ổn định của vòm

òm là một loại kết cấu thuộc hệ thanh có trục là đường cong, vòm chỉ chịu nén đúng tâm khi trục thanh trùng với đường cong áp lực. Khi mất ổn định, vòm chuyển từ dạng cân bằng chịu nén sang

3-1

Chương 3

ỔN ĐỊNH CỦA VÒM

Vòm là một loại kết cấu thuộc hệ thanh có trục là đường cong, vòm chỉ chịu nén

đúng tâm khi trục thanh trùng với đường cong áp lực Khi mất ổn định, vòm chuyển từ

dạng cân bằng chịu nén sang dạng cân bằng chịu uốn, nghĩa là khi mất ổn định thì trong

vòm xuất hiện ứng suất phụ do uốn

Trong phần, tôi trình bầy cách tính sự ổn định của hai loại vòm: vòm tròn và vòm

parabôn Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ đề cập đến bài toán ổn định về dạng đối xứng của

vòm parabôn

3.1 Phương trình vi phân của thanh tròn

Xét thanh tròn AB, chịu biến dạng uốn trong mặt phẳng ban đầu Sau khi biến dạng

thanh di chuyển đến vị trí A’B’ như trên (hình 3-1), ta có thể phân tích chuyển vị của mỗi

điểm trên thanh theo hai thành phần: chuyển vị hướng tâm ký hiệu là w và chuyển vị theo

phương tiếp tuyến ký hiệu là u

Các chuyển vị của hệ được xem là nhỏ, đồng thời chuyển vị v thường rất nhỏ so với

chuyển vị w, nên để tính toán ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của chuyển vị u

Để thiết lập phương trình vi phân của chuyển vị cong ta xét một phân tố chiều dài

ds của thanh Giả sử trước khi biến dạng phân tố có vị trí mn, sau khi biến dạng phân tố

chuyển dời tới m’n’ Tiết diện m có chuyển vị hướng tâm là w và chuyển vị góc là dw/ds

Tiết diện n có chuyển vị hướng tâm là (w + dw) và chuyển vị góc là: ds

ds

w d ds

dw

2

2

+

Từ đó ta thấy gia số chuyển vị góc từ điểm m’ đến điểm n’ là: ds

ds

w d

2

=

Nếu chuyển vị w hướng về phía tâm cong của cung tròn là dương, còn mô men

uốn làm giảm độ cong ban đầu của thanh là dương, thì ta có sự liên hệ giữa độ biến thiên

độ cong và mô men uốn như sau:

dθ θ

A

A

m n B

B ,

,

r0

dθ

w

r 0

dθ dθ+∆dθ dw

dS

,

dS dw + dS

d dS

dw ( )dS

O

Hình 3-1 Sơ đồ biến dạng của một đoạn vòm cong

3-2

M r

1 r

1

EJ

0

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

Trong đó r và r0 lần lượt là bán kính cong trước và sau khi biến dạng

Từ các quan hệ hình học ta có:

ds

dθ r

1

0

= và

∆ds ds

∆dθ dθ r

1

+

+

=

Nếu khi so sánh chiều dài của phân tố ở lúc trước và sau khi biến dạng, ta bỏ qua

góc vô cùng bé dw/ds tức là xem chiều dài của phân tố m’n’ bằng (r0 - w)dθ thì:

ds r

w wdθ dθ

r w)dθ

- (r

∆ds

0 0

0 − =− =−

=

Do đó:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

0

2

r

w 1 ds

ds ds

w d dθ

r

1

Hay:

ds

w d r

1 r

w 1

r

0 0

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

2 2

0

0 ds

w d r r

w r

1

r

Vì bán kính cong ban đầu r0 và bán kính sau khi biến dạng r khác nhau rất ít nên ta

có thể thay w/r0r bằng w/r20 Do đó, từ (3-1) và (3-2) ta có:

EJ

M ds

w d r

w

2

2 2

0

−

=

dθ

dw r

1 ds

dθ dθ

dw ds

dw

0

=

2

2 2 0 0

2

dθ

w d r

1 dθ

dw r

1 ds

d ds

w

d

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

Nên phương trình (3-3) sẽ trở thành:

EJ

Mr w

dθ

w

2

2

−

=

Đó là phương trình vi phân cân bằng của thanh cong viết theo hệ toạ độ cực

3.2 Ổn định của vành tròn chịu áp lực phân bố đều hướng tâm

3-3

Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vành tròn có thể mất ổn định trong mặt phẳng như trên (hình 3a) Ta hãy xét nửa vành tròn chịu áp lực phân bố đều với cường độ q và các phản lực N0, M0 như trên (hình 3-2) Mô men uốn tại tiết diện C bất kỳ

có chuyển vị hướng tâm w được xác định theo biểu thức sau:

2

AC q AD N M

M

2 0

0

C = + − , nhưng: N0 = q AO, Nên:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

−

= AC 2AO.AD

2

q M

Từ các hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

AO AD 2 AO AC

Do đó:

2 2

2

AO OC

AO AD 2

Nên sau khi thay vào biểu thức mô men uốn ta được:

C = 0 − ⎜⎝⎛OC2−AO2⎟⎠⎞

2

q M

Nhưng theo (hình 3-2) ta có: OC = R − w và AO = R − w0

Nên sau khi thay OC và AO vào biểu thức mô men uốn đồng thời bỏ qua các số hạng vô cùng bé bậc hai, ta được:

(w w) qR

M

MC = 0− 0 −

Do đó, phương trình vi phân (3-4) có dạng:

2 0

0 2

2

R w EJ

qR w EJ

qR EJ

M w

dθ

w

d

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

−

= +

ω

θ R

N

y C

q

M

A x

ω0

0

Hình 3-2 Sơ đồ tính nửa vành tròn chịu áp lực

3-4

Hay:

D EJ

qR 1 w dθ

w

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

EJ

qRw M

R

Nghiệm của phương trình vi phân (3-5) có dạng:

2

k

D Bsink Acosk

Phương trình chuyển vị góc:

k

D Bsink Akcosk

d

θ

Trong đó:

EJ

qR 1 k

3

+

= (3-7)

Các điều kiện biên: khi θ = 0; 0

d

dw =

θ ; khi θ = π/2; 0

dθ

dw =

2

Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm:

π 2

kπ = ; do đó k = 2

Thay k = 2 vào công thức (3-7) ta sẽ được tải trọng tới hạn:

3 th

R

EJ 3

3.3 Ổn định của vòm tròn chịu áp lực hướng tâm phân bố đều hướng tâm

3.3.1 Vòm hai khớp

Dưới tác dụng của áp lực phân bố đều hướng tâm, trong vòm tròn hai khớp chỉ tồn

tại lực nén đúng tâm Tải trọng tới hạn nhỏ nhất xảy

ra tương ứng với biến dạng phản đối xứng như trên

mất ổn định đối xứng Lực dọc tại tiết diện bất kỳ

0 EJ

qR 1 w dθ

w

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

ω

R

α α θ

l

R f

Hình 3-3 Sơ đồ tính vòm hai khớp.

3-5

Nếu tiết diện của vòm không đổi thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng:

Bsinkθ Acoskθ

Trong đó k xác định theo

EJ

qR 1 k

3 +

Từ điều kiện biên: khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0,

ta xác định được: A = 0; Bsinkα = 0

Phương trình ổn định sẽ là: sinkα = 0

Tải trọng tới hạn nhỏ nhất tương ứng với nghiệm: kα = π

Do đó, theo (3-10) ta có: 3 22

α

π EJ

qR

1+ =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

α

π R

EJ

2 3

Trường hợp đặc biệt khi α = π/2 thì:

3 th

R

EJ

Đối với trường hợp vòm thoải nghĩa là khi góc α khá nhỏ so với π thì trong công

thức (3-11) ta có thể bỏ qua con số đơn vị Lúc này công thức lực tới hạn có dạng gần

đúng như sau:

( )R R

EJ q

2

2 th

α

π

Lực dọc tới hạn:

2 2

2 th

th

s

EJ π αR

EJ π R q

Trong đó s là nửa chiều dài theo đường cung của vòm Như vậy đối với các vòm

thoải, ta có thể xem vòm như một thanh có liên kết khớp ở hai đầu với chiều dài tính toán

bằng một nửa chiều dài đường cung vòm và áp dụng công thức Ơle để xác định lực dọc

tới hạn Ngoài ra cần chú ý rằng kết quả tìm được theo công thức gần đúng thường lớn

hơn kết quả tìm được theo công thức chính xác

Để xác định xem loại vòm nào là vòm thoải, ta hãy nghiên cứu sai số giữa hai công

thức (3-11) và (3-13) Ta dễ dàng tìm được sai số tỷ đối:

1 α

π

100 ε

2

2

−

Trong trường hợp vòm có tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài nhịp l là f/l = 1/5, ta có:

3-6

0,4

l

f 2

2

α

tg = = Suy ra α = 43°30'

Theo (3-15) sai số tỷ đối:

% 2 , 6 1 5 , 43 180

100

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

ε

Như vậy ta thấy khi f/l ≤ 1/5 thì có thể coi vòm là thoải và công thức (3-13) cũng

cho những kết quả đáp ứng được yêu cầu thực tế

3.3.2 Vòm không khớp

Theo A.N.Đinnhich, tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm không khớp sẽ xảy ra tương

ứng với dạng mất ổn định phản đối xứng Khi biến dạng, vòm không khớp chỉ khác vòm

hai khớp là tại mặt cắt của chân vòm có xuất hiện các mô men M0

Như vậy mô men uốn trong vòm không khớp cũng được xác định như trong vòm

hai khớp, nhưng có bổ sung thêm mô men uốn phụ do M0 gây ra Biểu đồ mô men uốn

phụ do M0 gây ra có dạng hình thang xoắn như trên (hình 3-4b)

Ta có:

z

2M q.R.w

θ

l

−

=

α

sin

2R

l =

Nên:

sinα

sinθ M q.R.w

Mθ = − 0 (3.16)

EJsinα

sinθ R M w EJ

qR 1 dθ

w

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

Nghiệm của phương trình (3-16) có dạng: θ θ sinθ

1 sin

− + +

=

k

C k

B k A

khi θ = 0; w = 0; khi θ = α; w = 0 và 0

dθ

dw =

Hình 3-4 Sơ đồ tính vòm không khớp.

R

θ

R

l

M M

B A

C

0 0

0

M

M 0

M 0 2z l a,

b,

3-7

Từ điều kiện thứ nhất ta được A = 0, còn từ điều kiện thứ hai và thứ ba ta được:

0 sinα 1 k

C

−

0 cosα 1 k

C

−

Phương trình ổn định:

0 1 k

cosα kcoskα

1 k

sinα sinkα

D

2

2

=

−

−

=

Sau khi khai triển và biến đổi ta được:

0 ctgkα

Giải phương trình (3-18) ta sẽ tìm được k và từ (3-17) ta suy ra tải trọng tới hạn như

(k 1)

R

EJ

qth = 3 2 − (3-19)

Bảng (3-1) cho ta các giá trị của k tương ứng với các góc α của vòm không khớp:

Bảng 3-1 Bảng các giá trị của hệ số k

3.3.3 Vòm ba khớp

Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vòm tròn ba khớp có thể mất

ổn định theo dạng phản đối xứng hoặc theo dạng đối xứng (hình 3-5a và b) Khi mất ổn

định theo dạng phản đối xứng, Đường biến dạng của vòm ba khớp giống như đường biến

dạng của vòm hai khớp Như vậy, ta có thể dùng công thức (3-11) để xác định tải trọng

tới hạn cho vòm ba khớp tương ứng với dạng biến dạng phản đối xứng

Trong trường hợp thứ hai, đường biến dạng của vòm đối xứng (hình 3-5b), điểm C

có chuyển vị thẳng đứng Thực nghiệm chứng tỏ rằng tải trọng tới hạn nhỏ nhất của vòm

ba khớp xảy ra tương ứng với trường hợp biến dạng đối xứng Lúc này, cường độ của tải

trọng tới hạn được xác định theo công thức sau:

3 2

2 th

R

EJ α

α 4v

3-8

Trong đó giá trị nhỏ nhất của v xác định theo phương trình ổn định sau:

3

α tgα 4 v

v

(3-21)

3.3.4 Vòm một khớp

Dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều hướng tâm, vòm một khớp có thể mất ổn

định theo hai trường hợp sau:

- Trường hợp thứ nhất: vòm mất ổn định theo dạng phản đối xứng Lúc này đường

biến dạng của vòm giống như đường biến dạng của vòm không khớp Do đó, ta

có thể dùng công thức (3-19) để xác định tải trọng tới hạn

theo dạng đối xứng (hình 3-6) Tải trọng tới hạn nhỏ nhất sẽ xảy ra tương ứng

với trường hợp này và được xác định theo công thức sau:

th

R

EJ 1 k

trong đó k được xác định theo phương trình sau:

− +

− +

−1) (k 2k 2)coskα [2(k2 4 2 (k2 −1)kαsinkα]tgα=

] osk 1)kα (k

k[sinkα+ 2 − c α

=

Trong tất cả các trường hợp trên, tải trọng tới hạn có thể viết dưới dạng chung như

sau:

l

f

α

C 1

C

α

Hình 3-5 Sơ đồ tính vòm ba khớp

l

C

f

q

Hình 3-6 Vòm một khớp

3-9

3 1 th

R

EJ K

q = (3-23)

Lực dọc tới hạn cũng có thể viết dưới dạng chung:

2 1 th

R

EJ K

N = (3-24)

Hệ số K1 phụ thuộc góc α và có giá trị ghi trong bảng 3-2

Bảng 3-2 Bảng giá trị hệ số k 1

2α Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp

300

600

900

1200

1500

1800

294,0 73,3 32,4 19,1 11,5 8,0

162,0 40,2 17,4 10,2 6,56 4,61

143,0 32,0 15,0 8,0 4,76 3,00

108,0 27,6 12,0 6,75 4,32 3,00 Nếu thay: R(1 - cosα) = f;

2

α = l Rsin , thì công thức (3-23) sẽ có dạng như sau:

3

l

EJ K

Trong đó hệ số K2 là hệ số phụ thuộc vào điều kiện liên kết gối tựa và tỷ số f/l Các

giá trị của K2 ghi trong bảng 3-3

Bảng 3-3 Bảng các giá trị hệ số k 2

l

f

Vòm không khớp Vòm một khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

58,9 90,4 93,4 80,7 64,0

33,0 50,0 52,0 46,0 37,0

28,4 39,3 40,9 32,8 24,0

22,2 33,5 34,9 30,2 24,0

Ta cũng có thể biểu thị sự biến thiên của hệ số K2 theo các tỷ số f/l bằng đồ thị như

trên (hình 3-7) Qua các đường cong đó ta thấy:

- Độ ổn định của vòm giảm dần khi số khớp trong vòm tăng lên

- Tải trọng tới hạn của các vòm có giá trị lớn nhất khi tỷ số f/l có giá trị vào khoảng

0,3

3.4 Ổn định của vòm parabôn

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu bài toán ổn định của vòm có dạng đường parabôn bậc hai, chịu tải trọng phân bố đều theo chiều dài của nhịp vòm

Nếu bỏ qua mô men uốn do biến dạng nén của vòm thì dưới tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều, trong vòm chỉ xuất hiện lực dọc trục Nhưng khi tải trọng đạt đến giá trị tới hạn thì vòm bị mất ổn định và trong vòm sẽ xuất hiện các mô men uốn Trên (hình 3-8) biểu thị dạng mất ổn định phản đối xứng của vòm parabôn hai khớp tương ứng với tải trọng tới hạn nhỏ nhất

A C Lôcxin là người đầu tiên đã tìm ra nghiệm chính xác của bài toán này Viện sỹ

A N Đinnhích đã nghiên cứu sự ổn định của vòm parabôn có tiết diện không đổi và thay đổi tương ứng với các điều kiện liên kết gối tựa khác nhau A N Đinnhích đã dùng phương pháp số để tích phân những phương trình vi phân cấp ba khá phức tạp và đã xác định các hệ số ổn định cho từng trường hợp Ở đây chúng ta không nghiên cứu tỉ mỉ các nghiệm chính xác mà chỉ đưa ra kết quả cuối cùng

10 0

20 30 40 50 60 70

K 90 80

f l

2

Kh«ng khíp

Hai khíp

Ba khíp

Hình 3-7 Đồ thị k 2 = f(f/l)

l

f C

Hình 3-8 Vòm parabol

Bảng 3-4 Bảng các giá trị hệ số k 3

Vòm ba khớp

l

không khớp

Vòm một khớp

Vòm hai khớp Biến dạng đối

xứng

Biến dạng phản đổi xứng 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,8

1,0

60,7 101,0 115,0 111,0 97,4 83,8 59,1 43,7

33,8 59,0

- 96,0

- 80,0 63,0 48,0

28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1

22,5 39,6 47,3 49,2

- 38,0 28,8 22,1

28,5 45,4 46,5 43,9 38,4 30,5 20,0 14,1

Cũng như trường hợp vòm tròn, công thức xác định lực tới hạn cho vòm parabôn có thể biểu diễn dưới dạng chung như sau:

3 3 th

EJ K q

l

= (3-27)

K3 là hệ ổn định phụ thuộc loại vòm và tỷ số giữa mũi tên f với chiều dài l của nhịp vòm Trong bảng 3-4 cho biết các giá trị của hệ số K3

Đối với vòm ba khớp ta cần đối chiếu các trị số K3 trong hai trường hợp biến dạng đối xứng và biến dạng phản đối xứng, chọn giá trị K3 nhỏ nhất để xác định lực tới hạn Khi biến dạng phản đối xứng, hệ số K3 của vòm ba khớp trùng với hệ số K3 của vòm hai khớp

Khi tính các loại cầu vòm có tiết diện thay đổi, ta cần phải thiết lập và tích phân các phương trình vi phân cân bằng có kể đến sự thay đổi của các mô men quán tính Nói chung, các loại bài toán này đã được nghiên cứu và đã có các bảng hệ số ổn định ứng với những trường hợp vòm có tiết diện thay đổi theo những quy luật thường gặp trong thực

tế

Khi tính vòm parabôn có tiết diện thay đổi A F Smirnôp đã dùng lý thuyết ma trận

để giải bài toán này một cách tương đối đơn giản

Công thức tính tải trọng tới hạn của vòm parabôn có tiết diện thay đổi chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng phân bố đều cũng có thể viết dưới dạng chung như sau:

3 4 th

EJ K q

l

= (3-28)

Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cos3ϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-5) Trong đó J0 là mô men quán tính ở đỉnh vòm còn ϕ là góc hợp giữa tiếp tuyến với trục vòm so với phương nằm ngang

Bảng 3-5 Bảng các giá trị hệ số k 4

l

f

Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,8

1,0

65,5 134,0 204,0 277,0 444,0 587,0 700,0

30,7 59,8 81,1 101,0 142,0 170,0 193,0

24,0 51,2 81,1 104,0 142,0 170,0 193,0

Khi tiết diện của vòm thay đổi theo luật J = J0/cosϕ, hệ số K4 có giá trị tìm được theo (bảng 3-6)

Bảng 3-6 Bảng giá trị các hệ số k 4

l

f

Vòm không khớp Vòm hai khớp Vòm ba khớp 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,8

1,0

62,3 112,0

- 154,0 152,0 133,0 118,0

29,5 49,0

- 57,0 52,0 44,0 37,0

23,2 43,6 59,0 57,0 52,0 44,0 37,0