Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Nguyen NăngTâm, lu¾n văn “Bài toán bat đang thúc bien phân trong không gianHilbert” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ công trình khoa hocnào khác.. và vói mong muon hieu biet sâu hơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ HỒNG HẠNH

BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Năng Tâm

Lài cám ơn

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2.Tác giá chân thành cám ơn PGS TS Nguyen Năng Tâm đã t¾n tìnhhưóng dan tác giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn này

Tác giá xin cám ơn Ban Giám hi¾u, Phòng Sau đai hoc và các thay,

cô trong Khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã quan tâmgiúp đõ trong quá trình hoc t¾p tai trưòng

Tác giá chân thành cám ơn các thay cô giáo và các ban đong nghi¾p óKhoa Khoa hoc cơ bán Trưòng Cao đang Công Nghi¾p Hóa Chat đãtao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá

Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giá lu¾n văn

Lê Th% Hong Hanh

i

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen NăngTâm, lu¾n văn “Bài toán bat đang thúc bien phân trong không gianHilbert” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ công trình khoa hocnào khác

Trong quá trình hoàn thành lu¾n văn, tôi đã thùa ke nhung thành tnucna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Phú Tho, ngày 10 tháng 11 năm 2016

Tác giá lu¾n văn

Lê Th% Hong Hanh

ii

Mnc lnc

Lài

cam đoan ii

Mé ĐAU 1

1 Kien thNc chuan b% 4 1.1 Không gian Hilbert 4

1.2 T ¾p loi 7

1.3 M®t so toán tú đ¾c bi¾t trong không gian Hilbert 11

1.3.1 Toán tú liên tuc 11

1.3.2 Toán tú liên hop 13

1.3.3 Toán tú chieu 15

1.3.4 Toán tú đang cn 16

1.4 Bài toán toi ưu trong không gian Hilbert 16

5

2 Bat đang thNc bien phân trong không gian Hilbert 19

2.1 Đ%nh nghĩa và ví du 19

2.2 M®t so đ%nh lý ve ton tai nghi¾m 23

2.3 M®t so phương pháp giái bài toán bat đang thúc bien phân 33

2.3.1 Phương pháp nhân tú Lagrange 33

2.3.2 Th u¾t toán hi¾u c hính Tikhonov 35

2.3.3 Th u¾t toán điem gan k e 43

Ket lu¾n 51

Tài li¾u tham kháo 52

6

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Bài toán Bat đang thúc bien phân (Variational Inequality Problem)

ra đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói các công trình cna G pacchia, J L Lion và G Fichera, xem [7, 8] và các tài li¾u đưoctrích dan trong đó Hi¾n nay, bài toán bat đang thúc bien phân đãđưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau, chang han: bat đangthúc bien phân véctơ, tna bat đang thúc bien phân, giá bat đang thúcbien phân, bat đang thúc bien phân an, bat đang thúc bien phân suyr®ng,

Stam-

Bat đang thúc bien phân thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhàtoán hoc vì các mô hình cna nó chúa nhieu bài toán quan trong cnam®t so lĩnh vnc khác nhau trong toán hoc như là trưòng hop riêng, vídu: toi ưu hóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giaothông,

Sau khi hoc và nghiên cúu các môn Giái tích hàm, Bat đang thúc bienphân, Lý thuyet toi ưu và vói mong muon hieu biet sâu hơn ve Batđang thúc bien phân trong không gian Hilbert tôi đã lna chon đe tài:

“Bài toán Bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.”

2 Mnc đích nghiên cNu

7

Muc đích cna lu¾n văn là nghiên cúu ve Bat đang thúc bien phântrong không gian Hilbert và m®t so phương pháp giái bài toán Batđang thúc bien phân trong không gian Hilbert.

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu m®t so kien thúc cơ bán ve không gian Hilbert, m®t sotoán tú đ¾c bi¾t và bài toán toi ưu trong không gian Hilbert

Nghiên cúu ve Bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert vàm®t so phương pháp giái bài toán Bat đang thúc bien phân trongkhông gian Hilbert Lu¾n văn này trình bày m®t so khái ni¾m vàket quá liên quan đen Bat đang thúc bien phân trong không gianHilbert Lu¾n văn nghiên cúu 2 n®i dung

Chương 1 trình bày m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho vi¾c trìnhbày các ket quá chính trong chương tiep theo Muc 1.1 trình bày kháini¾m không gian Hilbert Muc 1.2 trình bày các kien thúc cơ bán vet¾p loi và hàm loi Muc 1.3 trình bày m®t so toán tú đ¾c bi¾t trongkhông gian Hilbert Muc 1.4 giói thi¾u ve bài toán toi ưu trong khônggian Hilbert

Chương 2 trình bày m®t so ket quá ve ton tai nghi¾m và m®t so thu¾ttoán đe giái bài toán bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.Muc 2.1 trình bày đ%nh nghĩa và các ví du ve bat đang thúc bien phânkhông gian Hilbert Muc 2.2 trình bày m®t so đ%nh lý ve sn ton tai

nghi¾m cna bài toán này Muc 2.3 trình bày m®t so thu¾t toán đegiái bài toán bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert gom:phương pháp nhân tú Lagrange, thu¾t toán hi¾u chính Tikhonov, thu¾ttoán điem gan ke Các ket quá chính trong chương này đưoc trình bàydna trên cuon chuyên kháo [7] và bài báo [10].

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong và pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn là nghiên cúu khônggian Hilbert và bài toán Bat đang thúc bien phân trong không gianHilbert

5 Phương pháp nghiên cNu

Tra cúu, tong hop tài li¾u tham kháo

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so kien thúc chuan b% canthiet cho vi¾c trình bày các ket quá chính trong Chương 2 Muc 1.1trình bày khái ni¾m không gian Hilbert Muc 1.2 trình bày các kienthúc cơ bán ve t¾p loi và hàm loi Muc 1.3 trình bày m®t so toán túđ¾c bi¾t trong không gian Hilbert Muc 1.4 giói thi¾u ve bài toán toi

ưu trong không gian Hilbert

Cho H là không gian véctơ trên trưòng so thnc R.

Đ%nh nghĩa 1.1 M®t ánh xa

(·, ·) : H × H → R

(x, y) ›→ (x, y)

đưoc goi là m®t tích vô hưóng trên H neu vói moi x, y, z ∈ R và α ∈

(iv) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 khi và chí khi x = 0.

So (x, y) đưoc goi là tích vô hưóng cna x và y Không gian véctơ H

cùng vói m®t tích vô hưóng xác đ%nh trên nó đưoc goi là không gian

có tích vô hưóng hay còn goi là không gian tien Hilbert và thưòngđưoc viet là (H, (·, ·))

M¾nh đe 1.1 Cho (H, (·, ·)) là m®t không gian tien Hilbert Khi đó công thúc

"x" := , x, x) xác đ%nh m®t chuan trên H.

Đ%nh nghĩa 1.2 Neu không gian có tích vô hưóng (H, (·, ·)) vói

chuan xác đ%nh như trên là m®t không gian đn thì ta goi (H, (·, ·))

là m®t không gian Hilbert và ký hi¾u đơn gián là H.

Ta goi so chieu cna H là so chieu cna không gian Hilbert H, ký hi¾u dim H Neu dim H < ∞ thì ta nói H là huu han chieu, trái lai ta nói H là vô han chieu.

Ta goi moi không gian tuyen tính con đóng cna không gian Hilbert H

là không gian Hilbert con cna không gian H.

(

Khi đó Rn tró thành không gian Hilbert huu han chieu.

Ví dn 1.2 Ký hi¾u l2 là không gian véctơ các dãy so x = (x n) sao

De dàng thay h¾ thúc (1.1) thóa mãn các đieu ki¾n tích vô hưóng

Không gian l2 vói chuan sinh ra bói tích vô hưóng (1.1)

Đ%nh lý 1.1 (Bat đang thúc Cauchy- Schawatz) Cho H là không gian

tien Hilbert Ta luôn có bat đang thúc sau:

|(x, y)| ≤ "x"."y" ∀x, y ∈ H.

Đ%nh lý 1.2 Cho H là không gian Hilbert Khi đó, (·, ·) : H × H → R

là m®t hàm liên tnc (theo cá hai bien).

1 2

(

,

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho không gian Hilbert H, x, y ∈ H và t¾p con

α i ∈ R, i = 1, , n;

4 x⊥y n vói moi n ∈ N và y n → y khi n → ∞ thì x⊥y.

Đ%nh nghĩa 1.4 Cho H là không gian Hilbert, t¾p M ⊂ H Phan

bù trnc giao cna M , kí hi¾u là

M ⊥ := {x ∈ H : x⊥y, ∀y ∈ M}.

Đ%nh nghĩa 1.5 Cho hai điem a, b ∈ H.

(i) M®t đưòng thang đi qua a, b là t¾p hop có dang:

{x ∈ H : x = αa + βb, α, β ∈ R, α + β = 1}.

(ii) Đoan thang noi hai điem a, b trong H có dang:

{x ∈ H : x = αa + βb, α ≥ 0, β ≥ 0, α + β = 1}.

Đ%nh nghĩa 1.6 M®t t¾p D đưoc goi là t¾p affin neu D chúa đưòng

thang đi qua hai điem bat kỳ x, y ∈ D, túc là

∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ D.

M¾nh đe 1.2 T¾p D ƒ= ∅ là t¾p affin khi và chs khi nó có dang D = M + a vói M là m®t không gian con cúa H và a ∈ H Không gian M đưoc xác đ%nh duy nhat và đưoc goi là không gian con song song cúa D.

Đ%nh nghĩa 1.7 Thú nguyên (hay chieu) cna m®t t¾p affin D là thú

nguyên cna không gian con song song vói D và đưoc ký hi¾u là dim

D.

Đ%nh nghĩa 1.8 Siêu phang trong không gian H là m®t t¾p hop các

điem có dang

{x ∈ H : a T x = α}, trong đó a ∈ H là m®t véctơ khác 0 và α ∈ R.

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho a ∈ H là m®t véctơ khác véctơ không và α ∈ R.

T¾p {x : a T x ≥ α} goi là núa không gian đóng.

Đ%nh nghĩa 1.10 M®t t¾p D đưoc goi là t¾p loi neu vói moi a, b ∈ D

và moi λ ∈ [0; 1], ta có :

λa + (1 − λ)b ∈

D.

Ví dn 1.3 T¾p rong là t¾p loi.

+ Toàn b® không gian là t¾p loi

+ Các không gian con là các t¾p loi

+ Các tam giác, hình tròn trong m¾t phang là các t¾p loi

+ Quá cau C = {x | "x" ≤ 1} là t¾p loi.

Đ%nh lý 1.3 T¾p loi đóng vói phép giao, phép c®ng, phép nhân vói

m®t so thnc; túc là neu C và D là hai t¾p loi trong H thì C ∩ D, λC + βD cũng là các t¾p loi.

Đ%nh nghĩa 1.11 Ta nói x là to hop loi cna các điem (véctơ) x1 , ,

M¾nh đe 1.3 T¾p hop D là loi khi và chs khi nó chúa moi to hop loi

cúa các điem cúa nó; túc là D loi khi và chs khi

k

∀k ∈ R, ∀λ 1, , , λ k ∈ D ⇒ λ j x j ∈ D.

j=1

Đ%nh nghĩa 1.12 M®t t¾p đưoc goi là t¾p loi đa di¾n neu nó là giao

huu han các núa không gian đóng

Như v¾y, theo đ%nh nghĩa t¾p loi đa di¾n là t¾p nghi¾m cna m®t h¾huu han các bat phương trình tuyen tính Dang tưòng minh cna t¾ploi đa di¾n đưoc cho như sau:

C := {x ∈ H | (a j , x) ≤ b j , j ∈ I, |I| < +∞}.

15

Đ%nh nghĩa 1.13 M®t t¾p C ⊂ H đưoc goi là nón neu

∀x ∈ C, ∀λ ≥ 0 ⇒ λx ∈ C.

M®t nón đưoc goi là nón loi neu nó là nón và là m®t t¾p loi

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho D là m®t t¾p loi và f : D → R ∪ {+∞} Hàm

f đưoc goi là loi trên D neu

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1;

loi ch¾t neu

f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ D, 0 < λ < 1 Hàm f lõm (lõm ch¾t) neu −f là loi (loi ch¾t).

Ví dn 1.4 Các hàm sau đây đeu loi:

Đ%nh lý 1.4 Cho f và g là hai hàm loi trên t¾p loi C và D tương

úng Khi đó, vói moi α, β ≥ 0 các hàm so αf + βg, max{f, g} cũng loi trên C ∩ D.

M®t hàm loi có the không liên tuc tai m®t điem trên biên mien xácđ%nh cna nó, tuy nhiên nó liên tuc tai moi điem trong t¾p đó

Đ%nh lý 1.5 M®t hàm loi f xác đ%nh trên t¾p loi D thì f liên tnc tai

moi điem trong cúa D.

Hilbert

1.3.1 Toán tN liên tnc

Đ%nh nghĩa 1.15 Giá sú H và H r là hai không gian Hilbert Ánh xa

A : H → H r đưoc goi là m®t ánh xa tuyen tính, ho¾c là toán tú tuyentính, hay goi tat là toán tú neu:

1, (∀x, y ∈ H) : A(x + y) = Ax + Ay;

2, (∀x ∈ H)(∀α ∈ R) : A(αx) = αAx

Cho m®t toán tú A.

T¾p {Ax | x ∈ H} goi là ánh cna A và ký hi¾u là R(A) ho¾c RanA

T¾p {x ∈ H | Ax = 0} đưoc goi là hat nhân cna A và ký hi¾u là N

(A) ho¾c KerA.

Đ%nh nghĩa 1.16 Cho H và H r là hai không gian Hilbert Toán tú

tuyen tính A : H → H r đưoc goi là b% ch¾n neu ton tai hang so α ≥ 0

sao cho

"Ax" ≤ α"x" ∀x ∈ X. (1.2)

Đ%nh nghĩa 1.17 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n tù không gian

Hilbert H vào không gian Hilbert H r Hang so α ≥ 0 nhó nhat thóa mãn h¾ thúc (1.2) goi là chuan cna toán tú A và ký hi¾u là "A".

Tù đ%nh nghĩa de thay chuan cna toán tú có các tính chat:

1 (∀x ∈ H)"Ax" ≤ "A""x";

2 (∀ε > 0)(∃x ε ∈ H) sao cho ("A" − ε)"x ε " < "Ax ε ".

Đ%nh lý 1.6 Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian Hilbert H vào

không gian Hilbert H r Các m¾nh đe sau là tương đương:

(i) A liên tnc;

(ii) A liên tnc tai moi điem x0 ∈ H;

(iii) A liên tnc tai 0;

(iv) A b% ch¾n.

Đ%nh lý 1.7 Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian Hilbert H vào

không gian Hilbert H r Neu toán tú A liên tnc thì

Đ%nh nghĩa 1.18 Giá sú H không gian Hilbert và A : H → H là toán tú tuyen tính Véc tơ x ƒ= 0 đưoc goi là véctơ riêng cna A úng vói giá tr% riêng λ, neu

Ax = λx,

hay

là

(A − λI)x = 0.

Đ%nh nghĩa 1.19 Giá sú A là toán tú tuyen tính b% ch¾n trong không

gian Hilbert H So λ đưoc goi là thu®c pho cna A hay m®t giá tr% pho cna A neu không ton tai toán tú ngưoc b% ch¾n (A − λI) −1 T¾p tat

cá các giá tr% pho cna A đưoc goi là pho cna A, ký hi¾u là σ(A).

Đ%nh nghĩa 1.20 Toán tú tuyen tính liên tuc A : H → H đưoc goi

2

là toán tú eliptic, neu ton tai α > 0 sao cho (Ax, x) ≥

α"x"

, ∀x ∈ H.

1.3.2 Toán tN liên hap

Đ%nh nghĩa 1.21 Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian

Hilbert H vào không gian Hilbert H r Toán tú B tù không gian Hilbert

H r vào không gian Hilbert H goi là toán tú liên hop vói toán tú A,

neu

(Ax, y) = (x, By), ∀x ∈ H, ∀y ∈ H r Toán tú liên hop B đưoc ký hi¾u là A ∗

Đ%nh nghĩa 1.22 Toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert

H vào chính nó goi là tn liên hop neu

(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H.

Toán tú tn liên hop còn goi là toán tú đoi xúng

Đ%nh lý 1.8 Giá sú A là toán tú tuyen tính liên tnc trong không gian

Hilbert phúc H Khi đó, A tn liên hop khi và chs khi (∀x ∈ H)(Ax, x)

là so thnc.

H¾ quá 1.1 Giá sú A là toán tú tn liên hop trong không gian Hilbert

H Khi đó, moi giá tr% riêng λ cúa A là so thnc.

Đ%nh lý 1.9 Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H r Khi đó ton tai toán tú A ∗ liên hop vói toán tú A tù không gian H r vào không gian H.

Đ%nh lý 1.10 Cho toán tú tuyen tính b% ch¾n A tù không gian Hilbert

H vào không gian Hilbert H r Khi đó toán tú liên hop A ∗ vói toán

tú A cũng là toán tú tuyen tính b% ch¾n và "A ∗ " = "A".

Đ%nh nghĩa 1.23 Cho A là toán tú tuyen tính liên tuc tù không gian

Hilbert H vào không gian Hilbert H r Khi đó:

đưoc goi là mien giá tr% cna A và ký hi¾u R(A).

Đ%nh lý 1.11 Giá sú H và H r là các không gian Hilbert A : H → H r

là toán tú tuyen tính liên tnc Khi đó,

H = N (A) ⊕ R(A ∗ ), H r = N (A ∗ ) ⊕ R(A).

Vói A ⊕ B là tong trnc tiep cúa A và B.

1.3.3 Toán tN chieu

Đ%nh lý 1.12 Cho M là t¾p loi đóng khác rong trong không gian

Hilbert H Khi đó, vói moi x ∈ H ton tai duy nhat y ∈ M sao cho "x − y" = inf{"x − z"|z ∈ M}.

Ta ký hi¾u d(x, M ) = inf{"x − z" |z ∈ M}.

Đ%nh lý 1.13 Giá sú M là không gian con đóng cúa không gian

Hilbert H Khi đó, vói moi phan tú x ∈ H đưoc bieu dien m®t cách duy nhat dưói dang x = y + z, trong đó y ∈ M và z ∈ M ⊥ đưoc goi

là hình chieu trnc giao cúa x lên M.

Đ%nh nghĩa 1.24 Theo đ%nh lý trên, moi x ∈ H đeu bieu dien đưoc duy nhat dưói dang x = y + z vói y ∈ M, z ∈ M ⊥ Như v¾y H

Ánh xa P : H → M , xác đ%nh P (x) = y vói x = y + z ∈ M ⊕

M ⊥ , đưoc goi là phép chieu trnc giao tù H lên M

Đ%nh nghĩa 1.25 Phép chieu trnc giao P tù không gian Hilbert H

lên không gian con đóng M ƒ= {0} là m®t toán tú tuyen tính liên

tuc

1.3.4 Toán tN đang cN

Đ%nh nghĩa 1.26 Cho H và H r là hai không gian Hilbert và toán tú

tuyen tính A : H → H r sao cho "Ax" = "x" vói ∀x ∈ H Khi đó A

đưoc goi là toán tú đang cn

Đ%nh nghĩa 1.27 Neu A là toán tú đang cn và là toàn ánh thì A

đưoc goi là toán tú Unita

Đ%nh lý 1.14 Cho H và H r là hai không gian Hilbert và A : H → H r

là toán tú tuyen tính Lúc đó các m¾nh đe sau là tương đương:

(i) A là toán tú đang cn;

(ii) A liên tnc và A ∗ · A = I X (I X là toán tú đong nhat trong H); (iii) A báo toàn tích vô hưóng: (Ax1, Ax2) = (x1, x2) ∀x1, x2 ∈ H.

1.4 Bài toán toi ưu trong không gian Hilbert

Bài toán 1.1 Cho ϕ : H → R là hàm khá vi Fréchet trên t¾p mó Ω chúa K Xét bài toán :

ϕ là hàm muc tiêu và K là t¾p ràng bu®c

T¾p nghi¾m cna bài toán (P ) là

Sol(P ) := {x¯ ∈ K | ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K}.

T¾p nghi¾m đ%a phương cna bài toán (P ) là

Loc(P ) := {x¯ ∈ K | ∃ε > 0 sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(x¯), ∀x ∈ K ∩ B(x¯, ε)}

Đ%nh lý 1.15 (Quy tac Fermat) Neu x¯ ∈ Loc(P ), thì

(∇ϕ(x¯), x − x¯)) ≥ 0.

(⇐) Giá sú x¯ ∈ Kvà thóa mãn (1.4) Lay x ∈ K Do tính loi cna

Chương 2

Bat đang thNc bien phân trong

không gian Hilbert

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so ket quá ve sn ton tainghi¾m cna các bat đang thúc bien phân không gian Hilbert Sau đó,chúng tôi trình bày m®t so phương pháp giái bài toán bat đang thúcbien phân như: Phương pháp nhân tú Lagrange, Thu¾t toán hi¾u chínhTikhonov, Thu¾t toán điem gan ke

Đ%nh nghĩa 2.1 [4] (Bat đang thúc bien phân) Cho H là m®t không

gian Hilbert vói tích vô hưóng là (·, ·) và chuan tương úng là " · " Cho K ⊂ H là m®t t¾p loi đóng, khác rong và F : K → H.

x¯ ∈ K thóa mãn (2.1) đưoc goi là t¾p nghi¾m cna

V I(F, K) và đưoc ký hi¾u là Sol(V I(F, K)).

Ví dn 2.1 Cho f : [a, b] → R là m®t hàm so khá vi Giá sú x¯ ∈ [a, b]

là m®t điem cnc tieu toàn cuc cna F trên [a, b], nghĩa là:

Đ%nh nghĩa 2.2 [4] Ta nói bài toán V I (F, K) là đơn đi¾u, neu F

là đơn đi¾u trên K, túc là

(F (x) − F (y), x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ K.

Đ%nh nghĩa 2.3 [4] Ta nói bài toán V I (F, K) là đơn đi¾u ch¾t, neu

F là đơn đi¾u ch¾t trên K, túc là

(F (x) − F (y), x − y) > 0, ∀x, y ∈ K, x ƒ= y.

Nh¾n xét 2.1 Rõ ràng bat đang thúc bien phân đơn đi¾u ch¾t thì

đơn đi¾u Đieu ngưoc lai không đúng

Ví dn 2.3 Lay F (x)

=

trưóc Khi đó,

x¯, ∀x ∈ K vói x¯

∈ H \ {0} là phan tú cho

(F (x) − F (y), x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ K, x ƒ= y.

Nhưng không suy ra (F (x) − F (y), x − y) > 0, ∀x, y ∈ K, x ƒ= y.

Vì (F (x) − F (y), x − y) = (x¯ − x¯, x − y) = 0, ∀x, y ∈ K, x ƒ= y.

Đ%nh nghĩa 2.4 [4] Ta nói bài toán V I (F, K) là đơn đi¾u manh neu

∃α > 0 sao cho

(F (x) − F (y), x − y) ≥ α"x − y"

, ∀x, y ∈ K.

Nh¾n xét 2.2 Bat đang thúc bien phân đơn đi¾u manh thì đơn

đi¾u Đieu ngưoc lai không đúng

Đ%nh nghĩa 2.5 [4] Ta nói bài toán V I (F, K) là giá đơn đi¾u neu

2

(F (y), x − y) ≥ 0 ⇒ (F (x), x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ K.

Nh¾n xét 2.3 Bat đang thúc bien phân đơn đi¾u thì giá đơn đi¾u.

Đieu ngưoc lai không đúng

Đ%nh nghĩa 2.6 [4] Ta nói bài toán V I (F, K) là tna đơn đi¾u neu

(F (y), x − y) > 0 ⇒ (F (x), x − y) ≥ 0, ∀x, y ∈ K.

Nh¾n xét 2.4 Bat đang thúc bien phân giá đơn đi¾u thì tna đơn

đi¾u Đieu ngưoc lai không đúng

Đ%nh nghĩa 2.7 [7] Cho a (u, v) là m®t dang song tuyen tính thnc trên H, có nghĩa là a : H × H → R liên tuc và tuyen tính theo tùng bien u, v M®t dang song tuyen tính a(u, v) là đoi xúng neu

a(u, v) = a(v, u) vói moi u, v ∈ H.

M®t ánh xa tuyen tính và liên tuc

v → a(u, v) vói v ∈ H xác đ%nh m®t ánh xa tuyen tính liên tuc A : H → H r thóa mãn (2.2)

Đ%nh nghĩa 2.8 [7] Dang song tuyen tính a (u, v) thóa mãn đieu ki¾n búc trên H, neu ton tai so α ≥ 0 sao cho:

a(u, v) ≥ α"v"2 vói v ∈ H. (2.3)

Bài toán 2.1 [7] Cho K ⊂ H loi, đóng và f ∈ H r Tìm

u ∈ K : a(u, v − u) ≥ (f, v − u), ∀v ∈ K. (2.4)

Cho H là không gian Hilbert, K ⊂ H là t¾p loi, đóng, khác rong Đ

%nh lý 2.1 [4] Cho X là không gian Banach phán xa, K ⊂ X là t¾p loi đóng, khác rong và giói n®i Neu F : K → X ∗ là toán tú đơn đi¾u và liên tnc trên các không gian con huu han chieu, thì bài toán

V I(F, K) có nghi¾m.

Đ%nh lý 2.2 [4] (Đ%nh lý điem bat đ®ng cho ánh xa không giãn) Cho

K ⊂ X là t¾p loi, đóng, giói n®i, khác rong trong không gian Hilbert

Do g liên tuc theo chuan nên F liên tuc theo chuan Khi đó, F là đơn đi¾u trên K Th¾t v¾y, vói x, u ∈ K ta có

(F (x) − F (u), x − u) = (x − g(x) − (u − g(u), x − u)

= −(g(x) − g(u), x − u) + "x − u 2

2

≥ −"g(x) − g(u)""x − u" + "x − u"

= "x − u"["x − u" − "g(x) − g(u)"]

≥ 0, (do g là không giãn)

Áp dung Đ%nh lý 2.1 vói X = H, ton tai x¯ ∈ K sao

≥ 0.

Suy ra "x¯ − g(x¯)" = 0 hay x¯ = g(x¯)

Đ%nh lý 2.3 [4] Vói moi x ∈ H ton tai duy nhat u ∈ K sao cho

"x − u" = d K (x) = inf "x − y", ∀y ∈ K. (2.5)

Đ%nh lý 2.4 [4] Vói moi x ∈ H ton tai duy nhat u ∈ K thóa mãn (2.5) khi và chs khi (x − u, y − u) ≤ 0, ∀y ∈ K.

"

2

Đ%nh lý 2.5 [4] ( Sn ton tai nghi¾m cna bat đang thúc bien phân

đơn đi¾u manh) Giá sú rang, F : K → H là ánh xa thóa mãn các đieu ki¾n sau:

(i) ton tai l > 0 sao cho "F (x) − F (u)" ≤ l"x − u", ∀x, u ∈ K, (ii) ton tai γ > 0 sao cho "F (x) − F (u)" ≥ γ"x −

• g là ánh xa co Th¾t v¾y, vói moi x, u ∈ K ta có:

− 2ρ(F (x) − F (u), x − u) + ρ

"F (x) − F (u)"

≤ "x − u"

ra g có điem bat đ®ng duy nhat trên K Do đó, bài toán V I(F, K) có

nghi¾m duy nhat

Đ%nh lý 2.6 [4] Cho A : H → H là toán tú tuyen tính, liên tnc dang eliptic Khi đó

(i) Vói moi b ∈ H ton tai duy nhat x = x(b) thu®c K là nghi¾m cúa

Chúng minh (i) Lay b bat kỳ thu®c H Do A liên tuc nên ton tai L >

0

sao cho:

"Au" ≥ L"u", ∀u ∈ H.

≤ (Au1 − Au2, u1 − u2)

≤ (b1 − b2, u2 − u1)

≤ "b1 − b2""u2 − u1".

"

Hơn nua, ánh xa nghi¾m b ›→ x(b) là liên tnc Lipschitz.

Chúng minh Đ¾t K = H Theo Đ%nh lý 2.6, bài toán V I(F, K) vói

Đ%nh lý 2.8 [7] Cho a (u, v) là m®t dang song tuyen tính thóa mãn đieu ki¾n búc trên H, K ⊂ H loi, đóng và f ∈ H r Khi đó, ton tai duy nhat m®t nghi¾m u cho Bài toán 2.1 Ngoài ra, neu ánh xa f

Ta đ¾t v = u2 trong bat đang thúc cna u1 và v = u1 trong bat

đang thúc cna u2, ta nh¾n đưoc bat đang thúc sau bang cách c®ng