Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 3 doc

Tìm cực trị của hàm số.. Tại M2;1 hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc 30 0.. Tại M, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhah nhất.. Biểu diễ

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản

Đề số:03

Học phần: Toán cao cấp 3

Ngày thi:

Thời gian làm bài: 90 phút

2

zx  x xy y  y

1 Tìm cực trị của hàm số

2 Tại M(2;1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc 30 0

3 Tại M, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhah nhất

Biểu diễn trên hình vẽ

Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ trục Oxyz, dung tích phân mặt tính

trọng tâm của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0),

B ( 4,0,0) và C (-2,0,3

2) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y) = y.

C

xy dy x ydx



 trong đó C là đường tròn 2 2 2

x y a lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

Kiểm chứng kết quả thông qua sử dụng công thức Green

Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:

, , ,

y x z xe





 thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0

Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn

Giảng viên ra đề 2:

y z

x

C

A

B

O

Câu 1(2đ): z,x 2y2x 6 0  x  y 3

z,y 3y2 5y 2x0 (0.25đ)

Thay vào ta có : 3y2 5y 2y 6 3 y23y 6 0

2

         

Hàm số có 2 điểm tới hạn M1  (4,1),M2  (1, 2)  (0.25đ)

M  M  2 (1, 2)

,, 2

xx

z  =r 2 2

,,

2

xy

,,

yy

z  y =t 11 -7

2

s  rt 4-22<0 4+14>0

r=2 hsố đạt cực tiểu không cực trị (0.5)

2 Ta có:

z N     x( ) 2 4 6 4

, ( ) 3 5 4 4

y

z N    

z

l



 (0.5đ)

Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục

Ox một góc 30 0

3 Hướng thay đổi nhanh nhất -4i+4j (0.5đ)

Câu 2(3đ): +vẽ hình (0.5đ)

+) Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC

9

2 3

3 2

0

z



        (0.5đ) +) Bước 2: Đưa tích phân mặt về tích phân bội 2 bằng cách chiếu xuống mặt phẳng

Oxy Khi đó ta có:

6

4

2

y

M

, 2 , 2

1 ( )x ( )y

mydsy  z  z dxdy

1 ( ) ( )

my     dxdy ydxdy (0.25đ)

Tính tích phân này có 2 cách: (0.25đ)

Cách 1:

2

9.

x y

y

dx ydy



 



Cách 2:

2 4 3

9

x y

x

 





+) Bước 3: Tính toạ độ trọng tâm:

, 2 , 2

4

2

2

1 21

.

4

2

x y

y

dx xydy m



 











(0.5đ)

1 ( ) ( )

2

2

4

2

.

x y

y dxdy dx y dy



 





, 2 , 2

1 ( ) ( )

     

4

2

-2

y

5 x

A

2

2 2

2

1 21

1 21

2

1 21 1

D

x y

y

x y

m

x y

m

x y

xy y

dx m



 















(0.5đ)

Vậy trọng tâm G( 1 27, , 37

)

Câu 3(2đ):

Tham số hoá đường tròn C: cos

sin









 với 0 t 2 (0.25đ)

2

0

C



2 4

0

2

1 cos 4

2

0

a

dt







Áp dụng công thức Green ta có:

P x y, 2

Q xy Khi đó:

 

      (0.5 đ)

chuyển sang hệ toạ độ cực

x r  cos ,  y r  sin ,0     2  (0.25 đ)

Ta có:

3







   (0.25 đ)

Câu 4(3đ):

,





(2)

(2) y  sinx z (x1)e x Thế vào (1) ta được :

,, sin (4 , sin 3 ) ( 1) x ,, 4 , 3 ( 1) x

y  x y  x y  x e  y  y  y  x e (3) (0.5đ)

+ Phương trình thuần nhất: y,, 4y,3y 0

Phương trình đặc trưng 2

          Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là : C e1 x C e2 3x

 (0.5 đ) + Tìm nghiệm của phương trình (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số:

2

1

1

4

x

x

C e C e















C x e dx C  xe e C

y xe e C e C e





(0.25 đ)

5

4

z xe C e C e x

Từ điều kiện ta có:

*

1 2

*

2

7 1

4

3

16

C

C C

C

C C







(0.25 đ)

3

3

cos 16

     (0.25)