Độ đo trong không gian Metric

Khi nghiên cứu về độ đo ta đã nghiên cứu độ đo trênkhông gian trừu tượng bất kỳ W, □, trong đó W là tập nào đó và □ là cứu các tính chất của độ đo khi lấy W= X là không gian metric hoặc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****

TRẦN THỊ PHƯƠNG

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học GVC.Th.S Phùng Đức Thắng

HÀ NỘI - 2012

Khoá luận tốt nghiệp

Trần Thị Phương 1 K34B - Sư phạm Toán

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 được sự chỉ dẫn, dạy dỗ tận tình của các thầy cô giáo, em đã tiếp thu đượcnhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm cũng như phương pháp học tập mới vàbước đầu đã được làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô trongkhoa Toán, những người đã luôn chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởngthành như ngày hôm nay

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phùng Đức Thắng – người đã

trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian

em thực hiện khoá luận này

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Hồng Vân

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phùng Đức

Thắng.

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận em có thamkhảo một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo Vì vậy em xin

khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng của phép tính tích phân trong

toán sơ cấp” là thành quả của riêng cá nhân em, không trùng lặp với bất kỳ

đề tài nào đã được công bố

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Hồng Vân

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tích phân 3

1.2 Một số tính chất cơ bản và định lý về tích phân 4

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức 10

2.1.1 Cơ sở lý thuyết 10

2.1.2 Một số ví dụ 10

2.1.3 Bài tập áp dụng 12

2.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức 13

2.2.1 Cơ sở lý thuyết 13

2.2.2 Một số ví dụ 13

2.2.3 Bài tập áp dụng 17

2.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị 18

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 18

2.3.2 Một số ví dụ 18

2.3.3 Bài tập áp dụng 21

2.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh sự tồn tại nghiệm 23

2.4.1 Cơ sở lý thuyết 23

2.4.2 Một số ví dụ 23

2.4.2 Bài tập áp dụng 26

2.5 Ứng dụng của phép tính tích phân trong giải phương trình 26

2.5.1 Cơ sở lý thuyết 26

2.5.2 Một số ví dụ 26

2.5.3 Bài tập áp dụng 29

2.6 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy 29

2.6.1 Cơ sở lý thuyết 29

2.6.2 Một số ví dụ 30

2.6.3 Bài tập áp dụng 34

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC 3.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích miền giữa hai đường cong 35

3.1.1 Cơ sở lý thuyết 35

3.1.2 Một số ví dụ 36

3.1.3 Bài tập áp dụng 39

3.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay 40

3.2.1 Cơ sở lý thuyết 40

3.2.2 Một số ví dụ 42

3.2.3 Bài tập áp dụng 43

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trìnhkhoa Toán Nó đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán Giảitích Toán học có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu Toán học và trong cácngành khoa học khác

Bởi vậy việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạtđược đối với mỗi sinh viên khoa Toán

Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết

độ đo rất được quan tâm Khi nghiên cứu về độ đo ta đã nghiên cứu độ đo trênkhông gian trừu tượng bất kỳ ( W, □), trong đó W là tập nào đó và □ là

cứu

các tính chất của độ đo khi lấy W= X

là không gian metric (hoặc không gian

nhất chứa các tập mở) Vậy trong không gian metric độ đo có nhữngtính chất gì? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về lýthuyết độ đo trong không gian metric

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viênnhững kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết độ đotrong không gian metric Từ đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộmôn

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Đưa ra những kiến thức về không gian metric, độ đo và nhưng kiến thức

liên quan đến độ đo

Nghiên cứu những kiến thức về độ đo trong không gian metric

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: độ đo trong không gian metric

- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản về đô đo trong không gian

metric

V.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp

Chương

1 Không gian metric

Định nghĩa

Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d

từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) " x, y

Định nghĩa Cho không gian metric M = (X ,d) Dãy điểm (x )

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (x ) Ì X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa Không gian metric M = (X

Định nghĩa Một không gian metric X được gọi là khả ly nếu nó có một tập

con hữu hạn hoặc đếm được trù mật trong X

2 Không gian tôpô

2.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa Cho X là một tập hợp tùy ý.

Ta gọi là tôpô trên X một lớp các tập hợp con t của X thỏa mãn các

Ta gọi không gian tôpô một cặp (X , t ) , trong đó X là một tập hợp, t

là một tôpô trên X

Ví

dụ:

Ta gọi mỗi U Î

a) Cho X ¹ Æ là một tập hợp tùy ý Khi đó t =

X , gọi là tôpô thô.

Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X

b) Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với tôpô t là lớp tất cả các

tập hợp mở trong không gian metric đó, gọi là tôpô sinh bởi metric haytôpô metric

Tôpô sinh bởi metric trong không gian Euclide ¡ k

còn gọi là tôpô tựnhiên trong ¡ k

2.2 Lân cận Cơ sở lân cận, cơ sở tôpô

Định nghĩa Giả sử (X , t

Ta gọi là lân cận mở của A một tập hợp mở chứa A ;

Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận mở của A ;

Nếu A là một tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái niệm

lân cận mở, lân cận của một điểm

Định nghĩa Giả sử (X , t ) là không gian tô pô.

Một họ V những lân cận của điểm

x Î X được gọi là một cơ sở lân cận Trần Thị Phương 12 K34B - Sư phạm Toán

của x nếu với mọi lân cận U của x , tồn tại V Î V sao cho

Điều kiện cần và đủ để {V } là cơ sở của tôpô nào đó là:

Định nghĩa Cho không gian tôpô X , A, B Ì X

Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B Ì

Không gian tôpô X gọi là khả ly nếu tồn tại tập hợp A Ì

b) Vì mỗi số thực đều có thể là giới hạn của một dãy số hữu tỉ, nên tập hợp

tập hợp ¤ các số hữu tỉ là đếm được Vì vậy ¡ là không gian khả ly

không gian khả ly.

2.4 Một số không gian tô pô cơ bản

2.4.1 T - không gian và T - không gian

a

a

2 1

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T

y , tồn tại một lân cận U của x mà

y Ï U và tồn tại một lân cận V của y mà x ∉V

Ví dụ: Không gian tô pô rời rạc là một T - không gian Không gian tôpô thô không là T - không gian.

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T

-Hausdorff nếu X thỏa mãn tiên đề tách T

không gian hay không gian

T : Với

mọi x, y Î X , x ¹ y , tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U

Hiển nhiên T - không gian là T - không gian.

Ví dụ: Mọi không gian metric đều là T - không gian.

2.4.2 Không gian chính quy Không gian chuẩn tắc

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T - không gian hay không gian

chính quy nếu X là T - không gian thỏa mãn tiên đề tách T

T : Với mọi x Î X và một tập hợp đóng F Ì X sao cho x Ï F , tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U

1

3

T -1

x Î

x Î U Ì clU Ì G

Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là không gian hay không gian

T : Với mọi tập đóng E, F ⊂ X, E ∩ F = Æ, tồn tại một lân cận U của

E và một lân cận V của F sao cho U

Nhận xét.

Mỗi không gian chính quy là một không gian Hausdorff;

Mỗi không gian chuẩn tắc là một không gian chính quy

Định lí Mọi không gian metric đều là không gian chuẩn tắc.

Định lí T - không gian X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi

tập hợp đóng F Ì

X chứa F sao cho

và mọi tập hợp mở G chứa F tồn tại tập hợp U mở

F Ì U Ì clU Ì G

2.4.3 Không gian hoàn toàn chính quy

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian hoàn toàn chính quy

nếu X là T - không gian thỏa mãn tiên đề tách sau:

Với mọi

X

và với mọi tập hợp đóng F Ì X , x Ï

F tồn tại một hàm liên tục f trên X sao cho

2.4.4 Tập compact

Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và K là tập con của X

Khi đó, K được gọi là compact nếu từ phủ mở bất kỳ (phủ K ) có thể trích ra phủ con hữu hạn (phủ K ).

Tập K được gọi là compact tương đối nếu bao kín của K (tức là tập đóng bé nhất chứaK ) là compact Nếu X là compact hoặc X là không gian metric thì X là chuẩn tắc.

3 Không gian Banach

Định nghĩa Giả sử X là không gian vecto trên trường số thực ¡ .

Khi đó, ánh xạ p :

p(x ) ³

0, " x Î X p(l x ) = l p(x ), " l

0 khi và chỉ khi x = 0 thì p được gọi là

chuẩn Trong trường hợp này ta kí hiệu

định chuẩn

x = p(x

Định nghĩa Giả sử X là không gian định chuẩn Nếu X là đầy đủ

theo metric

d(x, y ) = x - y thì X được gọi là không gian Banach.

Định nghĩa Không gian Banach X được gọi là không gian Banach khả ly

nếu trong X có một tập hợp con đếm được và trù mật.

4 Độ đo

4.1 Định nghĩa Ta gọi hàm tập m là độ đo nếu

1) Miền xác định của m là s - đại số nào đó (của W),

2) m không âm và s - cộng tính.

Với A Î □ ,

Nói rằng m là độ đo hữu hạn, nếu nó là hàm tập hữu hạn, tức là

s - đại số các tập con của, m là độ đo xác định trên A ).

Định nghĩa Cho (X ,d) là không gian metric Một độ đo Borel hữu hạn trên

hữu hạn trên A Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

4.4 Độ đo Lebesgue - Stieltjes

a) Hàm không giảm và độ đo trên đường thẳng.

Giả sử

F :

rằng đốivới mỗi hàm số như thế luôn luôn tồn tại các giới hạn một phía

tập tất cả các hàm không giảm, liên tục bên trái, và trong F ta đồng nhất các hàm tương đương với nhau Nói chính xác hơn, trong F ta xem

và chỉ nếu chúng tương đương với nhau

Bây giờ ta lần lượt kí hiệu : B

Với mỗi F Î F ta xét hàm tập m : B ® ¡ như sau :

î

4.4.1 Mệnh đề. m là hàm tập xác định trên đại số ◻ 2 không âm, σ -

cộng tính, σ - hữu hạn và nhận giá trị hữu hạn trên mỗi nửa khoảng hữu

hạn (Lebesgue Stieltjes) m trên s - đại số Borel của ◻ đường thẳng thực sao cho

m ([a,b)) = F (b)

-F (a) < ¥ .

Ngược lại, với mỗi độ đo m trên B nhận giá trị hữu hạn trên mỗi khoảng

[a,b) tồn tại duy nhất F Î F sao cho m = m.

b) Độ đo Lebesgue của đường thẳng thực.

Chương 2

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

Chương này dành cho bạn đọc muốn tiếp cận với những vấn đề hiện đại của lý thuyết độ đo nói chung và xác suất nói riêng

Ta đã nghiên cứu độ đo trên không gian trừu tượng bất kỳ (W, A ) ,

Từ nay về sau ta luôn giữ các kí hiệu

X : Không gian tôpô Hausdorff

m: độ đo xác suất trên B

C (X ) : tập tất cả các hàm f liên tục từ Ω đến □

Trần Thị Phương 30 K34B - Sư phạm Toán

b

Nếu X là không gian metric thì ρ là metric của

Như vậy, trong mọi trường hợp mỗi tập Baire là tập Borel Điều ngược

lại nói chung không đúng Tuy nhiên ta sẽ chứng minh rằng, nếu X là không

gian metric thì mỗi tập Borel là một tập Baire

Từ đó rút ra điều phải chứng minh.

Giả sử Γ là tập con

*

: G Ì

A (X * ) Vì X khả ly, nên mỗi tập

mở G (Î G ) là hợp đếm được của các hình cầu mở Do đó, vấn đề dẫn đến phải chứng minh rằngO

X là không gian Banach khả ly thì tồn tại một dãy G =

2 Độ đo chính quy

Giả sử m là độ đo xác suất (Borel) trong không gian tôpô X , tức là độ

( m(A) = inf{m(G ) : G

É

A, G

2.3 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô sao cho mỗi tập đóng của nó là

tậpG (giao đếm được các tập hợp mở) Khi đó, mỗi độ đo xác suất trong X

là chính quy.

d

Chứng minh.

Nếu đòi hỏi tính chính quy trong mạnh hơn: độ đo của mỗi tập Borelđược xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact thì ta đi đến khái niệm độ đoRadon.

3.1 Định nghĩa Độ đo m trong không gian tô pô X được gọi là Radon nếu

m(A) = sup{m(K ) : K

Ì

A, K

Î K } " A Î B (X )

3.2 Mệnh đề Giả sử m là độ đo xác suất trong không gian tôpô X Khi đó,

m là độ đo Radon nếu và chỉ nếu m chính quy và " e > 0, $K Î K sao cho m(

X \ K ) < e

Chứng minh.

Điều kiện cần là hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ

Theo giả thiết " A Î B (X

3.3 Định lí Giả sử X là không gian metric khả ly và đủ, khi đó mỗi độ đo xác

suất trong X là Radon.

Chứng minh.

Vì X khả ly nên có thể phủ X bằng một số đếm được các hình cầu

: X = [B

] Theo tính liên tục của độ đo $k

Î ¥ sao cho

j = 1

k n m(U[B nj ] ³

hoàn toàn chính quy X và f : X ® ¡ là hàm số đo được (theo Borel) Khi

e và 4 f hội tụ đều tới f trên A

e n

Bây giờ có K Î □ sao cho K Ì

nj nj

4 Giá của độ đo

đóng, nhưng không có gì đảm bảo có độ đo 1.

4.1 Định nghĩa Nói rằng, X có giá nếu m(S ) =

giá của độ đo m.

1 và khi đó, S được gọi là

Như vậy, giá của độ đo m là tập đóng bé nhất có độ đo 1.

4.2 Mệnh đề Giả sử X là không gian tôpô có cơ sở đếm được Khi đó, mỗi

độ đo xác suất trong X có giá.

m

m m

là đếm được, nên mỗi G mở với m(G )

Q , m

Vậy

m m

Ta có điều phải chứng minh

5 Hội tụ yếu của độ đo

Hội tụ yếu của độ đo là một trong những khái niệm rất quan trọng của lýthuyết độ đo và có nhiều áp dụng trong lý thuyết xác suất Hầu hết các định lýgiới hạn quen thuộc của lý thuyết xác suất đều hiểu theo nghĩa hội tụ yếu

5.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Ta kí hiệu P (X ) là tập tất cả

các độ đo xác suất (Borel) trong X Bây giờ ta sẽ gắn cho P (X )

từ cơ sở này là tôpô yếu trong P (X )

µα hội tụ yếu tới µ

(và viết yếu (nói trên).

µα ⇒ µ ), nếu lưới { µα } hội

tụ tới µ trong tôpô

là một lưới Các điều khẳng định sau đây là tương đương với

e) lim m (A) = m(A)" A Î B (X ) sao

cho m(¶ A) = 0 , trong đó ¶ A là biên

(d) ) Giả sử→ (e) éA ù (A 0

một số đếm được điểm tập trung, nên "e > 0, $ {t , ,

vậy, từ (e) ta suy ra

6 Compact tương đối trong tôpô yếu

Một trong những kết quả quan trọng nhất của vấn đề hội tụ yếu là tiêuchuẩn về tính compact tương đối Prohorov là tác giả của tiêu chuẩn nổi tiếngnày

6.2 Điều kiên đủ của compact tương đối yếu.

Đủ Đầu tiên ta phải chỉ ra rằng, m được xác định đúng đắn, nghĩa là, nếu C Ç

6.3 Định lí Giả sử X là không gian metric khả ly Khi đó, nếu

thỏa mãn điều kiện (ε , K ) thì G là compact tương đối yếu.

Thật vậy, lưới tương ứng

6.4 Điều kiện cần của compact tương đối yếu.

Khác với điều kiện đủ, điều kiện cần của compact tương đối yếu đòi hỏi thêm tính đủ của X