tích phân bất định tích phân xác định

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn sắc xuất thống kê, các môn học tài chinhs kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

N ỘI DUNG

1 N GUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

2 P HƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

3 T ÍNH TÍCH PHÂN CỦA NHỮNG HÀM HỮU TỈ

4 T ÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VÔ TỈ

5 T ÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

B ÀI TOÁN ĐIỀU TRA DÂN SỐ

Theo mô hình điều tra dân số về sự tăng

trưởng của dân số thế giới, tốc độ tăng

trưởng của dân số thế giới từ năm 1950 là

p(t) = −0,012.t 2 + 48.t − 47925, với t là năm

theo lịch, p(t) (triệu người/năm).

1 Theo kết quả điều tra dân số năm 2000 thì tổng dân số là 6000 triệu người Hãy tìm hàm tổng dân số P(t) theo năm.

2 Từ hàm tổng dân số P(t)dự đoán dân số

1 P(t) chính là hàm ngược lại của đạo hàm (nguyên hàm) - antiderivative

P(t) = −0,004.t 3 + 24.t 2 − 47925.t + 31856000

2 Thay t = 2050 ta sẽ dự đoán được tổng dân

số năm 2050 là P(2050) = 9250 triệu người.

1 Khái niệm đạo hàm F 0 (x) có ý nghĩa hình học là hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị

hàm số F(x) tại điểm x. Bài toán ngược lại, tìm hàm F(x) sao cho hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số F(x) tại điểm x là

f (x), có nghĩa là F 0 (x) = f (x).

2 Trong cơ học, nếu s(t) là hàm cho biết mối quan hệ giữa đường đã đi theo thời gian, thì đạo hàm s 0 (t) là vận tốc chuyển động Bài toán ngược lại, tìm đường đi

s(t)khi biết vận tốc chuyển động là v(t).

Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng X

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của

liên tục và khả vi trong X và với mọi ∀x ∈ X luôn có đẳng thức F 0 (x) = f (x) , hoặc là

dF(x) = f (x)dx.

nhưng hàm số f (x) xác định khi x > 0, nên

F(x) là nguyên hàm trên khoảng (0, +∞).

Đ ỊNH LÝ 1.1

Nếu hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số

f (x) trong khoảng X ⊂ R thì hàm số

Φ(x) = F(x) + C , với C là hằng số, cũng là

nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng

X ⊂ R Ngược lại, nếu những hàm số F(x) và

Φ(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) trong khoảng X ⊂ R thì tồn tại hằng số C ∈ Rsao cho Φ(x) = F(x) + C.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC

tan α = F 0 (x 0 ) = (F(x) + C) 0 ¯ ¯

x=x 0 = f (x 0 ).

Đ ỊNH NGHĨA 1.2

Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số

f (x) trong khoảng X ⊂ R, khi đó biểu thức

Φ(x) = F(x) + C , với C là hằng số bất kỳ, được gọi là tích phân bất định của hàm số f (x)

Đ ỊNH LÝ 1.2

Mọi hàm liên tục trên khoảng X đều có

nguyên hàm và tích phân bất định trên

B ẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN I

B ẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN II

B ẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN III

B ẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CƠ BẢN IV

P HƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN

Đ ỊNH LÝ 2.1

Cho hàm hợp f (u(x)) xác định trên khoảng

X , và hàm t = u(x) khả vi trên X Nếu f (t) có nguyên hàm F(t) trên khoảng T ⊇ u(X) thì

Z

f (u(x))du(x) = F(u(x)) + C.

Phương pháp đổi biến được áp dụng trong

khi trong biểu thức g(x)dx có xuất hiện biểu thức u 0 (x)dx

V Í DỤ 2.1

Tính tính phân

Z sin 3 x cos xdx.

Đặt t = sinx,dt = cosxdx. Khi đó ta có

Chú ý. Phương pháp tích phân từng phân không mạnh bằng phương pháp đổi biến tuy nhiên một số tích phân chỉ tính được bằng phương pháp tích phân từng phần Đó

C ÔNG THỨC TRUY HỒI

Áp dụng công thức tích phân từng phần, đặt u = 1

¸

3) Mx + N

x 2 + px + q ; 4)

Mx + N (x 2 + px + q) m (m = 2,3, )

Tích phân của những phân số sơ cấp là:

Tích phân hàm hữu tỉ I =

Z P n (x)

Q m (x) dx, trong

đó P n (x), Q m (x) là các đa thức với hệ số thực bậc nvà mtương ứng.

P n (x)

Q m (x) = A 1

x − a +

A 2 (x − a) 2 + + A k

V Í DỤ 3.1

Tính tích phân I =

Z x 2 + 2x + 6 (x − 1)(x − 2)(x − 4) dx

¯

¯

¯ + C

Cho x = 0 ta được 1 = −A ⇒ A = −1

3 arctan

2x + 1

p

3 + C

x 2 + x + 1

I =

µ x 2

3 − 5x

12 − 1 24

¶ p

Vậy khi x > 1, ta có

I = 1

2 p 6

r

1 − 1

x 2

p 3/2 −

Vậy khi x < −1, ta có

I = − 1

2 p 6

r

1 − 1

x 2

p 3/2 −

x −2 + 1 −

p

(x −2 + 1) 3 3

!

+C

T ÍCH PHÂN CÓ DẠNG R R(sinx,cosx)dx

Trong đó R(sin x, cos x) là hàm phân thức hữu

tỉ theo sin x, cos x.

V Í DỤ 5.2

Tính tích phân I =

Z dx sin x

2t 1+t 2

3 Nếu R(sin x, cos x) là hàm chẵn theo

sin x, cos x , có nghĩa là

R(−sinx,−cosx) = R(sinx,cosx) thì ta đặt

t = tanx

1 2

V Í DỤ 5.4

Tính tích phân I =

Z (cos 3 x + cos 5 x)dx

sin 2 x + sin 4 x

Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo cos x

nên đặt t = sinx. Khi đó dt = cosxdx,cos 2 x = 1 − t 2 và

V Í DỤ 5.5

Tính tích phân

I =

sin 2 x + 2sinx cosx − cos 2 x

Biểu thức dưới dấu tích phân là hàm chẵn theo sin x, cos x nên đặtt = tanx. Khi đó

T ÍCH PHÂN DẠNG

Z sin m x cos n xdx

1 Nếu n là số lẻ không âm thì đặt t = sinx

Nếu m là số lẻ không âm thì đặt t = cosx

2 Nếu cả m, n là những số chẵn không âm thì chúng ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân.

sin x cos x = 1

2 sin 2x, sin 2 x = 1

2 (1 − cos2x),cos 2 x = 1

2 (1 + cos2x).

V Í DỤ 5.6

Tính tích phân I =

Z sin 4 x cos 5 xdx

Đặt t = sinx.Khi đó dt = cosxdx và

V Í DỤ 5.7

Tính tích phân I =

Z sin 3 xdx cos x p 3

cos x

Đặt t = cosx,dt = −sinxdx và

I =

Z (1 − cos 2 x) cos −4/3 x sin xdx =

V Í DỤ 5.8

Tính tích phân I =

Z sin 2 x cos 2 xdx

2 + cos x

2

¶ cos x

4 dx =

= 1

2

Z cos 3x

T ÍCH PHÂN DẠNG

Z a 1 sin x + b 1 cos x

a 2 sin x + b 2 cos x dx

Cách giải. Phân tích a 1 sin x + b 1 cos x =

A (a 2 sin x + b 2 cos x) 0 + B(a 2 sin x + b 2 cos x)

⇔ a 1 sin x + b 1 cos x = A(a 2 cos x − b 2 sin x)+

+B(a 2 sin x + b 2 cos x)

⇔ a 1 sin x + b 1 cos x = (Ba 2 − Ab 2 ) sin x + (Aa 2 + Bb 2 ) cos x

⇒ ½ a b 1 = Ba 2 − Ab 2

1 = Aa 2 + Bb 2 ⇒ Giải hệ tìm A, B Vậy I = Aln|a 2 sin x + b 2 cos x| + Bx + C

V Í DỤ 5.10

Tính tích phân I =

Z

2 sin x + 3cosx sin x + 3cosx dx

2 sin x + 3cosx = A (sin x + 3cosx) 0 + B(sin x + 3 cos x)

⇔ 2 sin x + 3 cos x = A(cos x − 3 sin x) + B(sin x + 3 cos x)

⇔ 2 sin x + 3 cos x = (B − 3A) sin x + (A + 3B) cos x

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE