Độ đo xác suất trên không gian Metric

LỜI CẢM ƠNSau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoànthành.. Trong chương này trình bày v

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

hà nội – 2009

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy

cô giáo cùng các bạn sinh viên, khóa luận của em đến nay đã được hoànthành Em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc của mình đến thầy giáo NguyễnTrung Dũng đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoànthành khóa luận này

Em xin trân thành cảm ơn sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô trongkhoa và các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, sự động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trongsuốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác nghiên cứukhoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu xót Rất mongnhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của emđược hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Trường Giang

LờI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học này là thành quả củariêng cá nhân tôi, nó không trùng lặp với bất kì đề tài nào đã được công bố

Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Trường Giang

mục lục

Lời nói đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Tập Borel 6

1.2 Độ đo xác suất Borel 8

1.3 Sự hội tụ yếu của độ đo 15

1.4 Metric Prokhorov 20

Chương 2 Định lý Riesz và định lý Prokhorov 29

2.1 Định lý Prokhorov 29

2.2 Định lý Riesz 38

2.3 Định lý Riesz trong không gian không compact 44

Kết luận 50

Tài liệu tham khảo 51

lời nói đầu

Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếmmột vị trí quan trọng Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứutrên lý thuyết của giải tích, đại số, hình học vào ứng dụng trong các ngànhkhoa học khác và thực tế cuộc sống

Lý thuyết xác suất là một bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong cácngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống Nó là công cụ

để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học,tâm lý – xã hội Do đó bộ môn này được đưa vào giảng dạy ở hầu hết cáctrường đại học, cao đẳng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất em đã chọn đề

tài: “Độ đo xác suất trên không gian metric” Nghiên cứu đề tài này giúp

chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về độ đo xác suất trên không gian metrictổng quát và trên một số không gian đặc biệt

Nội dung của khóa luận bao gồm

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này trình bày về khái niệm và các tính chất của tậpBorel, độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo và metric Prokhorov

Chương 2: Định lý Prokhorov và định lý Riesz

Nội dung của chương nay là định lý Prokhorov, định lý Riesz và định

lý Riesz trong không gian không compact

Chương 1 kiến thức chuẩn bị1.1.Tập Borel

nhỏ nhất trong X mà có chứa tất cả các tập con mở của X Các phần tử của Bđược gọi là tập Borel của X

Bổ đề 1.1 Nếu X là không gian metric tách được, khi đó trùng với

 đại số sinh bởi tất cả các các hình cầu mở (hoặc đóng) của X.

Chứng minh.

Hiển nhiên CB ,

trong đó



C là B làđại số sinh bởi C Lấy

hình cầu đóng trong X Khi đó B  CC:

B C

là giao của đếm được

các phần tử của  C Theo bổ đề trên ta

Mệnh đề 1.1 Cho 

X,d

là không gian metric. B

X

là đại số nhỏ nhất

sao cho với mọi hàm (giá trị thực) liên tục trên X là đo được.

1.2 Độ đo xác suất Borel



 Alimn U n infn  U n  Như vậy

 Ainf   U : U A,U mëinf

với mọi A đóng (hoặc A mở), khi đó .

Định nghĩa 1.5 (Độ đo Radon)

U

Một độ đo Borel hữu hạn trên X được gọi là độ đo Radon nếu với

với mọi tập Borel A trong X.

Chứng minh Với mỗi 0 lấy tập

sup  K : K A, K compact,

Vì mọi tập con đóng chứa trong tập compact là compact Kết hợp lại ta cóđiều phải chứng minh

Hiển nhiên, nếu 

X,d

là một không gian metric compact, khi đó mọi độ đo

Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon Không gian metric tách được đầy đủ đôi khi được gọi là không gian Polish.

Định lý 1.1 Nếu 

X,d

là không gian metric tách được đủ, khi đó mọi độ đo

Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon.

Bổ đề 1.5 Nếu 

X,d

là không gian metric đủ, khi đó một tập đóng K trong

c

X là compact khi và chỉ khi hoàn toàn bị chặn, tức là với mọi 0 tập

K bị phủ bởi hữu hạn hình cầu (mở hoặc đóng) bán kính bé hơn hoặc bằng .

Chứng minh

] Hiển nhiên: phủ K bởi tất cả -hình cầu với tâm trong K

có phủ con hữu hạn

] Giả

sử x n  là một dãy trong K Với mỗi mhình1 có hữu hạn 1/ m

-cầu phủ K, ít nhất một trong số chúng chứa

1lấy hình cầu

B1 với bán kính

1 sao cho

dãy Cauchy Do X là không gian đủ, x n hội tụ trong X và do K đóng, giới

hạn thuộc K Như vậy x n có dãy con hội tụ và K là compact.

Chứng minh định lý 1.1 Ta chứng minh rằng với mọi 

được trù mật của X Khi đó với mỗi 

0,

Khi đó K là đóng và với mỗi 0,

1.3 Sự hội tụ yếu của độ đo

Kí hiệu i  (Có nhiều nhất một giới hạn như vậy,

điều đó được kéo

theo từ việc metric hóa bởi metric Prokhorov, mà sẽ được đề cập tới ở phầntiếp theo.)

Định lí 1.2 Cho 

X,d

là không gian metric, ,1,

2,

là các độ đo Borel

xác suất trên X Các khẳng định sau đây là tương đương.

i

với mọi g UC b 

liminf  U liminf   X U c

 1limsup U c 

i  i i 

i i

là mở và A là đóng, như vậy theo (c) và

limsupi Alimsupi A A A A

i



với      0 Do đó với

cho

0, tồn tại

t0, ,t m 

sao(i)

  x :

gxt j

j 0, ,m.

m

Nhận xét Điều kiện các độ đo xác suất ,1,

tất cả các độ đo xác suất trên X

Ta có định nghĩa về sự hội tụ yếu trong P Định nghĩa với ,P ,

d P được gọi là metric Prokhorov

trên P (cảm sinh bởi d) mà sẽ được kiểm chứng ở định lý tiếp theo Nếu X là

tách được, khi đó sự hội tụ theo metric chính là sự hội tụ yếu trong P

d P  , 0

:

Nếu

d P  , 0 , khi đó tồn tại một dãy n 0 sao

mọi tập đóng A và vì vậy ( theo hệ quả 1.1)

Bất đẳng thức tam giác: Cho ,,P Cho 0 sao

dy,a , như vậy

dx,adx,ydy,a, và

x A.) Hiển nhiên ta cũng có

Đặc biệt với mọi tập đóng C

  là rời nhau và vì thế có nhiều nhất đếm được các

phần tử có độ đo lớn hơn 0 Do S là không đếm được, tồn

2, 

sao cho



k

  



Điều này đúng với mọi BB ,

(Trong đó

a

là độ đo Dirac tại

a X : a A1 nếu aA, 0 nếu

(Trước tiên lấy j

0,1

với

được chứa trong một hình cầu với bán kính 1/ m tâm a j Vì g là

liên tục đều, với mọi 

, mọi j Khi đó với

m 1/ , từ việc tính toán ở trên suy ra

chương 2 định lý prokhorov và định lý riesz2.1 Định lý Prokhorov

với metric Prokhorov cảm sinh bởi d.

Định nghĩa 2.1 Một tập các độ đo Borel xác suất trên Xđược gọi là

Radon đều (“Uniformly Radon”) nếu với mọi

Trước hết ta nhận xét rằng tính đủ của X là không cần thiết cho việc chứng

minh b a Việc chứng minh định lý này khá phức tạp Tabắt đầu bằng việc đơn giản hơn là chứng minh a b

với   k1 Do là compact, tồn tại 

và dãy con1

i 1

i

mâu thuẫn Như vậy ta đã có điều phải chứng minh

Bây giờ với 0 cho

trước Lấy D a1,a2, trù mật trong X Với

Khi đó K là đóng và với mọi 

việc kéo theo đó từ [6], căn cứ trên sự compact hóa và định lý Riesz Vấn đề

sẽ thảo luận ở mục sau và do đó ta chỉ đưa ra điều đó mà gần như không đượcchứng minh ở đây

Chú ý rằng nếu X là không gian metric compact, mọi tập các độ đo Borel xác suất trên X là Radon đều, như vậy trong trường hợp đặc biệt tự bản thân

là compact khi X là compact Chúng ta sử dụng vấn đề sau như một

bước trung gian quan trọng trong việc chứng minh b a

lµliªn tôc, đó là một không gian dưới

Banach theo chuẩn cận trên đúng được định nghĩa bởi

phôi tuyến tính đối với topo yếu* trên  Theo định lý Alaoglu,

Trong nhiều trường hợp mà ta muốn xét đến X thường không compact Chúng ta có thể sử dụng mệnh đề trên bằng cách xét tính compact hóa của X

Bổ đề 2.1 Nếu 

X,d

là không gian metric tách được, khi đó tồn tại không

gian metric compact

Để chứng minh điều đó, lấy

Trong trường hợp đặc biệt, nếu x

 y khi đó tồn tại i sao cho i x

Ngược lại giả sử rằng x n





x Khi đó tồn tại một dãy con sao cho

n

xx n , x n ,  Khi đó theo chứng minh trên tồn tại i

Bây giờ ta có thể hoàn thành chứng minh định lý Prokhorov

Chứng minh b a Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định: Nếu

Radon đều Thật vậy, giả sử 

Y

,

n 1,2,

Khi đó n

P Y với mọi n Vì Y là không gian compact metric nên P Y

cũng là không gian compact metric, do đó tồn tại 

là một độ đo Borel hữu hạn

trên Y0 và 0 E E1 Bây giờ ta có

thể chuyển 0

sang

với mọi n Dãy

 n  không có dãy con

hội tụ Thật vậy, giả sử n , khi đó

tới vô cực; tập  n ,n 1,2, không là Radon đều

n

n

2.2 Định lý Riesz

Trong chứng minh định lý Prokhorov ta có sử dụng định lý Riesz Định

lý thu được sự tương ứng giữa các hàm trên không gian các hàm liên tục và

độ đo trên các tập cơ bản Định lý được áp dụng với các không gian compact

và sẽ được thảo luận trong phần này Phần tiếp theo thu được từ việc compacthóa và mở rộng đối với không gian không compact

C b Xlà không gian Banach đối ngẫu của

không gian Banach C b X,

.( ở đó



f supx X f x.) Hơnnữa,

 Xta

có

 X.Hơn nữa,

hàm tuyến tính bị chặn dương trên C

X

được biểu diễn bằng một độ đo



Borel hữu hạn trên X Chân lí của mệnh đề này không phụ thuộc vào trên X

tồn tại hay không một không gian metric Trong việc mở rộng cho trường hợpkhông compact mà ta sẽ thảo luận trong phần tiếp theo ta cần những tính chấttổng quát của không gian compact Hausdorff không metric hóa được Về hình

thức ta không có định nghĩa tập Borel, độ đo Borel, C b X, v.v… với khônggian topo mà không metric hóa được Các định nghĩa tương tự cũng bị bỏ qua

và độ đo Borel hữu hạn

trên X Hơn thế nữa trong không gian topo cũng vậy.

Xét topo yếu* trên

C b X, đó là topo thô nhất sao cho hàm

Định nghĩa 2.3 Một độ đo có dấu trên không gian metric 

X,d

: BX có dạng

là ánh xạ

1 2trong đó

Nhận xét (1) có thể chỉ ra rằng C

X

là tách được nếu X là compact và

metric hóa được và (1) có thể nhận được từ tính tách được của C

là metric hóa được Vì vậy T trong định lý trên là phép

đồng phôi và không phải là phép đồng phôi liên tục duy nhất

Bây giờ ta có cơ sở quay lại kết thúc chứng minh định lý 5.3

2.3 Định lý Riesz trong không gian không compact

Vì phần lớn chúng ta quan tâm đến các không gian metric mà không làcompact, việc đó tất nhiên sẽ đưa chúng ta đi nghiên cứu sự mở rộng của định

lý Riesz đối với không gian không compact Việc mở rộng đó có thể thu đượcbằng cách compact hóa không gian

Sự compact hóa của Bổ đề 2.1 có ưu điểm hơn việc metric hóa, nhưng nókhông phù hợp với mục đích hiện tại Ta muốn tìm mối liên hệ giữa các hàmliên tục trên không gian compact hóa với các hàm liên tục, bị chặn trên khônggian ban đầu Như vậy sự compact hóa là sự compact hóa Stone – Cech

Định lý 2.5 Cho X,dlà không gian metric Tồn tại không gian compact Hausdorff Y và ánh

Y,T trong định lý trên là duy nhất về bản chất và được gọi là compact

hóa Stone – Cech của X Ta sẽ không cần phải xét chi tiết và xem X như là không gian con của Y Khi đó định lý trên nói rằng mỗi không gian metric X

là không gian con trù mật của không gian compact Hausdorff Y sao cho

C b X

CY

theo đẳng cấu tự nhiên của sự mở rộng và hạn chế Từ định lý

Riesz với không gian compact Hausdorff ta có kết luận sau

 f



f d

với mọi f C b X.

trong đó f là mở rộng của f

Như vậy hàm tuyến tính bị chặn dương trên C b 

X

tương ứng với độ đo

Borel hữu hạn trên compact hóa Stone – Cech của X Một điều cần biết là khi

đó độ đo như vậy tập trung trên chính X Sự thay đổi đó có quan hệ chặt chẽ

với tính liên tục của các hàm hơn so với hội tụ thông thường Khẳng địnhtrong định lý tiếp theo là một mở rộng của định lý Riesz đối với không giancompact Với lý thuyết hội tụ của dãy suy rộng

mệnh đề sau là tương đương:

(a) Tồn tại một độ đo Borel hữu hạn kín trên X sao cho

 f fd với

mọi f C b X.

tục đối với topo của hội tụ đều trên các tập compact.

Nếu (a) thỏa mãn, khi đó độ đo là duy nhất.



Chứng minh Việc chứng minh tính duy nhất là thường xuyên Nó cũng được

suy ra từ định lý trù mật trong phần 8

a c:

Giả sử f i 

là lưới trong B và f

B sao cho f i hội tụ đều

đến f trên các tập compact Giả sử 0 Ta muốn chứng minh rằng

f i hội tụ đều đến f trên K,

như vậy tồn tại i0

f i f / 3 K 1trên K với mọi i i0 .Khi đó với i i0 ,

, trong đó K K X : K

compact

với quan

hệ bao hàm được xem như quan hệ thứ tự, là lưới trong B mà hội tụ tới không

theo topo của hội tụ đều trên các tập compact Thật vậy, với mỗi tập compact

b a:

Với mỗi

m 1



f 0

dương, như vậy theo định lý Riesz tồn tại một độ đo Borel hữu hạn

trên Y sao cho

 gd

với mọi g CY

Ta muốn hạn chế của là một độ đo trên X mà biểu diễn cho

 Vì vậy ta cần chỉ ra không hội tụ ngoài X

Đặt E m K m X

Vì mọi

K m là compact, E là tập Borel trong Y Để

chỉ ra không hội tụ ngoài E ta sử dụng điều kiện

b

bởi một hàm liên tục Đặt

bằng cách xấp xỉ

 c m

K X

Theo giả thuyết (b) Thành ra

là Borel trong E do đó Borel trong Y.) Khi

đó là độ đo Borel hữu hạn trên X Để chứng tỏ rằng biểu diễn cho ,

m, do đó là độ đo Radon.

Nhận xét (1) Nếu X là compact, khi đó mọi

C b Xthỏa mãn

điều kiện(c) Do đó ta có thể áp dụng định lý Riesz với các không gian metric compact

(2) Đầu tiên ta chỉ ra rằng nếu 

X,d

là không gian metric đủ và tách

được, khi đó mỗi độ đo Borel hữu hạn trên X là độ đo Radon Do đó với

không gian như vậy điều kiện (c) là cần thiết cho việc biểu diễn một độ đoBorel hữu hạn

theo tong điểm và

0 xn 1 với mọi n Do đó không thể biểu diễn bằng một độ

đo Borel hữu hạn

kết luận

Trong khóa luận này em đã nghiên cứu một số vấn đề cơ bản sau đây:

Độ đo xác suất Borel, sự hội tụ yếu của độ đo, metric Prokhorov, định lýProkhorov, định lý Riesz, định lý Riesz đối với không gian không compact

Luận văn mang tính chất tổng quan nhưng em đã chứng minh một sốđịnh lý, bổ đề và đưa ra các ví dụ cụ thể để làm rõ hơn một số tính chất, đểhiểu rõ hơn các vấn đề mà trong khóa luận đã đề cập Mong rằng đây sẽ làmột tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này

Do thời gian có hạn và chưa có kinh nghiệm trong công tác làm nghiêncứu khoa học nên khóa luận của em không tránh khỏi những thiếu sót Rấtmong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn đọc

Trước khi kết thúc khóa luận em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tớicác thầy trong tổ Toán ứng dụng, các thầy cô trong khoa và đặc biệt là thầyNguyễn Trung Dũng – người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt thờigian qua để có thể hoàn thành khóa luận này