Bài tập ễN THI LẠI 11 ĐẠO HÀM VÀ PHƯƠNG TRèNH TIẾP TUYẾN I... B: Bài tập I.Tính đạo hàm bằng định nghĩa Bài 1.. Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm Bài 3... Tính đạo hàm bằng c
Trang 1Bài tập ễN THI LẠI 11
(ĐẠO HÀM VÀ PHƯƠNG TRèNH TIẾP TUYẾN)
I Đạo hàm
A.Lớ thuyết:
1) Định nghĩa
+ Cho hàm số y f (x ) xác định trên tập xác định của nó và x o TXĐ
đạo hàm của hàm số y f (x )tại x okí hiệu ' ( )
o
x
y hay ' ( )
o
x
y'(x o)= f'(x o)=
o
x xlim
x
y
=
o
x xlim
x
x f x x
(
y yy o f(x) f(x o) gọi là số gia tương ứng của h/s tại x o
xxx o gọi là số gia của đối số tại x o
+ Hàm số y f (x ) xác định trên tập xác định của nó và x o TXĐ
o
x
o
x
o
x
o
x
f' = f'(x o)
Với
o
x
x o x
lim
x
y
và
o
x
x o x
lim
x
y
+ Chú ý : H/s y f (x )có đạo hàm tại x o thì nó liên tục tại x o ngựơc lại
thì chưa chắc
3) Các quy tắc tính đạo hàm
(uv) ' u' v' (ku) ' k.u' với k là hằng số
2
' ' '
v
u v v u v
(uv) ' u'vv'u
' 1 ` '
) (u u u R
2
' '
1
u
u
u
y = f(u) và u = g(x) thì ' ' '
. x
u
x y u
y
4) Bảng đạo hàm
1
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm số hợp
1 '
) (x x
2
'
1 1
x
x
x
x
2
1
'
' 1 '
) (u u u
2
' '
1
u
u
u
u
u u
2 ) (
' '
Cosx
(
Cosx' Sinx
x Cos
2
'
1
1
x Sin
2
'
1
1
Sinu' u' Cosu
Cosu' u'.Sinu
2
' '
u Tg u
u Cos
u
2
' '
u Cotg u
u Sin u
Trang 2B: Bài tập
I.Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bài 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm:
1) f(x) = 2x2 + 3x + 1 tại x = 1
2) f(x) = sinx tại x = π
6
3) f(x) = 2x - 1 tại x = 1
4) f(x) = x
1 + x tại x = 0
5) f(x) = x + 3 x - 12 tại x = 2
6) f(x) =
3
4x + 8 - 8x + 4
khi x 0 x
0 khi x = 0
tại x = 0
7) f(x) =
2 1
x sin khi x 0 x
0 khi x = 0
tại x = 0
8) f(x) =
1 - cosx
khi x 0 x
0 khi x = 0
tại x = 0
Bài 2 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau:
x + 4
5) y = x3 + 3x – 5 6) y = x + x
II Quan hệ giữa tính liên tục và sự có đạo hàm
Bài 3 Cho hàm số f(x) = 2
1 xsin khi x 0 x
0 khi x = 0
Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0
Bài 4 Cho hàm số f(x) = 2
1 xcos khi x 0 x
0 khi x = 0
1) Chứng minh rằng hàm số liên tục trên R
2) Hàm số có đạo hàm tại x = 0 không? Tại sao?
Bài 5 Cho hàm số f(x) =
2
ax + bx khi x 1 2x - 1 khi x < 1
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 1
Trang 3Bài 6 Cho hàm số f(x) =
ax + b khi x 0 cos2x - cos4x
khi x < 0 x
Tìm a, b để hàm số có đạo hàm tại x = 0
Bài 7 Cho hàm số f(x) =
2
x + a khi x 3 4x - 1 khi x > 3
Tìm a để hàm số không có đạo hàm tại x = 3
III Tính đạo hàm bằng công thức:
Bài 8 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 1
3x
3 – 2x2 + 3x 2) y = - x4 + 2x2 + 3 3) y = (x2 + 1)(3 – 2x2) 4) y = (x – 1)(x – 2)(x – 3)
5) y = (x2 + 3)5 6) y = x(x + 2)4
7) y = 2x3 – 9x2 + 12x – 4 8) y = (x2 + 1)(x3 + 1)2(x4 + 1)3
Bài 9 Tính đạo hàm của các hàm số sau :
1) y =
2
3
-x + 2x + 3
2
2
-x + 3x - 3 2(x 1)
3) y = 1x + 1
x - 1 +
2 x - 1
5) y = 2x + 1
4
2 - x
7) y = 2x - 3
2
x - 2x + 4
x - 2
Bài 10 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 2 + 5 x
2
x x
3
3) y = (x – 2) x + 12 4) y = x + 2 + 4 - x
5) y = x - 2x + 13 2 6) y = x + 4 - x2
7) y =
2
x + 1
x + 1
8) y = x + 12 + 1 - 2x2
III Viết phương trình tiếp tuyến của dồ thị
A.Lớ thuyết:
1.Tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M(xo ; yo) là: y – yo = f’(xo).(x – xo)
Chỳ ý: +) M gọi là tọa độ tiếp điểm và yo = f(xo)
+) f’(xo) gọi là hệ số gúc của tiếp tuyến
2 Tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến cú HSG k
Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến
Ta cú xo là nghiệm của phương trỡnh f’(xo) = k (1)
Trang 4Giải PT (1) tỡm được xo rồi suy ra M(xo ; yo) với yo = f(xo)
KL: PTTT là: y – y0 = k.(x - xo)
3 Tiếp tuyến của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua M(x1 ; y1)
Gọi d đi qua M(x1 ; y1) và cú HSG k PTĐT d: y = k.(x – x1) + y1
Đt d là tiếp tuyến của (C)
k x f
y x x k x f
) ( '
) ( )
cú nghiệm
Chỳ ý: +) Giải hệ trờn ta tỡm được hoành độ tiếp điểm xo và hệ số gúc k
+) ĐK để (C) tiếp xỳc (H): y = g(x)
) ( ' ) ( '
) ( ) (
x g x f
x g x f
cú nghiệm
B.BÀI TẬP:
B I 1: Cho hàm số y = f(x) = 2 3 7 2
a) Tính f’(x) GPT f’(x) - 3
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua A(1;3) c) Chứng minh rằng pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Bài 2 Cho hàm số y = 1
3x
3 – 2x2 + 3x (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là x = 2 2) Chứng minh rằng là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 3 Cho hàm số y = -x3 + 3x + 1 (C)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hành độ là x = 0
2) Chứng minh rằng tiếp tuyến là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất
Bài 4
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hs: y = x3 – 3x2 + 2 tại điểm (1; -2)
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y =
2
x + 4x + 5
2
x tại điểm có
hoành độ x = 0
Bài 5
1) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = 2x + 1 biết hệ số góc của tiếp tuyến là 1
3
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x2 – 2x = 3 biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0
Bài 6 Cho hàm số y = 3x - 2
x - 1 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết:
1) Hoành độ của tiếp điểm là x = 0
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - x + 3
3) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 4x – y + 10 = 0
Trang 54) Biết hệ số góc của tiếp tuyến là - 1
9
Bài 7 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 (C)
1) Viết phương trình tiép tuyến của (C) kẻ từ điểm A(0; 2)
2) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm để từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau
Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = f(x) biết:
1) f(x) = 3x – 4x3 và tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3)
2) f(x) = 1
2x
4 – 3x2 + 3
2 và tiếp tuyến đi qua điểm B(0;
3
2)
3) f(x) = x + 1
x - 1 và tiếp tuyến di qua điểm C(0; 1)
