Toán tử chiếu trong không gian Hilbert

Trong quátrình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phongphú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tíchhàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích là một ngành toán học được xây dựng vào nửa thế kỷ XX

và đến nay vẫn được xem như một ngành toán học cổ điển Trong quátrình phát triển, giải tích đã tích lũy được một nội dung hết sức phongphú những phương pháp và kết quả mẫu mực,tổng quát của Giải tíchhàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành Toán học có liên quan và sử dụngđến công cụ Giải tích và không gian véctơ Chính vì điều đó đã mở raphạm vi nghiên cứu rộng lớn cho các ngành Toán học

Với những lí do đó và được sự định hướng của thầy hướng dẫn em

đã chọn đề tài “Toán tử chiếu trong không gian Hilbert” là khóa luận

tốt nghiệp Đại học của mình

Khóa luận được chia làm hai chương:

Trong chương 1 chúng tôi đưa ra những kiến thức về tập lồi, tậplồi đóng, tập lồi đa diện;không gian định chuẩn; không gian Hilbert; sựhội tụ yếu của dãy trong không gian Hilbert; toán tử tuyến tính

Trong chương 2, phần đầu chúng tôi đưa ra định lý hình chiếu lênkhông gian con đóng, tiếp theo chúng tôi trình bày nội dung chính củakhóa luận, đó là toán tử chiếu trong không gian Hilbert và phép chiếucủa toán tử tuyến tính lên một số tập hợp đặc biệt

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian Hilbert, toán tử chiếu trong không gian Hilbert

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về toán tử chiếu trong không gian Hilbert

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Giải tích hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, so sánh, tổng hợp, đánh giá

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Tập lồi, tập lồi đóng, tập lồi đa diện

Định nghĩa(tập lồi): Giả sử X là không gian tuyến tính, □ là tập số

thực.Tập A  X được gọi là lồi, nếu:

x , x  A,  R : 0    1   x  (1  ) x  A

Định nghĩa (tập lồi đóng): Một tập lồi đồng thời là tập đóng thì được gọi

là tập lồi đóng

Định nghĩa (hàm lồi): cho E là không gian véctơtrên □ Một hàm

 tu  1 t v  t u  1 t   v, u, v  E, t 0;1

Định nghĩa (tập lồi đa diện): Tập M  □

k được gọi là tập lồi đa diện

nếu M được biểu diễn dưới dạng giao của một số hữu hạn các nửa

không gian đóng của □ k

Giả sử X là không gian véctơ trên trường K , là một chuẩn trên

X Khi đó cặp  X ,  được gọi là không gian định chuẩn

Dãy  x n  trong không gian định chuẩn  X ,  gọi là dãy cơ bản (

hay dãy Cauchy) nếu lim x  x  0.

n,m n m

Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ

bản đều hội tụ

Ví dụ Ca ,b là tập các hàm liên tục trên a,b

Ca ,b là không gian Banach với chuẩn:

1 2 3

i

n

x  max x t  , x  x t C

t a,b

1.3 Không gian Hilbert

1.3.1.Định nghĩa tích vô hướng

Cho X là không gian véctơ trên trường K (thực hoặc phức).Ánh

xạ g: X 

X  K , ( x, y)  g ( x, y) được gọi là một tích vô hướng trên

X nếu thỏa mãn các tiên đề sau:

x, x y, y

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi {x,y} phụ thuộc tuyến tính

 x i 2 i1

1.3.3 Định nghĩa không gian Hilbert

Giả sử ., là một tích vô hướng trên X Khi đó:

xác định một chuẩn trên X được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Định nghĩa (Không gian Hilbert)

Ta gọi tập H   gồm những phần tử x,y,z,… nào đấy là không

gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

1 H là không gian tuyến tính trên trường P ;

2 H được trang bị một tích vô hướng ., ;

3 H là không gian Banach với chuẩn

2

Định nghĩa (Không gian con của không gian Hilbert)

Mọi không gian véctơ con đóng của không gian Hilbert gọi làkhông gian Hilbert con

1.3.4 Tính trực giao

1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4.1

Cho H là không gian Hilbert Ta nói hai phần tử x, y  H là trực

giao nhau nếu x, y  0 .Kí hiệu: x  y.

Nếu A  H , A  , x  H Ta nói x trực giao với A nếu x trụcgiao với mọi phần tử trong A.Kí hiệu: x  A

Hilbert H hội tụ khi và chỉ khi chuỗi  x n

n1 hội tụ.

1.3.4.6 Định nghĩa 1.3.4.2

Cho H là không gian Hilbert, E là không gian véctơ con của H

tập hợp F  H các phần tử trực giao với E được gọi là phần bù trực giao của E trong H Kí hiệu: E 

Ta chứng minh dược F là không gian con đóng của H và H có biểu diễn:Nếu E là phần bù trực giao của F và F là phần bù trực giao của E thì ta có tổng trực giao

Cho không gian Hilbert H Một hệ thống gồm hữu hạn hay đếm

được các phần tử e   H gọi là một hệ trực chuẩn nếu:

Định nghĩa 1.3.5.1.2

Tích vô hướng x, e

n

đối với hệ trực chuẩn e 

e n cũng hội tụ trong không gian Hilbert H (vì chuỗi gồm

các phần tử đôi một trực giao nhau hội tụ tuyệt đối thì hội tụ) Chuỗi nàygọi là khai triển Fourier của phần tử x  H theo hệ trực chuẩne 

e) Bao tuyến tính của hệ

e  trù mật khắp nơi trong H (nghĩa

n n1

là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử thuộc hệ e  trù mật khắp nơi trong không gian H ).

n n1

Định lý Riesz dưới đây áp dụng định lý về hình chiếu lên khônggian con đóng trong không gian Hilbert.

1.3.5.3 Định lý F.Riesz (dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục)

Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f ( x) 

x, a

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm  x n   H gọi là hội tụ yếu

tới điểm x  H , kí hiệu x  y  x , nếu với y  H ta có:

lim

n x n , y  x, y

Ta có nhận xét, nếu dãy điểm x n  

chuẩn trên H (còn gọi là hội tụ mạnh), nghĩa là lim

n x n  x  0 , thì dãyđiểm  x n  hội tụ yếu tới điểm x  H Điều đó suy ra từ hệ thức:

x n , y  x, y  x n  x,

y

 x n  x y ,y  H

Tuy nhiên điều ngược lại nói chung không đúng Chẳng hạn, đối

với không gian Hilbert H có hệ trực chuẩn vô hạne n  , theo bất đẳngthức Bessel, với phần tử bất kì y 

n

Do đó dãy e n  hội tụ yếu tới phần tử Nhưng hiển nhiên dãy

e n  không hội tụ mạnh tới phần tử , vì

khắp nơi trong không gian H

n

2

1.5 Toán tử tuyến tính

1.5.1 Định nghĩa

Cho X ,Y là các không gian định chuẩn trên trường K , ánh

i)

ii)

A x  y  Ax  Ay, x, y  X ;

A x  Ax, x  X ,  K.

Nếu Y  K thì A là phiếm hàm tuyến tính.

Ađược gọi là toán tử tuyến tính bị chặn nếu c  0 sao cho:

x  X , Ax

c là một cận trên của toán tử A.

 c x

Số c0 nhỏ nhất thỏa mãn gọi là chuẩn của toán tử A.Kí hiệu: A

Để ngắn gọn ta gọi toán tử tuyến tính là toán tử

Toán tử không biến mọi phần tử của E thành véctơ không

Toán tử không được kí hiệu là 0

Dễ thấy toán tử đồng nhất và toán tử không là bị chặn và ta có

I  1, 0  0

Phép nhân vô hướng I là một toán tử, toán tử này nhân mọi

phần tử với vô hướng  ,tức là  I  x   x

1.5.3 Phiếm hàm song tuyến tính

Định nghĩa (hàm song tuyến tính)

Một hàm song tuyến tính  trên một không gian véctơ phức làmột  : E  E  □ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

Ví dụ Tích vô hướng là một hàm song tuyến tính.

1.5.4 Một số toán tử trong không gian Hilbert

1.5.4.1 Toán tử liên hợp

Định nghĩa (toán tử liên hợp)

Cho A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H Toán

Do đó, toán tử liên hợp của toán tử tuyến tính liên tục

A luôn tồn tại và cũng là toán tử tuyến tính liên tục

Các tính chất sau được suy ra từ định nghĩa trên:

với A, B là các toán tử bất kì và vô hướng  tùy ý.

thì A gọi là toán tử tự liên hợp

Nói cách khác nếu A là toán tử tự liên hợp thì

khi đó A là tự liên hợp khi và chỉ khi  là đối xứng

2) Cho A là toán tử bị chặn trong không gian hilbert H Toán tử

T1  A A và T2  A  A là tự liên hợp.

3) Tích của hai toán tử tự liên hợp là một toán tử tự liên hợp khi

và chỉ khi hai toán tử đó là giao hoán

4) Mọi toán tử bị chặn T trong không gian hilbert H đều tồn tạiduy nhất các toán tử tự liên hợp

1.5.4.3 Toán tử khả nghịch

Định nghĩa (toán tử nghịch đảo)

A là một toán tử xác định trong không gian véctơ con của E Mộttoán tử B xác định trên  A gọi là nghịch đảo của A nếu

Một toán tử mà có toán tử nghịch đảo thì được gọi là khả nghịch

Nghịch đảo của A kí hiệu là

A1

.Nếu một toán tử có nghịch đảo thì nghịch đảo đó là duy nhất.Thật vậy: Giả sử

Tính chất

B1  B1I  B1 AB2  IB2  B2

1) Nghịch đảo của một toán tử tuyến tính là một toán tử tuyến tính

2) Một toán tử A là khả nghịch khi và chỉ khi

5) A là một toán tử bị chặn trong không gian Hilbert H sao

cho A  H Nếu A có nghịch đảo bị chặn thì liên hợp

1.5.4.4 Toán tử trực giao

Định nghĩa (toán tử trực giao)

Một toán tử bị chặn T gọi là toán tử trực giao nếu nó giao hoán với toán tử liên hợp của nó, tức là

2) Cho T là toán tử bị chặn trong không gian Hilbert, A, B là các

toán tử tự liên hợp trong H sao cho T  A  iB Khi đó T là trực giaokhi và chỉ khi A và B giao hoán.

3) Nếu f là toán tử trực giao thì T

Định nghĩa (toán tử dương)

Một toán tử A gọi là dương nếu nó tự liên hợp

a) Cho A  A   A  là các toán tử tự liên hợp trong H sao cho

A n A m  A m A n , n, m □ Nếu B là toán tử tự liên hợp trong H sao cho

Định nghĩa (Toán tử compact)

Một toán tử A trong không gian Hilbert H gọi là toán tử compactnếu với mỗi dãy bị chặn  x n  trong H , dãy  Ax n  có một dãy con hội tụ

Ví dụ Mọi toán tử trong không gian có số chiều vô hạn là toán tử

Chương 2 TOÁN TỬ CHIẾU TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 Định lý (về hình chiếu lên không gian con đóng trong không gian

Hilbert)

Giả sử 0 là không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi

đó với mỗi phần tử x của H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:

2

cv,v

2

cv,v

Ta thấy điều mâu thuẫn, chứng tỏ tồn tại v   thuộc H sao

Vậy I  P là toán tử chiếu lên không gian con đóng H  .

Hiển nhiên rằng ánh xạ P là tuyến tính Trong đẳng thức (2.1), vì

Vậy y là hình chiếu của x lên H0 .

Cho tương ứng véctơ x □

Ví dụ 2.

Cho dãy e là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert vô hạn

chiều H, H là không gian con sinh bởi các véctơ e , e , , e , n  1, 2, 

là dãy toán tử chiếu của x  H

lên không gian con đóng H và P  hội

 x  y  H 

Từ đó ta có biểu diễn

x  y n   x  y n  với y n  H n , x  y n  H n Vậy y là hình chiếu của x lên H

Do đó,với mỗi n  1, 2, , toán tử

là toán tử chiếu x lên không gian

H , hay P  là dãy toán tử chiếu x

lên không gian con đóng H

+) Dãy toán tử chiếu P n  hội tụ đến toán tử đồng nhất I vì:

Suy ra P n  không hội tụ theo chuẩn

2.4 Tính chất và phép toán của toán tử chiếu

hết, ta hãy chứng minh rằng không gian véctơ con H0  (P)

  P  P x, y  0Vậy H0  N Hơn nữa, với mọi x  H , x  Px   I  P  x  Px  Qx

Với Px  H ,Qx N đẳng thức chứng tỏ rằng H  H  N và P là

toán tử chiếu lên H

0 , Q là toán tử chiếu lên N  H 

Như vậy, giữa tập hợp tất cả các không gian con đóng của H và tập hợp tất cả các toán tử chiếu trong H , có một song ánh.Vì thế, có thể

đoán nhận rằng mối liên hệ hình học giữa hai không gian con đóng của

H phải được phản ánh bởi mối liên hệ đại số giữa hai toán tử chiếu lên

các không gian con ấy Đó là nội dung của các định lý sau đây

2.4.2 Định lý 2.4.2

Giả sử P

1

và

P2 là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert H lần

lượt trên hai không gian con đóng

tương đương:

H1 và

b)  a) Lấy u  H1,v  H2 , tức là u  P1u,v  P2v Ta có:

P1 về bên trái với cả hai vế, rồi chia cho 2 thì được

P1P2 P1  0 Các đẳng thức này chứng tỏ rằng

P1P2  P2 P1  0

Bởi vì

P1P2   P1P2  P1P2 P1   P1P2 P1.

Cuối cùng (với giả thiết H1  H2 ), ta hãy đặt H  H1  H 2 , và

gọi P là toán tử chiếu lên H0 .Với x 

Ví dụ Giả sử H là một không gian Hilbert khả ly vô hạn chiều và

là toán tử lân cận hoặc toán tử ánh xạ của

Giả sử u là véctơ khác véctơ không trong H

u u

Định lý (hình chiếu lên tập lồi đóng)

Cho K  H là tập lồi đóng, khác rỗng Khi đó với mọi f  H đều

Nhận xét: Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên K

và được kí hiệu bởi

trên thì  đạt giá trị nhỏ nhất trên K vì H là không gian phản xạ.

b) Chứng minh (2.1) tương đương (2.2)

f  u  f  u  2t  f  u, w  u   t2 w  u 2

Từ đây suy ra 2 f  u, w  u  t w  u 2 , t 0,1

Cho t  0 ta thu được (2.2).

Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) khi đó ta có

Giả sử M  H là một không gian con tuyến tính đóng, f  H khi

đó u  P f được đặc trưng bởi

Định lý (định lý biểu diễn Riesz-Fréchet).

Với bất kì   H * đều tồn tại f  H sao cho

Xác định như sau: với f bất kì thuộc H ,

ánh xạ u   f ,u  là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H Nó là

Nếu I không hữu hạn ta có thể lấy hữu hạn ,cùng bổ đề 2.5.2.2 ta

có điều phải chứng minh

Định lý 2.5.2.3

Cho I là tập hữu hạn và được sắp thứ tự toàn phần, lấy  là

i I

tập các số thực trong (0,1] sao cho

  1, và cho H là không gian

Hilbert thực thu được bằng cách lấy tích Đềcác

không gian véctơ thông thường và tích vô hướng

i I H với cấu trúc

 x, y  i

i I xi , y i , trong

Đặt    trong mệnh đề (2.4.5) ta được điều cần chứng minh.

2.5.3 Phép chiếu trên tập lồi đa diện đặc biệt

Trong hai ví dụ sau chúng tôi đưa ra biểu diễn của các phép chiếu lên nửa không gian và trên một siêu phẳng tương ứng

  Khi đó ta có các

ii)u  0 và   0 trong trường hợp nàyC  

iii) u  0 trong trường hợp này C   và

C

x, u

 

iii) u  0 và    trong trường hợp này C  

Tiếp theo chúng ta thường chiếu lên tương ứng của hai nửa không gian cùng giới hạn của đường biên.

u nÕu

i), ii), iv), vi): hiển nhiên

iii) và v) theo ví dụ 1 iii)

vii) Từ u và u là phụ thuộc tuyến tính và u ,u  0 ta có

x,u1    u x,u1   u2  x,u    u Tương tự x,

và x,u2   u x,u2  u1   u  x,  u u    x,u .

Từ đó x  C,   x,u   và kết quả của ví dụ 2 iii) và iv)

KẾT LUẬN

Chính vì lẽ đó việc nghiên cứu, đi sâu tìm hiểu những vấn đề củatoán học, ứng dụng chúng vào các ngành khoa học khác và thực tiễn làviệc làm thiết thực và cần thiết

Khoá luận này đã phần nào khái quát được những kiến thức vềtoán tử chiếu Đồng thời cũng đi sâu tìm hiểu về toán tử chiếu trong một

số tập hợp con đặc biệt của không gian Hilbert

Vấn đề này còn khá nhiều điều bổ ích và lí thú nhưng do kinhnghiệm của bản thân và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên trong khoáluận này còn nhiều thiếu sót cần được bổ sung và góp ý Em rất mongnhận được sự chỉ bảo tận tình và đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.Bước đầu nghiên cứu khoa học, hơn nữa thời gian nghiên cứu cònhạn chế em khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Em rất mong nhậnđược sự đóng góp, chỉ bảo của các thầy cô giáo, của các bạn để khoáluận được hoàn thiện hơn

Một lần nữa em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy côtrong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Giải tích đã tạo điều kiện để em cóthể thực hiện khoá luận này Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn Thày

Phùng Đức Thắng đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 PGS TS Nguyễn Phụ Huy; Giải tích hàm, NXB khoa Học và Kĩ