Độ đo trong không gian metric

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ***** TRẦN THỊ PHƯƠNG ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học GVC.T

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****

TRẦN THỊ PHƯƠNG

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUYÊN NGÀNH: GIẢI TÍCH

Người hướng dẫn khoa học

GVC.Th.S Phùng Đức Thắng

HÀ NỘI - 2012

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập tại khoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội

2 được sự chỉ dẫn, dạy dỗ tận tình của các thầy cô giáo, em đã tiếp thu được nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm cũng như phương pháp học tập mới và bước đầu đã được làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô trong khoa Toán, những người đã luôn chăm lo, dìu dắt giúp đỡ chúng em trưởng thành như ngày hôm nay

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Phùng Đức Thắng – người đã

trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian

em thực hiện khoá luận này

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy cô

giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Phùng Đức Thắng

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận em có tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần Tài liệu tham khảo Vì vậy em xin

khẳng định kết quả của đề tài “Ứng dụng của phép tính tích phân trong toán sơ cấp” là thành quả của riêng cá nhân em, không trùng lặp với bất kỳ

đề tài nào đã được công bố

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2012

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa tích phân 3

1.2 Một số tính chất cơ bản và định lý về tích phân 4

Chương 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG ĐẠI SỐ 2.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh đẳng thức 10

2.1.1 Cơ sở lý thuyết 10

2.1.2 Một số ví dụ 10

2.1.3 Bài tập áp dụng 12

2.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh bất đẳng thức 13

2.2.1 Cơ sở lý thuyết 13

2.2.2 Một số ví dụ 13

2.2.3 Bài tập áp dụng 17

2.3 Ứng dụng của phép tính tích phân trong bài toán cực trị 18

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 18

2.3.2 Một số ví dụ 18

2.3.3 Bài tập áp dụng 21

2.4 Ứng dụng của phép tính tích phân để chứng minh sự tồn tại nghiệm 23

2.4.1 Cơ sở lý thuyết 23

2.4.2 Một số ví dụ 23

2.4.2 Bài tập áp dụng 26

2.5 Ứng dụng của phép tính tích phân trong giải phương trình 26

2.5.1 Cơ sở lý thuyết 26

2.5.2 Một số ví dụ 26

2.5.3 Bài tập áp dụng 29

2.6 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính giới hạn của dãy 29

2.6.1 Cơ sở lý thuyết 29

2.6.2 Một số ví dụ 30

2.6.3 Bài tập áp dụng 34

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC

3.1 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính diện tích miền giữa hai đường

cong 35

3.1.1 Cơ sở lý thuyết 35

3.1.2 Một số ví dụ 36

3.1.3 Bài tập áp dụng 39

3.2 Ứng dụng của phép tính tích phân để tính thể tích khối tròn xoay 40

3.2.1 Cơ sở lý thuyết 40

3.2.2 Một số ví dụ 42

3.2.3 Bài tập áp dụng 43

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

LỜI NÓI ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình khoa Toán Nó đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán Giải tích Toán học có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu Toán học và trong các ngành khoa học khác

Bởi vậy việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạt được đối với mỗi sinh viên khoa Toán

Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết

độ đo rất được quan tâm Khi nghiên cứu về độ đo ta đã nghiên cứu độ đo trên không gian trừu tượng bất kỳ ( W, ), trong đó W là tập nào đó và là

 _trường nào đó gồm các tập con của W Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các tính chất của độ đo khi lấy W= X là không gian metric (hoặc không gian

tôpô) và = ( X ) là  _trường Borel của X (tức là _trường bé nhất chứa các tập mở) Vậy trong không gian metric độ đo có những tính chất gì? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về lý thuyết độ đo trong không gian metric

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên những kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết độ đo trong không gian metric Từ đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộ môn

III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

- Đưa ra những kiến thức về không gian metric, độ đo và nhưng kiến thức liên quan đến độ đo

Nghiên cứu những kiến thức về độ đo trong không gian metric

IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: độ đo trong không gian metric

- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản về đô đo trong không gian metric

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Không gian metric

Định nghĩa

Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d

từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) "x y, Î X d x y, ( , )³ 0; ( , )d x y = 0Û x = y;

Định nghĩa Cho không gian metric M = ( , )X d Dãy điểm (x n)Ì X gọi là

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (x n)Ì X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản

Định nghĩa Không gian metric M = ( , )X d gọi là không gian đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ

Định nghĩa Cho X là một tập hợp tùy ý

Ta gọi là tôpô trên X một lớp các tập hợp con t của X thỏa mãn các

=

Î

Ta gọi không gian tôpô một cặp ( , )X t , trong đó X là một tập hợp, t

là một tôpô trên X

Ta gọi mỗi U Î t là tập mở Phần bù của tập mở được gọi là tập đóng

Ví dụ:

a) Cho X ¹ Æ là một tập hợp tùy ý Khi đó t = { ,ÆX} là một tôpô trên

X , gọi là tôpô thô

Họ s = P X( ) tất cả các tập hợp con của X cũng là tôpô trên X , gọi là tôpô

rời rạc

Các tôpô thô và tôpô rời rạc là các tôpô tầm thường trên X

b) Mọi không gian metric đều là không gian tôpô với tôpô t là lớp tất cả

các tập hợp mở trong không gian metric đó, gọi là tôpô sinh bởi metric hay tôpô metric

Tôpô sinh bởi metric trong không gian Euclide k

¡ còn gọi là tôpô tự nhiên trong k

¡

2.2 Lân cận Cơ sở lân cận, cơ sở tôpô

Định nghĩa Giả sử ( , )X t là không gian tô pô, A Ì X

Ta gọi là lân cận mở của A một tập hợp mở chứa A ;

Ta gọi là lân cận của A một tập hợp chứa một lân cận mở của A ;

Nếu A là một tập hợp gồm chỉ một điểm thì tương ứng ta có các khái niệm

lân cận mở, lân cận của một điểm

Định nghĩa Giả sử ( , )X t là không gian tô pô

Một họ V những lân cận của điểm x Î X được gọi là một cơ sở lân cận

của x nếu với mọi lân cận U của x , tồn tại V Î V sao cho V Ì U

Họ các tập mở được gọi là cơ sở lân cận của tôpô t , nếu với mọi tập

mở U và với mọi x Î U tồn tại V Î sao cho x Î V Ì U

Điều kiện cần và đủ để {V a} là cơ sở của tôpô nào đó là:

2.3 Không gian tôpô khả ly

Định nghĩa Cho không gian tôpô X , A B, Ì X

Ta nói tập hợp A trù mật trong tập hợp B nếu B Ì clA Nếu clA = X thì ta nói A là trù mật khắp nơi trong X

Không gian tôpô X gọi là khả ly nếu tồn tại tập hợp A Ì X đếm được

trù mật trong X

Ví dụ:

a) Nếu X là không gian tôpô rời rạc thì X là không gian khả ly khi và chỉ khi tập hợp X là không quá đếm được

b) Vì mỗi số thực đều có thể là giới hạn của một dãy số hữu tỉ, nên tập hợp

¤ các số hữu tỉ trù mật trong không gian metric ¡ các số thực Mặt khác, tập hợp ¤ các số hữu tỉ là đếm được Vì vậy ¡ là không gian khả ly

Định lí Nếu không gian tôpô X có một cơ sở tôpô đếm được thì X là không gian khả ly

2.4 Một số không gian tô pô cơ bản

2.4.1 T1- không gian và T2- không gian

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T1- không gian nếu X thỏa

mãn tiên đề tách T1

1

T : Với mọi x Î X y, Î Y x, ¹ y , tồn tại một lân cận U của x mà

y Ï U và tồn tại một lân cận V của y mà x V

Ví dụ: Không gian tô pô rời rạc là một T1- không gian Không gian tôpô thô không là T1- không gian

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T2- không gian hay không gian

Hausdorff nếu X thỏa mãn tiên đề tách T 2

2

T : Với mọi , x y Î X x, ¹ y , tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U ÇV = Æ

Hiển nhiên T2- không gian là T1- không gian

Ví dụ: Mọi không gian metric đều là T2- không gian

2.4.2 Không gian chính quy Không gian chuẩn tắc

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là T3- không gian hay không gian

chính quy nếu X là T1- không gian thỏa mãn tiên đề tách T3

3

T : Với mọi x Î X và một tập hợp đóng F Ì X sao cho x Ï F , tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của F sao cho U ÇV = Æ

Định lí T1- không gian là không gian chính quy khi và chỉ khi với mọi

x Î X và mọi tập hợp mở G chứa x , tồn tại tập hợp mở U chứa x sao cho

x Î U Ì clU Ì G

Định nghĩa Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian hay không gian

chuẩn tắc nếu X là T1- không gian thỏa mãn tiên đề tách T 4

4

T : Với mọi tập đóng E, F  X, E  F =Æ, tồn tại một lân cận U của

E và một lân cận V của F sao cho U ÇV = Æ

Nhận xét

Mỗi không gian chính quy là một không gian Hausdorff;

Mỗi không gian chuẩn tắc là một không gian chính quy

Định lí Mọi không gian metric đều là không gian chuẩn tắc

Định lí T1- không gian X là không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi với mọi tập hợp đóng F Ì X và mọi tập hợp mở G chứa F tồn tại tập hợp U mở chứa F sao cho

F Ì U Ì clU Ì G

2.4.3 Không gian hoàn toàn chính quy

Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là không gian hoàn toàn chính quy

nếu X là T1- không gian thỏa mãn tiên đề tách sau:

Với mọi x0 Î X và với mọi tập hợp đóng F Ì X x, 0 Ï F tồn tại một hàm liên tục f trên X sao cho

Định nghĩa Giả sử X là không gian tôpô Hausdorff và K là tập con của X

Khi đó, K được gọi là compact nếu từ phủ mở bất kỳ (phủ K ) có thể trích ra phủ con hữu hạn (phủ K )

Tập K được gọi là compact tương đối nếu bao kín của K (tức là tập đóng bé nhất chứaK ) là compact Nếu X là compact hoặc X là không gian metric thì X là chuẩn tắc

3 Không gian Banach

Định nghĩa Giả sử X là không gian vecto trên trường số thực ¡

Nếu thêm điều kiện ( )p x = 0 khi và chỉ khi x = 0 thì p được gọi là

chuẩn Trong trường hợp này ta kí hiệu x = p x( ) và gọi X là không gian

Định nghĩa Không gian Banach X được gọi là không gian Banach khả ly

nếu trong X có một tập hợp con đếm được và trù mật

4 Độ đo

4.1 Định nghĩa Ta gọi hàm tập m là độ đo nếu

1) Miền xác định của m là s - đại số nào đó (của W),

2) m không âm và s - cộng tính

Với A Î , ( )m A được gọi là độ đo hay số đo của tập A

Nói rằng m là độ đo hữu hạn, nếu nó là hàm tập hữu hạn, tức là

0£ m( )A < + ¥ , A" Î Dễ dàng thấy rằng, m hữu hạn khi và chỉ khi

( )

m W < + ¥ Nếu ( )m W = 1 thì ta gọi là độ đo xác suất

Bộ ba ( ,WA, )m được gọi là không gian có độ đo ( W là không gian, là

s - đại số các tập con của, m là độ đo xác định trên A )

Định nghĩa Cho ( , ) X d là không gian metric Một độ đo Borel hữu hạn trên

X là ánh xạ m : B : ( ) X ® éêë0,+ ¥ ) sao cho

¥

=

Ì U thì )

()

5) Nếu A Î k , A k ÇA j = Æ (k ¹ j), A Î ,

1

k k

Đối với độ đo, tính - cộng tính là quan trọng nhất

Định lí Giả sử A là - đại số,  là hàm tập không âm, cộng tính hữu hạn trên A Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

a)  là độ đo (tức là  - cộng tính);

b)  nửa  - cộng tính dưới;

c)  liên tục dưới, tức là, nếu A n A thì  A n  A

Nếu thêm điều kiện hữu hạn thì các điều kiện trên tương đương với một trong các điều kiện sau:

d)  liên tục trên, tức là, nếu A n A thì  A n  A

e) liên tục tại  , tức là, nếu A n  thì  A n 0

4.4 Độ đo Lebesgue - Stieltjes

a) Hàm không giảm và độ đo trên đường thẳng

Giả sử F:  là hàm số (hữu hạn) không giảm Đã biết rằng đối với mỗi hàm số như thế luôn luôn tồn tại các giới hạn một phía

Vì vậy, không giảm tổng quát, ta giả thiết ngay từ đầu F x liên tục  

bên trái Hai hàm F F được gọi là tương đương và viết 1, 2 F1 F , nếu chúng 2

chỉ sai khác nhau một hằng số cộng, tức là, F1F2= hằng số Ta kí hiệu F là

tập tất cả các hàm không giảm, liên tục bên trái, và trong F ta đồng nhất các hàm tương đương với nhau Nói chính xác hơn, trong F ta xem F1F2 nếu

và chỉ nếu chúng tương đương với nhau

Xét hàm gia số

 ,     

F a b F b F a , với  a   b

Rõ ràng, nếu F1 F , thì 2 F1 a b,  F2 a b,   Hơn nữa, với mỗi F  hàm

gia số có các tính chất đơn giản sau:

B và B = s(B2) là s - đại số Borel của đường thẳng thực

Với mỗi F Î F ta xét hàm tập m F :B2 ® ¡ + như sau :

NÕu NÕu NÕu

4.4.1 Mệnh đề m là hàm tập xác định trên đại số F 2 không âm,  - cộng tính, - hữu hạn và nhận giá trị hữu hạn trên mỗi nửa khoảng hữu hạn éêëa b, )

4.4.2 Định lí Với mỗi F Î F tồn tại và duy nhất một độ đo - hữu hạn

(Lebesgue Stieltjes) m F trên s - đại số Borel của đường thẳng thực sao cho

m F([ , ))a b = F b( )- F a( )< ¥

Ngược lại, với mỗi độ đo m trên B nhận giá trị hữu hạn trên mỗi khoảng

[ , )a b tồn tại duy nhất F Î F sao cho m F = m

b) Độ đo Lebesgue của đường thẳng thực

Lấy F º x Î F Khi đó, l = m x được gọi là độ đo Lebesgue (nhớ rằng, mỗi tập B Î  được gọi là tập Lebesgue và Ì  )

Chương 2

ĐỘ ĐO TRONG KHÔNG GIAN METRIC

Chương này dành cho bạn đọc muốn tiếp cận với những vấn đề hiện đại của lý thuyết độ đo nói chung và xác suất nói riêng

Ta đã nghiên cứu độ đo trên không gian trừu tượng bất kỳ ( ,WA ), trong

đó W là tập nào đó và A là  _trường nào đó gồm các tập con của W Trong chương này ta sẽ nghiên cứu các tính chất của độ đo khi lấy W= X là không gian metric (hoặc không gian tôpô) và A = B( )X ) là _trường Borel của

X (tức là  _trường bé nhất chứa các tập mở) Đặc biệt chúng ta sẽ nghiên cứu các độ đo Radon và sự hội tụ yếu của các độ đo Radon Độ đo như thế giữ vai trò quan trọng trong nhiều vấn đề của giải tích và xác suất Một trong những kết quả đặc sắc của chương này là định lý Prohorov

Từ nay về sau ta luôn giữ các kí hiệu

X : Không gian tôpô Hausdorff

B hay B :  _trường Borel

m: độ đo xác suất trên B

1 Tập Borel và tập Baire

Ta gọi mỗi tập B Î B là tập Borel và mỗi hàm B _đo được là hàm

Borel

Ta kí hiệu B a (B b) là  _trường bé nhất trên X sao cho mỗi f C( )X

( f C b( )X ) là đo được, tức là B a (B b) là  _trường bé nhất chứa tất cả các

Ta gọi B a là _trường Baire và gọi mỗi B Î B a là tập Baire

Như vậy, trong mọi trường hợp mỗi tập Baire là tập Borel Điều ngược

lại nói chung không đúng Tuy nhiên ta sẽ chứng minh rằng, nếu X là không

gian metric thì mỗi tập Borel là một tập Baire

1.1 Bổ đề Giả sử X là không gian chuẩn tắc Nếu mỗi F  F là tập G thì