Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục

Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục

Trường Đại học Công Nghệ

BÀI TẬP LỚN Môn: Lý thuyết điều khiển tự động

Đề bài: Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ

thống điều khiển liên tục

Hà Nội, 04/2014

GVHD: ThS Nguyễn Thị Cẩm Lai

Nhóm sinh viên thực hiện: Nhóm 3

Lời mở đầu

Ngày nay, tự động hóa đã trở thành một vẫn đề thiết yếu trong ngành công nghiệp Những ứng dụng từ lĩnh vực này đã và đang len lỏi vào cuộc sống của con người, giúp cho con người có một cuộc sống được tiện nghi và thoải mãi hơn Chúng ta có thể tìm thấy rất nhiều thứ có ứng dụng của lĩnh vực điều khiển tự động cả trong đời sống hàng ngày cũng như là trong sản xuất công nghiệp như những cơ cấu điều khiển quạt điện tự quay, hay những dây chuyền công nghiệp hiện đại, phức tạp Ngành điều khiển tự động có cơ sở từ cuối thế kỳ XIX tới đầu thế kỷ XX và thực sự phát triển mạnh vào nửa cuối thế kỷ XX và có xu thế ngày càng phát triển hơn nữa với những kỹ thuật mới, những thuật toán điều khiển mới Ngày nay, hệ thống điều khiển tự động đã phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực công nghệ và phát triển song song với các kỹ thuật tiên tiến như điện tử và máy tính Với nhiều công nghệ mới ra đời, nhiều hệ thống tự động phức tạp đã được thiết kế và đưa vào sử dụng như kỹ thuật mạng không dây, kỹ thuật vô tuyến, …

Kỹ thuật điều khiển tự động đã được ứng dụng vào nhiều ngành khác nhau và nhiều hệ thống điều khiển chuyên nghiệp khác nhau đã được ra đời Có thể liệt kê một số những ứng dụng chính như: các hệ thống điều khiển của các nhà máy nhiệt điện, thuỷ điện; hệ thống tự động trong các nhà máy sản xuất thực phẩm như cocacola, sữa, đường,… các nhà máy lắp ráp ôtô, robot; các nhà máy sản xuất vật liệu xây dựng như xi măng, sản xuất kính, gạch men; các hệ thống điều khiển trong ngành hàng không và vũ trụ, hệ thống điều khiển điện tử nhúng dùng trong công nghiệp chế tạo và trong đời sống hàng ngày, hệ thống điều khiển phương tiện giao thông trên mặt đất, ứng dụng trong y học, điều khiển tên lửa, điều khiển phương tiện trên biển, điều khiển các quá trình sản xuất trong công nghiệp, rô bốt và cơ điện tử, hệ thống sản xuất trong lĩnh vực công nghệ cao như sản xuất, lắp ráp các hệ thống vi mạch v v

Một hệ thống điều khiển tự động có một số đặc tính cần phát phân tích như tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn đinh, … những đặc tính này đóng vai trò quyết định hành vi của hệ thống Trong đó tính ổn định của hệ thống đóng vai trò rất quan trọng Có thể thấy khi hệ thống không ổn định sẽ gây ra những bất lợi nhất định làm sai lệch trong quá trình vận hành, thậm chí gây hỏng hóc, hoặc tai nạn, … Một ví dụ về hệ thống mất ổn định là khi biên độ trạng thái của hệ tăng lên đến vô cùng mặc dù đầu vào đã được khống chế, điều này rất nguy hiểm bới

có thể gây ra cháy, nổ, hỏng hóc thiết bị, … Do đó công việc đầu tiên cần làm của người kỹ sư thiết kế hệ thống điều khiển là xem xét sự ổn định của hệ thống Khi ổn định hệ thống được đảm bảo thì mới xét đến các yếu tố khác của hệ thống như thời gian đáp ứng, tốc độ đáp ứng, … Với một hệ thống điều khiển tự động vòng kín, tính ổn định của hệ thống cũng như chất lượng của quá trình quá độ đều có thể được khảo sát thông qua sự thay đổi của đại lượng cần điều chỉnh y hoặc giá trị sai lệch e khi có tác động của nhiễu đặt trước u hoặc nhiễu D

Với đề tài được giao: “Tính ổn định và kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự

động liên tục” bài làm của nhóm 3 gồm có các phần sau:

I Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động

II Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc

III Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục

IV Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục

V Ứng dụng Matlab trong kiểm tra tính ổn định của hệ thống

VI Một số bài tập áp dụng

Phần I Giới thiệu khái quát về hệ thống điều khiển tự động

I Khái niệm về hệ thống điều khiển tự động liên tục

1 Giới thiệu mở đầu

Điều khiển là quá trình thu thập thông tin, xử lý thông tin và tác động lên hệ thống để đáp ứng của thệ thống gần với mục đích định trước

Điều khiển tự động là ứng dụng của lý thuyết điều khiển tự động vào việc điều khiển các quá trình khác nhau mà không cần tới sự can thiệp của con người

Ổn định là điều kiện cần thiết đầu tiên của một hệ thống điều khiển tự động Hệ thống điều khiển tự động được được gọi là ổn định nếu sau khi có nhiễu tác động làm thay đổi trạng thái cân bằng của nó thì nó tự hiệu chỉnh để trở lại trạng thái cân bằng Hoặc nếu tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn thì hệ thống đó được gọi là ở trạng thái ổn định

Nếu hệ thống không trở lại trạng thái cân bằng mà tín hiệu ra tiến tới vô cùng thì hệ thống

sẽ không ổn định Trạng thái trung gian giữa ổn định và không ổn định được gọi là biên giới ổn định Trong trường hợp này tín hiệu ra của hệ thống là một dao động có biên độ không đổi

2 Phân loại hệ thống tự động

2.1.1 Hệ thống điều khiển tuyến tính

Một hệ thống được gọi là tuyến tính nếu có thể áp dụng nguyên lý xếp chồng

Nguyên lý xếp chồng phát biểu rằng đáp ứng tạo ra bởi những kích thích đồng thời là tổng của các đáp ứng riêng lẻ Vì thế với hệ thống tuyến tính, đáp ứng với nhiều cửa vào có thể được xác định bằng cách xét đáp ứng của từng cửa vào sau đó cộng các đáp ứng lại với nhau Nguyên lý này cho phép tìm nghiệm phức của phương trinh vi phân tuyến tính từ các nghiệm đơn giản Trong nghiên cứu thực nghiệm một hệ thống động lực, nếu quan hệ giữa nguyên nhân

và kết quả là tỷ lệ thì nguyên lý xếp chồng là hiệu lực, lúc đó hệ thống được xem là tuyến tính

Hệ tuyến tính còn là những hệ thống đảm bảo tính đồng nhất (homogeneity) và tính cộng thêm (additive) thì được gọi là hệ thống tuyến tính

Tính đồng nhất hay còn gọi là quy tắc vô hướng, luật co giãn (scalar rule) có nghĩa là khi

độ lớn đầu vào của hệ thống tăng lên (scaled) thì độ lớn đầu ra từ hệ thống cũng sẽ tăng lên tương ứng

Tính cộng (Additive) là tính chất mà output của hệ thống có thể được tính như là tổng của kết quả phản hồi từ mỗi tín hiệu vào input đơn lẻ

Nếu dữ liệu vào có thể được phân rã như là tổng của các dữ liệu, tín hiệu đơn vị đã được trong số hóa thì đầu ra của một hệ thống tuyến tính sẽ như sau:

Vậy hàm trên mô tả hệ thống liên tục

2.1.2 Hệ thống điều khiển phi tuyến

Các quá trình trong công nghiệp như robotic và công nghiệp không gian thường có động lực phi tuyến lớn Trong lý thuyết điều khiển đôi khi có thể tuyến tính hóa thành các lớp trong hệ thống và áp dụng các kỹ thuật tuyến tính, nhưng trong nhiều trường hợp cần phải nghĩ ra từ các

lý thuyết cho phép điều khiển cho hệ thống phi tuyến Ví dụ phản hồi tuyến tính hóa, backstepping, điều khiển chế độ trượt, quỹ đạo điều khiển tuyến tính hóa thường sử dụng sự tiện lợi của kết quả dựa trên thuyết Lyapunov Hình học vi phân đã được sử dụng rộng rãi như là một công cụ điều khiển tuyến tính phổ biến nổi tiếng sử dụng trong điều khiển phi tuyến, cũng như chỉ ra những tinh tế, càng làm cho vấn đề thêm thách thức

Ví dụ: Kiểm tra hàm sau có mô tả hệ thống phi tuyến hay không:

Vậy hàm trên thỏa mãn là hàm mô tả hệ thống phi tuyến

2.1.3 Hệ thống điều khiển phân tán

Khi một hệ thống được điều khiển bởi nhiều bộ điều khiển, vấn đề là một trong các điều khiển phân tán Sự phân tán hóa thì hữu ích trên nhiều phương diện, chẳng hạn như nó giúp điều khiển hệ thống vận hành trong một khu vực địa lý rộng lớn Các nhánh trong các hệ thống điều khiển phân tán có thể tương tác với nhau bằng cách sử dụng các kênh liên lạc và phối hợp các hoạt động của chúng với nhau

2.1.4 Hệ thống bất biến theo thời gian

Một hệ thống là bất biến theo thời gian khi một khoảng dịch thời gian trong tín hiệu đầu vào cũng gây ta một độ dịch tương ứng trong tín hiệu đầu ra

2.1.5 Hệ thống biến đổi theo thời gian

Hệ thống gọi là biến đổi theo thời gian nếu tín hiệu đầu ra tại bất kỳ thời điểm nào đều phụ thuộc vào giá trị tín hiệu đầu vào

3 Điều kiện ổn định của hệ thống điều khiển tự động

Một hệ thống điều khiển tự động được gọi là ổn định nếu nó thỏa mãn điều kiện ràng buộc sau:

0

lim (t) 0

(1.1) lim ( ) 0

t t

4 Các yêu cầu với hệ thống tự động

Hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống

Hệ phi tuyến có thể ổn định trong phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn

Đối với hệ tuyến tính, đặc thù của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng nhất định

II Các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động

- Nếu lim ( ) e t  0 khi t   thì hệ thống ổn định

- Nếu lim ( ) e t   khi t   thì hệ thống không ổn định

- Nếu lim ( ) e t  dao động có biên độ không đổi khi t   thì hệ thống sẽ ở biên giới

ổn định

Ví dụ 1: Các trạng thái cân bằng của một viên bi ở các vị trí được mô tả như trong hình:

Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (vị trí a), hoặc

sẽ dao động quanh vị trí cân bằng (vị trí b) và (vị trí d), hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu (vị trí c) Trong ba trường hợp thì khi quả cầu ở vị trí a là vị trí quả cầu có cân bằng ở biên giới ổn

định; quả cầu ở vị trí b và d là vị trí quả cầu có cân bằng ổn định; quả cầu ở vị trí c là vị trí quả cầu có cân bằng không ổn định

Ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở về trạng thái ban đầu được – hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng Trong trường hợp này, việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó là những hệ thông mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ

số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng

Ví dụ 2: Đồ thị các trạng thái cân bằng của hệ thống tự động:

Ví dụ 3: Mô tả trạng các trạng thái cân bằng của hệ thống:

Phần II Sơ lược về tính ổn định của hệ thống điều khiển rời rạc

Hệ thống rời rạc là hệ thống có phương trình trạng thái được mô tả bằng phương trình sai phân Nếu một hệ thống liên tục được coi là ổn định khi các cực nằm bên trái mặt phẳng p thì thì một hệ thống rời rạc được coi là ổn định nếu các cực nằm bên trong đường tròn đơn vị

I Giới thiệu chung

Điều kiện để một hệ thống điều khiển liên tục ổn định là tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trái mặt phẳng phức Do quan hệ giữa biến z và biến s là z e  Ts nên

s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm bên trong vòng tròn đơn vị Do đó hệ thống điều khiển rời rạc ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều nằm bên trong vòng tròn đơn vị

II Khảo sát tính ổn định của hệ thống rời rạc

 Ổn định BIBO (Bounded Inputs – Bounded Outputs)

Khi cho x0= 0 với u k ( )bị chặn thìy k ( )cũng bị chặn, k  0

Điều kiện cần và đủ là đáp ứng xung g k ( )với u k ( )   ( ) k thỏa mãn:

+ Trường hợp có nghiệm phức bậc bội mở rej

biến đổiZđảo là tổng các thành phần

 !cos( 1 !   ) 1 ! 

k m m

Hệ thống ổn định nếu mọi nghiệm của đa thức đặc trưng nằm bên trong đường tròn đơn

vị

Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có nghiệm đơn trên đường tròn đơn vị, các nghiệm còn lại bên trong đường tròn đơn vị

Hệ thống không ổn định nếu có nghiệm ngoài đường tròn đơn vị hay có nghiệm bội trên đường tròn đơn vị

T

F PT P    Q

Tính ổn định của hệ thống theo Lyapunov:

Cho hệ tự trị với điểm cân bằng ở gốc:

+ Hệ thống là ổn định ở gốc nếu cho trước R  0 thì tìm được r > 0 sao cho nếu

- Định lý tuyến tính hóa Lyapunov (xét cho hệ phi tuyến):

+ Nếu hệ tuyến tính hóa có mọi nghiệm riêng ở bên trái mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến

là ổn định tiệm cận

+ Nếu hệ tuyến tính hóa có nghiệm riêng ở bên phải mặt phẳng phức thì hệ phi tuyến là không ổn định

+ Trường hợp hệ tuyến tính hóa ở biên giới ổn định thì không có kết luận về hệ phi tuyến

2 Tiêu chuẩn ổn định Routh – Hurwitz

Không thể sử dụng trực tiếp tiêu chuẩn Routh – Hurwitz để đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc vì miền ổn định của hệ rời rạc nằm bên trong đường tròn đơn vị

Ổn định của một hệ thống dữ liệu lẫy mẫu có thể được phân tích bằng cách biến đổi phương trình đặc tính của hệ thống sang mặt phẳng p rồi áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz Khi đó, sử dụng phương pháp Tustin và z được thay thế như sau:

2 2

1 1

2

pT pT

1 2 3 1 3 1 2

1 4 5 1

1

1 6 7 1

1

n

n n n n n

n n n n n

Nhận thấy các hệ số ở cột đầu tiên cùng dấu do đó hệ ổn định

Ví dụ 2: Một hệ thống điều khiển số có sơ đồ khối như trên hình Sử dụng tiêu chuẩn

Routh – Hurwitz để xác định giá trị của k để hệ ổn định Giả thiết k  0 và T  1 s

3 Tiêu chuẩn ổn định Jury

Biểu diễn phương trình đặc tính bậc n của hệ thống như dạng sau:

Thiết lập bảng Jury với các phần tử được định nghĩa như sau:

+ Các phần tử của mỗi hàng chẵn là các phần tử cuối của hàng trước viết theo thứ tự ngược lại

+ Các phần tử hàng lẻ được định nghĩa như sau:

y z G z

r z   G z trong đó 2

0,2 0,5 ( )

 Hệ thống không ổn định

Ví dụ 2: Cho phương trình đặc tính của một hệ thống có dạng như sau:

0,61

Phần III Tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục

  dao động có biên độ không đổi

Khảo sát tính ổn định của hệ thống chính là khảo sát hệ thống ở hai quá trình: quá trình quá độ và quá trình xác lập Xét sự ổn định của hệ thống chủ yếu là khảo sát hệ thống ở quá trình quá độ

2 Sự ổn định của hệ thống liên tục trong quá trình quá độ

Một hệ thống tuyến tính liên tục được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ của nó tắt dần theo thời gian, không ổn định nếu quá trình quá độ của nó tăng dần theo thời gian và ở biên giới

ổn định nếu quá trình quá độ của nó dao động với biên độ không đổi hoặc bằng hằng số

(1): Hệ thống ổn định và không dao động

(2): Hệ thống ổn định và dao động (3): Hệ thống không ổn định và không dao động (4): Hệ thống không ổn định và dao động (5): Hệ thống dao động với biên độ không đổi (biên giới ổn định)

Để biết hệ thống điều khiển tự động có ổn định hay không ta phải giải phương trình vi phân

mô tả quá trình động học của nó Dạng tổng quát:

Mô tả các trạng thái quá

độ của hệ thống điều khiển tự động

Nghiệm của phương trình (3.1) gồm hai thành phần: y t ( )  y tqd( )  y t0( )

Trong đó: y tqd( ) là nghiệm tổng quát của (3.1), đặc trưng cho quá trình quá độ, y tqd( )

có được bằng cách giải phương trình vi phân đồng nhất:

Tính ổn định của hệ thống được phản ánh qua nghiệm tổng quát, nghiệm này hoàn toàn không chịu ảnh hưởng của tác động bên ngoài, vì vậy tính ổn định là tính chất bên trong của hệ thống, là bản chất của hệ thống

Để xác định y tqd( ) ta phải tính nghiệm của phương trình đặc tính:

+ Nghiệm thuần ảo: pi  j i

 Ảnh hưởng của các loại nghiệm đến tính chất của hệ thống:

Khi nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm thực (hệ không dao động):

( ) 0 0 lim

- Hệ thống điều khiển tự động sẽ nằm ở biên giới ổn định nếu phương trình đặc tính chỉ cần có một nghiệm có phần thực bằng 0 và các nghiệm còn lại có phần thực bé hớn 0 (có một nghiệm nằm trên trục ảo, các nghiệm còn lại nằm bên trái mặt phẳng phức)

Phân vùng nghiệm trên mặt phẳng phân bố nghiệm

số

Phần IV Kiểm tra tính ổn định của hệ thống điều khiển liên tục

I Tiêu chuẩn ổn định đại số

1 Điều kiện cần

Điều kiện đầu tiên (mà có nó hệ thống mới được xét ổn định hay không, khi nó không tồn tại thì kết luận ngay là hệ thống không ổn định) được gọi là điều kiện cần thiết Khi không tồn tại điều kiện ổn định cần thiết thì hệ thống được liệt vào loại có cấu trúc không ổn định và lúc đó phải thay đổi cấu trúc của nó

Giả sử hệ thống điều chỉnh tự động ổn định và có phương trình đặc tính:

Như vậy phương trình đặc tính có hai loại nghiệm:

+ Nghiệm thực: pi   i (giả sử có m nghiệm)

2 Tiêu chuẩn Routh

a Phát biểu tiêu chuẩn Routh

Điều kiện cần và đủ để hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các số hàng trong cột thứ nhất của bảng Routh dương

- Bảng Routh sẽ kết thúc khi nào dòng cuối cùng chỉ còn một số hạng

- Nếu cột đầu tiên của bảng có một số hạng bằng 0 thì hệ cũng không ổn định

- Nếu các hệ số của một hàng bằng 0, hệ có nghiệm phải hoặc cặp nghiệm nằm trên trục

ảo

- Trường hợp hệ thống có khâu chậm trễn, có thể khai triển Fourier hàm mũ như sau:

Tìm khoảng hiệu chỉnh các tham số của bộ điều khiển (Thực chất là bài toán tìm điều kiện để hệ thống ổn định)

K K

 

 

 Nếu KD  0 ta có bộ điều khiển P (tỉ lệ)

- Điều kiện đủ: Xét ổn định theo tiêu chuẩn Routh:

36 5

D P

K K

Vậy miền ổn định là vùng gạch chéo như ở hình dưới

3 Tiêu chuẩn Hurwitz

Đường chéo chính của n bắt đầu tử a1 đến an Trong cùng một cột, các số hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số tăng dần; các số hạng dưới số hạng thuộc đường chéo chính có chỉ số giảm dần Nếu chỉ số lớn hơn n hoặc nhỏ hơn 0 thì ghi 0 Có tất cả n định thức Hurwitz từ bậc 1 đến bậc n

Tiêu chuẩn Hurwitz thường áp dụng cho hệ thống có phương trình đặc tính bậc thấp (

0 2

0

0 0

a

a a

Các tiêu chuẩn ổn định đại số có thể được sử dụng để xét tính ổn định cho cả hệ thống hở

và hệ thống kín Tuy nhiên, nếu xét về mức độ phức tạp thì việc tính toán các định thức Hurwitz phức tạp hơn việc lập bảng Routh rất nhiều, nhất là đối với các phương trình đặc tính bậc cao Vì vậy, trong thực tế thường hay sử dụng tiêu chuẩn Routh để xét tính ổn định của hệ thống hơn

Có thể dụng tiêu chuẩn Routh hoặc tiêu chuẩn Hurwitz để xét điều kiện ở biên giới ổn định của hệ thống Đối với tiêu chuẩn Routh: số hạng cuối cùng trong cột đầu tiên của bảng Routh bằng 0 và các số hạng còn lại trong cột đầu tiên của bảng Routh dương Đối với tiêu chuẩn Hurwitz: định thức n1 bằng 0 còn giá trị các định thức khác phải xác định dương

4 Tiêu chuẩn Lienard-Chipart

Thực chất, tiêu chuẩn Lienard – Chipart là một hệ quả của tiêu chuẩn Hurwitz Nó giúp cho người sử dụng giảm bớt đường số lượng tính các định thức Di  det( ) Hi i  1, 2, , n

phải tính khi kiểm tra tính ổn định của một hệ thống

Lập ma trận H theo (2.131) Vì Dn  a Dn n1 nên khi đã có an  0, Dn1 0 thì chắc chắn là Dn  0 Do đó việc kiểm tra điều kiện tiếp theo Dn  0 có được thỏa mãn hay không là không cần thiết

Viết lại tiêu chuẩn Hurwitz cho các đa thức A s ( ) với những bậc cụ thể:

0, 0 : det( ) 0, 1, 2,

i i i i

Vậy để hệ ổn định thì k phải thỏa mãn:

0 0

1 4

( 1)( 4) 0

1

k k

k k

II Một số trường hợp đặc biệt của tiêu chuẩn Routh – Hurwitz

Có hai trường hợp có thể xảy ra:

+ Xuất hiện toàn số 0 ở cột thứ nhật

+ Xuất hiện toàn số 0 ở trong một hàng

1 Trường hợp xuất hiện toàn số 0 ở cột thứ nhất

Nếu có số 0 ở cột thứ nhất thì việc tạo ra hàng tiếp theo sẽ chia cho số 0 Để tránh trường hợp này, tá gán một giá trịđể thay thế số 0 Sau đó dùng để tính toán và xét dấu cho ( )

Ví dụ: Xác định tính ổn định của hàm truyền hệ kín sau:

5 4 3 2

10 ( )

Nhìn bảng xét dấu cả trong hai trường hợp   thì ở cột thứ nhất đổi dấu hai lần, có nghĩa là phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo Do đó hệ thống được mô tả bằng phương trình như ở trên là không ổn định

2 Trường hợp có một hàng chứa toàn số 0

Khi gặp trường hợp này ta đầu tiên quay lại hàng phía trên hàng có toàn số 0 và thành lập một đa thức phụ mà sử dụng các giá trị của hàng đó làm hệ số Đa thức bắt đầu với lũy thừa của

s ở cột ký hiệu s và bỏ biến tiếp theo và thực hiện hạ bậc đa thức phụ

Ví dụ: Xác định số nghiệm nằm bên phải trục ảo của hệ kín sau:

5 4 3 2

10 ( )

Hệ thống có hệ số khuếch đại Kchưa biết

Tìm phạm vi của hệ số khuếch đại Kđể hệ thống ổn định, không ổn định hay ở biên giới

Các phần tử trong cột thứ nhất đều dương và không có sự đổi dấu Đa thức (s2) có bậc chẵn có hai nghiệm nằm bên phải trục ảo và nghiệm còn lại nằm bên trái trục ảo Do vậy hệ thống ở biên giới ổn định khi K  1386

Bài toán: Xét tính ổn định cho hệ có mô tả toán học dưới dạng mô hình trạng thái

Cho hệ thống có mô hình trạng thái như sau:

Với p p1, , ,2 pn là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình đặc tính

Thay s j   vào phương trình (4.7) ta có:

Góc quay của vector đa thức đặc tính tần số G j ( ) 

Ký hiệu  chỉ sự thay đổi góc quay

Nếu quy định chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và nghiệm phải:

Vector đa thức đặc tính tần số A j ( )  sẽ quay một góc bằng hiệu số nghiệm trái

 n m   và nghiệm phải m nhân với  khi  biến thiên từ  đến 

2 Tiêu chuẩn Mikhailope

Dựa vào tính chất tần số của đa thức đặc tính để xét tính ổn định của hệ thống Giả sử hệ thống điều khiển tự động có phương trình đặc tính dạng: