Môđun lồi và môđun trơn trong không gian banach

Phần này trình bày định nghĩa môđun lồi, môđun trơn, không gian lồi đều, không gian trơn đều, không gian q- lồi, không gian p- trơn và một số tính chất cơ bản của nó.. Đ3 Môđun lồi và mô

Đ2 Môđun lồi và môđun trơn trong không gian Banach Phần này trình bày định nghĩa môđun lồi, môđun trơn, không gian lồi đều, không gian trơn đều, không gian q- lồi, không gian p- trơn và một số tính chất cơ bản của nó

Đ3 Môđun lồi và môđun trơn trong một số trường hợp đặc biệt Phần này trình bày một số tính chất của môđun lồi và môđun trơn trong trường hợp X là không gian Hilbert thực, chiều lớn hơn hoặc bằng 2, X là các không gian c0 , l1 , l∞ , Lp

Đ4 Mối liên hệ giữa tính lồi và tính trơn Phần này trình bày một số kết quả như công thức Lindenstrauss (1963) ; hệ quả Smulian (1941)

Đ5 Một số tính chất khác của các hàm δX(ε) và ρX(τ) Trong phần này đề cập đến các bổ đề Helli, bổ đề Goldsteine và định lý Milman - Pettis

Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn Ân người hướng dẫn trực tiếp giúp tôi hoàn thành khoá luận và cho tôi gửi lời cảm

ơn tới các thầy cô trong khoa Toán Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận

Mặc dù tôi đã cố gắng nhiều nhƣng do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ nên chắc chắn trong khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô và bạn đọc góp ý để khoá luận đƣợc hoàn thiện hơn

Vinh, tháng 4 năm 2004

Tác giả

MỤC LỤC

trường K nếu trên đó đã cho 2 phép toán cộng và nhân vô hướng sao cho thoả

mãn các điều kiện

1) x + y = y + x, với mọi x, y  X;

2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z  X;

3) Tồn tại phần tử 0  X sao cho x + 0 = 0 + x = x, với mọi x  X;

4) Với mọi x  X, tồn tại phần tử đối –x  X sao cho

x + (-x) = (-x) + x = 0;

5) (x) = (x) = ()x, với mọi x  X, với mọi ,  K;

6) (x + y) = x + y, với mọi x, y  X, với mọi  K;

7) ( + )x = x + x, với mọi x  X, với mọi ,  K;

8) 1.x = x, với mọi x  X

1.2 Định nghĩa ( [1] ). Giả sử E là không gian vectơ trên trường K Hàm p:

E  ℝ được gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện

1) p(x)  0, với mọi x  E và p(x) = 0, khi và chỉ khi x = 0;

2) p(x) = ||.p(x), với mọi x  E, với mọi  K;

3) p(x + y)  p(x) + p(y), với mọi x, y  E

Số p(x) được gọi là chuẩn của vectơ x Thường kí hiệu ||x||

Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là không gian định chuẩn Kí hiệu là (E, ||.||)

1.3 Định lý ( [1] ) Nếu p là một chuẩn trên không gian vectơ E thì công thức d(x, y) = ||x – y||, với mọi x, y  E xác định một mêtric trên E Mêtric này có tính chất sau

a) d(x + y, y + z) = d(x, y), với mọi x, y, z  E,

b) d (x, y) = ||d(x, y), với mọi x, y  E, với mọi  K

1.4 Định lý ( [1] ) Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó ánh xạ chuẩn

||.||: E ℝ là liên tục đều trên E

1.5 Định lý ( [1] ) Giả sử E là không gian định chuẩn, khi đó ánh xạ (x, y) x + y từ E x E vào E và ánh xạ (, x)  x từ K x E vào E là liên tục

1.6 Định lý ( [1] ) Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó với mọi x  E ánh xạ

f: E  E cho bởi f(x) = x + a với mọi a  E là phép đồng phôi đẳng cự (tức

là bảo tồn khoảng cách) và với mọi   K,   0 ánh xạ g: E  E cho bởi g(x) = x với mọi x  E là phép đồng phôi

1.7 Hệ quả ( [1] ) Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó các mệnh đề sau là

tương đương

a) U là lân cận của điểm 0  E;

b) U là lân cận của điểm 0 với mọi   K,  0;

c) a + U là lân cận của điểm a với mọi a  E

1.8 Định nghĩa ( [1] ) Không gian định chuẩn E được gọi không gian Banach

nếu E là không gian mêtric đầy đủ, đối với mêtric sinh ra từ chuẩn

1.9 Định nghĩa ( [1] ) Giả sử E là không gian định chuẩn Khi đó

a) B(x0, r) = {x  E: ||x0 – x|| < r} được gọi là hình cầu mở tâm x 0 , bán kính r

b) B(x0, r) = {x  E: ||x0 – x||  r} được gọi là hình cầu đóng tâm x 0 , bán kính r

c) S(x0, r) = {x  E: ||x0 – x|| = r} được gọi là mặt cầu tâm x0 , bán kính r

trong không gian định chuẩn E

Đ2 MÔĐUN LỒI VÀ MÔĐUN TRƠN CỦA KHÔNG GIAN BANACH

Giả X là không gian Banach trên trường số thực ℝ có số chiều dimX  2 Kí hiệu: ||x|| là chuẩn của phần tử x  X; X* là không gian đối ngẫu tôpô của X; SX

là mặt cầu đơn vị trong X và BX là hình cầu đóng đơn vị trong X

||

,Sy,x:yx

X2

||

yx

||

||

yx

||

2.2 Nhận xét a) Với mọi x, y  SX thì ||x + y||  ||x|| + ||y|| = 2 Suy ra

02

||

yx

||

||

yx

Do đó, ta có X: [0; +  )  [0; +  ) và thoả mãn X(0) = 0; 0  X() 

c) Người ta chứng minh được rằng:

,Sy,x:yx

X2

||

yx

||

||

yx

b) Theo nhận xét 2.2 ta có X()  nên mọi không gian Banach là 1 - trơn

c) Người ta quan tâm đến giá trị của các X() và X() tại những giá trị

của  và  gần 0 (,   0+)

Đ3 MÔĐUN LỒI VÀ MÔĐUN TRƠN TRONG MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP

Đặc biệt, không gian Hilbert H là 2 - lồi và 2 – trơn

Chứng minh Để chứng minh định lý này ta sử dụng đẳng thức hình bình hành

||x+ y||2 + ||x – y||2 = 2(||x||2+ ||y||2)

(i) Với mọi x, y  SH, từ đẳng thức hình bình hành ta có

14

4

22

2

2 2

2 2

1

2

=

411

yx

||

||

yx

Sy,x:12

y,x21

y,x21

ab

 2a2a 2 a

Đẳng thức xảy ra khi b = 0, nên ta có

2 2

2

12y,x21

y,x2

Sy,x:12

y,x21

y,x21

|max

trong l1, ta xác định chuẩn

n |,x

|,x

|sup

3.2 Định lý Các không gian c 0 , l, l 1 không lồi đều và không trơn đều

Chứng minh 1) Ta chứng minh c0, l là các không gian không lồi đều và không trơn đều

Ta thấy c0 là không gian con của l, chuẩn trên c0 là chuẩn trong l cảm sinh lên c0

thì x1, y1 c0, ||x||c||y||c và

x1 + y1 = (1 + , 1, 0, …) x1 - y1 = (1 - , 1, 0, …)

Bởi vậy, với  (0; 1) thì

11

0

1

1y ||c  ; ||x y ||c x

||

và do đó

2

12

11

12

y,x:12

||

yx

||

||

yx

||

sup)(

0 0

0

c 1 1 c

1 1 c

Do vậy, c0 và l  là những không gian không trơn đều

2) Ta chứng minh l1 là không gian không lồi đều và không trơn đều

||

yx

||

)(

Vậy l1 là không gian không trơn đều

C TRƯỜNG HỢP X = LP (HOẶC lP TƯƠNG TỰ ) VỚI 1 < p < 

|)L

trong Lp ta xác định chuẩn

p p

2

12

yx2

y

p p

p p

p p

p p

' p

p

' p

yxy

x

với p’ là số mũ liên hợp của p, nghĩa là   

'p

3.4 Bổ đề Các bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b  ℝ

(1) |a + b| p |a| p + p.b.|a| p-1 sgn a + A p |b| p với 1 < p  2

(2) |a + b| p |a| p + p.b.|a| p-1 sgn a + A p (|b| p + |a| p-2 |b| 2 ) với 2 < p < + , trong đó, A p là hằng số xác định chỉ phụ thuộc vào p

Chứng minh Với b = 0 thì ta chọn Ap > 0 tuỳ ý

Với a = 0 thì ta chỉ cần chọn Ap =1 Khi đó (1) và (2) đều thoả mãn

p

A

|t

|

pt

|t1

| )

p p

p

At

|t

|

pt

|t1

| )

|t

pt

|t

|

p

| t

|t

|

pt

|t

|

p

| t

Vậy tồn tại hằng số Ap chỉ phụ thuộc vào p để (1) và (2) thoả mãn

3.5 Bổ đề Với bất kỳ x = x(t) và y = y(t) trong L p thì

p p x

p p p

p ||x|| F (y) A ||y||

||

yx

(2) ||x y|| ||x|| F (y) A (||y|| ||x|| ||y||p)

p 2

p p p

p p

x p p p

x(y) p |x(t)| sgn(x(t)).y(t)dtF

Chứng minh Với x = x(t) và y = y(t) trong Lp Theo bổ đề 3.4 ta có

|x(t) + y(t)|p |x(t)|p + p.y(t).|x(t)|p-1sgn x(t) + Ap.|y(t)|p với 1 < p  2, |x(t) + y(t)|p |x(t)|p + p.y(t).|x(t)|p-1sgn x(t) + Ap.(|y(t)|p + |x(t)|p-2.|y(t)|2) với 2 < p < + 

Từ đó, lấy tích phân hai vế ta có

với 2 < p < + 

Ta chú ý rằng

|x(t)| |x(t)|  |x(t)| p | x(t)|p L1[ ; ]

p p p

p p

p p

ppp

p 1

0

p

p 2 - p p

dt

|y(t)

|.dt

|x(t)

|dt

|)t(y

|

|)t(x

p 1

0

p p

|y(t)

|.dt

|x(t)

|

= ||x||pp ||y||p Kết hợp với (3) ta suy ra đƣợc (2)

x(y) p |x(t)| |y(t)|dtF

0

p p

p 1

0

p

p 1 - p

dt

|y(t)

|.dt

|x(t)

3.6 Định lý (i) Với 1 < p  2 thì L p (hoặc l p ) là p’ – lồi và p – trơn

(Với p’ là số mũ liên hợp của p:   

'p

(ii) Với 2 < p < +  thì L p (hoặc l p ) là p – lồi và 2 – trơn

Chứng minh (i) Với 1 < p  2 theo bổ đề 3.3, với mọi

p

LS y,

x  mà ||x – y||p = 

ta có

p p

' p '

p

p

' p

p

' p

yxy

xy

)

Suy ra p'

' p

p

.y

p

1yx

' p

Vậy Lp là p’ – lồi với 1 < p  2

Với 1 < p  2, theo bổ đề 3.5 ta có: Với mọi

p

LSy,

||xy||pp ||x||pp Fx(y)Ap ||y||ppAp.p Fx(y);

)y(F.A

||

y

||

A)y(F

||  pp  pp  x   p  pp p p  x 

Do tính tuyến tính của Fx ta suy ra

).A2(

||

yx

||

||

yx

Mặt khác, theo bất đẳng thức Bernoulli

(1 + h)  1 + h, với mọi h  -1 và với mọi  1

Áp dụng bất đẳng thức sơ cấp này, ta thu đựơc

Với mọi a  0, với mọi p  1 thì

ap = (1 + a –1)p 1 + p(a - 1)  p-1(ap -1)  a – 1, với mọi a  0 và với mọi p  1

Áp dụng bất đẳng thức trên ta suy ra: với mọi 1 < p  2 thì

)

||

yx(||

p

||

yx

||  p  -1  pp 

||

yx(||

p

||

yx

p

p

||

yx

||

||

yx

p

A )(

x  mà ||x – y||p =  ta suy ra

yxy

xy

p

p p

p p

p

p

Syx,mäivíi 2-1 -1 y

Với 2 < p < +, ta có với mọi

p

LS y,

||  pp  pp  x   p  pp  pp  p

= 1 + Ap(p

+ 2) + Fx(y)

||x y|| ||x|| F ( y) A (|| y|| ||x|| || y||p)

p p

p p p

x

p p

p p

Từ tính tuyến tính của Fx, ta suy ra

)(

2A2

||

yx

||

||

yx

||  pp   pp   p p 2 Mặt khác, từ bất đẳng thức sơ cấp: a –1  p-1(ap - 1) với mọi a  0 và với mọi p  1, ta

p

p

||

yx

||

||

yx

||

 p-1.Ap.(p

+ 2)

p

A )

Vậy Lp là 2 – trơn với 2 < p < +

Nhƣ vậy Lp là p – lồi và 2 – trơn với 2 < p < +

Nhận xét: Tính lồi và tính trơn của một không gian có tính chất đối ngẫu nhau

Đ4 MỐI LIÊN HỆ GIỮA TÍNH LỒI VÀ TÍNH TRƠN

2 0

Chứng minh Ta có

)(

X

*

* X

||

y x

||

2 0

{sup)

2 0

X

X 0

Vậy, X lồi đều suy ra X* trơn đều

(ii) Theo (i) ta có X* lồi đều suy ra X** trơn đều Vì J(BX) trù mật trong BX** đối với tôpô (X**, X*), trong đó J là phép nhúng chuẩn tắc X vào X**

nên ta có )

*

X u , v B B ' y ,' x

*

X u , v B B ' y ,' x

*

X x ,' y ' B B v , u

(Do J(BX) trù mật trong BX** đối với tôpô (X**, X*) và J đẳng cự nên ta đồng nhất J(BX)  BX)

= sup sup{| u,x y | | v,x y | 2}

* X

X u , v B B y , x

*

*

Xx, ,x,

x   ; 1 , 2 , …, n K

các điều kiện sau tương đương

(i) Với mọi  > 0, tồn tại x  B X sao cho:

x(x

n

j j j n

j

* j

n j

* j j n

j j j

* j j

n

j

* j

j

* j

xác định bởi (x) = (x*(x), ,x*n(x)), với mọi x  X Khi đó điều kiện (i) tương đương với   (BX)

Ta chứng minh  (BX) Bằng phản chứng, giả sử   (BX) Khi đó

dễ thấy (BX) là tập lồi đóng trong ℝn

, còn {} là tập có một phần tử nên nó lồi compact trong ℝn, theo hệ quả định lý Hahn – Banach tồn tại hàm tuyến tính

) B (

1 j

* j j B x

)x(xsup

j

* j

Điều này mâu thuẫn với (ii)

Trường hợp X là không gian phức, * *

x  , j = aj + ibj với j,n,

aj, bj  ℝ, i là đơn vị ảo

Dễ thấy, mỗi x* X* là một phiếm hàm tuyến tính phức thì tồn tại phiếm hàm

tuyến tính thực) và

)x(iz)x(y)x(

x*j  *j  *j Nếu với các số phức j = j – ij, j,n thoả mãn (ii) thì ta suy ra

x)

ba

(

n

1 j

* j j n

1 j

j j j

* j

* j j

n1,jmäivíi 2b)x(

x(

x*j  j 

5.3 Bổ đề (Goldsteine) Giả sử X là không gian Banach thì J(B X ) trù mật trong

B X** đối với tôpô (X ** , X * )

n

i

* i

*

* i

*

*

*

)x(x)x(x:XxV

*

0  , trong đó, *

* n

i

* i

* i n

i i

* i i n

1 i

* i i

mäi víi)

x(x)x(

i

* 0

5.4 Định lý Milman – Pettis Mọi không gian lồi đều là không gian phản xạ

Chứng minh Giả sử  X** với |||| = 1, ta chứng minh  J(BX) đóng mạnh trong X** nên ta chỉ cần chứng minh rằng với mọi  > 0, tồn tại x  BX: || - J(x)|| <



Giả sử  (0; 2) cố định, theo định nghĩa của lồi đều tồn tại  > 0 sao cho với mọi x, y  BX, ||x – y||  thì x y 1-.

2,

fx

,

f    

2,

fxˆ

-

Do x, xˆ BX sử dụng định nghĩa lồi đều, ta suy ra ||x - xˆ|| < 

Nhƣng J(xˆ)  W vì thế ||J(xˆ) – J(x)|| > 

(Do J là tuyến tính đẳng cự) Đến đây, ta gặp mâu thuẫn Vậy  J(x) + BX**,

và do đó || - J(x)|| < 

5.5 Nhận xét Theo hệ quả 4.2 ii) thì X trơn đều suy ra X*

lồi đều suy ra X*phản xạ suy ra X phản xạ Từ đó thu đƣợc hệ quả sau

5.6 Hệ quả Nếu X trơn đều thì X phản xạ

KẾT LUẬN

Khoá luận này đã đạt được các kết quả sau :

1) Trình bày được các định nghĩa về môđun lồi , môđun trơn, không gian lồi đều, không gian trơn đều, không gian q- lồi, không gian p- trơn và một số tính chất của nó

2) Xét môđun lồi và môđun trơn trong một số trường hợp đặc biệt : X là không gian Hilbert thực, có chiều lớn hơn hoặc bằng 2 X là các không gian c0 , l1 , l∞, Lp

3) Trình bày được mối liên hệ giữa tính lồi và tính trơn như trình bày và chứng minh công thức Lindenstrauss (1963), hệ quả Smulian (1941)

4) Trình bày và chứng minh được một số tính chất khác của môđun lồi và môđun trơn như : Bổ đề Helli, bổ đề Goldsteine, định lý Milman - Pettis

Một lần nữa cho tôi gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè và các thầy cô đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn thành được khoá luận này

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục, 2001 [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học và

Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978

[3] Nguyễn Duy Tiến, Bài giảng Giải tích nâng cao (bản thảo), 2002 [4] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học

Quốc gia Hà Nội, 2001

[5] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục, 2002