Điểm bất động của các ánh xạ co cyclic suy rộng trong không gian g mêtric

Sau công trình này, các định lý về điểm xấp xỉ tốt nhất và đặc biệt là các định lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic đã trở thành chủ đề nghiên cứu rộng rãi.. Trần Văn Ân chúng tôi

Trần Văn Trọng

Điểm bất động của các ánh xạ co cyclic

Luận văn Thạc sĩ Toán học

Nghệ An - 2018

Trần Văn Trọng

Điểm bất động của các ánh xạ co cyclic

Luận văn Thạc sĩ Toán họcChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 8460102

Cán bộ hướng dẫn khoa họcPGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2018

Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Long,Ban Giám Hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long đã giúp đỡ, tạo

điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Nhân

đây tôi xin cám ơn các bạn học viên cao học Giải Tích khoá 24 tại Trường Đạihọc Sư phạm Kỹ thuật Vĩnh Long Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến Ba mẹ,

vợ, các anh em trong gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thànhnhiệm vụ trong quá trình học tập

Mặc dù đã tích cực đầu tư và có nhiều cố gắng trong nghiên cứu, thực hiện

đề tài, song luận văn không tránh khỏi những sai sót Tôi mong nhận đượcnhững ý kiến đóng góp của quý Thầy, Cô và bạn đọc để luận văn được hoànthiện

Vinh, ngày 30 tháng 05 năm 2018

Trần Văn Trọng

2.1 Điểm bất động của các ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic trong không gian

G-mêtric . 242.2 Điểm bất động của các ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic suy rộng trong

không gianG-mêtric . 32

Mở đầu

I Lý do chọn đề tài

Trong vài thập kỷ gần đây, lý thuyết điểm bất động mêtric đã trở thànhmột lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong khoa học thuần túy và khoa học ứngdụng Trong thực tế, nó đã trở thành một trong những công cụ cốt yếu nhấttrong giải tích hàm phi tuyến, tối ưu hóa, toán học, các mô hình toán học, kinh

tế và y học Các định lý điểm bất động trong không gian mêtric cũng đóng mộtvai trò quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp trong toán học để giảiquyết các vấn đề trong toán học ứng dụng và khoa học Chính vì thế mà cácnhà toán học sau này đã mở rộng các định lý cơ bản này cho các lớp ánh xạ vàkhông gian khác nhau, bằng cách điều chỉnh điều kiện co cơ bản trong khônggian mêtric

Kỹ thuật đầu tiên là "thay thế" khái niệm không gian mêtric với một khônggian tổng quát hơn Không gian tựa mêtric, không gian mêtric riêng, không gianmêtric suy rộng, không gian fuzzy-mêtric, không gianb-mêtric, không gianD-mêtric và không gianG-mêtric là những tổng quát hóa của các không gian mêtric

và có thể được coi như là các ví dụ về "sự thay thế" Một trong những khônggian thú vị nhất là không gian G-mêtric được giới thiệu bởi Z Mustafa và B.Sims năm 2006 Do đó, trong thập kỷ qua, khái niệm không gianG-mêtric đãthu hút được nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu, đặc biệt là những ngườinghiên cứu lý thuyết điểm bất động

Kỹ thuật thứ hai là sửa đổi các điều kiện của các ánh xạ Nói cách khác, nó

đòi hỏi phải kiểm tra điều kiện nào đó và với điều kiện đó ánh xạ co có điểmbất động Một trong những kết quả hấp dẫn được tạo ra từ phương pháp này làcủa W A Kirk và cộng sự được giới thiệu vào 2003 thông qua khái niệm ánh xạcyclic và điểm xấp xỉ Sau công trình này, các định lý về điểm xấp xỉ tốt nhất và

đặc biệt là các định lý về điểm bất động của các ánh xạ cyclic đã trở thành chủ

đề nghiên cứu rộng rãi

Trên cơ sở các tài liệu tham khảo, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Văn

Ân chúng tôi đã tiếp cận hướng nghiên cứu này và thực hiện đề tài "Điểm bất

động của các ánh xạ co cyclic suy rộng trong không gianG-mêtric"

II Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các khái niệm

và tính chất của không gian G-mêtric, điểm bất động của các ánh xạ trên cáckhông gianG-mêtric và trình bày một số định lý điểm bất động của các ánh xạ

co cyclic suy rộng trong không gian G-mêtric Ngoài ra còn trình bày các hệquả và các ví dụ minh hoạ

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các không gian G-mêtric, dãy GCauchy, không gianG-mêtric đầy đủ, các ánh xạ co, ánh xạ co cyclic, ánh xạ cocyclic suy rộng, điểm bất động của ánh xạ co, điểm bất động của ánh xạ co cyclic,các định lý điểm bất động của các ánh xạ co cyclic suy rộng trên các không gian

-G-mêtric

- Phạm vi nghiên cứu là các tính chất và mối quan hệ giữa các đối tượngtrên; các định lý về điểm bất động của các ánh xạ co cyclic, các định lý về điểmbất động của các ánh xạ co cyclic suy rộng và một số ví dụ minh họa cho các kếtquả đó

IV Nhiêm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các định lý về điểm bất động của các ánh xạ co cyclic rộngtrong không gianG-mêtric

- Nghiên cứu các định lý điểm bất động của ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic trongcác không gianG-mêtric Cho các ví dụ minh họa

- Nghiên cứu các định lý điểm bất động của ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic suy rộngtrong các không gianG-mêtric Cho các ví dụ minh họa

V Phương pháp nghiên cứu

- Dùng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích, tôpô, giải tích hàm

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu các tài liệu

và sử dụng một số kỹ thuật chứng minh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra

VI Cấu trúc luận văn

bày của luận văn Nội dung gồm: Các khái niệm về không gianG-mêtric, dãy

G-hội tụ, dãyG-Cauchy, không gianG-mêtric đầy đủ, các ánh xạ co cyclic, điểmbất động ánh xạ co cyclic trên các không gianG-mêtric và một số tính chất củachúng cần dùng cho các trình bày về sau

Mục 2 Điểm bất động của ánh xạφ-co cyclic yếu trong không gianG-mêtricPhần này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về ánhxạ co cyclic suy rộng, một số định lý điểm bất động của các ánh xạ co cyclic suyrộng trong không gianG-mêtric đầy đủ Chứng minh chi tiết về các định lý đó.Ngoài ra còn trình bày các hệ quả và các ví dụ minh hoạ

Chương 2 với nhan đề Điểm bất động của ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic suy rộngtrong không gianG-mêtric

Mục 1 Điểm bất động của các ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic trong không gian

G-mêtric

Phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản về ánhxạ (ψ-φ)-co cyclic, chứng minh một số định lý điểm bất động của các ánh xạ(ψ-φ)-co cyclic trong không gian G-mêtric đầy đủ Ngoài ra còn trình bày các

hệ quả và các ví dụ minh hoạ

Mục 2 Điểm bất động của các ánh xạ (ψ-φ)-co cyclic suy rộng trong khônggianG-mêtric

Phần này chúng tôi trình bày một số định lý về điểm bất động của các ánhxạ (ψ-φ)-co cyclic suy rộng trong không gianG-mêtric đầy đủ Chứng minh chitiết về các định lý đó Ngoài ra còn trình bày các hệ quả và các ví dụ minh hoạ

1.1.1 Định nghĩa ([12]) ChoX là một tập khác rỗng vàG : X ìX ìX → R+

là một hàm thỏa mãn các điều sau

(G1) G(x, y, z) = 0nếu x = y = z,

(G2) 0 < G(x, x, y)với mọix, y ∈ X vớix 6= y,

(G3) G(x, x, y) ≤ G(x, y, z), với mọix, y, z ∈ X vớiz 6= y,

(G4) G(x, y, z) = G(x, z, y) = G(y, z, x) = ,(tính chất đối xứng),

(G5) G(x, y, z) ≤ G(x, a, a) + G(a, y, z),với mọix, y, z, a ∈ X, (bất đẳngthức tam giác)

Khi đó, hàmGđược gọi là một mêtric suy rộng, hay gọn hơn là một G-mêtrictrênX, và cặp(X, G)được gọi là một không gianG-mêtric

1.1.2 Ví dụ ([12]) Cho(X, d)là một không gian mêtric thông thường, xét ánhxạG : X ì X ì X → R+ cho bởi

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} với mọix, y, z ∈ X.

Khi đó(X, G) là một không gianG-mêtric Thật vậy, ta kiểm tra các điều kiệncủa không gianG-mêtric ta có:

(G1). Vì d(x, y), d(y, z), d(x, z), đều là các số thực không âm với mọi

x, y, z ∈ X nên G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} ≥ 0 với mọi

x, y, z ∈ X Đẳng thức xảy ra khix = y = z

(G2) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y) > 0 với mọi

x, y ∈ X màx 6= y

(G3) G(x, x, y) = max{d(x, x), d(x, y), d(x, y)} = d(x, y)

≤ max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)} = G(x, y, z) với mọi x, y, z ∈ X mà

z 6= y

(G4). Tính chất đối xứng là hiển nhiên

(G5).Với mọix, y, z, a ∈ X ta có

G(x, y, z) = max{d(x, y), d(y, z), d(x, z)}

≤ max{d(x, a) + d(a, y), d(y, z), d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)}

≤ max{d(x, a), d(x, a), d(a, a)} + max{d(a, y), d(a, z), d(y, z)}

= G(x, a, a) + G(a, y, z).

1.1.3 Ví dụ ([12]) Cho(X, d)là một không gian mêtric thông thường, xét ánhxạG : X ì X ì X → R+ cho bởi

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)với mọix, y, z ∈ X

Khi đó(X, G) là một không gian G-mêtric

Thật vậy, vì d là một mêtric, nên từ đẳng thức G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)với mọix, y, z ∈ X dễ thấy ánh xạ Gthỏa mãn các điều kiện(G1),(G2),(G3),(G4) trong định nghĩa củaG-mêtric Ta kiểm tra điều kiện (G5).Với bất kỳx, y, z, a ∈ X, khi đó ta có

G(x, y, z) = d(x, y) + d(y, z) + d(x, z)

≤ [d(x, a) + d(a, y) + d(y, z) + d(x, a) + d(a, z) + d(a, a)]

= [d(x, a) + d(x, a) + d(a, a)] + [d(a, y) + d(y, z) + d(a, z)]

= G(x, a, a) + G(a, y, z)

Vậy(X, G)là một không gian G-mêtric

1.1.4 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric và {xn} là mộtdãy trongX Ta nói dãy{xn}làG-hội tụ tớix ∈ X nếu lim

n,m→∞G(x, xn, xm) =

0, nghĩa là với sốε > 0cho trước tồn tại một sốN ∈ N, sao choG(x, xn, xm) <

εvới mọin, m ≥ N Lúc đó điểmxđược gọi là giới hạn của dãy{xn}và viết

làxn → xhoặc lim xn = x

1.1.5 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Các khẳng địnhsau đây là tương đương

(1) Dãy{xn}làG-hội tụ về x;

(2)⇒(3) Nhờ Định nghĩa 1.1.1 ta có

G(xn, x, x) ≤ G(x, xn, xn)+G(xn, x, xn) = 2G(xn, xn, x) → 0 khin, m → ∞.(3)⇒(4) Ta cóG(xm, xn, x) ≤ G(xm, x, x)+G(x, xn, x) = G(xm, x, x)+ G(xn, x, x) → 0khin, m → ∞

1.1.6 Định nghĩa ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Dãy {xn} gọi

là G-Cauchy nếu với số ε > 0 cho trước tồn tại một số N ∈ N, sao choG(xm, xn, xl) < ε với mọi n, m, l ≥ N, nghĩa là G(xm, xn, xl) → 0, khi

(2) ⇒ (1) Từ điều kiện (G5) trong định nghĩa G-mêtric cho ta kết quảG(xm, xn, xl) < G(xm, xn, xn) + G(xn, xn, xl) < 2εvới mọin, m, l ≥ N nên

1.1.8 Định nghĩa ([12]) Không gian G-mêtric (X, G) được gọi là G-đầy đủ(hoặc không gian G-mêtric đầy đủ) nếu mỗi dãy G-Cauchy trong (X, G) là

G-hội tụ trong (X, G)

1.1.9 Định nghĩa ([12]) Cho(X, G)và(X0, G0)là các không gianG-mêtric và

ánh xạ f : (X, G) → (X0, G0) Ta nói rằng ánh xạ f là G-liên tục tại điểm

a ∈ X nếu với mọi ε > 0 cho trước tồn tại một số δ > 0, sao cho với mọi

x, y ∈ X màG(a, x, y) < δ, thì ta cóG(f (a), f (x), f (y)) < ε

ánh xạ f được gọi là G-liên tục trên X nếu f là G-liên tục tại mọi điểm

a ∈ X

1.1.10 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) và (X0, G0) là các không gian G-mêtric.Khi đó ánh xạf : (X, G) → (X0, G0)làG-liên tục tại điểmx ∈ X nếu và chỉnếu nó làG-liên tục theo dãy tạix, nghĩa là với bất kỳ dãy {xn} làG-hội tụtớix thì{f (xn)}làG-hội tụ tới f (x)

Chứng minh Giả sửf là G-liên tục tại điểmx ∈ X và dãy{xn}làG-hội

tụ tớix, ta cần chứng minh rằng{f (xn)}làG-hội tụ tớif (x) Thật vậy, vì{xn}

là G-hội tụ tới x nên với số ε > 0 cho trước tồn tại một số N ∈ N sao choG(x, xn, xm) < εvới mọin, m ≥ N Mặt khácf là G-liên tục tại điểmx ∈ Xnên từG(x, xn, xm) < εkéo theoG(f (a), f (x), f (y)) < δ(ε) Vậy{f (xn)}là

G-hội tụ tớif (x)

Ngược lại giả sử {xn} là G-hội tụ tới x ∈ X và {f (xn)} là G-hội tụ tới

f (x), ta cần chứng minh rằngf làG-liên tục tại điểmx Vì{xn}làG-hội tụ tớixnên với sốε > 0cho trước tồn tại một sốN ∈ N, sao choG(x, xn, xm) < εvớimọin, m ≥ N Mặt khác{f (xn)}làG-hội tụ tớif (x), nên từG(x, xn, xm) < εvới mọin, m ≥ N kéo theoG(f (a), f (x), f (y)) < δ(ε) Vậyf làG-liên tục tại

1.1.11 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là không gian G-mêtric Khi đó, hàmG(x, y, z)liên tục theo tập ba biếnx, y, z

Chứng minh Giả sử{xn},{yn},{zn}là các dãy G-hội tụ lần lượt tới các

điểmx, y, z ∈ X Khi đó, từ điều kiện (G5) trong định nghĩaG-mêtric ta có

G(xk, ym, zn) − G(x, y, z) ≤ G(x, x, xk) + G(y, y, ym) + G(z, z, zn).Mặt khác từ điều kiện (G5) trong định nghĩa G-mêtric ta có G(x, x, xk) ≤ G(x, xk, xk) + G(xk, x, xk) = 2G(x, xk, xk), G(y, y, ym) ≤ 2G(y, ym, ym) vàG(z, z, zn) ≤ 2G(z, zn, zn).Từ đó suy ra

1.1.12 Định nghĩa ([12]) Không gianG-mêtric(X, G) được gọi là không gian

G-mêtric đối xứng nếuG(x, y, y) = G(y, x, x)với mọix, y ∈ X

1.1.13 Mệnh đề ([12]) Mỗi không gian G-mêtric (X, G) đều xác định mộtkhông gian mêtric(X, dG)với mêtric dG xác định bởi công thức

dG(x, y) = G(x, y, y) + G(y, x, x) với mọix, y ∈ X (1.1)

Hơn nữa,(X, G) làG-đầy đủ khi và chỉ khi(X, dG)là đầy đủ

Nếu (X, G) là không gianG-mêtric đối xứng, thìdG(x, y) = 2G(x, y, y)với mọi x, y ∈ X Tuy nhiên nếu (X, G) không đối xứng, thì nhờ các tínhchất của không gianG-mêtric ta có

3

2 G(x, y, y) ≤ dG(x, y) ≤ 3G(x, y, y) với mọi x, y ∈ X.

Nói chung, bất đẳng thức này không thể hoàn thiện hơn

1.1.14 Mệnh đề ([12]) Cho không gian G-mêtric (X, G), dG là mêtric xác

định bởi công thức (1.1) và{xn} là dãy trongX Khi đó, ta có

(a) Dãy{xn}làG-hội tụ tớix ∈ X trong(X, G) khi và chỉ khi{xn}là hội

tụ tới xtrong(X, dG);

(b) Dãy{xn}làG-Cauchy trong(X, G)khi và chỉ khi{xn}là dãy Cauchytrong(X, dG);

(c) Không gian (X, G) là G-mêtric đầy đủ khi và chỉ khi (X, dG) là đầy

x ∈ A ⇐⇒ BG(x, ε) ∩ A 6= φ, với mọiε > 0.

Tương tự như trường hợp không gian mêtric ta cũng có

1.1.16 Mệnh đề ([12]) Cho (X, G) là một không gian G-mêtric và A là tậpcon khác rỗng củaX TậpAlàG-đóng nếu mọi dãy{xn} ⊂ AlàG-hội tụ về

ánh xạ thỏa mãn (1.2) và (1.3) được gọi là ánh xạ co cyclic.

Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn tại điểm bất động Lấy bất kỳ

x0 ∈ Y và không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x0 ∈ A1 Xét dãy {xn}

Thayx = xn vày = yn−1 trong bất đẳng thức (1.8) ta được

Tất cảm dãy con này đều là G-hội tụ, và do đó, chúng hội tụ về cùng giới hạn

làu Hơn nữa, vìAj làG-đóng với mọij = 1, 2, , m, nên nhờ Mệnh đề 1.1.16

ta cóu ∈ Aj với mọij = 1, 2, , m, nghĩa là u ∈

m

T

j=1

Aj.Tiếp theo ta chỉ ra rằng điểmu ∈ X là điểm bất động của ánh xạT, tức là

u = Tu Từ (1.1) và trong điều kiện co (1.3) ta thayx = xn, y = z = Tu và giả

sử rằngu 6= Tu, haydG(u, Tu) > 0thì ta có

0 ≤ dG(xn, T u) = G(xn, T u, T u) + G(T u, xn, xn)

= G(Txn−1, T u, T u) + G(T u, T xn−1, T xn−1) (1.14)

≤ k[G(xn−1, u, u) + G(u, xn−1, xn−1)].

Chuyển qua giới hạn khi n → ∞ trong các bất đẳng thức trên, ta nhận được

0 ≤ dG(u, Tu) ≤ 0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết dG(u, Tu) > 0 Do đó,

u = Tu, nghĩa là ulà điểm bất động củaT

Để chứng minh tính duy nhất, ta giả sử rằng có v ∈ X là điểm bất độngkhác củaT sao chou 6= v Khi đó, cả uvà v đều nằm trong Tm

j=1

Aj Bằng cáchthayx = u và y = z = v trong điều kiện co (1.3) ta nhận được bất đẳng thứcG(T v, T u, T u) ≤ kG(u, v, v) Do T u = u, T v = v, nhờ điều kiện (G4) của

G-mêtric ta suy ra bất đẳng thức này chỉ đúng khi k = 1, nhưng theo giả thiết

ta cók ∈ (0, 1) Vì vậy điểm bất động củaT là duy nhất Như là một trường hợp đặc biệt của Định lý 1.1.17, ta có kết quả sau.1.1.18 Hệ quả Cho (X, G) là không gian G-mêtric đầy đủ và họ {Aj}mj=1các tập con G-đóng khác rỗng của X Giả sử Y =

1.2 Điểm bất động của ánh xạφ-co yếu cyclic trongkhông gian G-mêtric

Phần này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động của các ánhxạφ-co yếu cyclic trong không gian G-mêtric đầy đủ, các hệ quả và các ví dụminh hoạ

Bây giờ ta ký hiệu Πlà họ tất cả các hàm liên tụcφ : [0, ∞) → [0, ∞)saochoφ(0) = 0 vàφ(t) > 0với mọit > 0

Trước hết, chúng tôi giới thiệu kết quả sau đây về điểm bất động của các

ánh xạ co yếu suy rộng trên các không gianG-mêtric đầy đủ

1.2.1 Định lý ([9]) Cho(X, G)là không gianG-mêtric đầy đủ,{Aj}mj=1là họgồm m tập con G-đóng khác rỗng của X và Y =

với mọix ∈ Aj và y, z ∈ Aj+1, j = 1, , m, trong đó

M (x, y, z) = max{G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z)},

(1.19)

thìT có một điểm bất động duy nhất trong Tm

j=1

Aj

ánh xạ thỏa mãn (1.18) và (1.19) được gọi là ánh xạφ-co yếu cyclic

Chứng minh Trước hết ta chứng minh tồn tại điểm bất động Lấy bất kỳ

x0 ∈ Y và không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x0 ∈ A1 Xét dãy {xn}

được xác định như sau

xn = T xn−1, n = 1, 2, 3, (1.20)

VìT là cyclic, nên từ cách xác định dãy {xn}ta có x0 ∈ A1, x1 = T x0 ∈ A2,

x2 = T x1 ∈ A3, Nếu xn0+1 = xn0 với n0 ∈ N nào đó, thì rõ ràng điểm

xn0 là điểm bất động củaT Giả sử rằng xn+1 6= xn với mọin ∈ N

Đặtx = xnvày = z = xn+1trong điều kiện co (1.18) Khi đó, ta có

G(T xn, T xn+1, T xn+1) = G(xn+1, xn+2, xn+2) (1.21)

≤ M (xn, xn+1, xn+1) − φ(M (xn, xn+1, xn+1)),trong đó,

Bởi vậy ta phải có M (xn, xn+1, xn+1) = G(xn, xn+1, xn+1) Vì thế, từ(1.21) ta có

Thayx = xn vày = yn−1 trong bất đẳng thức (1.8) ta được

G(xn, xn−1, xn−1) ≤ 2G(xn−1, xn, xn), (1.27)

và vì thế nhờ (1.26) ta có

lim

n→∞G(xn, xn−1, xn−1) = 0 (1.28)

Bây giờ ta chứng minh rằng dãy {xn}là dãyG-Cauchy trong(X, G) Giả

sử ngược lại rằng{xn}không là dãyG-Cauchy Khi đó nhờ Mệnh đề 1.1.7 tồntại sốε > 0và các dãy con {n(k)}, {l(k)}thỏa mãnn(k) > l(k) > k sao cho

Sử dụng bất đẳng thức tam giác(G5)củaG-mêtric nhiều lần, ta có

G(xi(k), xi(k)+1, xi(k)+1) (1.37)

Lấy giới hạn 2 vế (1.37) khik → ∞, nhờ (1.26) ta có

{xn}là dãy G-Cauchy Vì (X, G) là không gianG-mêtric đầy đủ, nên {xn}là

Ghội tụ về w ∈ X Vì các tậpAj đóng với j = 1, 2, m, từ cách xây dựngdãy{xn}ta dễ dàng thấy rằng w ∈

m

T

j=1

Aj.Tiếp theo ta chỉ ra rằng điểmw ∈ X là điểm bất động của ánh xạT, tức là

Cuối cùng, để chứng minh tính duy nhất của điểm bất động, ta giả sử rằng

có điểmv ∈ X là điểm bất động khác củaT sao chow 6= v Khi đó, cảw vàv

Từ bất đẳng thức cuối cùng này ta suy raG(v, w, w) = 0 Do đó w = v, nghĩa

1.2.2 Hệ quả ([9]) Cho(X, G)là không gianG-mêtric đầy đủ,{Aj}mj=1là họgồm các tập conG-đóng khác rỗng củaX và Y =

với mọix ∈ Aj và với mọi y, z ∈ Aj+1, j = 1, 2, ã ã ã , m, trong đó,

M (x, y, z) = max G(x, y, z), G(x, T x, T x), G(y, T y, T y), G(z, T z, T z).

(1.50)

Khi đó,T có một điểm bất động duy nhất thuộc Tm

j=1

Aj.Chứng minh Suy từ Định lí 1.2.1, khi lấy hàm φ : [0, ∞) → [0, ∞) cho

1.2.3 Hệ quả ([9]) Cho (X, G) là một không gianG-mêtric đầy đủ, {Aj}mj=1

với mọi x ∈ Aj và với mọi y, z ∈ Aj+1, j = 1, 2, ã ã ã , m Khi đó, T có một

điểm bất động duy nhất thuộc Tm

j=1

Aj.Chứng minh Rõ ràng ta có,

aG(x, y, z) + bG(x, T x, T x)+cG(y, T y, T y) + dG(z, T z, T z)

≤ (a + b + c + d)M (x, y, z), (1.53)

Bây giờ chúng tôi giới thiệu một ví dụ áp dụng Định lý 1.2.1.

1.2.4 Ví dụ ([9]) Xét X = [−1, 1] và T : X → X được cho bởi T x = − x

3với mọix ∈ X LấyA = [−1, 0], B = [0, 1] Xác định hàmG : X ì X ì X → [0, +∞)cho bởi

h

|x3 − y3| + |y3 − z3| + |z3 − x3| i ≤ 1

3 M (x, y, z),với mọi x, y, z ∈ X Do đó,T thỏa mãn điều kiện co (1.18) Sử dụng Định lý1.2.1 ta suy raT có một điểm bất động duy nhất

1.2.5 Ký hiệu Phần tiếp theo trong mục này ta ký hiệuΦlà họ tất cả các hàm

φ : [0, ∞) → [0, ∞)thỏa mãn các điều kiện sau

(φ1) φ là hàm không giảm;

(φ2) tồn tại số k0 ∈ N, sốα ∈ (0, 1) và một chuỗi số dương P∞

k=1

vk hội tụsao cho

φk+1(t) ≤ αφk(t) + vk (1.59)

với mọik ≥ k0 và với mọit > 0

Ta gọi mỗi hàmφ ∈ Φlà hàm(c)-so sánh

1.2.6 Bổ đề ([11]) Nếu φ ∈ Φ, thì các tính chất sau đây là đúng

(a) Dãy (φn(t))n∈Nhội tụ về 0 khi n → ∞, với mọi t > 0;

là hàm không giảm và liên tục tại 0

1.2.8 Định lý ([4]) Cho (X, G)là một không gian G-mêtric đầy đủ,{Aj}mj=1

Giả sử rằng tồn tại hàm φ ∈ Φsao cho ánh xạ T thỏa mãn điều kiện

G(T x, T y, T z) ≤ φ(G(x, y, z)), với mọi (x, y, z) ∈ Aiì Ai+1ì Ai+1,

(1.62)

G(xn, u, u) ≤ s(φn(G(x0, x1, x1))), với mọi n ≥ 0, (1.63)

G(xn, u, u) ≤ s(G(xn, xn+1, xn+1)), với mọi n ≥ 0; (1.64)

(3) Với bất kỳ x ∈ Y ta có

G(x, u, u) ≤ s(G(x, T x, T x)), (1.65)

trong đó sđược cho bởi công thức (1.60) trong Bổ đề 1.2.7

Chứng minh Lấy bất kỳx0 ∈ Y =

m

S

i=1

Aivà không mất tính tổng quát, tagiả sử rằng x0 ∈ A1 Xét dãy lặp Picard {xn} bắt đầu từx0 và được xác địnhnhư sau

vàA2 là G-đóng, nên nhờ Mệnh đề 1.1.16 ta suy ra u ∈ A2 Tiếp tục quá trìnhnày ta chứng minh được (1.72).

Tiếp theo ta chứng minh rằngulà điểm bất động củaT Thật vậy, với mọi

n ≥ 0, tồn tại in ∈ {1, ã ã ã , m} sao cho xn ∈ Ain vàxn+1 ∈ Ain+1, hơn nữanhờ (1.72) ta cóu ∈ Ain+1 Do đó, bằng cách thay x = xn, y = z = u trong

điều kiện co (1.62) ta nhận được

G(xn+1, T u, T u) = G(T xn, T u, T u) ≤ φ(G(xn, u, u)) (1.73)

Vì hàmφliên tục tại0và lim

n→∞G(xn, u, u) = 0, từ bất đẳng thức trên ta suy ralim

n→∞G(xn+1, T u, T u) ≤ φ(0).

Nhưng, vìφ(t) < tvới mọit > 0và hàmφliên tục tại 0, nên ta cóφ(0) = 0 Do

đó, từ bất đẳng thức cuối cùng trên ta suy ra lim

n→∞G(xn+1, T u, T u) = 0 Điềunày kéo theoxn → T u khi n → ∞ Nhờ tính duy nhất của giới hạn, ta nhận

y = z = vtrong điều kiện (1.62) ta nhận được bất đẳng thức

0 < G(u, v, v) = G(T u, T v, T v) ≤ φ(G(u, v, v)) < G(u, v, v) (1.74)

Điều này mâu thuẫn Vì thế,ulà điểm bất động duy nhất củaT và chứng minhkhẳng định (1) là hoàn thành

Bây giờ ta sẽ chứng minh khẳng định (2) Thật vậy, từ (1.69), ta được