ổn định của các khung phẳng

Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn: 1. Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi. 2. Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển v

Chương 4

ỔN ĐỊNH CỦA CÁC KHUNG PHẲNG 4.1 Các giả thiết

Các giả thiết dưới đây nhằm đơn giản hoá việc xác định tải trọng tới hạn:

1 Vật liệu của khung làm việc trong giới hạn đàn hồi

2 Các nút của khung xem như tuyệt đối cứng, do đó chuyển vị của các đầu thanh quy tụ vào nút đều như nhau

3 Các thanh của khung xem như không co, dãn Khoảng cách giữa các nút của khung trước và sau biến dạng không thay đổi nghĩa là dây cung nối các đầu thanh bị uốn có chiều dài bằng chiều dài của thanh trước biến dạng

4 Khi xác định chuyển vị trong khung chỉ kể đến ảnh hưởng của biến dạng uốn do mômen uốn và do lực dọc xuất hiện trước biến dạng gây ra Ảnh hưởng của gia

số lực dọc sau khi hệ mất ổn định bỏ qua

5 Tải trọng tác dụng trên khung chỉ đặt ở các nút Những tải trọng này chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc nén mà không gây ra hiện tượng uốn ngang trong các thanh của khung khi hệ chưa mất ổn định

Theo giả thiết này thì trước khi nghiên cứu sự ổn định cần áp dụng các phương pháp đã trình bày trong giáo trình Cơ học kết cấu để xác định lực dọc trong các thanh của khung chịu tải trọng đã cho ban đầu (hình 4-1a) Tiếp đó xác định tải trọng tới hạn hay thông số tới hạn của khung chịu tải trọng đặt ở nút có giá trị bằng lực dọc trong các thanh tương ứng (hình 4-1b) theo các phương pháp sẽ trình bày trong chương này

Trong bài toán ổn định khung, khi mất ổn định hệ ở trạng thái biến dạng rất gần với trạng thái ban đầu, các lực ngang chỉ xuất hiện sau khi mất ổn định với những giá trị rất

nhỏ Ngoài ra, nếu không coi các lực nén hoặc kéo P là tải trọng mà quy ước xem chúng như là một trong những tính chất cho biết của hệ, thì có thể phát biểu là giữa chuyển vị

và tải trọng có sự liên hệ tuyến tính

Trên cơ sở đó ta đi đến kết luận là trong bài toán ổn định của khung có thể áp dụng nguyên lý cộng tác dụng đối với các tải trọng ngang

Có thể áp dụng được các phương pháp tính xây dựng trên cơ sở nguyên lý cộng tác dụng như phương pháp lực, phương pháp chuyển vị để giải quyết bài toán ổn định của khung Ngoài ra, cũng có thể mở rộng phạm vi áp dụng các công thức xác định chuyển vị

và các định lý cơ bản như các định lý về sự tương hỗ cho trường hợp hệ có những thanh chịu uốn cùng với chịu kéo hoặc nén

Q

q3 N12

N23

N34

N35

N56 1

2

3

5

6 4

3

5 2

12 N

P4 1

P =

5

P P2=N34

N

= 4

P 23 P3=N56

N

= 5

P 35

Hình 4-1 Sơ đồ tính ổn định của hệ khung

4.2 Cách xác định chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén

hoặc kéo

Trước khi đi vào nghiên cứu cách vận dụng phương pháp lực, ta cần xác định

chuyển vị trong những thanh chịu uốn cùng với nén hoặc kéo

Xét thanh chịu uốn cùng với nén như trên (hình 4-2a) Gọi Mm là mô men uốn do tải

trọng ngang và do lực P gây ra Để xác định chuyển vị ∆km tại điểm k ta tạo trạng thái "k"

và đặt lực Pk = 1 theo phương cần tìm chuyển vị (hình 4-2b); ở trạng thái này không có

lực nén P Gọi M klà mô men uốn ở trạng thái "k" do lực Pk =1 gây ra Thiết lập biểu thức

về sự cân bằng giữa công của ngoại lực và nội lực ở trạng thái "k" trên những chuyển vị

và biến dạng ở trạng thái "m", ta có:

ds EJ

M M

k

Đó là công thức chuyển vị của những thanh chịu uốn cùng với kéo hoặc nén trong

đó đã bỏ qua các số hạng biểu thị ảnh hưởng của biến dạng dọc trục và biến dạng trượt

Ta sẽ nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong hai trường hợp cụ thể sau: thanh có

hai đầu khớp và thanh có một đầu ngàm một đầu tự do chịu lực dọc P và các tải trọng

ngang chỉ đặt ở các đầu thanh

4.2.1 Thanh đặt tự do trên hai khớp tựa

P

∆km

k

P =1 "m"

"k"

a,

b,

Hình 4-2 Trạng thái “m”, “k”

P a,

b,

Q =A d-c l

z

l

m

M

k

M

m

M

k

M

a

b c,

Hình 4-3 Thanh có hai đầu gối.

Xét thanh đặt tự do trên hai gối tựa chịu lực nén P và các tải trọng đặt ở đầu thanh

(hình 4-3a) Yêu cầu xác định chuyển vị tại các đầu thanh Trong trường hợp tổng quát

nhất, các tải trọng ngang tại đầu thanh có dạng như trên (hình 4-3a), trong đó ký hiệu MA

= c, MB = d Phản lực tại A có giá trị bằng (d−c)/l còn biểu đồ mô men Mm có dạng

đường cong như trên (hình 4-3b) Có thể tìm phương trình Mm theo (2-7) trong chương 2:

= +

+

α

Q(o) M(o)cosα

(o)sinα αEJy

(z)

m

z l

z

α

c -d cosα c (o)sinα

trong đó y'(o) là thông số ban đầu chưa biết và được xác định theo điều kiện khi z

= l; y(l) = 0 Từ điều kiện này và theo (2-5) ta tìm được:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

v

1 sinv

1 αEJ

d tgv

1 v

1 αEJ

c (o)

trong đó:

EJ

P α

v = l =l (4-2)

Thay biểu thức của y'(o) vào phương trình Mm(z), ta được:

z

tgv

1 sinv

d cosα

c (z)

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

Để xác định các chuyển vị ở đầu thanh ta cần tạo trạng thái "k" và tìm phương trình

của M k Trong trường hợp tổng quát nhất, biểu đồ M k có dạng như trên (hình 4-3c), còn

phương trình M k có dạng:

z a b a

Mk

l

− +

Thay (4-3) và (4-4) vào (4-1) ta được:

dz sinα z a b a sin

dz cosα z a b a c dz M M EJ∆

0 0

m 0

k

l tgv

c v

d z

l

l l

l

∫

∫

⎠

⎞

⎜

⎝

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

− +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

=

= Sau khi lấy tích phân và biến đổi, ta có:

( ) β( )v

6

bc 6

ad v α 3

bd 3

ac

⎠

⎞

⎜

⎝

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

trong đó:

( )

( ) ⎪⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

1 sinv

v v

6 v

β

tgv

v 1 v

3 v

α

2

2

là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P Có thể tìm giá trị của

những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phụ lục

4.2.2 Thanh có một đầu ngàm một đầu tự do

Trong trường hợp tổng quát nhất, các tải trọng ngang tác dụng ở đầu thanh có dạng

như trên (hình 4-4a), trong đó ta ký hiệu MA = c; QA = e Biểu đồ Mm do tải trọng ngang

và do lực nén P gây ra có dạng đường cong như trên (hình 4-4b) Mô men uốn tại đầu

ngàm B:

A A

trong đó d là mô men uốn tại đầu ngàm do riêng tải trọng ngang gây ra, từ đó ta

có:

l

c d

e= −

Sau khi sử dụng các phương trình (2-7), (2-6) và điều kiện biên khi z = l; y'(l) = 0,

cũng tương tự như trên ta thiết lập được phương trình của mô men uốn Mm:

+

= c.cosαz

(z)

sin vcosv

d 1 vsinv c

⎥⎦

⎤

⎢⎣

Để xác định chuyển vị ở các đầu thanh ta tạo trạng thái k, trong trường hợp tổng

quát nhất, biểu đồ M k có dạng như trên (hình 4-4c), còn phương trình Mk(z)có dạng như

(4-4)

Sau khi thay (4-4), (4-7) vào (4-1), lấy tích phân và biến đổi ta dễ dàng thiết lập

được công thức xác định chuyển vị cho thanh có đầu ngàm đầu tự do như sau:

( )v bc ad (v) ac (v) bd

6 6

θ 3

θ 3

⎠

⎞

⎜

⎝

+ +

trong đó:

( )

( )

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

=

v

tgv cosv

1 v

6 (v)

v

tgv cosv

2 -vtgv 1 v

3 v

1 v

tgv v

3 v

2 3

2 2

2 1

θ

θ

θ

(4-9)

P a,

b,

M =cA Q =A e

m M

k M

m M

k M

a

b c,

A

B

yA

PyA

Hình 4-4 Thanh đầu ngàm, đầu tự do

là các hàm số điều chỉnh kể đến ảnh hưởng của lực nén P Có thể tìm các giá trị của những hàm số này theo các đối số v trong bảng 1 của phần phụ lục

Chú thích:

1 Giữa các hàm số α(v), β(v), θ1(v), θ2(v) và θ3(v) có những liên hệ sau:

θ

β θ

α θ

θ β θ

β

α θ

β α

θ

α

; β θ

β α

θ

; α θ

(v)

v (v)

v 1;

(v)

(v) v 3

v (v)

v

1;

v 3

v (v)

v 1;

v 3

v (v)

v

v v

tgv (v) (v);

12

vtgv v

(v) v v

tgv (v)

3 1

3 1 2

3

2 3

2 1

3 2 2

1

=

= +

= +

= +

= +

=

=

Những liên hệ này giúp ta biến đổi được dễ dàng các hàm số trong phương trình ổn định sẽ nghiên cứu dưới đây

2 Đối với những thanh chịu uốn cùng với kéo, trong tất cả các biểu thức thiết lập ở trên ta cần thực hiện những phép thay thế sau:

iβ

α = và

EJ

P

β = keo ; 2

α =− ; sinαz ishβ= z; cosαz chβ= z

4.3 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp lực

Khi vận dụng phương pháp lực để tính ổn định của các khung phẳng ta cũng tiến hành theo thứ tự tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu

4.3.1 Cách chọn hệ cơ bản

1

5 6

3

2

X

1

X

2

X

1

X

1

X 3

1

5

6

4

X

6 2

5

1

4

2

X

P X 1 X1

2

P 2

X

X 3 2

P +X 4

Hình 4-5 Hệ cơ bản

a)

b)

c)

Về nguyên tắc, cách xác định bậc siêu tĩnh và cách chọn hệ cơ bản bất kỳ đã nêu

trong giáo trình cơ học kết cấu đều dẫn đến cùng một kết quả như nhau Song khi tính ổn

định, để cho đơn giản, ta chỉ nên chọn hệ cơ bản bằng cách loại trừ các liên kết thừa để

sao cho những thanh chịu nén trở thành những thanh có hai đầu khớp tựa (không chuyển

vị theo phương ngang trục thanh) hoặc thanh có một đầu ngàm một đầu tự do Với cách

chọn hạn chế như vậy ta có thể dễ dàng xác định chuyển vị trong hệ cơ bản theo các công

thức đã thiết lập sẵn trong mục 2 Nếu chọn hệ cơ bản khác với quy cách trên thì bài toán

sẽ trở nên rất phức tạp

Đối với hệ siêu tĩnh vẽ trên (hình 4-5a), về nguyên tắc ta có thể chọn hệ cơ bản theo

(hình 4-5b hoặc 4-5c) Hệ cơ bản (4-5b) hợp quy cách đã giới hạn ở trên Hệ (4-5c)

không hợp quy cách vì ta chưa nghiên cứu cách xác định chuyển vị trong những thanh

chịu nén có dạng như thanh 4-5

4.3.2 Phương trình chính tắc

Trong trường hợp này, theo giả thiết 3 và 5 tải trọng chỉ gây ra hiện tượng kéo hoặc

nén trong các thanh của hệ cơ bản mà không gây ra uốn Như vậy, biểu đồ 0

P

M do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản sẽ không tồn tại và do đó các số hạng tự do ∆kP của hệ

phương trình chính tắc đều bằng không Lúc này, hệ phương trình chính tắc trở thành hệ

phương trình thuần nhất

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

0

0 0

n nn 2

n2 1 n1

n 2n 2

22 1 21

n 1n 2

12 1 11

X

X X

.

.

X

X X

X

X X

δ δ

δ

δ δ

δ

δ δ

δ

(4-10)

4.3.3 Cách xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc

Để xác định các hệ số δkm ta cần tạo trạng thái "k" do lực Xk = 1 gây ra trong hệ cơ

bản (HCB) và tạo trạng thái "m" do lực Xm = 1 và do các lực nén hoặc kéo P gây ra trong

HCB; vẽ các biểu đồ mô men tương ứng với các trạng thái đó; tiếp đó áp dụng công thức

chuyển vị (4-1) hoặc áp dụng cách nhân biểu đồ Đối với những thanh không có lực kéo

hoặc nén, nên dùng cách nhân biểu đồ giống như đã làm trong cơ học kết cấu Đối với

những thanh có lực kéo hoặc nén P ta cần áp dụng các công thức (4-5) và (4-8) đã thiết

lập ở §2 Ngoài ra cần chú ý rằng định lý về sự tương hỗ giữa các chuyển vị đơn vị δkm =

δmk vẫn áp dụng được cho trường hợp này

Khi xác định chuyển vị trong thanh chịu kéo hoặc nén ta cần quan niệm lực kéo

hoặc nén chỉ là tải trọng đặt ở nút Thực ra, khi mất ổn định những lực này có thể khác đi,

chẳng hạn như đối với hệ cơ bản trên (hình 4-5b), thanh 1-2 sẽ chịu lực nén với giá trị

bằng P1 + X2 song các lực X này chỉ xuất hiện sau khi hệ mất ổn định và có giá trị rất nhỏ

nên theo giả thiết 4 có thể bỏ qua

4.3.4 Phương trình ổn định

Hệ phương trình thuần nhất (4-10) được thoả mãn với hai khả năng:

1-Tất cả các ẩn số X đều bằng không Lúc này, trong hệ vẫn chỉ có biến dạng nén

hoặc kéo mà chưa có biến dạng uốn; do đó hệ vẫn ở trạng thái cân bằng ban đầu

Vậy, hệ ổn định, tải trọng chưa đạt đến giá trị tới hạn

2 Tất cả hoặc một số các ẩn số X khác không Lúc này, trong các thanh có xuất

hiện biến dạng uốn và hệ bị mất ổn định Điều kiện để cho các ẩn số X khác

không là định thức của hệ phương trình (4-10) phải bằng không:

0 δ

δ δ

.

δ

δ δ

δ

δ δ D

nn n2

n1

2n 22

21

1n 12

11

=

Các chuyển vị δkm phụ thuộc giá trị của các lực P nên ta phải chọn giá trị của các

lực P để sao cho điều kiện (4-11) được thoả mãn Như vậy, ta có thể xác định tải trọng tới

hạn hay thông số tới hạn từ điều kiện (4-11) và gọi điều kiện này là phương trình ổn định

theo phương pháp lực

Với cách giải quyết bài toán như trên, ta chưa tìm được các giá trị của ẩn số Xi vì

những ẩn số này là vô định Để tìm được sự phân bố nội lực và hình dạng đường biến

dạng của hệ ta có thể quy ước cho một ẩn số nào đó bằng đơn vị, chẳng hạn cho X1 = 1

rồi xác định các ẩn số còn lại theo hệ phương trình chính tắc (4-10)

Cuối cùng cần lưu ý là trong nhiều trường hợp áp dụng phương pháp lực để tính

ổn định của khung thường không tiện lợi bằng áp dụng phương pháp chuyển vị sẽ nghiên

cứu dưới đây

4.4 Cách xác định phản lực và nội lực trong những thanh chịu nén hoặc

kéo khi các liên kết chuyển vị cưỡng bức

Cũng tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu

phương pháp chuyển vị ta cần thiết lập sẵn những kết quả về phản lực và nội lực trong

những phần tử đơn giản là những thanh đơn giản có liên kết ở hai đầu khác nhau chịu

chuyển vị cưỡng bức của các liên kết tựa Song khác với trước, trong trường hợp này các

phần tử mẫu còn chịu thêm lực nén hoặc kéo P và phải kể tới ảnh hưởng của nó

Ta xét trường hợp tổng quát:

Thanh ab có liên kết bất kỳ ở hai đầu chịu lực nén bởi một lực P (hình 4-6) Giả

thiết cho ϕa và ϕb lần lượt là góc xoay tại đầu a và đầu b với quy ước chiều dương là

chiều quay thuận theo kim đồng hồ; ∆ là chuyển vị thẳng tương đối giữa các đầu ab theo

phương vuông góc với trục ban đầu của thanh Yêu cầu xác định các phản lực liên kết

Ma, Qa, Mb, Qb, tại các đầu thanh và trên cơ sở đó xác định nội lực trong thanh

Dưới tác dụng của lực nén P và các chuyển vị ϕa, ϕb và ∆, thanh bị biến dạng như

trên (hình 4-8) Chiều của các chuyển vị

dương

∑Mb = 0 ta được:

M a

Q a

y

z a

b

ϕb

y z

Q b P

l

Hình 4-6 Phần tử mẫu

∆ P M M Q

b a

+ +

−

=

Trong trường hợp này, vận dụng các phương trình (2-5), (2-6) và (2-7) với các

thông số ban đầu: y(o) = 0; y'(o) = ϕa; M(o) = Ma; Q(o) = Qa xác định theo (4-12); ta có:

α

∆ α α

α

α

+ +

−

−

=

EJ

EJ M

M cos

1 EJ

M sin

y(z)

3

2 b a 2

a a

ϕ

(4-13)

l l

z

α

α α

⎠

⎞

⎜

⎝

+

−

=

′

EJ

M M sin

EJ

M cos (z)

y

2 b a a

a

z EJ

M M cos

M sin EJ

α α

α

⎠

⎞

⎜

⎝

− +

=

l l

z

với

EJ

P

=

Trong các phương trình này, Ma và Mb là các đại lượng chưa biết và có thể xác định

theo hai điều kiện biên ở đầu b; khi z = l ta có: y(l) = ∆ và y'(l) = ϕb

⎠

⎞

⎜

⎝

+

+ +

−

l l

l

α

α

α α

α

M M cos

1 EJ

M sin

3 b a 2

a a

ϕ

2 b a a

a

EJ

M M sin

EJ

M

⎠

⎞

⎜

⎝

+

l l

l

α

α α α

Sau khi giải được hệ phương trình trên ta xác định được Ma, Mb theo các chuyển vị

ϕa, ϕb và ∆; tiếp đó thay các kết quả tìm được vào (4-12) ta xác định được lực cắt Qa =

Qb

Kết quả:

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

+

− +

=

l

2 1 b 2 a 1

a 2i

M µ ϕ µ ϕ µ µ (4-16)

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

+

− +

=

l

2 1 b 1 a 2

b 2i

M µ ϕ µ ϕ µ µ (4-17)

⎢⎣

− + +

−

=

=

l

b a

2i Q

trong đó:

l

EJ

i = ;

EJ

P

v = αl=l

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎪

⎬

⎫

−

=

−

= +

−

−

=

−

−

=

v 2

v 2tg

v 2

1

; v 2

v 2tg 2

v vtg 2 1

v 2

v 2tg

sinv v 2sinv

v

; v 2tgv

v tgv 2tgv

v

3 3

2

1

2 1

µ µ

µ

; µ

µ

(4-19)

Để giúp cho việc tính toán được dễ dàng ta cần thiết lập lại những kết quả trên cho từng trường hợp cụ thể đồng thời ghi những kết quả đó vào (bảng 4-1)

Bảng 4-1 Bảng các giá trị phản lực gối tựa khi gối chuyển vị cưỡng bức

TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô men M a M b Q a = Q b

1

(v) 3iϕ1

(v)

1

ϕ tìm theo (4-20)

l

3i

1

ϕ

−

l

3i

1

ϕ

−

0

(v) η l

3i

1 2

(v)

η1 tìm theo (4-21)

3

(v) 4iϕ2

(v)

2

ϕ tìm theo (4-22)

(v) 2iϕ3 (v)

3

ϕ tìm theo (4-23)

(v) η l

6i

3

− (v)

η3 tìm theo (4-24)

4

(v) l

6i

4

ϕ

−

(v)

4

ϕ tìm theo (4-25)

(v) l

6i

4

ϕ

−

(v) η l

12i

2 2

(v)

η2 tìm theo (4-26)

5

tgv

v i

sinv

v i

v i

sinv

v i

b

M a

b 1

a

M

Qb

a

Q

l

P

P

1

a

M

Q b a

P P

M a

1 l

a

Q

Qb

b a

P P

b

M

1

a

M

Q b a

M a

1

b

M

b

Q

Q a l

P b

a P

M a

b

M

a

P

a

b

Qb P

1

TT Dạng chuyển vị và biểu đồ mô men M a M b Q a = Q b

l i

l

EJ

EJ

P l.

v = , các hàm số ϕ và η tra bảng 2, còn các hàm

sinv

v

;

tgv

v

; vtgv tra trong bảng 3 của phụ lục

Chú thích:

1 Trường hợp thanh không chịu lực nén (P = 0) thì v = 0, do đó các hàm số điều

chỉnh ϕ và η đều có giá trị bằng 1

2 Đối với những thanh chịu lực kéo Pkéo, trong các kết quả vừa tìm được ở trên ta

chỉ cần thực hiện những phép thay thế sau:

iβ

α = với

EJ

Pkeo

=

β ; α2 =−β2; sinαz ishβ= z; cosαz chβ= z; i – là số ảo

4.5 Cách tính ổn định của các khung phẳng theo phương pháp chuyển vị

Khi vận dụng phương pháp chuyển vị để tính ổn định của khung, ta cũng tiến hành

tương tự như đã thực hiện trong giáo trình cơ học kết cấu

4.5.1 Chọn hệ cơ bản

Chúng ta cũng chọn hệ cơ bản giống như hệ cơ bản dùng để tính độ bền đã trình bày

trong giáo trình cơ học kết cấu Thí dụ, hệ trên hình 4-17b là hệ cơ bản của hệ vẽ trên (hình 4-17a); trong đó ta đặt thêm các liên kết mô men và liên kết lực để ngăn cản tất cả

các chuyển vị của các nút của khung

4.5.2 Phương trình chính tắc

Cũng lý luận tương tự như trong giáo trình cơ học kết cấu, các ẩn số Zi phải thoả

mãn hệ phương trình chính tắc của phương pháp chuyển vị Song khác với trước, trong

trường hợp này tải trọng chỉ đặt ở nút nên khi hệ chưa mất ổn định thì trong các thanh

của hệ chỉ xuất hiện những lực nén hoặc kéo tự cân bằng mà không xuất hiện mô men

uốn Do đó, các số hạng tự do RkP tức là các phản lực trong các liên kết đặt thêm vào do

tải trọng gây ra sẽ bằng không: R1P = R2P = = RkP = = RnP = 0

M a

1 l

a

Q

Qb b a

P P

M a

l

a

a

P

P

1

1 l

a

Q

Qb

b a

P P