Tìm cực trị của hàm số.. Tại điểm P đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất Biểu diễn trên hình vẽ.
Trang 1TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản
Đề số:04
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Cho hàm sốz 4x2 3y2 1 (x2 y2 1)2
1 Tìm cực trị của hàm số
2 Tại điểm P(-1,-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dich
chuyển ra khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc 45o
3 Tại điểm P đó tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất Biểu diễn trên hình vẽ
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dùng tích phân mặt, tính
khối lượng của tam giác phẳng ABC với mật độ x2 với
A(-1,1,2),B(-1,2,0), C(-3,1,0).
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, đương cong kín L theo
chiều dương tạo bởi 2 đường:
+ Trục Ox, 0 x 2 + Đường y 1 1 x với 0 x 2 Tính ( 2 2) ( 2 2)
L
I x y dx x y dy
Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
,
,
8 2
x
Với điều kiện x=0 thì y=0 và z=0 Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 2Câu 1:
1 z 4x2 3y2 1 (x2 y2 1)2
Z x' 8x 2.2 (x x2 y2 1) 4 (1 x x2 y2)
Z'y 6y 2.2 (y x2 y2 1) 2 (1 2 y x2 2 )y2
Giải hệ phương trình
' '
0 0
x y
Z Z
ta được hệ tương đương với 4 hệ sau:
x 0,y 0
0,
x
1, 0
y
2 2
2 2
x y
Vậy hàm số có 5 điểm tới hạn là
(0,0),O 1
1 (0; ) 2
1 (0; ) 2
M , M3 (1;0), M 4 ( 1;0)
(0, 0)O 1
1 (0; ) 2
1 (0; ) 2
M M3 (1;0) M 4 ( 1;0)
'' 12 2 4 2 4
xx
Z x y r 4 2 2 -8 -8 ''
8
xy
Z xy s 0 0 0 0 0
yy
Z y x t 2 -4 -4 -2 -2 2
s rt 8 8 8 16
-16 Vậy hàm số đạt cực đại tại M3 (1;0) và M 4 ( 1;0)
Hàm số đạt cực tiểu tại (0, 0)O .
2 z P 'x( ) 4(1 1 1) 4
z P 'y( ) 2(1 2 2) 6
4cos 6cos 2 0
z
l
Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi P theo
hướng lập với trục Ox một góc45o
3 Hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất là :-4j+6j
6
4
2
-2
y
P
Trang 3y
x O
A
B
y
x
C B A
-2 -1 -1
3 2
2
Câu 2:
+Vẽ hình:
+ Lập phương trình mặt phẳng ABC:
+ Khối lượng của mặt phẳng ABC
1 ( ) ( )
Trong đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Z= 0 Ta có:
1 5
1
3
y
Câu 3:
AO OB BA
+ Trên đoạn AO : y x , 0 x 1
0
1
2
3
AO
+ Trên đoạn OB: 0 x 2,y 0
2
0
2 ( ) ( )
3
OB
x y dx x y dy x dx
+ Trên đoạn BA: y 2 x dy dx x, : 2 1
1
2
2 ( ) ( ) [ (2 ) (2 ) ]
3
BA
x y dx x y dy x x x x dx
I
2
y
x C
B
A
Trang 4Áp dụng công thức Green P x 2 y2, Q x 2 y2
2
1
0
y
Câu 4:
Giải hệ phương trình
,
,
8 2
x
,, ,
2 15 2 (*)
x
+ Phương trình vi phân thuần nhất: z,, 2z, 15z0
Phương trình đặc trưng 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: C e1 3x C e2 5x
+Tìm nghiệm của phương trình (*) bằng phương pháp biến thiên hàm số
' 3 ' 5
' 3 ' 5
C e C e
1
1 1
16 4
x x
=>
* 3 * 5
* 3 * 5
16 16
1
8
e C e C e
1
2
Từ điều kiện ta có:
* *
1 2
* *
1 2
1
0 8
C C
=>
Trang 5Câu 1:
(2.5đ) giải hệ
' '
0 0
x y
Z Z
cho 5 điểm tới hạn:
(0, 0),
1 (0; ) 2
1 (0; ) 2
M , M3 (1;0), M 4 ( 1;0)
0.5 0.5
Vậy hàm số đạt cực đại tại M3 (1;0) và M 4 ( 1;0) Hàm số đạt cực tiểu tại (0, 0)O
Hàm số không đạt cực trị tại những điểm còn lại Hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi P theo hướng lập với trục Ox một góc45o
Hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất là :-4j+6j
0.5 0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 2:
(1.5đ)
Lập phương trình mặt phẳng ABC:
0.5 Khối lượng của mặt ABC:
1 ( ) ( )
0.5
4 6
Câu 3:
0
1
2
3
AO
2
0
2 ( ) ( )
3
OB
x y dx x y dy x dx
Trang 62 2 2 2
1
2
2 [ (2 ) (2 ) ]
3
BA
x y dx x y dy
x x x x dx
0.5
Áp dụng công thức Green (2 2 )
D
I x y dxdy
D
I x y dxdy
0.5
1.0
Câu 4:
(3đ)
,, ,
2 15 2 (*)
x
x
+ PGiải phương trình z,, 2z, 15z0
Ph Phương trình đặc trưng 2
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất : C e1 3x C e2 5x
Tìm nghiệm của phương trình bằng phương pháp biến thiên hằng Số
1
1 1
16 4
x x
0.5
0.25 0.25
1 8
0.25 0.25
1
0 8
C C
C C
0.5
1 1
)
8 8
y e e
0.25 0.25