Phép chiếu trong không gian Hilbert

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀN®I 2 KHOA TOÁN TRAN TH± THU PHÉP CHIEU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C Chuyên ngành: Toán Giái tích Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS... Đong t

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ

N®I 2 KHOA TOÁN

TRAN TH± THU

PHÉP CHIEU TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

KHÓA LU¾N T6T NGHIfiP ĐAI H6C

Chuyên ngành: Toán Giái tích

Ngưèi hưéng dan khoa hoc TS TRAN VĂN BANG

Hà N®i - 2012

LèI CÃM ƠN

Em xin bày tó lòng biet nơ sâu sac tói thay Tran Văn Bang

-Ng òiư thay đã trnc tiep t¾n tình h óngư dan và giúp đõ em hoàn thànhbài khoá lu¾n cúa mình Đong thòi em xin chân thành cám nơ các thay

cô trong to Giái tích và các thay cô trong khoa Toán - Tr òngư Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, Ban chú nhi¾m khoa Toán đã tao đieu ki¾n cho em hoàn

thành tot bài khoá lu¾n này.Trong khuôn kho có han cúa m®t bài khoá lu¾n, do đieu ki¾n thòigian, do trình đ® có han và cũng là lan đau tiên nghiên cúu khoa hoccho nên không tránh khói nhung han che, thieu sót nhat đ%nh Vì v¾y,

em kính mong nh¾n đ ocư nhung góp ý cúa các thay cô và các ban

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2012.

Sinh viên

Tran Th% Thu

LèI CAM ĐOAN

Khoá lu¾n này là ket quá cúa bán thân em trong quá trình hoc t¾p

và nghiên cúu Bên canh đó em đ ocư sn quan tâm cúa các thay cô giáotrong khoa Toán, đ¾c bi¾t là sn h óngư dan t¾n tình cúa TS Tran Văn Bang.

Trong khi nghiên cúu hoàn thành bán khoá lu¾n này em đã thamkháo m®t so tài li¾u đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo

Em xin khang đ%nh ket quá cúa đe tài

“Phép chieu trong không gian Hilbert” không có sn trùng l¾p vói ket quá

cúa các đe tài khác

Hà N®i, tháng 05 năm 2012.

Sinh viên

Tran Th% Thu

Mnc lnc

Mé đau 1

Chương 1 Kien thNc mé đau 3

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Không gian Hilbert 7

Chương 2 Phép c hieu tr ong không gian Hilbert 10

2.1 Phép c hieu lên t¾p loi đóng 10

2.2 Đ%nh lí S tampacchia v à Lax-milgram 20

2.3 T ong Hilbert, cơ só trnc giao 24

K et lu¾n 29

T ài li¾u tham kháo 30

Me ĐAU

1 Lý do chon đe tài.

Trong toán hoc, không gian Hilbert là m®t dang tong quát hóa cúakhông gian Euclid mà không b% giói han ve van đe huu han chieu Cáckhông gian Hilbert đ ocư đ¾t tên theo David Hilbert, ng òiư nghiên cúuchúng đe phnc vn cho vi¾c nghiên cúu phươ trình tích phân Đó làngm®t không gian có tích vô h óng,ư nghĩa là trong đó có khái ni¾m vekhoáng cách và góc (đ¾c bi¾t là khái ni¾m trnc giao hay vuông góc).Tính chat này là can thiet khi nghiên cúu, sú dnng giói han dãy Cáckhông gian Hilbert cho phép sú dnng trnc giác hình hoc vào m®t sokhông gian hàm vô han chieu

Neu S là m®t t¾p con cúa không gian Hilbert H, ta đ%nh nghĩa t¾p các

phan bù trnc giao cúa V Ta biet rang moi x trong H đeu đ ocư bieu dien

duy nhat: x = v + w, (xem đ%nh lí 2.2) vói v thu®c V và w thu®c V ⊥

Do đó, H là m®t tong trnc tiep cúa V và V ⊥ Toán tú tuyen tính P V : H

→ H, x ›→ v đ oc ư goi là phép chieu trnc giao trong H lên không gian V.

Phép chieu trnc giao trong không gian Hilbert này đóng vai trò vô cùngquan trong trong giái tích hàm nói riêng và toán hoc nói chung, và đã

đ ocư nghiên cúu trong chươ trình đai hoc Vi¾c mó r®ng phép chieungnày lên m®t t¾p loi đóng nói chung là m®t ket quá có nhieu úng dnngtrong các lĩnh vnc khác nhau cúa Toán hoc Vì v¾y d óiư góc đ® m®tsinh viên sư pham chuyên ngành Toán và trong khuôn kho cúa bài khoá

5

lu¾n tot nghi¾p, đong thòi đ ocư sn h óngư dan nhi¾t tình cúa thay

Tran Văn Bang em đã chon đe

6

tài “Phép chieu trong không gian Hilbert”.

Trong khóa lu¾n này em chí nghiên cúu không gian Hilbert thnc vì v¾ytat cá các không gian tuyen tính, đ%nh chuan, Hilbert đeu đ ocư hieu làkhông gian thnc

Tìm hieu ve phép chieu trong không gian Hilbert

Không gian Hilbert: các khái ni¾m và tính chat cơ bán; phép chieu lênkhông gian con đóng; phép chieu lên t¾p loi đóng

Nghiên cúu tong quan

Ngoài mnc lnc, phan mó đau, ket lu¾n và tài li¾u tham kháo, khoá lu¾n gom 2 chương:

Chươ 1 Kien thúc chuan b%.ng

Chươ 2 Phép chieu trong không gian Hilbert.ng

Chương 1

Kien thNc mé đau

1.1 Không gian Banach.

Đ%nh nghĩa 1.1 Ta goi không gian đ%nh chuan (hay không gian

tuyen tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên t¾p so thnc R cùng vói ánh xa tù X vào t¾p so thnc R, kí hi¾u là ||.|| và đoc là chuan,

thóa mãn các tiên đe sau:

i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = 0 ↔ u = θ (θ − phan tú

không) ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u||.

iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.

So ||u|| đ oc ư goi là chuan cúa vector u Các tiên đe i), ii), iii) đ ocư goi là

các tiên tiên đe ve chuan.

Đ%nh nghĩa 1.2 Dãy điem (u n ) trong không gian đ%nh chuan X goi

là h®i tn tói u ∈ X neu

lim ||u n − u|| = 0.

→

Kí hi¾u limn→∞ u n = u hay u n → u (n → ∞).

n ∞

M¾nh đe 1.1 Neu dãy u n → u thì dãy ||u n || → ||u|| Nói cách khác

||.|| là

hàm giá tr% thnc liên tnc

M¾nh đe 1.2 Neu dãy u n → u thì dãy ||u n || b% ch¾n.

M¾nh đe 1.3 Neu dãy u n → u ; dãy v n → v và dãy α n → α thì các dãy

neu moi dãy cơ bán trong X đeu h®i tn.

Ví dn 1.1 Cho không gian vector k chieu R k ,

trong đó Rk = {u = (u1, u2, u n ) : u j ∈ R} Đoi vói u = (u1, u n) bat kì

thu®c Rk , ta đ¾t ||u|| = . |u j | Ta chúng minh đ ocư

Rk

là không gian

Banach

Ví dn 1.2 Cho không g ian vector l2 Đoi vói u = (u n ) ∈ l2,

ta đ¾t ||u|| = ,∑∞ |u n | Ta chúng minh đ oc ư l2 là không gian Banach

Ví dn 1.3 Cho không g ian vector L [a,b] Đoi vói u(t) ∈ L [a,b] ,

n= 1

2

a

n= 1

S k

=

là tong riêng thú k cúa

chuoi Neu ton tai

trong không gian đ%nh chuan X thì chuoi

∑∞

u n goi là h®i tn và S đ ocư goi

là tong cúa chuoi đó và ta

Chuoi

∑∞

u n đ ocư goi là

h®i tn tuy¾t đoi neu chuoi

n

= 1

|

| u

tn

n= 1

n= 1

∑∞

= 1

M¾nh đe 1.5 (Tiêu chuan Cauchy)

Trong không gian đ%nh chuan X chuoi

n=1 u n h®i tnkhi và chí

khi (∀ε > 0) (∃n0 ∈ N

Đ%nh lý 1.1 Không

gian đ%nh chuan là

không gian Banach khi và

chí khi trong X moi chuoi

h®i tn tuy¾t đoi đeu h®i tn

Đ%nh nghĩa 1.7 Không

gian tuyen tính

con X0 ƒ= 0/

cúa không gian đ

%nh

∑∞

chuan X goi là không gian đ%nh chuan con cúa X neu X0 là không gian đ%nh chuan vói

chuan cám sinh trên X Neu X0 đong thòi là

t¾p đóng trong X thì X0 goi là không gian

con đóng cúa không gian X.

Đ%nh nghĩa 1.8 Cho hai không gian

tuyen tính X và Y trên R Ánh xa A tù không gian X vào không gian Y goi là tuyen tính neu ánh xa A thóa mãn:

i) ∀u, v ∈ X thì A(u + v) = Au + Av.

ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : Aαu = αAu.

Viet gon lai ta có A(αu + β v) = αAu + β

Av, ∀u, v ∈ X, ∀α, β ∈ R.

Đ%nh nghĩa 1.9 Cho không gian đ%nh chuan X và Y, toán tú tuyen

tính A tù X → Y đ oc ư goi là b% ch¾n neu ton tai C > 0 sao cho ||Au|| ≤ C||

u||, ∀u ∈ X Hang so C nhó nhat goi là chuan cúa toán tú A, kí hi¾u || A||.

Đ%nh lý 1.2 (Ba m¾nh đe t ươ đ ng ươ ng) Cho A là toán tú tuyen tính tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Ba m¾nh

đe sau đây là tươ đng ương:

i) A liên tnc.

ii)A liên tnc tai x0 nào đó thu®c X.

iii) A b% ch¾n.

Đ%nh lý 1.3 (Đ%nh lí tính chuan cúa toán tú) Cho A là toán tú tuyen

tính tù không gian đ%nh chuan X vào không gian đ%nh chuan Y Neu A b%

ch¾n thì

||A|| = sup ||Au|| hay ||A|| = sup ||Au||.

Đ%nh nghĩa 1.10 Cho không gian đ%nh chuan X trên R Ta goi

không gian

L (X, R) các phiem hàm tuyen tính liên tnc trên X là không gian liên hop (không gian đoi ngau) cúa X và kí hi¾u là X ∗

Đ%nh nghĩa 1.11 Không gian liên hop cúa không gian X ∗ đ ocư

goi là không gian liên hop thú hai cúa X và kí hi¾u là X ∗∗

Đ%nh nghĩa 1.12 Cho X là không gian đ%nh chuan Neu M ∈ X là

m®t không gian con tuyen tính thì ta đ¾t

đóng cúa X ∗ (tươ úng cúa X ) Ta nói Mng ⊥ (tươ úng Nng ⊥ ) là không

gian trnc giao vói M (t ươ úng N).ng

14

||u||≤1 ||u||=1

Đ%nh lý 1.4 Ton tai phép đang cn tuyen tính tù không gian đ%nh

chuan X

vào không gian liên hop thú hai cúa X ∗∗ cúa không gian X.

Đ%nh nghĩa 1.13 Không gian đ%nh chuan X goi là không gian

phán xa neu

X = X ∗∗

Đ%nh lý 1.5 Không gian con đóng cúa không gian phán xa là không

gian phán xa

1.2 Không gian Hilbert.

Đ%nh nghĩa 1.14 Cho H là m®t không gian vector M®t tích vô

h óng ư (u, v) là m®t dang song tuyen tính trên H × H vói giá tr% thnc

(nghĩa là m®t ánh xa đi tù H × H vào R là tuyen tính theo tùng bien)

iii) (∀u, v, w ∈ H) ta có: (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

iv) (∀u, v, w ∈ H) ta có: (u, v + w) = (u, v) + (u, w).

Đ%nh lý 1.6 (Bat đang thúc Cauchy-Schwarz) Cho không gian

Hilbert H ta có bat đang thúc:

|(u, v)| ≤ (u, u) 2 .(v, v) 2 , ∀u, v ∈ H.

Nhò bat đang thúc Cauchy-Shwarz ta suy ra:

1

|u| = (u, u) 2

là m®t chuan và th òngư kí hi¾u là |.| (thay vì ||.||) Ta goi đó là chuan

sinh

bói tích vô h óng ư (Ta có the de dàng thay |.| thóa mãn các tiên đe i), ii)

ve chuan, ta chí can kiem tra tiên đe iii) Th¾t v¾y

Đ%nh nghĩa 1.15 M®t không gian Hilbert là không gian vector H

đ ocư trang b% m®t tích vô h óngư sao cho H luôn là không gian đú vói chuan |.|.

Sau đây H luôn đ ocư kí hi¾u cho không gian Hilbert

Ví dn 1.4 L2(Ω) vói tích vô h óngư (u, v) = ¸ u (x)v(x)dµ là không

Đ%nh nghĩa 1.17 Không gian Banach E đ oc ư goi là t¾p loi đeu neu (∀ε > 0)(∃δ > 0) thóa mãn (x, y ∈ E, ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1và||x

Chúng minh Giá sú ε > 0 và u, v ∈ H thóa mãn |u| ≤ 1, |v| ≤ 1 và |

Đ%nh nghĩa 1.18 Cho A là toán tú tuyen tính b% ch¾n ánh xa

không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tú B ánh xa không gian Y vào X goi là tuyen tính liên hop vói toán tú A, neu

(Au, v) = (u, Bv), ∀u ∈ X, ∀y ∈ Y, kí hi¾u A ∗ = B.

Đ%nh nghĩa 1.19 Toán tú tuyen tính b% ch¾n A ánh xa không gian

Hilbert

H vào chính nó là tn liên hop neu

(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ H.

Toán tú tn liên hop còn goi là toán tú đoi xúng.

2

Chương 2

Phép chieu trong

không gian Hilbert

2.1 Phép chieu lên t¾p loi đóng.

Đ%nh nghĩa 2.1 Cho không gian Hilbert H, hai phan tú u, v ∈ H

goi là trnc giao, kí hi¾u u ⊥ v neu (u, v) = 0.

Đ%nh nghĩa 2.2 Cho không gian Hilbert H và t¾p con A ⊂ H, A

ƒ= 0/ Phan tú u ∈ H goi là trnc giao vói t¾p A neu u ⊥ v, ∀v ∈ A, kí

Th¾t v¾y, nhò các tính chat cúa tích vô h óngư

||u + v||2 = (u + v, u + v) = ||u||2 + (u, v) + (v, u) + ||v||2.

Đ%nh nghĩa 2.3 Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂

H T¾p

con F ⊂ H gom các phan tú cúa không gian H trnc giao vói E goi là phan

bù trnc giao cúa E trên H và kí hi¾u là F = E ⊥

Nh¾n xét 2.1 Tù tính chat iv) cúa tích vô h óngư ta có F là m®t không gian con cúa H.

Đ%nh nghĩa 2.4 Cho E là không gian vector trên R.

M®t hàm ϕ : E → (−∞, +∞] là hàm loi neu

ϕ (tu + (1 − t)v) ≤ tϕ(u) + (1 − t)ϕ(v), ∀u, v ∈ E, ∀t ∈ [0; 1].

Bo đe 2.1 Lay E là m®t không gian Banach phán xa và A ⊂ E

ƒ= 0/

là t¾p

loi, đóng Neu hàm ϕ : A → (−∞;+∞) loi, liên tnc sao cho ϕ(x) ƒ≡ +∞

và

x∈A,||x||→∞ ϕ (x) = ±∞ (không có giá thiet này neu A b% ch¾n)

thì ϕ đat min trên A (nghĩa là ton tai x0 ∈ A : ϕ(x0) = minA ϕ).

Đ%nh lý 2.2 (Hình chieu lên không gian con đóng) Cho không gian

Hilbert H và H0 là không gian con cúa H Khi đó phan tú bat kì x ∈ H

bieu dien m®t cách duy nhat d óiư dang:

nghĩa là bieu dien là duy nhat.

Tong quát hóa đ%nh lí trên ta có:

Đ%nh lý 2.3 (Hình chieu lên t¾p loi đóng) Cho K ⊂ H là t¾p loi

đóng, khác rong Khi đó vói moi f ∈ H đeu ton tai duy nhat phan tú u ∈

Vói dist( f , K) là khoáng cách tù f xuong K H n ơ nua u đ oc ư đ¾c tr ng ư

Bat đang thúc (2.2) nói rang tích vô h óngư cúa u˙f vói u˙v bat kì (v ∈ K)

là

≤ 0, nghĩa là góc θ xác đ%nh bói hai véc tơ trên là ≥ π

Chúng minh a) Sn ton tai Ta se trình bày hai cách chúng minh:

1) Hàm ϕ(v) = | f − v| là loi, liên tnc và lim ϕ (v) = +∞ Theo bo đe 2.1 thì ϕ đat giá tr% nhó nhat trên K vì H là không gian phán xa.

2) Chúng minh thú hai thì chúng ta không the sú dnng tính chat ve không gian phán xa, loi đeu, mà l¾p lu¾n trnc tiep Goi (v n ) là dãy cnc tieu cúa (2.1), có nghĩa là v n ∈ K và

n 2 m d2

lim

m,n→∞|v n − v m | = 0.

Do đó (v n ) h®i tn tói gói han u ∈ K vói d = | f − u|.

b) (2.1) tương đương vói (2.2)

Giá sú u ∈ K thóa mãn (2.1) và w ∈ K Ta có v = (1 − t)u + tw, t ∈ [0,

Trong (2.3) ta chon v = u2 và trong (2.4) ta chon v =

u1 và c®ng các bat đang thúc tươ úng ta thu đ ocng ư |u1

= 0}, ho¾c {u = 0 và F r (u) ≥ 0} ho¾c {u = 1 và

F r (u) ≤ 0} Ba tr òngư hop trên đ ocư tóm lai là {u ∈ [0, 1] và F r (u)(v − u) ≥ 0; ∀v ∈ [0, 1]}.

Nh¾n xét 2.4 Cho K ⊂ E là m®t t¾p loi đóng ƒ=

0/ trong không gian Banach loi đeu E Khi đó vói moi f

∈ E thì ton tai duy nhat phan tú u ∈ E thóa mãn:

|| f − u|| = min || f − u|| = dist( f , K).

2

|

đe 2.2.

Giá sú K ⊂

H là m®tt¾p loi

đóng ƒ= 0/

, khi đó P K

không tăngkhoángcách nghĩalà:

|P K f1 − P K

f2| ≤ | f1 −

f2|,

∀ f1, f2 ∈ H.

H nơ the nua rõ ràng P M là tuyen tính.

Vói moi f ∈ H thì ánh xa u ›→ ( f , u) là m®t phiem hàm tuyen tính

liên

tnc trên H H nơ the nua đ%nh lí sau đây chí ra rang moi phiem hàm

tuyen tính liên tnc trên H đeu có dang như v¾y:

Đ%nh lý 2.4 (Đ%nh lí bieu dien Riesz-Fre’chet) Vói bat kì ϕ ∈ H ∗

1) Cách 1 Xét ánh xa T : H → H ∗ xác đ%nh như sau: vói f bat kì ∈ H, ánh

xa u ›→ ( f , u) là m®t phiem hàm tuyen tính liên tnc trên H Nó là m®t phan tú cúa H ∗ , ta kí hi¾u phan tú đó là T f thì

(T f , u) = ( f , u),∀u ∈ H.

Rat rõ ràng ||T f || H ∗ = | f | Do đó T là tuyen tính đang cn tù H lên T (H)- m®t không gian con đóng cúa H ∗ Đe ket thúc chúng minh ta chí

can chúng minh rang T (H) là trù m¾t trong H ∗ Giá sú h là m®t hàm

tuyen tính trên H ∗ tri¾t tiêu trên T (H) Khi đó do H là phán xa nên h

∈ H và thoá mãn (T f , h) = 0, ∀ f ∈ H nên chúng tó ( f , h) = 0, ∀ f ∈

H suy ra h = 0.

2) Cách thú hai dùng lí lu¾n trnc tiep đe tránh dùng tính chat phán xa

Goi M = ϕ −1 ({0}) thì M là m®t không gian con đóng cúa H Ta có the giá sú rang M ƒ= H ( ng oc ư lai thì ϕ = 0, khi đó Đ%nh lí 2.4 là hien nhiên khi chon f = 0)

Ta se chúng minh sn ton tai phan tú g ∈ H thoá mãn

|g| = 1 và (g, v) = 0, ∀v ∈ H (và do đó g ∈/ M).

Th¾t v¾y lay g0 ∈ H vói g0 ∈/ M Đ¾t g1 = P M g0 thì

g = (g0 − g1) thóa mãn tính chat như yêu cau

Chú ý rang v đ oc ư đ%nh nghĩa tot vì (ϕ, g) ƒ= 0 và ngoài ra tù (ϕ, v) =

0 thì

v ∈ M Tù đó suy ra (g, v) = 0 nghĩa là

(ϕ, u) = (ϕ, g)(g, u), ∀u ∈ H,

tù đó ta có đieu phái chúng minh vói f = (ϕ, g)g.

Nh¾n xét 2.5 H và H ∗ đong nhat hay không đong nhat? B® ba V ⊂

H ⊂ V ∗

Đ%nh lí 2.4 khang đ%nh, có m®t phép đang cn chính tac tù H lên

H ∗ Vì v¾y ta có the đong nhat H và H ∗ Tuy nhiên ta se th òngư đongnhat chú không phái luôn đong nhat D óiư đây là m®t tình huong đienhình xuat hi¾n trong nhieu úng dnng ó đó chúng ta can th¾n trong vói

sn đong nhat

Giá sú H là không gian Hilbert vói tích vô h óngư (, ) và chuan tương

úng|.| Giá sú V ⊂ H là không gian tuyen tính con trù m¾t trong H Và trong V có m®t chuan riêng ||.|| và (V, ||.||) là không gian Banach Giá

sú đ nơ ánh V ⊂ H là liên tnc, nghĩa là

|v| ≤ C||v||, ∀v ∈ V,

[ví dn H = L2(0, 1) và V = L p (0, 1) vói p > 2 ho¾c V = C([0, 1])] Khi đó có m®t ánh xa chính tac T : H ∗ → V ∗ là ánh xa han che trên V cúa các phiem hàm tuyen tính liên tnc ϕ trên H, nghĩa là:

(T ϕ, v) V ∗ ,V = (ϕ, v) H ∗ ,H

Rat de đe chí ra T có các tính chat

sau: i) ||Tϕ|| V ∗ ≤ C|ϕ| H ∗ , ∀ϕ ∈ H ∗

ii) T là đ nơ ánh

iii) R(T )là trù m¾t V ∗ neu V phán xa.

Bang cách đong nhat H và H ∗ và dùng T như m®t phép nhúng chính tac

tù