y y(o)

,

−

−

−

− +

Trong phương trình (2-5) các đại lượng y(o), y’(o), M(o) và Q(o) được gọi là các

thông số ban đầu

Đối với mỗi loại thanh có liên kết khác nhau, ta có thể xác định các thông số chưa

biết từ các điều kiện biên ở đầu phải

Từ phương trình (2-5), ta tìm được phương trình góc xoay và từ đó suy ra phương

trình mô men uốn trong thanh:

z

α

α α

α cos

=

EJ

Q(o) sin

EJ

M(o) (o)

y (z)

) sin ) ( cos

) ( sin

) ( )

( )

(z EJ y z EJ y o z M o z Q o z

α α α

=

′′

−

Từ điều kiện cân bằng lực như trên hình (2-1) ta xác định được lực cắt Q(z) theo sơ

đồ thanh không biến dạng:

Q(o) dz

dy P dz

dM(z)

Các phương trình (2-5) ÷ (2-8) thiết lập cho trường hợp chuyển vị và nội lực trong

thanh là liên tục Nếu dọc theo chiều dài của thanh, chuyển vị và nội lực có bước nhảy

(gián đoạn) thì ta cần phải thiết lập các phương trình nội lực và chuyển vị cho từng đoạn

thanh trong đó các đại lượng này là liên tục Đối với đoạn thứ nhất ta có thể dùng các

phương trình (2-5) ÷ (2-8), đối với đoạn bất kỳ thứ m + 1 ta có thể viết các phương trình

chuyển vị và nội lực theo các phương trình của đoạn thứ m như sau:

+ +

=

a i

, a a

m 1

EJ

M a

z sin

y y

(z) y (z)

α

∆ α

α

∆

∆

[ i i ]

3

a

a z sinα -a z α EJ α

∆Q

+

=

a i

, a

, m

,

1

αEJ

∆M a

z cosα

∆y (z) y (z)

- 2 [ ( i) ]

a

a z cosα -1 EJ

α

∆Q

+

=

, a m

1

M

i

∆ α

2-3

a

a z sinα α

∆Q

ap m

1

m (z) Q (z) ∆Q

Trong đó z ≥ ai, ai biểu thị toạ độ của tiết diện ranh giới giữa đoạn thứ m và đoạn

thứ m + 1, tại đó có sự gián đoạn về chuyển vị và nội lực Các đại lượng

i

a

∆y , ,a

i

∆y ,

i

a

i

a

∆Q lần lượt biểu thị giá trị của các bước nhảy về độ võng, góc xoay, mô men

uốn và lực cắt tại toạ độ z = ai

2.2 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết cứng ở hai đầu

Trong thực tế, các thanh thẳng chịu nén có thể có các liên kết ở hai đầu dưới các

hình thức khác nhau như sau:

1 Thanh có hai đầu là khớp

2 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm,

3 Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo phương vuông góc với trục

thanh

4 Thanh có một đầu ngàm, một đầu ngàm trượt theo trục của thanh,

5 Thanh có một đầu khớp một đầu ngàm

Để xác định lực tới hạn cho những thanh nói trên, ta có thể áp dụng phương pháp

tĩnh học hoặc các phương pháp khác như phương pháp năng lượng đã trình bày trong

chương 1 Ở đây ta áp dụng phương pháp tĩnh học, đồng thời sử dụng các phương trình

tổng quát đã lập ở mục 1, để giải quyết chính xác bài toán

Xét trường hợp thứ nhất là: thanh có khớp ở hai đầu Đối với trường hợp này, các

thồng số ban đầu có giá trị như sau:

y(o) = 0 , y’(o) = ? M(o) = 0, Q(o) = ?

Do đó, từ phương trình tổng quát (2-5) ta có:

( )

α

α )sin z (o y' z

Theo điều kiện biên khi z = l, y(l) = 0 ta được:

α

α

l y' (o sin

y

Điều kiện này được thoả mãn với hai khả năng: y’(o) = 0, hoặc sinαl = 0 Nếu

y’(o) = 0, thì y(z) = 0, lúc này thanh vẫn thẳng chưa mất ổn định Muốn cho lực P đạt đến

giá trị tới hạn tương ứng với trạng thái mất ổn định thì trong hệ phải tồn tại trạng thái cân

bằng mới khác trạng thái cân bằng ban đầu Do đó y’(o) phải khác không Vậy, sinαl = 0

Từ đó rút ra αl = kπ và từ (2-2) ta xác định được:

2

2 2 th

EJ π k P

l

= với k = 1, 2, , ∞

2-4

Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với khi k = 1 thì: Pth π22EJ

l

Công thức này là công thức Ơ-le đã quen biết trong giáo trình sức bền vật liệu Cũng áp dụng phương pháp trên ta có thể tìm được tải trọng tới hạn cho bốn trường hợp sau

( )2

2 th µ

EJ π P

l

Trong đó µ là hệ số phụ thuộc vào dạng liên kết ở hai đầu thanh và có giá trị cho trong bảng 2-1

Bảng 2-1 Bảng xác định hệ số m

Sơ

đồ

thanh

2.3 Ổn định của các thanh thẳng có liên kết đàn hồi

P y

l

y(0)

z

ϕ

ϕ

v vtgθ

ctgv

v th π 2

2

Hình 2-2 a) Sơ đồ tính; b) Đồ thị tìm V th

Trong thực tế, ta còn gặp các thanh có liên kết đàn hồi Trong mục này ta sẽ nghiên cứu cách tính ổn định của thanh có các dạng liên kết đàn hồi thường gặp như sau:

2.3.1 Thanh có một đầu tự do và một đầu ngàm đàn hồi

Trong trường hợp này, các thông số ban đầu có giá trị như sau (hình 2-2a)

y(o) = ? , y’(o) = ?

M(o) = 0, Q(o) = 0

P

l

l

2-5

Các phương trình (2-5) và (2-6) có dạng:

z

sinα α

(o) y y(o) y(z)

,

+

=

z

(o)cosα y

(z)

y, = ,

Điều kiện biên: khi z = l; y(l) = 0 và y’(l) = ϕ

Nếu gọi ϕ là hệ số đàn hồi của liên kết tức là góc xoay của ngàm đàn hồi do mô

men bằng đơn vị gây ra thì trong trường hợp này, vì mô men tại ngàm đàn hồi bằng

-P.y(o), nên: ϕ = − Py(o) ϕ

Theo các điều kiện biên ta lập được hai phương trình thuần nhất như sau để xác

α α =

′ + y (o)sin l y(o)

ϕ

Py(o)

Từ điều kiện tồn tại các thông số y(o) và y’(o) ta được phương trình ổn định:

cosα

sinα 1

α

l

l

ϕ

Sau khi khai triển định thức trên ta có: cos l−sin Pϕ =0

α α α

ϕ

= EJ

l l tg

α

Nếu đặt αl= vvà

θ

=

ϕ tg

1 EJ

l

thì phương trình ổn định có dạng: cotgv=vtgθ

Để giải phương trình siêu việt trên ta nên dùng phương pháp đồ thị: Lần lượt vẽ

các đường biểu diễn của các hàm số β = cotgv và β = v.tgθ theo biến số v như trên (hình

2-2b) để tìm giao điểm của chúng Hoành độ của những giao điểm này xác định các

nghiệm cần tìm Nghiệm có ý nghĩa thực tế là nghiệm cho lực tới hạn nhỏ nhất Sau khi

tìm được vth ta sẽ xác định được

l

th th

v

α = và từ đó suy ra lực tới hạn tương ứng

Từ hình vẽ ta thấy vth nhỏ nhất có giá trị luôn luôn nhỏ hơn π/2 do đó lực tới hạn

luôn luôn nhỏ hơn giá trị π2EJ/4l2 là lực tới hạn tương ứng với thanh có một đầu tự do và

một đầu ngàm cứng

Trường hợp giới hạn khi ϕ = 0 thì vth = π/2 do đó Pth = π2EJ/4l2

2.3.2 Thanh có một đầu ngàm cứng còn một đầu có liên kết thanh đàn hồi (hình

2-3a)

2-6

P

y(0)

R = y(0) y y

z

tgv tgv

vth

π

2 3π

tgv

v

Hình 2-3 Sơ đồ tính và biểu đồ xác định v th

Các thông số ban đầu: y(o) = ?, y’(o) = ? , M(o) = 0,

y

y(o) R

Q(o)= =

Trong đó y là hệ số đàn hồi của liên kết Ý nghĩa vật lý của y là biến dạng của

liên kết đàn hồi do lực bằng đơn vị gây ra

Phương trình đường đàn hồi (2-5) có dạng:

α

α

′ +

=

EJ y

y(o) sin

(o) y y(o)

Theo các điều kiện biên khi z = l, y = 0 và y’ = 0, ta có:

(α sin α ) 0 α

y

α

EJ

y(o) sin

(o) y' y(o)

3

(1 cosα ) 0 EJ

yα

y(o) (o)cosα

Từ đó rút ra phương trình ổn định:

l cos EJ y

l cos 1

l sin EJ y

l sin l 1 D

2

3

=

−

−

−

−

=

α α

α α

α α

α α

α

Sau khi khai triển định thức ta được:

3 3 ) (

l

EJ y l l l

tgα =α − α

hay:

3

3

l

EJ y v v

Để giải phương trình này ta cũng dùng phương pháp đồ thị (hình 2-3b) Từ

(hình 2-3b) ta thấy giá trị của vth nằm trong khoảng giữa π/2 và 3π/2

2-7

Khi y= ∞ tức là khụng cú thanh đàn hồi thỡ tgv = -∞; v = π/2 Vậy Pth = π2EJ/(2l)2

Ta được cụng thức tớnh lực tới hạn của thanh cú một đầu ngàm và một đầu tự do

Khi y= 0 tức là thanh đàn hồi trở thành tuyệt đối cứng thỡ tgv =v; v = 4,493 Vậy Pth

= π2EJ/(0,7l)2 Ta được cụng thức tớnh lực tới hạn của thanh cú một đầu ngàm và một đầu

khớp

2.3.3 Thanh cú một đầu ngàm đàn hồi cũn một đầu là liờn kết thanh tuyệt đối

cứng (hỡnh 2-4)

Cỏc thụng số ban đầu:

y(o) = 0, y’(o) = ?

Phương trỡnh đàn hồi (2-5) cú dạng:

M(o) = 0 , Q(o)=R

EJ α

R sinα α

(o) y

,

−

−

= Cỏc điều kiện biờn:

Khi z = l; y(l) = 0 và y' (l) = ϕ Rl

Do đú ta cú:

0 EJ

α

α sin α R α

sinα (o)

0 α

α cos 1

R

(o)cos

l

Phương trỡnh ổn định:

0 EJ

l cos 1 l cos

EJ

l sin l l

sin )

D(

2

3

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

α

α

− + ϕ

− α

α

α

− α

− α

α

=

Sau khi khai triển định thức trờn ta được:

( )

l l

l

tg

2 α 1

α α

+

l

ϕ

EJ v 1

v tgv

2 +

Tương tự như trờn ta dễ dàng tỡm được lực tới hạn vth tương ứng với 2 trường hợp

sau:

P y

z

ϕ

R

l

Hình 2-4 Thanh 1 đầu khớp

1 đầu ngàm đàn hồi

2-8

- Nếu ϕ = 0 tức là khi liờn kết ngàm đàn hồi trở thành ngàm cứng thỡ tgv = v;

v = 4,493 Vậy Pth = π2EJ/(0,7l)2

-Nếu ϕ = ∞ tức là khi ngàm đàn hồi trở thành khớp thỡ phương trỡnh ổn định trở

thành sinv = 0 Do đú v = αl = π Vậy Pth = π2EJ/l2

2.4 Ổn định của cỏc thanh thẳng cú tiết diện thay đổi

Trong cỏc cụng trỡnh, để phự hợp với tỡnh hỡnh chịu lực, người ta thường dựng

những thanh cú tiết diện thay đổi Khi đú ta nờn dựng cỏc phương phỏp gần đỳng đó trỡnh

bày trong chương 1 Trong mục này chỉ giới thiệu cỏch tớnh chớnh xỏc cho một số trường

hợp thanh cú tiết diện thay đổi theo những quy luật tương đối phổ biến trong thực tế

2.4.1 Thanh cú độ cứng thay đổi theo hỡnh dạng bậc thang

Xột thanh gồm hai đoạn cú độ cứng thay đổi như trờn (hỡnh 2-5) Gọi EJ1 là độ cứng

của đoạn trờn và EJ2 là độ cứng của đoạn dưới

Phương trỡnh vi phõn viết cho từng đoạn như sau:

Pδ Py y

EJ ,, 1

1

Pδ Py y

EJ2 ,,2 + 2 =

Nghiệm của hai phương trỡnh vi phõn trờn cú dạng:

δ z cosα B z sinα A

y1= 1 1 + 1 1 + ; y2= A2sinα2z + B2cosα2z + δ

Trong đú:

1 1

EJ

P

2 2

EJ

P

Từ cỏc điều kiện biờn ta cú: khi z = 0; y’2 =

0;

khi z = l; y1 = d; khi z = l2; y’1 = y’2;

2 2 2

2 1 2 1

2

EJ

EJ

y′′= ′′ = ′′

α

α

Ta cú: A2 = 0

0 l

α B co s sin

0 sinα

α B sinα α B cosα α

A1 1 1l2 − 1 1 1l2 + 2 2 2l2 =

0 cosα B cosα B sinα

A1 1l2 + 1 1l2− 2 2l2 =

Thiết lập điều kiện tồn tại cỏc hằng số tớch phõn ta sẽ được phương trỡnh ổn định:

l cos -l cos l sin

l sin l

sin l

cos

0 l

cos l sin D

2 2 2

1 2

1

2 2 1

2 2 1 2

1

1 1

=

−

= α

α α

α

α α

α α α

α α

(2-17)

J

J

1

2

l

l

1

2 l

δ

z

y

Hình 2-5 Thanh có tiết diện thay đổi

2-9

Sau khi khai triển và rút gọn ta được:

2

1 2 2 1 1

α

α α

.

α l tg l =

tg (2-18)

Phương trình (2-18) chỉ có thể giải được khi đã biết tỷ số EJ1/EJ2 và l2/l1

Trường hợp thanh chịu hai tải trọng tập trung: lực P1 đặt ở đỉnh và lực P2 đặt ở chỗ tiếp giáp giữa hai đoạn, thì cũng thiết lập tương tự như trên ta được phương trình ổn định:

1

2 1 2

1 2 2 1

P

P P α

α α

l tg l

tg (2-19) Trong đó:

1 1

EJ

P

α = ;

2

2 1 2

EJ

P P

Phương trình (2-18) cũng có thể áp dụng cho trường hợp thanh chịu lực nén ở hai đầu thanh

Đối với những thanh này ta có thể viết công thức xác định lực tới hạn như sau:

2 2

l

EJ K

Trong đó K2 là hệ số phụ thuộc dạng liên kết ở hai đầu và phụ thuộc tỷ số J1/J2, l2/l

Hệ số này được xác định theo (bảng 2-2)

Bảng 2-2 Bảng xác định hệ số K 2

Thanh có

khớp tựa

ở hai đầu

0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,153 1,467 2,796 5,089 6,978 8,550

-

0,270 2,401 4,222 6,680 8,187 9,177

-

0,598 4,498 6,694 8,512 9,240 9,632

-

0,257 8,590 9,330 9,675 9,780 9,840

-

-

-

-

-

-

- π

Thanh có

2 đầu

ngàm

0,01 0,10 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

0,614 5,866 11,132 20,238 27,713 34,022

-

1,082 9,484 16,261 24,888 30,616 35,314

-

2,390 15,467 20,460 26,306 31,086 35,442

-

8,484 17,130 21,058 27,470 32,458 36,374

-

-

-

-

-

-

- π l2/l

J1/J2