Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Trong khóa lu¾n này, chúng tôi h¾ thong lai m®t so ket quáliên quan tói bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert.. Chương 1 h¾ thong lai các ket quá ve bat đang thúc bien phân tr

tích-Em xin chân thành cám ơn gia đình và ban bè đã tao moi đieuki¾n thu¾n loi cho em trong quá trình thnc hi¾n khóa lu¾n.

Em xin chân thành cám ơn!

Hà N®i, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Tran Th% Phưong

i

LèI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna Thay Nguyen Văn

Tuyên khóa lu¾n tot nghi¾p “Bat đang thNc bien phân trong không gian Hilbert” đưoc hoàn thành không trùng vói bat kỳ đe tài

Mnc lnc

1.1

Các đ%nh lý điem bat đ®ng 3

1.2 Đ¾c trưng cna hình chieu trên m®t t¾p loi 5

1.3 Đ%nh lý thú nhat ve bat đang thúc bien phân 8

1.4 Bat đang thúc bien phân 11

1.5 M®t so bài toán dan tói bat đang thúc bien phân 14

2 Bat đang thNc bien phân trong không gian Hilbert 18 2.1 Dang song tuyen tính 18

2.2 Sn ton tai nghi¾m 19

2.3 Sn ch¾t cut 23

2.4 Không gian Solobev và bài toán biên 24

2.5 Nguyên lý cnc đa i yeu 31

Ket lu¾n 37

T ài li¾u tham kháo 38

iii

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Bài toán bat đang thúc bien phân (Variational Inequality lem) ra đòi vào nhung năm 1960, gan lien vói các công trình cna G.Stampacchia, J L Lions và G Fichera [24, 30] Hi¾n nay, bài toán batđang thúc bien phân đã đưoc phát trien thành nhieu dang khác nhau,

Prob-ví du: bat đang thúc bien phân vector, tna bat đang thúc bien phân, giábat đang thúc bien phân, bat đang thúc bien phân an, bat đang thúcbien phân suy r®ng

Bài toán này thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà toán hoc vìcác mô hình cna nó chúa nhieu bài toán quan trong cna m®t so lĩnhvnc khác nhau trong toán hoc như là trưòng hop riêng, ví du: toi ưuhóa, lý thuyet trò chơi, cân bang Nash, cân bang mang giao thông

Trong nhung năm gan đây, bài toán mó r®ng cna bài toán batđang thúc bien phân là bài toán cân bang cũng đã thu hút đưoc snquan tâm cna nhieu ngưòi, chang han: A N Iusem, W Sosa [14], P Q.Khanh và

N X Hai [6], M Bianchi và S Schaible [20]

Trong khóa lu¾n này, chúng tôi h¾ thong lai m®t so ket quáliên quan tói bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert Khóalu¾n đưoc chia thành hai chương Chương 1 h¾ thong lai các ket quá

ve bat đang thúc bien phân trên không gian Rn và m®t so bài toán dantói bat đang thúc bien phân Chương 2 trình bày các ket quá liên quanđen bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert và moi liên h¾cna bài toán này vói m®t so bài toán khác, ví du: bài toán biên,nguyên lý cnc đai yeu

2 Mnc đích nghiên cNu

Nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert

và moi liên h¾ vói m®t so bài toán khác

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu các ket quá cơ bán ve bat đang thúc bien phân và cácbài toán dan đen bat đang thúc bien phân

Nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân trong không gian Hilbert

và moi liên h¾ vói m®t so bài toán khác

4 Phương pháp nghiên cNu

Tra cúu tài li¾u, tong hop và theo sn chí đao cna ngưòi hưóng dan đe hoàn thành muc tiêu đe ra

5 Cau trúc khoá lu¾n

Ngoài phan mó đau, ket lu¾n, danh muc tài li¾u tham kháo thìkhoá lu¾n bao gom 2 chương:

Chương 1: Bat đang thúc bien phân trong Rn

Chương 2: Bat đang thúc bien phân trong không gian Hn

Chương 1

1.1 Các đ%nh lý điem bat đ®ng

Lý thuyet điem bat đ®ng là m®t nhánh cna toán hoc, nhieu van

đe cna giái tích có the đưoc giái quyet bang các đ%nh lý ve điem batđ®ng M®t so ket quá ve ton tai điem bat đ®ng noi tieng đã xuat hi¾n

tù đau the ký XX, trong đó phái ke đen nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer(1912) và nguyên lý ánh xa co Banach(1922) Các ket

quá kinh đien này đã đưoc mó r®ng ra các lóp ánh xa và không giankhác nhau

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho F là m®t ánh xa tù t¾p A vào chính nó, F : A →

A Điem x ∈ A đưoc goi là điem bat đ®ng cna F neu F (x) = x.

Nói cách khác, các điem bat đ®ng cna F là nghi¾m cna phương trình F (x) = x.

Đ%nh nghĩa 1.2 Cho (S, d) là không gian metric Ánh xa F : S → S đưoc goi là m®t ánh xa co neu ton tai hang so a ∈ [0, 1) sao cho

xa F đưoc goi là ánh xa không giãn

Đ%nh lý 1.1 Cho S là không gian metric đay và F : S → S là m®t ánh

xa co Khi đó, ánh xa F có ít nhat m®t điem bat đ®ng.

Vì S là không gian đay nên ton tai lim

cho n → ∞ ta đưoc d(F (x¯), x¯) = 0 hay F

Vì v¾y x¯ là điem bat đ®ng duy nhat cna F

Chú ý rang đ%nh lý không còn đúng khi F là ánh xa không giãn.

Chang han, m®t phép t%nh tien tù không gian tuyen tính vào chính nó

là m®t ánh xa không giãn và nó cũng không có điem bat đ®ng

Đ%nh lý 1.2 (Đ%nh lý Brouwer) Cho F là ánh xa liên tnc tù hình

duy

nhat.

1.2 Đ¾c trưng cúa hình chieu trên m®t t¾p loi

Trong phan này, chúng ta xét phép chieu lên m®t t¾p loi trongkhông gian Hilbert H trên trưòng so thnc Chú ý rang, các chúng minhtương tn như trong trưòng hop H là không gian huu han chieu

Bo đe 1.1 Giá sú K là m®t t¾p con loi đóng cúa không gian Hilbert H.

Khi đó, vói moi x ∈ H se ton tai duy nhat y ∈ K sao cho:

De thay y là duy nhat.

Th¾t v¾y, giá sú có 2 phan tú y, y r ∈ K thóa mãn (1.2) Trong (1.4) ta

thay η k bói y, η h bói y r đưoc:

Nh¾n xét 1.1 Các điem thóa mãn (1.2) đưoc goi là chân hình chieu

cna x lên K và kí hi¾u là P rKx Ta viet: y = P rKx.

"

H Khi đó, y là chân hình chieu cúa x trên K khi và chs khi:

Chúng minh Giá sú x ∈ H và y = P rKx Vì K là t¾p loi nên:

H¾ quá 1.1 Giá sú K là m®t t¾p loi cúa không gian Hilbert H Khi đó

toán tú P rK là không giãn, có nghĩa là

Đ%nh lý 1.4 (Brouwer) Cho K ⊂ R n là m®t t¾p loi compact và ánh

Do: P rKx = x nên F (x) = x.

1.3 Đ%nh lý thN nhat ve bat đang thNc bien phân

Trong các nghiên cúu ve bat đang thúc bien phân chúng ta thưòng

quan tâm tói m®t ánh xa F tù không gian tuyen tính X ho¾c t¾p loi

K ⊂ X vào không gian đoi ngau X r

2

Nhac lai rang, không gian đoi ngau (Rn)r cna Rn là không gian tat

M¾t khác, chúng ta luôn có the đong nhat (Rn)r vói Rn Ví

du, chúng ta có the đong nhat a ∈ (R n)r vói πa ∈ R n, như v¾y (a, x) = (πa, x) Phép đong nhat xác đ%nh là duy nhat, nhưng chúng ta

luôn giá đ%nh rang

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý thN nhat ve bat đang thNc bien phân)

Giá sú K ⊂ R n là m®t t¾p loi compact và ánh xa F : R → (R n)r liên tnc Khi đó, ton tai m®t điem x ∈ K sao cho:

Chúng minh Chúng minh cna đ%nh lý tương đương vói vi¾c chí ra sn

ton tai:

x ∈ K : (x, y − x) ≥ (x − πF (x), y − x) ∀y ∈ K.

Chúng minh Neu x ∈ intK, thì các điem (y − x) mô tá m®t lân

c¾n cna x, có nghĩa là, vói moi ξ ∈ R n ton tai ε ≥ 0 và y ∈ K

sao cho ξ = ε(y − x).

H¾ quá 1.3 Cho x là nghi¾m cúa bat đang thúc (1.7) và giá sú rang

x ∈ ∂K Khi đó, F (x) xác đ%nh m®t siêu phang tna cúa K, mien là

F (x) ƒ= 0.

Cn the là, hàm afine f (y) = (F (x), y − x) là không âm vói

moi

y ∈ K.

1.4 Bat đang thNc bien phân

Bài toán 1.1 Cho K là m®t t¾p loi, đóng trong R n và F : R → (R n)r

liên tnc, tìm x ∈ K sao cho:

Neu t¾p K b% ch¾n, chúng ta đã đưa ra sn ton tai nghi¾m cna Bàitoán 1.1 M¾t khác, cũng phái chú ý rang không phái lúc nào bài toánnày cũng có nghi¾m Ví du, neu K = R thì bat đang thúc

f (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ R không có nghi¾m vói f (x) = e x

Đ%nh lý sau đây cho chúng ta đieu ki¾n can và đn cho sn ton tainghi¾m Cho K là m®t t¾p loi, ta đ¾t : KR = K ∩

R Trong đó,

R

là m®t hình cau đóng bán kính R, tâm 0 ∈ R n Chúng ta chú ý rang,

ánh xa F : K → R nr luôn ton tai ít nhat m®t điem

x R ∈ K R : (F (x R ), y − x R ) ≥ 0 vói moi y ∈ K R , (1.8)vói KR ƒ= ∅ đưoc xác đ%nh như trong các đ%nh lý trưóc.

Đ%nh lý 1.6 Cho K ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng và F : K → R nr liên tnc Đieu ki¾n can và đú đe ton tai nghi¾m cho Bài toán 1.1 là ton tai

Chúng minh Rõ ràng, neu ton tai m®t nghi¾m cna Bài toán 1.1, thì x

là nghi¾m cna bat đang thúc (1.8) vói |x| < R.

Bây giò giá sú rang, x R ∈ KR thóa mãn (1.9) Thì x R cũng lànghi¾m cna Bài toán (1.1) Th¾t v¾y, vì |x| R < R, nên y ∈ K, ω =

x R + ε(y − x R ) ∈ K R vói ε ≥ 0 đn nhó Suy ra

K, đieu này có nghĩa là, x R là m®t nghi¾m cna Bài toán 1.1

H¾ quá 1.4 Cho ánh xa F : K → (R n)r thóa mãn

x0)

+∞ khi |x| → +∞, x ∈ K (1.10)

vói x0 ∈ K nào đó thì ton tai m®t nghi¾m cho Bài toán 1.1.

Chúng minh Chon H > F (x0) và R > |x0| sao cho:

Nói chung nghi¾m cna bat đang thúc bien phân là không duy nhat.Tuy nhiên, có m®t đieu ki¾n rat tn nhiên nhưng lai đám báo đưoc tính

duy nhat Giá sú rang, x, x r ∈ K là 2 nghi¾m khác nhau cna Bài toán

1.1 Khi đó, ta có

x r ∈ K : (F (x r ), y − x r ) ≥ 0, y ∈ K.

Bói v¾y, đ¾t y = x r trong bat đang thúc thú nhat, y = x trong bat

đang thúc thú hai và c®ng hai bat đang thúc đó vói nhau, ta đưoc:

Đ%nh nghĩa 1.5 Bang cách tương tn như (1.12), chúng ta nói ánh xa

F : K → R nr đơn đi¾u neu

(F (x) − F (x r ), x − x r ) ≥ 0 ∀x, x r ∈ K.

Ánh xa F đưoc goi là đơn đi¾u ch¾t neu đang thúc xáy ra chí khi x =

x r, có nghĩa là, khi đieu ki¾n (1.12) đưoc thóa mãn

M¾nh đe 1.1 Cho F : K1 → R nr là ánh xa liên tnc đơn đi¾u ch¾t trên t¾p loi đóng K1 ⊂ R n Cho K2 ⊂ K1 loi, đóng Giá sú, ton tai nghi¾m cúa các bài toán

1.5 M®t so bài toán dan tái bat đang thNc bien

phân

Chúng ta tiep tuc làm sáng tó m®t so bài toán cơ bán liên quanđen bat đang thúc bien phân Đ¾c bi¾t, chúng ta đưa ra moi quan h¾giua các hàm loi và các toán tú đơn đi¾u

Cho f ∈ C1(K), K ⊂ R n là m®t t¾p loi, đóng và đ¾t F =

gradf (x) Tai điem này, chúng ta không phân bi¾t giua không gian

Rn và không gian đoi ngau (Rn)r

M¾nh đe 1.2 Giá sú ton tai m®t điem x ∈ K sao cho

Suy ra

0 ≤ ϕ r (0) = (grad f (x), y − x) = (F (x), y − x).

Đieu ngưoc lai xáy ra khi f là hàm loi.

M¾nh đe 1.3 Giá sú f là hàm loi và điem x thóa mãn

y∈K

Chúng minh Th¾t v¾y, vì f là hàm loi nên

f (y) ≥ f (x) + (F (x), y − x) vói bat kỳ y ∈ K.

Nhưng, theo giá thiet: (F (x), y − x) ≥ 0, bói v¾y:

f (y) ≥ f (x).

M¾nh đe 1.4 Cho f : E → R1, E ⊂ R n là hàm khá vi liên tnc, loi (loi

f (x) ≥ f (x r ) + (F (x), x − x r)và

Đieu ki¾n cho m®t toán tú đơn đi¾u đưoc cho bói gradient cna m®t hàm

loi đưoc nghiên cúu sâu hơn bói Rockafellar

Đe ket thúc chương này, chúng ta đe c¾p đen m®t bài toán

cúa quy hoach toán hoc mà nó có the quy ve bat đang thNc

Chúng minh Đau tiên chú ý rang, neu x0 là m®t nghi¾m cna cna Bài

toán bù 1.2, thì (F (x0), y) ≥ 0 vói bat kỳ y ∈ R n , do đó

+

+

+

Ngưoc lai, giá sú rang, x0 ∈

Rn

là m®t nghi¾m cna bat đang thúc

bien phân Khi đó,

y = x0 + e i , e i = (0, , 0, 1, 0, , 0) (1 ó v% trí thú i)

+

là m®t phan tú cna Rn , vì v¾y

0 ≤ (F (x0), x0 + e i − x0) = (F (x)0, e i ) = (F i (x0))hay là (F (x0)) ∈ R n Do đó, vì y = 0 ∈

Chương 2

Bat đang thNc bien phân trong

không gian Hilbert

2.1 Dang song tuyen tính

Nhieu câu hói thú v% trong lý thuyet cna bat đang thúc bien phân

có the đưoc xây dnng theo quan điem cna các dang song tuyen tính trênkhông gian Hilbert Lý thuyet này là m®t sn tong quát hóa cna lýthuyet bien phân cna các bài toán biên cna phương trình Eliptic tuyentính

Cho H là m®t không gian Hilbert trên trưòng so thnc và Hr làkhông gian đoi ngau cna nó Chúng ta thiet l¾p tích trong (.,.) và chuan

|| || và

là phép nhân giua H và Hr

H × H r → R

f, x → (f, x)

Cho a(u, v) là m®t dang song tuyen tính (thnc) trên H, có nghĩa

là, a : H × H → R liên tuc và tuyen tính theo tùng bien u, v M®t dang song tuyen tính a(u, v) là đoi xúng neu

a (u, v) = a(v, u) vói moiu, v ∈ H.

M®t ánh xa tuyen tính và liên tuc

A : H → H r

xác đ%nh m®t dang song tuyen tính thông qua phép nhân

Đieu ki¾n cna tính tuyen tính đưoc thóa mãn và |a(u, v)| ≤ c "u".

"v" vói hang so c ≥ 0, nó kéo theo a liên tuc Và ngưoc lai, cho m®t

dang song tuyen tính a(u, v), ánh xa tuyen tính

xác đ%nh m®t ánh xa tuyen tính liên tuc A : H → H thóa mãn (2.1).

Đ%nh nghĩa 2.1 Dang song tuyen tính a(u, v) thóa đieu ki¾n búc trên

H, neu ton tai so α ≥ 0 sao cho:

2.2 SN ton tai nghi¾m

Trong phan này, chúng ta se giái quyet Bài toán 2.1 và chúngminh các ket quá

26

"

Đ%nh lý 2.1 Cho a(u, v) là m®t dang song tuyen tính thóa đieu ki¾n búc

cho Bài toán 2.1 Ngoài ra, neu ánh xa f → u là Lipschitz, nghĩa làn neu u1, u2 là các nghi¾m cúa Bài toán 2.1, tưóng úng vói f1, f2 ∈ H r thì

"u1 − u2" ≤ (1/α) "f1 − f2"Hr (2.4)

Chú ý rang, ánh xa f → u là tuyen tính neu K là không gian con

cna H

Chúng minh Chúng ta bat đau vói vi¾c chúng minh công thúc (2.4).

Giá sú, ton tai u1, u2 ∈ H là các nghi¾m cna bat đang thúc bien phân

u i ∈ K : a(u i , v − u i ) ≥ (f i , v − u i ) vói v ∈ K, i = 1, 2,

Ta đ¾t: v = u2 trong bat đang thúc cna u1, và v = u1 trong bat

đang thúc cna u2, ta nh¾n đưoc bat đang thúc sau bang cách c®ng theove

Do đó, dãy {u n } là dãy Cauchy và do K đóng, nên ton tai m®t phan tú

Bây giò, vói bat kỳ v ∈ K, u + ε(v − u) ∈ K, 0 ≤ ε ≤ 1, và

Bây giò, chúng ta xét trưòng hop chung như là m®t nhieu cna đoixúng đơn và xét dang song tuyen tính thóa đieu ki¾n búc.

2(a(u, v) − a(v, u))

là các phan đoi xúng và phán đoi xúng cna a Thay rang, a1(u, v)

=

a (u, v) và a t (u, v) là thóa đieu ki¾n búc vói cùng hang so α.

Bo đe 2.1 Neu Bài toán 2.1 là giái đưoc vói a τ (u, v) và vói moi f

vói t0

(theo Đ%nh lý 1.2 cna Chương 1) Cho u = ω,

và moi t, τ ≤ t ≤ τ + t0

Đe ket thúc chúng minh đ%nh lý, ta chí can chí ra rang Bài toán 2.1

giái đưoc vói a0(u, v) là m®t dang song tuyen tính đoi xúng Áp dung

Bo đe 2.1 m®t so lan huu han, chúng ta thay rang, Bài toán 2.1 có

nghi¾m vói t = 1.

2.3 SN ch¾t cnt

Cho E ⊂ R n đo đưoc (Lebesgue) và chon ϕ ∈ L2(E) Ta đ¾t

K = {v ∈ L2(E) : v ≥ ϕ h.k.n trong E} ⊂ L2(E), (1)

f (x) neu f (x)≥

α

(1) h.k.n: hau khap nơi

Thnc v¾y, vói u đưoc xác đ%nh bói (2.6), chúng ta tính toán đưoc

f (v − u)dx vói moi v ∈ K,

Vì v¾y u là nghi¾m cna bat đang thúc bien phân.

2.4 Không gian Solobev và bài toán biên

Đ%nh nghĩa 2.2 Cho Ω ⊂ R n là m®t t¾p mó b% ch¾n vói bao đóng Ω¯

và biên ∂Ω Ta ký hi¾u C k(Ω) là không gian các hàm khá vi (thnc)

cap k trên Ω Và C k,λ (Ω) là không gian các hàm khá vi liên tuc cap k

có đao hàm b¾c k là liên tuc Holder vói so mũ λ, (0 < λ < 1) Nhac

B® n so cna so nguyên không âm α = (α1, α2, , α n) đưoc goi

là m®t đa chí so cna đ® dài |α| = α1 + α2 + + α n ≥ 0.

kiem tra đưoc rang, moi phan tú cna Hm,s (Ω) là hàm u ∈ L s Ω Vói u

∈ L s Ω thì ton tai hàm g α ∈ L s Ω, |α| ≤ m, sao cho

u (x)D α ζ (x)dx = (−1) |α|

g α (x)ζ(x)dx, ζ ∈ C ∞ (Ω), 0 ≤ |α| ≤ m.

Trong đó, C ∞ là lóp các hàm khá vi vô han lan có giá compact trong Ω

Đ%nh nghĩa 2.4 Hm,s (Ω) là bao đóng cna C ∞ (Ω) vói chuan (2.7).

Đ%nh nghĩa 2.5 Hm,∞ (Ω) là lóp cna các hàm cna C m−1(Ω) vói đao

hàm b¾c (m − 1) thóa mãn đi¾u ki¾n Lipschitz trong Ω

Trong đ%nh nghĩa cna H1,s(Ω) chúng ta có the thay the không

gian C1(Ω) bói C 0,1(Ω¯ ) = H1,∞(Ω), cu the là, hàm Lipschitz trong

Ω Trong trưòng hop mà ∂Ω là Lipschitz: cho u ∈ H 1,∞ (Ω) de thay, u

có m®t mó r®ng u˜ ∈ H 1,∞(Rn) (hàm Lipschitz trong Rn có giá

compact) Vì u˜ có the xap xí đưoc trong H 1,s(Rn ), 1 ≤ s < ∞ bói các hàm trơn Ví du, bang cách làm giám đi thì u se là giói han trong

∂ x