Lý thuyết hình học không gian thể tích chọn lọc

d/ Diện tích hình thang  Diện tích hình thang: SHình Thang 1 2  .đáy lớn + đáy bé x chiều cao e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc  Diện tích tứ giác có hai đường chéo

CHUYÊN ĐỀ : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A LÝ THUYẾT

I HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các hệ thức lượng trong tam giác thường

a) Định lí hàm số cosin

b) Định lí hàm số sin

c) Công thức tính diện tích của tam giác

A

C

B

R

b

c

a

A

b

c

a – nửa chu vi

– bán kính đường tròn nội tiếp









A

b

c

a

A

H M











d) Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác

2

2

2

3/ Định lí Talet

4/ Diện tích của đa giác

a/ Diện tích tam giác vuông

 Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh

góc vuông

b/ Diện tích tam giác đều

 Diện tích tam giác đều:

3 4

 Chiều cao tam giác đều:

3 2

h 

c/ Diện tích hình vuông và hình chữ nhật

 Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương

 Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2

 Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng

d/ Diện tích hình thang

 Diện tích hình thang:

SHình Thang 1

2

 (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao

e/ Diện tích tứ giác có hai đường chéo

vuông góc

 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc

nhau bằng ½ tích hai đường chéo

 Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau tại

trung điểm của mỗi đường

A

N

K

M

A

N

M

B

A

B

C

C

D

O

A

D

A

B

D

C

(cạnh)2 đều

(cạnh) đều

Lưu ý: Trong tính toán diện tích, ta có thể chia đa giác thành những hình đơn giản dễ tính

diện tích, sau đó cộng các diện tích được chia này, ta được diện tích đa giác

II HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1 Quan Hệ Song Song

a/ Chứng minh đường thẳng // d mp  với ( ) d( ) 

 Chứng minh: d // ' d và d'( )

 Chứng minh: d( ) và   // ( )

b/ Chứng minh mp( ) // mp 

 Chứng minh mp ( ) chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mp  

 Chứng minh mp ( ) và mp   cùng song song với 1 mặt phẳng hoặc cùng vuông góc với 1 đường thẳng

c/ Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau

 Hai mp ( ),  có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a b, thì

  // //

( )   Sx a b



   

//

//

( )

( )





 

2 Quan Hệ Vuông Góc

a/ Chứng minh đường thẳng d mp  

 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mp ( )

 Chứng minh:

 

// ' '

 

 Chứng minh:  

  //  



 



 Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt

phẳng thứ 3:

   

   

     

P

d











b/ Chứng minh đường thẳng d d'

 Chứng minh d   và    d'

 Sử dụng định lý ba đường vuông góc

 Chứng tỏ góc giữa d và d' bằng900

c/ Chứng minh mp  mp 

 Chứng minh  

     

d

d





 

 (chứng minh mp chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia)

 Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng900

3/ Góc Và Khoảng Cách

a/ Góc giữa hai đường thẳng

 Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau lần lượt vẽ cùng phương

với hai đường thẳng đó:

//

//

'

( , ) ( ', ') '



b/ Góc giữa đường thẳngd và mặt phẳng mp   

 Là góc tạo bởi đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng

 

 , ( , ') 

 

 

 

(với d' là hình chiếu vuông góc của d lên mp ( ))

c/ Góc giữa hai mp  và   mp   

 Là góc có đỉnh nằm trên giao tuyến u,

2 cạnh của hai góc lần lượt nằm trên

2 mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến

 



 ( );     ( , ) a b   

d/ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

 Là độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng

 , 

e/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng (mặt phẳng)

này đến đường thẳng (mặt phẳng) kia

f/ Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

 Là khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng

g/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

 Là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó

 Là khoảng cách MH từ một điểm M trên d đến mp  

chứa d' và song song với d

 Là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song     , 

lần lượt chứa dvà d'







M

M

M



d’

4/ Hinh Chóp Đều

a/ Định nghĩa

Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

 Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

 Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

b/ Hai hình chóp đều thường gặp

 ĐáyABC là tam giác đều

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO SBO SCO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO 

AB

 Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều

+ Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều

+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy

 ĐáyABCD là hình vuông

 Các mặt bên là các tam giác cân tạiS

 Chiều cao: SO

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO SBO SCO SDO

 Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO 

5/ Xác Định Đường Cao Hình Chóp

a/ Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với

đáy:

Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông

góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên

SA ABC thì chiều cao là SA

b/ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt

đáy:

Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác

chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có mặt bênSAB 

vuông góc với mặt đáyABCD thì chiều cao 

của hình chóp là chiều cao củaSAB

c/ Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy:

Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt

bên cùng vuông góc với đáy

Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên

SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy

ABCD thì chiều cao là SA 

d/ Hình chóp đều:

Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và

tâm của đáy

Ví dụ: Hình chóp tứ giác đều S ABCD có tâm

mặt phẳng đáy là giao điểm của hai đường

chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là

SO

6/ Thể Tích Khối Đa Diện

1/ Thể tích khối chóp: 1 .

3

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

2/ Thể tích khối lăng trụ: V  B h

:

B Diện tích mặt đáy

:

h Chiều cao của khối chóp

Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là

cạnh bên

3/ Thể tích hình hộp chữ nhật: V a b c

 Thể tích khối lập phương: V a3

4/ Tỉ số thể tích: ' ' '

.

S A B C

S ABC

5/ Hình chóp cụt A’B’C’.ABC

3

h

Với B B h là diện tích hai đáy và chiều cao , ',

C

D

S

O

C

A

B

B

A

B

C

A B

C

a

b

c

a

a a

S

A

’

B

’ C

’

C

CHÚ Ý: CÁCH VẼ HÌNH + CÁCH LÀM CÁC BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

Khối tứ diện đều:

Khối chóp tứ giác đều

bình hành, 3 ô cho cạnh ngắn và 5 ô cho chiều cao SA (hoặc SO đối với hình chóp đều)

Vẽ hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

A

C

D

M O

O

C D

B A

S

+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau +Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ O là trọng tâm của tam giác đáy

Và AO (BCD)

+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau

+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O

+ SO (ABCD)

B

C

D

A

S

B

C

D

A

S

D

A

Vẽ hình chóp đều

S

B

B

S

B

B

C

D

A

O

B

C

D

A

S

O

B

C

D

A

S

O

B

C

D

A

S

O

I

K

Cách xác định góc

Góc giữa đường thẳng mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ:

Tìm hình chiếu d / của d lên mặt phẳng (P)

Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d /

B

C

A

O

B

C

A

O

B

C

A

S

O

I

K

S

B

C

D

A

Góc giữa SC và đáy

B

C

D

A

S

S

Góc giữa SC và đáy

A

C

C

A

S

O

I

K

Góc giữa SA và đáy

Góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp, lăng trụ :

Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

Tìm trong (P) đường thẳng a  (d) ,

trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b  (d)

Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

S

C

A

O

I

S

B

A

C

Góc giữa

(SBC) và đáy

S

B

A

C

Góc giữa (SBC)

và đáy

S

B

A

C

Góc giữa SC

và (SAB)

B

D

A

S

O

Góc giữa mặt bên và đáy

C

S

B

C

D

A

Góc giữa

(SBC) và đáy

Mặt cầu ngoại tiếp

Hình chóp đều

- Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp:

+ SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông đáy

+ Mặt phẳng trung trực đoạn SA (hoặc cạnh bên khác) cắt SO tại I  I là tâm mặt cầu cần tìm

+ Bán kính mặt cầu: R SI SK SA .

SO

- Trình bày: thường là có câu thể tích

+ Ghi công thức thể tích

+ Tính diện tích đáy

+ Tính chiều cao rồi tính diện tích, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (cùng khối chóp

B

C

D

A

S

O

I

K

B

C

A

S

O

I

K

S

B

C

D

A

S

B

A

C

c

I

O

B S