Định lý điểm bất động trong không gian metric nón

NGUYỄN THỊ NGÂNĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS... Bài to

NGUYỄN THỊ NGÂN

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015

NGUYỄN THỊ NGÂN

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN

Đà Nẵng - Năm 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từngđược ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Ngân

LỜI MỞ ĐẦU 1

1.1 KHÔNG GIAN METRIC 31.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN 161.3 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO BANACH 18CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG

2.1 NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH 202.2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 312.3 SỰ HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN 332.4 ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao)

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán họcđóng vai trò quan trọng trong cả toán học và khoa học ứng dụng

Lý thuyết này đã đạt được một số kết quả nổi tiếng ngay từ thế kỷ XX

và gắn liền với tên tuổi của các nhà Toán học lớn như Brouwer, Banach,Schauder, Kakutani, Một trong những hướng nghiên cứu của các nhàtoán học trong lĩnh vực này là xây dựng các không gian mới, sau đó

mở rộng kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1992) chocác lớp ánh xạ Cùng với ý tưởng đó, năm 2007, L.-G Huang và X Zhang

đã đưa ra khái niệm không gian metric nón bằng cách thay hàm metricnhận giá trị thực trong không gian metric bởi một hàm nhận giá trịtrong không gian định chuẩn Sau L.-G Huang và X Zhang, một sốtác giả khác cũng đã phát triển lý thuyết này và đạt được những kết quảsâu sắc Bài toán điểm bất động trên không gian metric nón luôn thu hút

sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học trên thế giới

Với các lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáoLương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu:

“Định lý điểm bất động trong không gian metric nón”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống cácđịnh lý điểm bất động trên không gian metric nón

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài không đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểmbất động mà chỉ trình bày khái niệm nón, một số tính chất cơ bản của nóntrong không gian Banach, khái niệm không gian metric nón, cuối cùng

là trình bày và chứng minh lại các định lý điểm bất động đã có trongtài liệu [4] một cách chi tiết và có hệ thống

4 Phương pháp nghiên cứu

Tham khảo tài liệu, hệ thống hóa các kiến thức Thu thập các bài báokhoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất độngtrong không gian metric nón” Thể hiện tường minh các kết quả nghiêncứu trong đề tài Trao đổi và thảo luận với giáo viên hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như một tài liệutham khảo dành cho học viên, sinh viên và những người quan tâm về

lý thuyết điểm bất động

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm hai chương chính

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức

cơ bản liên quan đến không gian metric, không gian định chuẩn

Chương 2 : Định lý điểm bất động trong không gian metric nón.Chương này trình bày chi tiết và có hệ thống các khái niệm, tính chất

về nón trong không gian Banach, không gian metric nón và một số định

lý điểm bất động trong không gian metric nón

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chấtcủa không gian metric, không gian định chuẩn và nguyên lý ánh xạ coBanach Đây là những kiến thức cơ sở nhằm phục vụ cho chương sau củaluận văn Hầu hết các kết quả ở đây được tham khảo trong tài liệu [1].1.1 KHÔNG GIAN METRIC

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng Ta gọi ánh xạ

d : X × X −→ R(x, y) 7−→ d(x, y)

là một metric trên X nếu d thỏa mãn ba tiên đề sau đây với mọi

Khi đó, d là một metric trên R và (X, d) là một không gian metric.Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn các tiên đề của một metrictrên R Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

Chứng minh Ta chứng minh d thỏa mãn các tiên đề của một metrictrên X Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

n→∞xn = x0 khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗sao cho

d(xn, x0) < ε với mọi n ≥ n0

Định lý 1.1.6 Cho {xn}, {yn}là các dãy trong không gian metric (X, d).Khi đó,

(1) Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất

(2) Nếu dãy {xn} hội tụ đến x, thì mọi dãy con {xnk} của nó cũnghội tụ đến x

(3) Nếu lim

n→∞xn = x và lim

n→∞yn = y, thìlim

n→∞d(xn, yn) = d(x, y)

Chứng minh (1) Giả sử {xn} cùng hội tụ đến hai phần tử x, x′ Khi đó,

lim

n→∞d(xn, x) = 0,lim

k ≥ nε ta có nk ≥ nε Do đó,

d(xn k, x) < ε với mọi k ≥ nε.Điều này chứng tỏ rằng {xn k} là dãy hội tụ đến x

(3) Giả sử lim

n→∞xn = x, lim

n→∞yn = y Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại

n0 ∈ N∗ sao cho với mọi n ≥ n0, ta có

d(xn, x) < ε

2, d(yn, y) <

ε

2.

Mặt khác, bởi vì

d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn),

d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, yn) + d(yn, y)nên với mọi n ≥ n0, ta có

Định nghĩa 1.1.7 Cho (X, d) là một không gian metric, x0 ∈ X, r > 0,

E và F là các tập con của X Khi đó,

được gọi là quả cầu đóng tâm x0, bán kính r

(3) Điểm x0 được gọi là một điểm trong của E và E được gọi làlân cận của x0 nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ E

(4) E được gọi là tập mở nếu mỗi điểm của E đều là điểm trongcủa E

(5) Hợp của tất cả các tập mở chứa trong E được gọi là phần trongcủa E, kí hiệu là IntE

(6) F được gọi là tập đóng nếu X\F là tập mở

(7) Giao của tất cả các tập đóng chứa F được gọi là bao đóngcủa F , kí hiệu là F

Nhận xét 1.1.8 Cho X là một không gian metric, E, F là các tập concủa X Khi đó, các khẳng định sau đây là đúng.

(6) Nếu E ⊂ F , thì IntE ⊂ IntF và E ⊂ F

Định lý 1.1.9 Trong không gian metric X, các khẳng định sau là đúng.(1) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là một tập mở

(2) Giao của hữu hạn các tập mở là một tập mở

(3) Giao của một họ tùy ý các tập đóng là một tập đóng

là một tập mở Do đó, tồn tại r > 0 sao cho

B(x, r) ⊂ X\F

Mặt khác, vì xn → x nên tồn tại N ∈ N∗ sao cho

d(xn, x) < r với mọi n ≥ N

Bởi thế, với mọi n ≥ N, ta có

x ∈ F Ta cần chứng minh F là một tập đóng Thật vậy, giả sử ngược lại

F không là một tập đóng, kéo theo X\F không là một tập mở Do đó,tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X\F không là điểm trong của X\F Bởi thế, ta có

B



x, 1n

6⊂ X\F với mọi n ∈N∗

Do đó,

B



x, 1n

Định lý 1.1.11 Cho (X, d) là không gian metric, F ⊂ X và x ∈ X.Khi đó, x ∈ F khi và chỉ khi với mỗi lân cận mở U của x, ta đều có

U ∩ F 6= ∅

Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử x ∈ F và U là một lân cận

mở của x Ta chứng minh rằng U ∩ F 6= ∅ Thật vậy, giả sử ngược lại

U ∩ F = ∅, kéo theo F ⊂ X\U Mặt khác, vì U là tập mở nên X\U làtập đóng Do đó,

F ⊂ X\U = X\U

Hơn nữa, vì U là lân cận của x nên x ∈ U, kéo theo x /∈ X\U Vì thế,

x /∈ F Điều này mâu thuẫn với giả thiết x ∈ F và chứng tỏ rằng

U ∩ F 6= ∅

(2) Điều kiện đủ Giả sử U là một lân cận mở của x và U ∩ F 6= ∅

Ta cần chứng minh x ∈ F Thật vậy, giả sử ngược lại x /∈ F , kéo theo

x ∈ X\F Bởi vì X\F là tập mở nên X\F là một lân cận của x Do đó,

(X\F ) ∩ F 6= ∅

Nhưng vì F ⊂ F nên X\F ⊂ X\F Suy ra,

(X\F ) ∩ F ⊂ (X\F ) ∩ F = ∅,kéo theo

(X\F ) ∩ F = ∅

Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng x ∈ F

Định lý 1.1.12 Cho (X, d) là không gian metric, E ⊂ X và x ∈ X.Khi đó, x ∈ E khi và chỉ khi tồn tại {xn} ⊂ E sao cho xn → x

Chứng minh Giả sử rằng x ∈ E Khi đó, theo Định lý 1.1.11 ta suy ravới mỗi lân cận mở U của x ta đều có U ∩ E 6= ∅ Mặt khác, bởi vì

d(xn, x) < 1

n với mọi n ∈ N∗.Điều này chứng tỏ rằng tồn tại dãy {xn} ⊂ E sao cho xn → x

Ngược lại, giả sử tồn tại dãy {xn} ⊂ E sao cho xn → x Tachứng minh rằng x ∈ E Thật vậy, vì E là một tập đóng, {xn} ⊂ E ⊂ E

và xn → x nên theo Định lý 1.1.10 ta suy ra x ∈ E

Định nghĩa 1.1.13 Giả sử (X, dX), (Y, dY) là hai không gian metric,

x0 ∈ X và ánh xạ f : (X, dX) → (Y, dY) Khi đó,

(1) f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại

δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà dX(x, x0) < δ ta đều có

n→∞f (xn) = f (x)

Định nghĩa 1.1.15 Giả sử X, Y là hai không gian metric và song ánh

f : X → Y Khi đó, f được gọi là một phép đồng phôi nếu f và f−1 đều

Bổ đề 1.1.17 Cho (X, d) là một không gian metric Khi đó,

(1) Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Cauchy.(2) Nếu {xn} là dãy Cauchy và có dãy con {xnk} hội tụ đến x0,

thì {xn} cũng hội tụ đến x0

Chứng minh (1) Giả sử lim

n→∞xn = x0 Khi đó, với mọi ε > 0, tồn tại

Điều này chứng tỏ rằng {xn} là một dãy Cauchy

(2) Giả sử {xn} là một dãy Cauchy, {xnk} là một dãy con của{xn} và xnk → x0 Ta cần chứng minh xn → x0 Thật vậy, vì {xn} làdãy Cauchy nên với ε > 0, tồn tại n1 ∈ N∗ sao cho

d(xm, xn) < ε

2 với mọi m, n ≥ n0.Mặt khác, vì xnk → x0 nên tồn tại n2 ∈ N∗ sao cho

d(xn k, x0) < ε

2 với mọi k ≥ n2.Bây giờ, nếu ta đặt N = max{n1, n2}, thì với mọi n ≥ N, ta có

(1) Q không phải là không gian metric đầy đủ

(2) R,C là những không gian metric đầy đủ

(3) Rk là không gian metric đầy đủ

(4) C[a,b] là không gian metric đầy đủ

Chứng minh (1) Ta biết rằng Q là một không gian metric với metric

d(x, y) = |x − y|, x, y ∈Q.Xét dãy {xn} ⊂ Q được xác định như sau

xn =



1 + 1n

n

, n ∈ N∗

Khi đó, {xn} là dãy Cauchy trong Q nhưng xn → e /∈ Q Do vậy,

Q không phải là một không gian metric đầy đủ

(2) Suy ra từ tiêu chuẩn Cauchy

(3) Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong Rk, trong đó

xn = (x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k ) với mọi n ∈ N∗.Khi đó, vì {xn} là dãy Cauchy nên

i = 1, 2, , k, tồn tại x(i)0 sao cho

lim

n→∞x(n)i = x(0)i Đặt x0 = (x(0)1 , x(0)2 , , x(0)k ) ∈ Rk Khi đó, vì sự hội tụ trong Rk là sựhội tụ theo các thành phần tọa độ nên ta suy ra lim

n→∞xn = x0 Như vậy,

Rk là một không gian metric đầy đủ

(4) Giả sử {xn} là một dãy Cauchy trong [a, b] Khi đó, với mọi

ε > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho

d(xn, xm) < ε với mọi n, m ≥ n0,tức là

n→∞xn(t) với mọi t ∈ [a, b] Ta đặt

x0 : [a, b] −→ R

t 7−→ x0(t) = lim

n→∞xn(t)

Bây giờ, ta chứng minh x0 là một hàm liên tục trên [a, b] và xn → x0

trong C[a,b] Thật vậy, với mọi t ∈ [a, b], ta có

|xn(t) − xm(t)| < ε với mọi n, m ≥ n0.Khi đó, với mọi t ∈ [a, b], cố định n ≥ n0 và cho m → ∞ ta được

|xn(t) − x0(t)| < ε với mọi n ≥ n0

Do đó, dãy hàm {xn(t)} hội tụ đều đến hàm số x0(t) trên [a, b] Mặt khác,

vì các hàm xn(t) đều liên tục trên [a, b] nên x0(t) cũng liên tục trên [a, b].Hơn nữa, vì với mọi t ∈ [a, b], ta có

|xn(t) − x0(t)| < ε với mọi n ≥ n0nên ta suy ra

Bổ đề 1.1.20 (Bổ đề Cantor) Giả sử {B[xn, rn]} là một dãy gồm cáchình cầu đóng, lồng và thắt trong không gian metric đầy đủ X, nghĩa là

B[x1, r1] ⊃ B[x2, r2] ⊃ ⊃ B[xn, rn] ⊃ và lim

n→∞rn = 0

Khi đó, các hình cầu đó có một điểm chung duy nhất

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh rằng {xn} các tâm hình cầu

là một dãy Cauchy trong X Thật vậy, với n ≥ m ta có xn ∈ B[xm, rm],kéo theo

ta suy ra

x0 ∈ B[xn, rn] với mọi n ∈ N∗.Cuối cùng, ta chứng minh rằng x0 là điểm chung duy nhất của mọihình cầu Thật vậy, nếu y0 cũng là điểm chung của mọi hình cầu, thìvới mọi n ∈ N∗ ta có

d(x0, y0) ≤ d(x0, xn) + d(xn, y0)

≤ rn + rn = 2rn.Hơn nữa, vì lim

n→∞rn = 0 nên ta suy ra d(x0, y0) = 0, kéo theo x0 = y0

1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN

Định nghĩa 1.2.1 Cho E là một không gian vectơ trên trường K.Ánh xạ

k · k : E −→ R

x 7−→ kxkđược gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau vớimọi x, y ∈ E và với mọi λ ∈K

Ví dụ 1.2.4 (1) Trong không gian vectơ Rk Với mỗi x ∈ Rk,

(2) Không gian C[a,b] là không gian định chuẩn với chuẩn

xi được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi

(2) Chuỗi được gọi là hội tụ nếu tồn tại s = lim

d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Định lý 1.3.3 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Giả sử X là một khônggian metric đầy đủ và f : X → X là một ánh xạ co Khi đó, f có duy nhấtmột điểm bất động

Chứng minh Lấy tùy ý một điểm x0 ∈ X và đặt

≤ αnd(x0, x1)

Do đó, với mọi m ≥ n và với mọi α ∈ [0, 1), ta có

Bởi vì α ∈ [0, 1) nên αn → 0 khi n → ∞ Do đó, với mọi ε > 0, tồn tại

N ∈ N∗ sao cho với mọi m, n ≥ N, ta có

d(xn, xm) ≤ α

n

1 − αd(x0, x1) < ε.

Điều này chứng tỏ rằng {xn} là một dãy Cauchy trong X Hơn nữa,

vì X là một không gian metric đầy đủ nên tồn tại giới hạn x∗ = lim

Bây giờ, ta chứng minh rằng x∗ là điểm bất động duy nhất của f.Thật vậy, giả sử x∗, y∗ là các điểm bất động của f Khi đó, với mọi

α ∈ [0, 1) ta có

d(x∗, y∗) = d(f (x∗), f (y∗)) ≤ αd(x∗, y∗),suy ra

(1 − α)d(x∗, y∗) ≤ 0 với mọi α ∈ [0, 1),kéo theo

d(x∗, y∗) = 0

Điều này chứng tỏ rằng x∗ = y∗ và suy ra điểm bất động của f làduy nhất

CHƯƠNG 2

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm về nón

và chứng minh một số tính chất của nón trong không gian Banach,tiếp theo là trình bày khái niệm và một số tính chất trong không gianmetric nón, cuối cùng là trình bày và chứng minh lại các định lý điểmbất động đối với ánh xạ co trong không gian metric nón đầy đủ đã cótrong tài liệu [4] một cách chi tiết và có hệ thống

2.1 NÓN TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Định nghĩa 2.1.1 Cho E là một không gian Banach trên trường số thực

và P là một tập con của E Ta nói rằng P là một nón nếu nó thỏa mãncác điều kiện sau

Như vậy, “≤” là một quan hệ thứ tự trên E.

Ta kí hiệu x < y để chỉ rằng x ≤ y và x 6= y; x ≪ y nếu y−x ∈ IntP

Bổ đề 2.1.5 Cho P là một nón trong không gian Banach E và α làmột số thực dương bất kỳ Khi đó,

αIntP ⊂ IntP,nghĩa là với mọi α ∈ R mà α > 0, nếu x ∈ IntP , thì αx ∈ IntP

Chứng minh Bởi vì ánh xạ x 7→ αx là đồng phôi nên ta có

αIntP = IntαP Mặt khác, do α > 0 nên áp dụng điều kiện (2) của Định nghĩa 2.1.1 tasuy ra αP ⊂ P , kéo theo IntαP ⊂ IntP Bởi vậy, αIntP ⊂ IntP

Bổ đề 2.1.6 Cho P là một nón trong không gian Banach E, α ∈ R mà

α 6= 0 và u, v, x, y ∈ E Khi đó,

(1) Nếu x ≤ y, thì αx ≤ αy khi α > 0 và αx ≥ αy khi α < 0.(2) Nếu x ≤ u và y ≤ v, thì x + y ≤ u + v

Chứng minh (1) Giả sử x ≤ y, kéo theo y − x ∈ P Khi đó, với α > 0,

áp dụng điều kiện (2) của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra α(y − x) ∈ P,kéo theo αy − αx ∈ P Do đó, αx ≤ αy

Nếu α < 0, thì −α > 0 Lúc này, cũng từ điều kiện (2) củaĐịnh nghĩa 2.1.1 ta suy ra −α(y − x) ∈ P, kéo theo αx − αy ∈ P

Do đó, αy ≤ αx

(2) Giả sử x ≤ u và y ≤ v, kéo theo u−x ∈ P và v −y ∈ P Khi đó,

áp dụng điều kiện (2) của Định nghĩa 2.1.1 cho trường hợp a = b = 1

ta suy ra

(u − x) + (v − y) ∈ P,kéo theo

(u + v) − (x + y) ∈ P

Do đó,

x + y ≤ u + v

Định nghĩa 2.1.7 Cho P là một nón trong không gian Banach E

Ta nói rằng P là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số K > 0 sao cho với mọi

x, y ∈ E mà 0 ≤ x ≤ y, ta đều có

kxk ≤ Kkyk

Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi làhằng số chuẩn tắc của P

Định nghĩa 2.1.8 Cho P là một nón trong không gian Banach E

Ta nói rằng P là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên đềuhội tụ, nghĩa là nếu {xn} là dãy sao cho

x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ ≤ yvới y ∈ E, thì tồn tại x ∈ E sao cho kxn− xk → 0

Bổ đề 2.1.9 Nón P trong không gian Banach E là chính quy khi vàchỉ khi mọi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ

Chứng minh Giả sử {xn} là một dãy bất kỳ của E, {xn} là dãy giảm

và bị chặn dưới Ta chứng minh rằng {xn} là dãy hội tụ Thật vậy,

vì {xn} là dãy giảm và bị chặn dưới nên tồn tại y ∈ E sao cho

y ≤ ≤ xn ≤ xn−1 ≤ ≤ x1,tức là

y ≤ xn, xn ≤ xn−1 với mọi n ≥ 1

Do đó, theo Định nghĩa 2.1.3 ta suy ra

xn− y ∈ P, xn−1− xn ∈ P với mọi n ≥ 1,kéo theo

(−y) − (−xn) ∈ P, (−xn) − (−xn−1) ∈ P với mọi n ≥ 1

Suy ra

−xn ≤ −y, −xn−1 ≤ −xn với mọi n ≥ 1

Điều này chứng tỏ rằng {−xn} là dãy tăng và bị chặn trên bởi −y.Hơn nữa, vì P là nón chính quy nên theo Định nghĩa 2.1.8 ta suy ra{−xn} là dãy hội tụ Do đó, {xn} là dãy hội tụ

Ngược lại, giả sử mọi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ Ta chứngminh rằng P là nón chính quy Thậy vậy, giả sử {xn} là dãy tăng và

bị chặn trên Khi đó, theo cách chứng minh ở trên ta suy ra {−xn} làdãy giảm và bị chặn dưới Theo giả thiết ta suy ra −xn → x, kéo theo

xn → −x Như vậy, theo Định nghĩa 2.1.8, P là nón chính quy

Định lý 2.1.10 Mọi nón chính quy là nón chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử P là một nón chính quy nhưng P không là nónchuẩn tắc Khi đó, với mỗi n ∈N∗, tồn tại tn, rn ∈ P sao cho

tn − rn ∈ P và n2ktnk < krnk

Ta để ý rằng nếu tn = 0, thì −rn ∈ P và do rn ∈ P nên theo điều kiện (3)của Định nghĩa 2.1.1 ta suy ra rn = 0 Do đó,

0 = n2ktnk < krnk = 0

Điều này là vô lý Như vậy,

tn 6= 0 với mọi n ∈N∗.Bây giờ, với mỗi n ≥ 1, ta đặt

yn = tn

ktnk, xn =

rn

ktnk .Khi đó,

kynk = 1, kxnk > n2 với mọi n ∈ N∗.Mặt khác, vì P là nón nên