Điểm cực biên của các tập lồi, compact trong không gian metric tuyến tính

Lời cảm ơn 31 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN 1.1 Định nghĩa về không gian metric tuyến tính và định lý chuẩn bất biến.. 41 2 ĐỊNH LÝ KREIN-MILMAN VỀ ĐIỂM CỰC BIÊN TRONG KHÔNG GIAN TO

Lời cảm ơn 3

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHÔNG GIAN

1.1 Định nghĩa về không gian metric tuyến tính và định lý

chuẩn bất biến 6

1.2 Không gian modular 22

1.3 Các ví dụ về không gian metric tuyến tính 35

1.4 Không gian metric tuyến tính đầy đủ 41

2 ĐỊNH LÝ KREIN-MILMAN VỀ ĐIỂM CỰC BIÊN TRONG KHÔNG GIAN TOPO LỒI ĐỊA PHƯƠNG 44 2.1 Điểm cực biên 44

2.2 Định lý Krein- Milman 47

3 CÁC VÍ DỤ CỦA ROBERTS VỀ CÁC TẬP LỒI, COM-PATC KHÔNG CÓ ĐIỂM CỰC BIÊN 54 3.1 Định nghĩa điểm nhọn và điểm xấp xỉ nhọn 54

3.2 Định lý Roberts, 1976 59

Khóa luận “Điểm cực biên của các tập lồi, compact trong khônggian metric tuyến tính” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình

và hết lòng chỉ bảo của thầy giáo TS Lê Hoàng Trí Em xin đượcphép gởi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâmcủa thầy đối với bản thân em không những trong thời gian làm khóaluận mà còn trong suốt quá trình học tập

Em cũng xin bày tỏ sự biết ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu trườngĐại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng, Ban Chủ nhiệm khoa Toán đã tạo

cơ hội cho em được làm khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏlòng biết ơn tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại Học SưPhạm-Đại Học Đà Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy em trong suốt các nămhọc Đại học vừa qua

Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng khóa luận cũng không tránh khỏi saisót Em mong được những ý kiến đóng góp của thầy cô giáo và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Đà Nẵng, ngày 27 tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyễn Văn Đức

Lời nói đầu

Định nghĩa về không gian metric tuyến tính được đưa ra bởi Fréchet(1926) Và hầu hết các định lý trong không gian metric tuyến tính đãđược chứng minh trước năm 1940 bởi phần lớn là do Banach và cộng sự.Vào thời gian đầu của quá trình nghiên cứu, người ta chỉ quan tâm đếncác định lý trong không gian định chuẩn, và sự xuất hiện của định lý đãgóp phần phát triển nhanh chóng hướng nghiên cứu các định lý trongkhông gian topo lồi địa phương Cụ thể vào năm 1940, sự ra đời của định

lý Krein-Milman về điểm cực biên đã góp phần không nhỏ vào lĩnh vựcgiải tích, đặc biệt là giải tích lồi Đến năm 1976, Roberts phát biểu định

lý khá nổi tiếng, ông đã xây dựng một F − không gian, chứa một tậpcompact nhưng không có điểm cực biên, do đó định lý Krein-Milmankhông còn đúng cho không gian không lồi địa phương

Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa các chứng minh, ví dụ, cũng nhưtrình bày chi tiết, bổ sung những chi tiết nhỏ trong quá trình chứngminh định lý, góp phần bổ sung kiến thức về không gian metric tuyếntính vốn không có cơ hội tiếp cận trong quá trình học đại học, đây làmục tiêu chính của khóa luận này

Khóa luận "Điểm cực biên của các tập lồi, compact trongkhông gian metric tuyến tính" được trình bày qua ba chương:

Chương 1 trình bày các khái niệm về không gian metric tuyến tính,không gian modular, mối liên hệ giữa F − chuẩn và không gian modular,các ví dụ về không gian metric tuyến tính.

Chương 2 tập trung giới thiệu điểm cực biên, trình bày chi tiếtđịnh lý Krein-Milman và chứng minh các hệ quả suy ra từ định lý.Trong chương 3 này chủ yếu mô ta nguyên tắc xây dựng khônggian F − chuẩn chứa tập compact lồi nhưng không có điểm cực biên củaRoberts đưa ra năm 1976, trình bày chi tiết và bổ sung những ý nhỏtrong chứng minh định lý Roberts

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH

1.1 Định nghĩa về không gian metric tuyến tính và định lý

chuẩn bất biến

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường số thực

Phép toán + của hai phần tử x và y được kí hiệu: x + y

Phép toán nhân một phần tử x với một tích vô hướng t: tx

Cho A, B là các tập con của X Khi đó

A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B}∆Cho t ∈ R

tA = {ta/a ∈ A}∆Định nghĩa 1.1.1 Giả sử trên X có một metric ρ Không gian X đượcgọi là không gian metric tuyến tính nếu phép toán cộng và phép toánnhân với một số là liên tục đối với metric ρ Tức là:

Chứng minh

Bổ đề 1.1.1 ∀t ∈ R, t 6= 0 , V mở trong X thì tV mở trong X

Để chứng minh Định lí Kakutani, ta sẽ chứng minh một định lí tổngquát hơn:

Định lý 1.1.2 Cho X là một không gian topo tuyến tính, nếu tồn tạimột hệ cơ bản, đếm được các lân cận của 0 thì có một metric bất biếntrong X tương ứng với topo đã cho, ở đây tồn tại một hệ cơ bản, đếmđược các lân cận của 0 có nghĩa là tồn tại một họ {Un}n∈N gồm các lâncận của 0 trong x mà với mỗi lân cận V trong X của 0 ta đều tìm đượcmột số n ∈ N sao cho Un ⊂ V

Chú ý 1.1 Nếu X là một không gian topo tuyến tính khả metric, gọi

d là một metric trên X tương thích với topo đã cho trên X Khi đó xét{Un}n∈N ở đây

Rõ ràng {Un}n∈N là một hệ cơ bản đếm được các lân cận của 0 Do đó

ta thấy rằng định lí Kakutani là một hệ quả trực tiếp của định lí trên

Chứng minh

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.1.3 Cho X là một không gian topo tuyến tính Khi đó với mỗilân cận V của 0 ta đều tìm được một lân cận cân, mở U của 0 mà U ⊂ VChứng minh

Xét ánh xạ f : R × X → X xác định bởi f (x, t) = tx, ∀(t, x) ∈ R × X.Khi đó ánh xạ này liên tục do định nghĩa của một không gian topo tuyếntính

Do đó nó liên tục tại (0,0) ⇒ ∃δ > 0 và một lân cận mở U1 của 0trong X mà ∀t ∈ (−δ, δ), ∀x ∈ U1 ta đều có tx ∈ V Bây giờ ta đặt

và U2 là các lân cận của 0 cho nên U2 ∩ V1 cũng là một lân cận của 0

Do tính chất của không gian topo tuyến tính ta tìm được một lân cận

V2′ của 0 sao cho:

Tính chất (2) được suy ra từ tính cân của tập VH, ∀H ∈ H.

Bây giờ ta chứng minh tính chất (3)

∀x, y ∈ X nếu |x| + |y| > 1 thì |x + y| luôn luôn nhỏ hơn hay bằng 1

⇒ |x + y| 6 |x||y| Do đó ta giả thiết |x| + |y| < 1

∀ε > 0 mà |x| + |y| + 2ε < 1 Do định nghĩa của hàm | | ta tìm được

H, K ∈ H mà x ∈ VH, y ∈ VK và PH < |x| + ε, P (K) < |y| + ε

Bởi vì PH + PK < 1 nên ta tìm được phần tử M ∈ H :

PM = PH + PK

Do (ii) ta có VH + VK ⊂ VM ⇒ x + y ∈ VM Từ đó:

|x + y| 6 PM = PH + PK < |x| + |y| + 2εqua giới hạn khi ε → 0 ta được |x + y| 6 |x| + |y| ⇒ (3) được chứngminh

Từ (2) khi cho λ = −1 ta được | − x| 6 |x|; ∀x ∈ X Thay −x vào xcủa bất đẳng thức mới thu được | − (−x)| 6 | − x| ⇒ |x| < | − x| từ đó

ta có:

| − x| = |x|; ∀x ∈ XBây giờ ta đặt d(x, y) = |x − y|; ∀x, y ∈ X Do các khảo sát ở trên d

là một metric trên X

Ta thấy d(x + z, y + z) = d(x, y); ∀x, y, z ∈ X.Từ đó để kết thúc chứngminh định lí này ta chỉ cần chứng minh metric d tương thích với topo đãcho trên X Do tính chất của một không gian topo tuyến tính và do tínhbất biến của metric d nên ta chỉ cần chứng minh metric d tương thíchvới topo của X tại điểm gốc ( tức là ∀ε > 0, tồn tại mỗi lân cận mở Vcủa 0 (đối với topo cho trước trên X ) mà V ⊂ {x ∈ X/d(0, x) < ε}) vàvới mỗi lân cận V′

của 0 đều tồn tại một số ε′

> 0 sao cho:

{x ∈ X : d(0, x) < ε′} ⊂ V′

Ta hãy để ý rằng nếu chứng minh được:

(*) {x ∈ X/d(0, x) 6 2−n−1} ⊂ Vn ⊂ {x ∈ X/d(0, x) 6 2−n} thìmetric tương thích với topo của X tại điểm gốc

Do định nghĩa của metric d theo | | nên (*) có thể viết:

(**) {x ∈ X/|x| 6 2−n−1} ⇒ |x| 6 2n ⇒ ∃H ∈ H : x ∈ V và

PH < 2n.

Do (iii) ta có VH ⊂ Vn ⇒ x ∈ Vn ⇒ điều phải chứng minh

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian vectơ, một hàm thực không

Vế bên phải tiến về 0 nên ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 1.1.3 Đặt ρ(x, y) =kx − yk, ∀x, y ∈ X thì ρ là một metric.Chứng minh

Ta có:

(1) ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) =kx − yk > 0

ρ(x, y) = 0 ⇔kx − yk = 0

tương ứng ρ1 mạnh hơn (tương đương với) metric bất biến tương ứng ρ.Giả sử X là một F∗− không gian và Y là một tập con tuyến tính của

X Rõ ràng rằng Y là một F∗− không gian với F − chuẩn thu được bởi

sự hạn chế của F − chuẩn từ X tới Y Những tập con tuyến tính đóngđược gọi là không gian con

Giả sử (X, k k) là một F∗−không gian và Y là một không gian con của

X X/Y được gọi là không gian thương (∀x, y ∈ X, XR Y, ⇔ x − y ∈ Y ,với R là quan hệ tương đương.)

Với mỗi Z ∈ X/Y Chúng ta định nghĩa chuẩn của lớp Z như sau:

kZk = inf {kzk : z ∈ Z}

X: F∗− không gian

Y: không gian tuyến tính con đóng của X

∀x, y ∈ X, xRy , x − y ∈ Y

⇒ R: quan hệ tương đương, X/Y = X/R

⇒ X/R là một không gian vectơ

∀Z ∈ X/Y, kZk = inf

z∈ZkzkChứng minh kZk là một F − chuẩn

z∈Zkzk+ ∀t ∈ −Z ⇒ ∃z ∈ Z

⇒kαnznk → 0

mà kαnZnk 6kαnznk, ∀n ∈ N∗

⇒kαnZnk → 0

Do đó X/Y là một F∗− không gian

Cho n F∗- không gian (Xi, k ki, i = 1 n) Khi đó:

y = (y1, y2, , yn) ∈ X1 × X2 × × Xn

kx + yk = Pn

i=1

kxi+ yiki = 06kx1 + y1k1+kx2 + y2k2 + +kxn+ ynkn

6kx1k1+ky1k1+kx2k2+ky2k2 + +kxnkn+kynkn

Cho X là không gian tuyến tính Một modular là hàm không âm ρ :

X → [0; +∞) thỏa mãn:

(1) ρ(x) = 0 ⇔ x = 0

⇒ ρ(αxn) 6 ρ(2pxn) → 0

⇒ ρ(αxn) → 0 Khi α < 0:

ρ(k(x + y)) = ρ(kx + ky) = ρ

1

ααx



= ρ(kx) < 0 mà k

α > 0 ⇒ αx ∈ Xρ.Khi α < 0: x ∈ Xρ chứng minh −x ∈ Xρ

Do x ∈ Xρ ⇒ ∃k > 0 : ρ(kx) < +∞

⇒ ρ(k(−x)) < +∞

mà k > 0 ⇒ −x ∈ Xρ

⇒ (−α)(−x) ∈ Xρ

⇒ αx ∈ Xρ

⇒ Xρ là một không gian tuyến tính con của X

Nhận xét 1.2.3 Cho F - chuẩn k k, kαxk 6kxk khi 0 6 α 6 1 thì

Với mọi dãy {αn} nằm trong [0,1], αo ∈ [0, 1] mà αn → αo

Ta có: kxk∗ = 0 ⇔ max

α∈[0,1]kαxk = 0

⇒kαxk = 0; ∀α ∈ [0; 1]

⇔ x = 0(2) Cho kαxk∗ =kxk∗ khi |α| = 1

∀n ∈ N∗, kαnxk∗ = max

β∈[0,1]kβαnxkChọn βn ∈ [0, 1] :kβnαnxk =kαnxk∗

nhưng không thỏa mãn (4).

(2) Chứng minh k|αx|k = |kxk| khi α = −1

Ta có: k|αx|k = sup

n∈N ∗ n

p

| − 1xn|

= sup

n∈N ∗ n

p1| − xn|

= sup

n∈N ∗ n

p

|αpxpn| 6 sup

n∈N ∗ n

p > 1

⇒k|αpx|k không tiến đến 0 và αp → 0 khi p → ∞

Định lý 1.2.2 Giả sử X là một không gian tuyến tính với modularmetric hóa ρ(x) Trong tập Xρ có F -chuẩn kxk và kxk → 0 khi và chỉkhi ρ(xn) → 0 Hơn nữa k.k đơn điệu

Chứng minh

Đặt kxk = inf {ε > 0 : ρ(x

ε) < ε}, ∀x ∈ Xρ.Trước hết ta chứng minh kxk bị chặn

Theo định nghĩa tập Xρ ⇒ ∃k > 0 : ρ(kx) < +∞

Chọn r > max

ρ(kx),1

6 ρx

δ

+ ρ

yµ



6 δ + µ

⇒ δ + µ ∈ {ε > 0 : ρ



x + yε

∀x ∈ Xρ, ∀α ∈ [0, 1] phải chứng minh kαxk 6kxk hay



= ρ

2αnλxλε



→ 0 ( do (tính chất (4) của modular )và

⇒kxnk 6 δ

2 < δ, ∀n > no

⇒kxnk → 0+ ∀{xn} ∈ Xρ mà kxnk → 0 chứng minh ρ(xn) → 0

1.3 Các ví dụ về không gian metric tuyến tính

Ví dụ 1.3.1 Cho Ω là một tập, Σ là một σ− đại số các tập con của

Ω, µ là độ đo trên Ω X là tập tất cả các hàm x: Ω → R đo được

⇒ X là một không gian vectơ

N : [0, +∞) → [0, +∞) là hàm tăng, liên tục

Và N(u) = 0 ⇔ u = 0, N(u) thỏa mãn điều kiện:

∆2 : ∃k > 0 : N (2u) 6 kN (u), ∀u ∈ [0, +∞)Đặt θ = {x ∈ X : µ ({t ∈ Ω, x(t) 6= 0}) = 0}

Chứng minh θ là không gian tuyến tính

Vậy θ là không gian tuyến tính.

Do xây dựng tích phân trên tập thương nên ta cần chứng minh khôngphụ thuộc vào lớp đại diện, ta phải chứng minh hàm đo được để tồn tạitích phân đo được

(+) ∀α, β 6 0, α + β, ∀ex, ey ∈ X/θ phải chứng minh:

Hàm N(u) là hàm không giảm, vì vậy

N (|anx(t)|) 6 N (|x(t)|)Theo định lý Lebesgue, ta có:

Cho A1, A2, , An, ∈ Σ mà Am∩ An = ∅ khi n 6= m

Chứng minh µ

 ∞S

Ta có:(A1 ∪ A2) ∩ A3 = (A1 ∩ A3) ∪ (A2∩ A3) = ∅

⇒ µ(A1 ∪ A2 ∪ A3) = µ(A1 ∪ A2) + µ(A3)

= µ(A1) + µ(A2) + µ(A3)

⇒ P∞

n=1

µ(An) 6 µ

 ∞S

 ∞S

→ 0

1 + |xpk − x0

k| → 0

⇒ ∃p0 ∈ N∗ : ∀p > p0,

ε4Khi p > p0 :

⇒ điều phải chứng minh.

1.4 Không gian metric tuyến tính đầy đủ

Cho X là một không gian metric với metric ρ(x, y) Một dãy {xn}các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy hoặc thỏa mãn điều kiệnCauchy, hoặc là một dãy cơ bản nếu:

lim

n,m→∞ρ(xn, xm) = 0Không gian (X, ρ) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {xn}đều hội tụ đến một phần tử x0 ∈ X, nghĩa là:

lim

n→∞ρ(xn, x0) = 0Một tập A trong không gian metric tuyến tính X được gọi là khôngđâu trù mật nếu bao đóng A của A không chứa bất kì một tập mở nào.Một tập A được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất nếu nó đại diện cho mộthợp đếm được của những tập không đâu trù mật, ngược lại tập A đượcgọi là thuộc phạm trù thứ hai

Định lý 1.4.1 Cho (X, kxk) là một F − không gian Cho Y là một khônggian con của X Khi đó không gian thương X/Y là một F − không gian(tức là không gian đầy đủ)

Chứng minh:

Cho Zn là một dãy phần tử tùy ý của không gian thương X/Y

sao cho kZnk < 1

2n.Khi đó tồn tại một dãy con {xn} ⊂ Zn mà kxnk < 1

Zn → z ∈ X Vậy X/Y là một F − không gian

Mệnh đề 1.4.1 Một tích (X, ρ) của n F − không gian là một F − khônggian

Chứng minh Đặt xp = (xp1, xp2, , xpn) ∈ X1 × X2 × × Xn, (p ∈ N∗)

là dãy Cauchy

⇒ {xpi} là một dãy Cauchy trong Xi, i = 1, n

Do Xi là dãy đầy đủ ∀i = 1, n

ĐỊNH LÝ KREIN-MILMAN VỀ

ĐIỂM CỰC BIÊN TRONG

KHÔNG GIAN TOPO LỒI ĐỊA

PHƯƠNG

2.1 Điểm cực biên

Cho X là không gian tuyến tính trên trường số thực, K là một tập contùy ý của X Chúng ta nói rằng điểm k ∈ K là điểm cực biên của Knếu không có 2 điểm k1, k2 ∈ K và không có số thực a, 0<a<1 sao cho:

k = ak1 + (1 − a)k2 (∗)Tập tất cả những điểm cực biên của K được kí hiệu là E(K) Tập con

A của tập K gọi là tập con cực biên nếu mỗi k ∈ A, tồn tại k1, k2, 0 <

a < 1 thỏa mãn điều kiện (*) thì suy ra k1, k2 ∈ A

Mệnh đề 2.1.1 Cho X là một không gian topo tuyến tính lồi địaphương K là tập compact trong X Khi đó E(K) khác rỗng

(iv) Gọi A0 là một phần tử tối đại của U Chứng minh A0 là tậpmột điểm Suy ra phần tử của A0 chính là điểm cực biên của K.

Ta dễ dàng chứng minh được (i) và (ii)

(ii) ∀ B ∈ B, B6C

Bổ đề 2.1.1 Cho X là không gian topo compact {Fα}α∈λ là họ các tậpđóng của X Nếu họ đó có tính tương giao hữu hạn thì giao của chúngkhác rỗng

⇒ ∃f : X → R là phiếm hàm tuyến tính liên tục mà f (p)h f (q) (do X

là không gian topo lồi địa phương)

Giả sử f (y) > f (x) ⇒ αf (y) > αf (x)

⇒ αf (y) + (1 − α) f (z) > f (x) Suy ra vô lý

⇒ f (y) = f (x)

Chứng minh tương tự ta cũng có: f (y) = f (x)

Giả sử (*) không đúng

⇒ ∃k ∈ K : k /∈ convE(K)

⇒ tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗, hằng số c, ε > 0:

x∗(k) 6 cvà

x∗(x) > c + ε, ∀x ∈ convE(K)Đặt K1 = {x ∈ K : x∗(x) = inf x∗(y)}

⇒ a.x∗(k1) > a.p và (1 − a)x∗(k2) > (1 − a)p

⇒ a.x∗(k1) + (1 − a)x∗(k2) > p (vô lí)

+ Xét x∗(k2) > p Chứng minh tương tự ta cũng suy ra điều vô lí

⇒ k1, k2 ∈ K1

⇒ K1 là tập cực biên

⇒ K1 và E(K) rời nhau (do cách đặt)

⇒ vô lý Vậy định lí được chứng minh

Hệ quả 2.2.1 Nếu K là một tập compact thì

conv(K) = convE(K)Chứng minh:

Ta có: E(K) ⊂ K

⇒ convE(K) ⊂ convK

⇒ convE(K) ⊂ convK (1)

Mặt khác, theo định lí Krein - Milman: K ⊂ convE(K)

⇒ conv(K) ⊂ convE(K) (bao lồi là tập lồi nhỏ nhất chứa nó)

⇒ conv(K) ⊂ convE(K) (2)

Từ (1) và (2) suy ra conv(K) = convE(K)

Hệ quả 2.2.2 Với mỗi tập lồi compact K thì

⇒ K = convE(K) (điều phải chứng minh).

Mệnh đề 2.2.1 Cho X là không gian topo tuyến tính lồi địa phương,

Q là một tập compact trong X sao cho conv(Q) cũng compact Khi đócác điểm cực biên của tập conv(Q) cũng thuộc Q

Họ {q + V, q ∈ Q} là phủ của Q Vì Q là tập compact nên tồn tại phủcon hữu hạn qi + V, i = 1, , n, Q ⊂Sn

i=1(qi+ V )Đặt Ki = conv(qi + V ∩ Q)

Vì Ki là tập lồi và compact nên:

conv(K1 ∪ K2 ∪ ∪ Kn)(1)= conv(K1∪ K2 ∪ Kn) = conv(Q)

Để chứng minh (1) điều này ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.1 Cho K1, K2 là các tập compact Khi đó: conv(K1 ∪ K2)compact

= G(γ.p1(α, x, y)), (p2(α, x, y)) + G(p1(α, x, y), p3(α, x, y))

= F (G(γ.p1(α, x, y), (p2(α, x, y)), G(p1(α, x, y), p3(α, x, y))

∃k21, k22, , k2n ∈ K1; β1, β2, , βn > 0

α1+ α2 + + αm + β1 + β2 + + βn = 1Xét x = α1.k11+ α2.k12+ + αm.k1m+ β1.k21+ β2.k22 + + βn.k2n

Nếu β1 + β2 + + βn = 1 Chứng minh tương tự

Tiếp theo ta chứng minh cho trường hợp 3 tập và nhiều tập:

conv(K1 ∪ K2 ∪ K3) = conv(conv(K1 ∪ K2) ∪ K3)

conv(K1 ∪ K2 ∪ ∪ Kn) = conv(conv(K1 ∪ K2) ∪ Kn)

ĐIỂM CỰC BIÊN TRONG< /h3>

KHÔNG GIAN TOPO LỒI ĐỊA

PHƯƠNG

2.1 Điểm cực biên

Cho X khơng gian tuyến tính trường số thực, K tập contùy ý... chứng minh).

Mệnh đề 2.2.1 Cho X khơng gian topo tuyến tính lồi địa phương,

Q tập compact X cho conv(Q) compact Khi đ? ?các điểm cực biên tập conv(Q) thuộc Q