Các toán tử tuyến tính không gian bị chặn trong không gian Hilbert và phổ của chúng

Bángkýhi¾u...3 Làinóiđau...5 Chương1.CáctoántNtuyentínhkhôngb %ch¾ntrongkhônggianHilbert...8 1.1.. dimX chieucnakhônggianXC=E λ hopho "f" chuancnaphiemhàmtuyentínhb%ch¾nf GT đoth%cnatoán

EmxinchânthànhcámơnPhòngsauĐaihoc;Cácthaygiáo,côgiáotrongKhoaToáncùngtoànthecácanhch

%emhocviênkhóa13chuyênngànhToángiáitíchTrưòngĐaihocSưphamHàN

®i2,đãđ®ngviêngiúpđõđetácgiácó đieuki¾ntotnhattrongsu o t quátrìnhthnchi¾nđetàinghiênc ú u khoahoc.Đ¾cbi¾t,e m xinbàytólòngc á m ơ n s â u sactóiPGS.TS NguyenNăngTâmđãđ

%nhhưóngchonđetàivàt¾ntìnhchíbáogiúpđõem hoànthànhLu¾nvănnày.Dothòigianvàkienthúcc ó hannênLu¾nvănkhôngtránhkhóinhunghanchevàc ò n c ó thieus ó t nhatđ

%nh.E m xinchânthànhc á m ơ nđãnh¾nđưocnhungý kienđónggópc n a các thaygiáo,c ô giáovàcácbanhocviên

HàN®i,tháng12năm2011

Tácgiá

NguyenSơnTùng

Tácgiá

NguyenSơnTùng

Bángkýhi¾u 3

Làinóiđau 5

Chương1.CáctoántNtuyentínhkhôngb %ch¾ntrongkhônggianHilbert 8

1.1 M®tsovanđecơbánvetoántútuyentínhb%ch¾n 10

1.1.1 M®tso kháini¾m 10

1.1.2 Lýthuyetphoc n a toántútuyentínhb%ch¾n 14

1.2 Toántútuyentínhkhôngb %ch¾nvàtoántúliênhoptrongkhônggianHilbertcnachúng 18

1.3 ToántúliênhoptrongkhônggianH i l be r t, toántútuyentínhđoixún gvàtoántútuyentínhtnliênhop 21

1.4 Toántútuyentínhđóngvàbaođóng 22

Chương2.PhocúatoántNtuyentínhkhôngb %ch¾ntrongkhônggianHilbert 25

2.1 Tínhchatphocnatoántútnliênhop 25

2.2 Bieudienphocnatoántúunita 30

2.3 Bieudienphocnatoántútuyentínhtnliênhop 39

2.4 Toántúnhânvàtoántúviphân 45

Chương3.ToántNkhôngb%ch¾ntrongcơhoclưangtN 53 3.1 Ýtưóngcơbán 53

3.2 Toántúmomentvànguyênlýbatđ%nhHeisenberg 57

3.3 PhươngtrìnhSchroudinger 63

3.4 ToántúHamilton 65

Ketlu¾n 72

Tàili¾uthamkháo 73

dimX chieucnakhônggianX

C=(E λ) hopho

"f" chuancnaphiemhàmtuyentínhb%ch¾nf G(T) đoth%cnatoántúTI

tíchtrongc n a x vày x⊥y

xtrncgiaovóiy

Y ⊥ phanbùtrncgiaocnakhônggianconđóngY.

1 Lýdochonđetài

Giáitíchhàmlàm®tmônhocratlýthúcnaToánhoc,cónhieuúngdungtrongv¾tlývànhieulĩnhvnckháccnaToánhoc(xem[5],[6],[7],[8],[9])

2 MncđíchnghiêncNu

Bưócđaugiúpemlàmquenvóicôngvi¾cnghiêncúukhoahocvàtìmhieus â uhơnveG i á i tíchhàm,tùđ ó hìnhthànhtưduylogicđ¾cthùc n a b®môn.Khacsâucáckienthúcvecáctoántútuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianHilbertvàphocnachúng

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

Nghiêncúuvetoántútuyentínhkhôngb

%ch¾nvàtoántúliênhoptrongkhônggianHilbertcnachúng,toántútuyentínhđoixúngvàtoántútnliênhop,toántútuyentínhđóngvàbaođóng,c á c tínhchatphocnac á c toántútuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianH i l b e r t vàúngdungcn achúngtrongcơhoclưongtú

6 DNkienđónggópmái

Trìnhbàym®tcáchc ó h¾thongvàchúngminhchitietvec á c vanđeliênquanđencáctoántútuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianH i l b e r t vàphoc n a chúng

Chương1 CáctoántNtuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianH i l b e r t

Phanđaucna chươngnàychúngtase trìnhbàym®tso vanđevetoántútuyentínhb

%ch¾nliênquantrnctiepđenphansaucnalu¾nvăn.Tieptheochúngtatrìnhbàyvetoántútuyentínhkhôngb%ch¾nvàtoántúliên hoptrongkhônggianHilbertcnachúng;toántúliên

hoptrongkhônggianHilbert,toántútuyentínhđoixúngvàtoántútuyentínhtnliênhop;toántútuyentínhđóngvàbaođóng

Trưóchet,chúngtatrìnhbàym®tsokháini¾mcơbáncanthietsau:

Đ%nhnghĩa1.1.(xem[3])Khônggianđ

%nhchuan(haykhônggiantuyentínhđ

%nhchuan)làkhônggiantuyentínhXtrêntrưòngK(KcóthelàRho¾cC)cùng vóim®tánhxatùXvàot¾pK,kíhi¾ulà"·"vàđoclàchuan,thóamãnc á c tiênđes

a u đây:

1) (∀x∈X)"x"≥0,"x"=0⇔x=θ(kýhi¾uphantúkhônglàθ);2)(∀x∈X) (∀α∈K)"αx"=|α|"x";

3)(∀x,y∈X)"x+y"≤"x"+"y"

So"x"goilàchuancnavectorx.Takýhi¾ukhônggianđ

%nhchuanlà(X,"·").NeutrênXchítrangb

PhantúcnaKgoilàvô

(xem[3])C h o khônggiantuyentínhX trêntrưòngK(KcóthelàR ho¾cC).Tagoi

làtíchvôhưóngtrênkhônggianX moiánhxatùtíchDescartesX ×XvàoK,kýhi¾u (·,·),thoámãncáctiênđe:

Đ%nhlý1.1.(BatđangthúcSchwarz,[3])Đoivóimoix ∈Xtađ¾t

"x"=, x,x).

Khiđó∀x,y∈XtacóbatđangthúcSchwarz

|(x,y)|≤"x""y".

Đ%nhnghĩa1.5.

(xem[3])KhônggiantuyentínhtrêntrưòngKcùngvóim®ttíchvôhưónggoilàk hônggiantienHilbert.

Vídn1.1.ToántúđongnhatI X :X−→Xxácđ%nhbóiI X x=xvói

moix∈X.

Toántúkhông0:X−→Yxácđ%nhbói0x=0vóimoix∈X

(b) NeuT −1 ton taithìnólàm®ttoántútuyentính.

(c) NeudimD(T)=n<∞vàT −1 ton taithìdimR(T)=dimD(T).

Đ%nhnghĩa1.8.(Toántútuyentínhb%ch¾n,[8],p.91)C h o X vàY

làhaikhônggianđ%nhchuanvàT : D(T)−→Ylàm®ttoántútuyen

(e) Ulàchuantac,

%phoc n a T.Hơnnua,phoσ(T)đưocchiathànhbat¾phopròinhaunhưsau Phođiemhayphoròiracσ p (T)làt¾phopsaochoR λ (T)khôngtontai.m®tλ

∈σ p (T)đưocgoilàgiátr%riêngcnaT.

Pholiêntncσ c (T)làt¾phopsaochoR λ (T)tontaivàthóamãn(R3)nhưngkhô

ngthóamãn(R2),nghĩalàR λ (T)khôngb%ch¾n.

Photh¾ngdưσ r (T)làt¾phopsaochoR λ (T)tontai(vàcótheb

%ch¾nho¾ckhôngb%ch¾n)nhưngkhôngthóamãn(R3),nghĩalàmienxácđ

%nhcnaR λ (T)khôngtrùm¾ttrongX.

Bođe1.1.(Mienxácđ%nhc n a R λ,

[8],p.373)C h o X làkhônggianB an a chphúc,T : X−→Xlàtoántútuyentính, vàλ ∈ρ(T).Giású

−

Đ%nhlý1.8.(Pho,[8],p. 377)Phoσ(T)cúatoántútuyentínhb

%ch¾nT : X−→XtrênkhônggianBanachphúcXlàcompactvàchúatrongđĩ ađưocchobói

(b) Tongquáthơn,neuplàđathúccúaλcócách¾sothnc

p(λ)=α n λ n +

α n 1λ n−1+

···+α0, thìtoántúp(T)đưocxácđ%nhbói

p(T)=α n T n +

α n 1 T n−1+

···+α0I

N(T− λ0I)=(E λ0−E λ0−0 )(H).

1.2 ToántNtuyentínhkhôngb

%ch¾nvàtoántNliênhaptrongkhônggianH i l b e r t cúachúng

Đ%nhnghĩa1.15.(xem[4])M®ttoántúAxácđ

%nhtrongkhônggianHilbertHgoilàkhôngb%ch¾nneunókhôngpháilàb

%ch¾n

%ch¾n.M®tketquánoitieng(đ%nhlý1.16)dưóiđâyđãgoiý rangmienxácđ

%nhc n a toántúvàbàitoánmór®ngtoántús e đóngvaitròđ¾cbi¾t.Thnctechúngtasethayrangkhánhieutínhchatc n a m®ttoántúphuthu®cvàomienxácđ

%nhvàcóthethayđoiquasnmór®nghayhanche

Khiđ

%nhlýđóđưockhámphábóiE.HellingervàO.Toeplitz(1910),nógâyrasn boiroivìđ%nhlýthietl¾pm®tquanh¾giuahaitínhchat,đólàtínhchatxácđ

%nhtrêntoànb®khônggianHilbertphúcHvàthóamãn(1.1)vóimoix,y∈H,th ìTb%ch¾n.

Đ%nhnghĩa1.16.(xem[8],p.527)C h o T :D (T)−→H làtoán

tútuyentínhxácđ%nhtrùm¾t(cóthekhôngb

%ch¾n)trongkhônggianH i l b e r t phúcH.K h i đótoántúliênhoptrongkhôngg ianHilbert

T ∗ :D(T ∗ )−→Hc n a Tđưocxácđ%nhnhưsau:Mienxácđ%nhD(T ∗)

cnaT ∗ gom tatcácácy∈Hsaochotontaiy ∗ ∈Hthóamãn

(T x,y)=(x,y ∗ ) vóimoix∈D(T).Vóimoiy∈D(T ∗ )nhưv¾ytoántúliênhopT ∗ trongkhônggianHilbertkhiđóđưocxácđ%nhbóicácsohangcnanólà

(T x,y)=(x,T y).

(a) Tđóngneuvàchíneu

x n → x [x n ∈ D(T)] và Tx→y cùngvóinhausuyrax∈D(T)vàTx=y.

đưocgoilàbaođóngc n a T.

Nh¾nxét1.2.NeuTtontaithìnólàduynhat.

Đ%nhlý1.20.(Baođóng,[8],p 537)C h o T : D (T)

−→Hlàtoántútuyentính,trongđóHlàkhônggianHilbertphúcvàD(T)trù m¾ttrongH.KhiđóneuTđoixúng,thìbaođóngcúanóTtontaivàlàduynha t.

Trongchươngđauc n a lu¾nvăn,chúngtađãtrìnhbàyđưocm®tso kháini¾mvàtínhchatcnacáctoántútuyentínhkhôngb%ch¾ntrongkhônggianH i l b e r t

Chương2 PhocúatoántNtuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianHilbert

Trongchươngnàychúngtatrìnhvephocnatoántútuyentínhkhôngb

%ch¾ntrongkhônggianHilbert.Trưóctiên,chúngtatrìnhbàycáctínhchatphocnatoántútnliênhop.Tieptheo,chúngtatrìnhbàyvebieudienphocnatoántúunitavàbieudienphocnatoántútuyentínhtnliênhop.Phancuoicùng,chúngtatrìnhbàyvehaitoántútuyentínhkhôngb

%ch¾ncnaR λde dàngđưocsuyratù(2.1),dođóλ∈ρ(T).Cuthenhưsau

(α)Xéttùyýx1,x2∈ D(T)thóamãnT λ x1= T λ x2.VìT λ làtuyentínhnêntù

(2.1)thuđưoc

0="T λ x1−T λ x2"="T λ (x1−x2)"≥c"x1−x2".

Vìc>0nên"x1−x2"=0.Dođóx1=x2,suyratoántúT λ :D(T)−→

Ylàsongánh.

(βp)TachúngminhrangY bangcáchchírarangx0⊥Ykéotheo

x0=0.Giásúx0⊥Y.Khiđóvóimoiy=T λ x∈Y,

(2.3)suyravóimoix ∈D(T),

.Khiđótù(2.2)và2

khôngtùyý,nênđieunàychírarangλ0cóm®tlânc ¾ n thu®choàntoànvàoρ (T) Vìλ 0∈ ρ(T)làtùyý,nêntasuyraρ(T)làmó.Dođó σ(T)=C−ρ(T)làđóng.

2.2 BieudienphocúatoántNunita

Trongphannàychúngtasenóiđenm®tvàiketquábieudienphocna toántúunita.Trưóchettanóiđenphocnam®ttoántúunitatrongđưòngtrònđơnv

%trênm¾tphangphúc

Đ%nhlý2.3.(Pho,[8],p.547)NeuU : H−→Hlàm®ttoántútuyen

tínhunitatrênkhônggianH i l b e r t phúcH ƒ={0},thìphoσ(U)làt¾phopconđ óngcúađưòngtrònđơnv%;dođó

|λ|=1 vóimoiλ ∈σ(U).

ChNngminh.Tacó"U"=1theođ%nhlý1.5(b).Dođó|λ|

≤1vóimoiλ ∈σ(U)theođ

%nhlý1.8.C ũ n g c ó0 ∈ ρ(U)vìvóiλ =0 toántúgiáicn aUlàU −1=U ∗.Toá

ntúU −1làtoántúunitatheođ%nhlý 1.5(c).DođóU −1=1.Đ

%nhlý1.7vóiT = Uvàλ0= 0suyramoi

λthóamãn|λ|<1/U −1 =1thu®cvàoρ(U).Do đóphocnaUphái

namtrênđưòngtrònđơnv%.Nóđóngtheođ%nhlý1.6

CónhieucáchkhácnhauđethuđưoccácketquávephocnatoántúunitaU.

éđâychúngtasetiepc¾nbàitoánchínhlàchuoilũythùavàm®tbođecnaF.J.Wecken.Tùđóchom®tbieudiencnatoántúunitatrongnhungsohangcnatoántútuyentínhtnliênhopb%ch¾n

Bođe2.2.(BođeWecken,

[8],p.549)C h o W vàA làhaitoántútuyentínhtnliênhopb

%ch¾ntrênkhônggianHilbertphúcH.GiásúWA=A W vàW 2=A2.ChoP l àphépchieucúaHvàokhônggian

khôngN(W−A).Khiđó:

(a) Neum®ttoántútuyentínhb%ch¾ngiaohoánvóiW−Athì

TachúngminhP BP= P B.VìW−Alàtnliênhop,nêntađưoc

(W−A)B ∗ = [B(W−A)] ∗ = [(W−A)B] ∗ = B ∗ (W−A).

ĐieunàychírarangW −AvàB ∗c ũ n ggiaohoán.Dođó,cũngnhưtrêntathuđ

N(W−A).Nhưv¾y,Px=xvìPlàphépchieucnaHvàoN(W−A)

(c) TùgiáthietW 2=A2v

àWA=AWtacó (W−A)(W+A)=W 2 − A2=

0.

Dođó( W+ A)x∈N(W−A)vóimoix ∈H.VìP chieuc n a H vào

N(W−A),nêntathuđưoc

P(W+A)x=(W+A)x vóimoix∈H,nghĩalà

π 2− λ−

1

λ3−

···.

ChuoiMaclaurinbênvepháih®ituvói|λ|≤1.(Snh®itutaiλ=1đưocsuyravóichúýrangchuoiarcsinλcócách¾sodương,dođódãyđơnđi¾u

π cáctongriêngs n ,khiλ>0,b%ch¾ntrên(0,1),vìs n (λ)<arcsinλ<

nênvóimoincođ%nhtacós n (λ)−→s n (1)≤ khiλ−→1.Snh®itu taiλ=−1cũngsuyratươngtnnhưtaiλ=1.)

nêntacó

V 2+

A2=

cos2+sin2.(g(V))=I.

Sos á n h vói(2.18)tađưocW 2= A2.Dođótac ó theápdungbođeWecken2.2vàthuđưoc

Wx =0kéotheoPx=x,vàPgiaohoánvóiVvàvóig(V)vìcáctoántúnàygiaoh oánvóiW −A.

S2=

(2P−I)2g(V)2=g(V)2. (2.25)Dođótheo(2.21),





− π

Cho(Eθ )làhophoc n a S.K h i đó(2.8)và(2.9)s u y rarù(2.11)vàđ

nnày.Tuynhiên,thaycho.E˜ θ tacóthesúdungE θđưoc

ChNngminh.VìTtnliênhop,nênσ (T)làthnc.Dođóivà−ithu®cvàot¾phop giáiρ (T).Suyra,theođ%nhnghĩacnaρ(T),toántúngưoc( T+iI)

=

Đieunàysu y rarangU trong(2.26)làm®tso n g ánhc n a H vàochínhnó.T h e o đ%nhlý1.5(f),tachúngminhU làđangc n Đelàmđưoc

đieunày,chúngtalaytùyý x ∈H,đ¾ty = ( T+iI) −1 x vàs ú dung

(y,T y)=(T y,y).Khiđótathuđưocketquábangcáchtínhtoántrnctiep:

Bođe2.4.(BienđoiCayley,[8],p.557)ChoTnhưtrongbođe2.3và

Uxácđ%nhbói(2.26).Khiđó

Hơnnua,1khônglàgiátr%riêngcúaU.

Hơnnua,vì( IưU)ư1tontai,nên1 khôngthelàgiátr

%riêngc n a bienđoiCayleyU.

Côngthúc(2.29)bieudienTnhưm®thàmcnatoántúunitaU.Dođóchúngtac

ótheápdungđ%nhlý2.4,vàthuđưocketquásau

Đ%nhlý2.5.(Đ%nhlýphochotoántútuyentínhtnliênhop,[8],p.

558)ChoT: D(T)

ư→Hlàtoántútuyentínhtnliênhop,trongđóHƒ={0}làkhônggianHilber tphúcvàD(T)trùm¾ttrongH.ChoU làbienđoiCayley(2.26)cúaTvà(E θ )l àhophotrongbieudienpho(2.8)cúaưU.Khiđóvóimoix∈D(T),

(T x,x)= ¸ π

θ tan dw(θ) w(θ)=(E θ x,x) (2.33)

Vìσ(S)⊂[−π,π],nêntacóE −π−0 =0.DođóneuE −π ƒ=0,thì−πse làgiátr%riêngc n a S.T h e o (2.35)và(2.36),toántúU c ó giátr%riêng

−cos(−π)−isin(−π)=1, mâuthuanvóibođe2.4.T ư ơ n g tn,E π= I,vàneuE π−0ƒ =I,thìc ũ n g có1làm®t giátr%riêngcnaU.

%nhlý2.4tanhórang(Eθ)làhophoc n a toántútuyentínhtnliênhopb

%ch¾nS trong(2.35).DođóE θvà S giaohoán,su y raE θvà U giaohoántheobođe2.

1.Súdung

(E θ y,y)=4

−π

ϕ cos dE x , x.

θ

2d(E θ x,x).

Tíchphânc u o i c ù n g giongnhưtrong(2.37),s u y rac ô n g thúcđautiêntrong(2

33),trùvóikýhi¾u(ythaychox).C ô n g thúcthúhaiđưocsuy ratheophépbienđ oichís o θ = 2 arctanλ.Chúý rang(F λ)th¾t

snlàm®thopho;đ¾cbi¾t,F λ −→0khiλ−→−∞vàF λ −→1khi

λ−→+∞.

2.4 ToántNnhânvàtoántNviphân

Trongphannàychúngtas e trìnhbàym®ts o tínhchatc n a haitoántútuyentínhkhôngb%ch¾n,đólàtoántúnhânvóibiensođ®cl¾pvà

toántúviphân.Chúngtachúý rangc á c toántúnàyđóngvaitròc ơ bántrongv¾tlýnguyêntú.

(Tas e tìmhieuc u thetrongchươngs a u Phannàykhépkínvàđ®cl¾pvóichươngsau,vàngưoclai.)

Vìtronglu¾nvănnàychúngtakhôngnghiênc ú u velýthuyetc n a đ®đ o vàtíchphânL e b e s g u e , nênphannàychúngtas e pháitrìnhbàym®tsovanđemàkhôngchúngminh

0 neut <1;

Rõràng,D(T)chúatatcácáchàmx∈L2(−∞,+∞)bangkhông

khinamngoàim®tkhoángc o m p a c t Tac ó thechírarangt¾phopcác hàm

nàytrùm¾ttrongL2(−∞,+∞).DođóD(T)trùm¾ttrongL2(−∞,+∞).

xácđ%nhtrênL2[a,b].

Đ%nhlý2.6.(Tínhtnliênhop,[8],p.564)ToántúnhânTxácđ

%nhbói(2.38)làtnliênhop.

DođóT ⊂ T ∗ theobođe1.2,vàD(T)⊃ D(T ∗).Đec ó đieunàyta

chúngminhy ∈D(T ∗ )kéotheoy∈D(T).Layy∈D(T ∗ ).Khiđóvóimoix∈D( T),

bóivìx nƒ=0,theođ%nhlý1.2.Vectơ

1

y n =

"T λ x n " T λ x n thu®cmiengiátr%cnaT λ,làmienxácđ

%nhcnaR λ ,vàcóchuanbang1.ÁpdungR λvàs ú dung(2.42),tathuđưoc

+∞)vàoL2(−∞,λ),đưoccoinhưm®tkhônggiancon cnaL2(−∞,

L2(−∞,+∞).Dođ ó neuD0khôngb % ch¾n,thìD c ũ n g khôngb

Tacósnsosánhsau.ToántúnhânTtrong(2.38)khôngb%ch¾nbói

vì(−∞,+∞)làkhoángvôhan,trongkhitoántúnhânT˜ trong(2.40)b%ch¾n.Ngưoclaivóiđieunày,toántúviphânkhôngb

%ch¾n,ngaycákhitaxétn ó vóiL2[a,b],trongđó[ a,b]làkhoángc o m p a c t Đ

Cuoicùn g chúngtachúý rangDkhôngcó cá c giátr%riêngvàpho

σ(D)làtoànb®R.

Cácúngdungcn acáctoántú(2.38)và(2.44)setrìnhbàyóchươngsau,trongđócác toántúnàyđóngvaitròcơbán(vàcáckýhi¾uđưocthayđoithànhkýhi¾uchuanđưocsúdungtrongv¾tlý)

échươngnày,chúngtađãtrìnhbàytínhchatphocnatoántútuyentínhtnliênhoptrongkhônggianHilbert,trìnhbàym®tvàiketquábieudienphocnatoántúunitavàtoántútuyentínhtnliênhop.Chúngtađãgióithi¾uhaitoántútuyentínhkhôngb%ch¾nđ¾cbi¾tcúngvóim®ts otínhchatcnachúng

Chương3 ToántNkhôngb

%ch¾ntrongcơhoclưangtN

3.1 Ýtưángcơbán

kháini¾mcnacơhoclưongtú,taxétm®thatđơnlémàràngbu®clàm®tchieu.H¾v¾tlýnàyđơngiánnhưngnólàcơsóvàsethíchhopchomucđíchvesau

Chúngtaxéth¾taim®tthòiđiemtùyý đưocc o đ

%nh,chúý thòigiannhưlàm®tthamsomàtagiucođ%nh

Trongcơhoccơbán,trangtháitrongh¾thongcnatataim®tsothòiđiemđưocmôtábóivi¾cđ%nhrõv

%trívàv¾ntoccnahat.Dov¾ytrangtháixáyratúcthòicnah¾thongđưocmôtábóim®tc¾pso

Trongc ơ hoclưongtútrangtháic n a h ¾ thongđ ư o cmôtábóim®thàm

Chúngtaxemxĩtmôtâm®ttrangthâitrongc ơ hocc o đienđưocthaythebangmôtâtheoxâcs u a t m®ttrangthâitrongc ơ hoclưongtú.Vătìnhhuongnâysinhlătas e đ

%nhnghĩam®ttrangthâi(cnah¾thongv¾tlýtaim®tsothòiđiem)lăm®tphantú

ψ∈L2(−∞,+∞), "ψ"=1, (3.3)chínhxâchơn,m®tlóptươngđươngcâcphantúmẳđó

ψ1∼ ψ2⇐⇒ψ1= αψ2, |α|=1.

Chúngtasekýhi¾unhunglóptươngđươngnăybóinhungphantúnhư

ψ,ϕ,

Y= {ϕ|ϕ=βpψ,βp∈C}

cnaL2(−∞,

+∞).Dov¾ytacóthenóirangm®ttrangtháicnah¾thonglàm®tkhônggiancon m®tchieuY⊂ L2(−∞,+∞)vàsauđósúdungϕ∈Yc ó chuanlà1trongđ

varψ (≥0).Quaquansát,µ ψlàđ®đogiátr%trungbìnhhayv%trítrungtâmvàvarψlàđ®r®ngc n a phânphoi

(phépnhânvóibienđ®cl¾pq).Vìµ ψ (Q)đ¾ctrưngchov

%trítrungbìnhc áhat,nênQđưocgoilà”toántúv%trí”.Theođ

%nhnghĩa,D(Q)bao

cácvanđecnah¾thongmàtacóthequansátbangthínghi¾m.Batkỳlưongnàođưocgoilàquansátđưoc.

µ ψ (T)đ¾ctrưngchogiátr

%trungbìnhcnaquansátđưocTmàcóthelàkỳvongtrongthíngi¾mneuh¾tho ngótrongtrangtháiψ.Phương saivar ψ (T)đ¾ctrưngchochieur®ng(đ®bien

c2. Khiđóm®tphotoncóv¾ntoccvànănglưong

E=hv.

Nócómoment

2π

hv p=mc=

dung(3.14)trongmoiliênh ¾ vóihat.G i á sú rangtrangtháiψc n a h¾v¾tlýđưo

cthóamãn,tacótheápdungđ%nhlýtíchphân

Fouriercođien,tacó

+∞

1¸ (2 π i

)p

2π i

ψ p (q)=ϕ(p)e ikq = ϕ(p)e( h ) pq , (3.17)

trongđók = 2π

p h

¸+∞ ¸+∞ 1 2πi

[ψ(q) +qψ r (q)]=

h

2π i ψ(q)+QDψ(q).

Đieunàydanđenh¾thúchoántúHeisenberg

h

2πi trongđóI˜làtoántúđongnhattrênmien

Tathùanh¾nkhôngchúngminhrangmienxácđ

%nhnàytrùm¾ttrongkhônggianL2(−∞,+∞).

Đethuđưocnguyênlýbatđ%nhHeisenberg,trưóchettachúngminh

VìS vàT làtnliênhopvàµ1,µ2làtíchtrongcn adang(3.9),nênc á c giátr

%trungbìnhnàylàthnc.Dov¾yA vàBlàtnliênhop.Tù đ%nhnghĩacnagiátr

%trívàmomentcnam®thatvóiđ®chínhxáckhônggióihan.Th¾tv¾y,đ®l¾chchuansdψ (D)vàsd ψ (Q)đ¾ctrưngchođ®chínhxáccáphépđovemomentvàv

%trítươngúng,và(3.22)

thehi¾nrangtakhôngthelàmgiámnhungthùas o vetráitaicùng

h thòiđiem.hlàratnhó,nêntrongv¾tlývĩmô

4π nhókhôngđángke.

Tuynhiên,trongv¾tlýnguyêntúthìtrưònghopnàylaikhác.Toànb®nhungtìnhhuongnàyc ó theđ ư ochieutoth ơ n n e u tathnchi¾nphépđobatkỳc n a m®th¾làm®ts nnhieuloanlàmthayđoitrangtháic n a h¾thong,vàneuh¾lànhó(changhan,m®te l e

c t r o n ) , s n nhieuloanc ó thenh¾nthay.Tatnhiên,phépđobatkỳbaogoms a i s o ngaunhiênvìkhôngc ó m®tdungc u đochínhxác.Nhưngm®tđieuc ó thehìnhdunglà

s a i s o taorac ó theratnhóbangvi¾cs ú dungnhieuthu¾ttoánch¾tchec n a phépđo,nênítnhattrongnguyênlý,trongphépđođongthòichov

%trítúcthòivàmomentc n a m®that,moiphépđoc ó hais a i s o tươngúngc ó thetaoranhóhơnm®tgiátr