Cho phép biến đổi bảo toàn độ đo trong không gian Ergodic

Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna cácthay cô giáo trong to Giái tích, các thay giáo cô giáo trong khoa toán, các thay giáo côgiáo trong trưòng ĐHSP Hà N®i 2 và các ban sinh viên..

LèI CÁM ƠN

Em xin cám ơn bo me và nhung ngưòi thân trong gia đình đã luôn bên canh đ®ngviên em trong suot quá trình hoc t¾p Em xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna cácthay cô giáo trong to Giái tích, các thay giáo cô giáo trong khoa toán, các thay giáo côgiáo trong trưòng ĐHSP Hà N®i 2 và các ban sinh viên Đ¾c bi¾t em xin bày tó lòngbiet ơn sâu sac cna mình tói T.S Ta Ngoc Trí ngưòi đã t¾n tình giúp đõ em trong suotquá trình hoàn thành khóa lu¾n này

Do lan đau tiên làm quen vói công tác nghiên cúu khoa hoc, hơn nua trong m®tthòi gian ngan và năng lnc cna bán thân còn han che, m¾c dù rat co gang nhưng chacchan không tránh khói nhung thieu sót Em kính mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kiencna các thay cô giáo và các ban đe khóa lu¾n cna em đưoc hoàn thi¾n hơn và bán thân

em có thêm nhieu kien thúc

Em xin chân thành cám ơn !

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyen Th%

Lanh

LèI CAM ĐOAN

Khóa lu¾n này là ket quá cna bán thân em trong quá trình hoc t¾p và nghiên cúu,bên canh đó em đưoc sn quan tâm và tao đieu ki¾n cna các thay giáo cô giáo trongkhoa toán Trưòng ĐHSP Hà N®i 2, đ¾c bi¾t sn hưóng dan t¾n tình cna T.S Ta NgocTrí

Trong khi nghiên cúu hoàn thành khóa lu¾n này em có tham kháo m®t so tài li¾u

đã ghi trong phan tài li¾u tham kháo Em xin cam đoan rang khóa lu¾n này là trungthnc, không sao chép tù các tài li¾u có san, tên đe tài không trùng l¾p vói bat cú tên

đe tài nào khác

Hà N®i, tháng 05 năm 2013

Sinh viênNguyen Th%

Lanh

Mnc lnc

1.1

Không gian đ® đo 6

1.1.1 Các đ%nh nghĩa 6

1.1.2 Các ví du cna không gian đ® đo 7

1.2 Tích phân 8

1.2.1 Các đ%nh nghĩa 8

1.2.2 Các kh ô n g gian L p 9

1.2.3 Các đ%nh lí h®i tu 9

1.2.4 Đ%nh lý bieu dien Riesz 10

2 CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO TOÀN Đ® ĐO 11 2.1 Đ® đo bat bien vói phép bien đoi liên tuc 11

2.1.1 Đ® đo bat bien 11

2.1.2 Đ® đo bat bien vói các phép bien đoi liên tuc 12

2.2 Không gian cna các đ® đo bat bien 14

2.2.1 Sn ton tai cna các đ® đo bat bien 14

2.2.2 Các tính chat cna M(X,T) 15

2.3 Các ví du ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo 16

2.3.1 Sú dung đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov 16

2.3.2 Sú dung chuoi Fouries 19

3 Đ® ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC 21 3.1 Đ%nh nghĩa cna Ergodic 21

3.2 Đ¾c trưng cna Ergodic 22

3.3 Các ví du 23

3.4 Sn ton tai cna các đ® đo Ergodic 25

3.5 Phép truy toán và Ergodic đơn tr% 28

3.5.1 Đ%nh lý phép truy toán cna Poincare 28

3.5.2 Ergodic đơn tr% 29

3.5.3 Ví du 31

LèI Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Toán hoc là m®t trong nhung môn hoc có v% trí quan trong trong nhà trưòng, daytoán là day phương pháp suy lu¾n khoa hoc Hoc toán là rèn luy¾n khá năng tư duylôgic, còn giái toán là m®t phương ti¾n rat tot trong vi¾c nam vung tri thúc, phát trien

tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xáo Giái tích hàm là m®t ngành toán hoc đưoc xâydnng đau the kí XX và đen nay van đưoc xem là m®t ngành toán hoc co đien Trongquá trình phát trien giái tích hàm đã tích lũy đưoc m®t so n®i dung het súc phongphú, nhung ket quá mau mnc, tong quát cna giái tích hàm đã xâm nh¾p vào tat cácác ngành toán hoc có liên quan và sú dung đen công cu giái tích và không gian vectơ.Chính đieu đó đã mó r®ng không gian nghiên cúu cho các ngành toán hoc

Vói mong muon đưoc nghiên cúu, tìm hieu sâu sac ve b® môn này và bưóc đau tiepc¾n vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc cùng vói sn giúp đõ cna T.S Ta Ngoc Trí, em

đã chon đe tài:” Các phép bien đoi báo toàn đ® đo trong không gian Ergodic ”

2 Cau trúc cúa khóa lu¾n

Khóa lu¾n này gom 3 chương

Chương 1: Các kien thúc cơ só

Chương 2: Các phép bien đoi báo toàn đ® đo

Chương 3: Đ® đo trong không gian Ergodic

3 Mnc đích nghiên cNu

Bưóc đau làm quen vói công vi¾c nghiên cúu khoa hoc và tìm hieu sâu hơn ve giáitích hàm, đ¾c bi¾t là lý thuyet Ergodic

Nghiên cúu ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo, đ® đo Ergodic

4 Phương pháp nghiên cNu

Đoc tài li¾u, phân tích, so sánh tong hop

ii Neu E ∈ B thì phan bù cna nó X\E ∈ β;

iii Neu E n ∈ β, n=1,2,3 là dãy đem đưoc các t¾p hop trong β thì

∞

[

n=1

Đ%nh nghĩa 1.3: Cho X là m®t không gian metric compact M®t t¾p hop σ-đai so

Borel β(X) đưoc xác đ%nh là σ -đai so nhó nhat các t¾p con cna X mà bao hàm tat cá

các t¾p con mó cna X

Cho X là m®t t¾p và β là m®t σ-đai so các t¾p con cna X, ta có:

Đ%nh nghĩa 1.4: M®t hàm so µ : β → R+ ∪ {∞} đưoc goi là m®t đ® đo neu:

i µ( ∅) = 0;

ii Neu E n là các t¾p hop đem đưoc, đôi m®t phân bi¾t trong β thì:

n=1

Ta goi (X, β, µ) là không gian đ® đo

Neu µ(X) < ∞ thì µ là đ® đo huu han.

fdµ

Đ%nh nghĩa 1.6: Ta nói m®t tính chat đúng hau khap nơi trên X neu t¾p hop các

điem mà không có tính chat đó có đ® đo 0

Chang han f=g h.k.n neu µ ( {x ∈ X|f (x) ƒ= g (x)}) = 0.

1.1.2 Các ví dn cúa không gian đ® đo

Đ® đo Lebesgue trên [0,1] Lay X=[0,1] và lay M là lóp cna các hop huu han

tat cá các khoáng con cna [0,1] Vói moi đoan con [a,b], đ%nh nghĩa:

µ ([a, b]) = b − a

là đ® đo Lebesgue

Đ® đo Lebesgue trên R/Z Lay X=R/Z=[0,1) mod 1 và lay M là lóp cna các

hop huu han tat cá các khoáng con cna [0,1).Vói m®t đoan con [a,b], đ%nh nghĩa:

µ ([a, b]) = b − a

là đ® đo Lebesgue trên đưòng tròn

Đ® đo Dirac Cho X là không gian xác suat và β là m®t σ -đai so bat kì Cho

Thì δ x là đ® đo xác suat Nó đưoc goi là đ® đo Dirac tai x.

Đ%nh nghĩa 1.8: M®t hàm so f : X → R là đơn gián trên X neu nó có the viet như

to hop tuyen tính các hàm đ¾c trưng cna các t¾p trong β, nghĩa là

Đ%nh nghĩa 1.10: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f ≥ 0 thì ton tai m®t

dãy hàm đơn gián tăng f n sao cho f n ↑ f khi n → ∞ Khi đó tích phân cna hàm đo

đưoc không âm xác đ%nh bói:

Đ%nh nghĩa 1.11: Vói m®t hàm đo đưoc f : X → R, neu f có dau bat kì, ta đ¾t

0 Khi đó tích phân cna hàm đo đưoc có dau bat kì xác đ%nh bói:

Đ%nh nghĩa 1.12: f đưoc goi là khá tích trên X neu:

¸

fdµ < +∞.

X

1.2.2 Các không gian Lp

Đ%nh nghĩa 1.13: ( Không gian L1 )

Hai hàm đo đưoc f, g : X → C tương đương neu f = g − h.k.n Ta viet L1 (X) =

X

¸

|f | dµ.

X

Khi đó, đ¾t: d(f, g) = "f − g"1 thì d (f, g) là metric trên L1 (X).

Đ%nh nghĩa 1.14: ( Không gian L p)

Vói p > 1, ta viet L p (X) = {f : X → C} sao cho ¸ |f | p < +∞ L p là không gian đ

Khi đó, đ¾t: d (f, g) = "f − g" p thì d (f, g) là metric trên L p (X)

Neu (X, β, µ) là không gian đ® đo huu han và neu 1 ≤ p < q thì

L q (X, β, µ) ⊂ L p (X, β, µ).

1.2.3 Các đ%nh lí h®i tn

Đ%nh lí 1.1: (Đ%nh lí h®i tn đơn đi¾u)

Giá sú f n : X → R là m®t dãy tăng các hàm khá tích trên (X, β, µ) Neu ¸ fn dµ

là dãy b% ch¾n cna các so thnc thì lim

n

1.2.4 Đ%nh lý bieu dien Riesz

Cho X là m®t không gian metric compact và C (X, R) = {f : X → R} cho sao cho

f liên tuc - bieu th% không gian cna tat cá các hàm so liên tuc trên X Trang b% C (X,

Cho ω : C (X, R) → R là hàm so sao cho

i ω là b% ch¾n: nghĩa là, neu f ∈ C (X, R) thì |ω (f )| ≤ "f" ∞;

ii ω là tuyen tính: ω (λ1f1 + λ2f2) = λ1ω (f1) + λ2ω (f2);

iii ω là dương: nghĩa là neu f ≥ 0 thì ω (f ) ≥ 0;

iv ω là tam thưòng: nghĩa là: 1 (x) ≡ 1.

Thì ton tai duy nhat đ® đo xác suat Borel µ ∈ M (X) sao cho

¸

X

Chương 2

CÁC PHÉP BIEN ĐOI BÁO

TOÀN Đ® ĐO

2.1 Đ® đo bat bien vái phép bien đoi liên tnc

2.1.1 Đ® đo bat bien

Cho (X, β, µ) là m®t không gian xác suat M®t phép bien đoi T : X → X đưoc goi

là đo đưoc neu T −1 B ∈ β vói ∀B ∈ β.

Đ%nh nghĩa 2.1: Ta nói rang T là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo hay µ đưoc goi

là đ® đo T-bat bien neu µ(T −1 B) = µ(B) vói ∀B ∈ β.

Bo đe 2.1

Cho T : X → X Các m¾nh đe sau tương đương:

i T là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo;

ii Vói moi f ∈ L1 (X, β, µ), ta có

ChNng minh:

fdµ = X X

V¾y µ là đ® đo T- bat bien.

¸

χT −1Bdµ =

X

χB ◦ T dµ.

Suy ra đang thúc đúng cho hàm đơn gián bat kì Cho bat kì f ∈ L1 (X, β, µ) vói f ≥ 0,

ta có the tìm đưoc m®t dãy tăng cna các hàm so đơn gián f n vói f n → f khi n → ∞

2.1.2 Đ® đo bat bien vái các phép bien đoi liên tnc

Cho X là m®t không gian metric compact, β là σ - đai so Borel và T là m®t ánh xa liên tuc (T đo đưoc) thì T cám sinh ra m®t ánh xa trên M (X) như sau:

Đ%nh nghĩa 2.2 Đ%nh nghĩa đ® đo cám sinh T ∗ : M (X) → M (X) bói:

Nh¾n xét: µ đưoc goi là T - bat bien neu và chí neu T ∗ µ = µ Viet

1

Bo đe 2.2 Vói f ∈ C (X, R) , ta có

¸

¸

fd (T ∗ µ) = X X

ChNng minh: Ta luôn có vói B ∈ β,

¸

¸

χBd (T ∗ µ) =

X X

f ◦ T dµ.

χB ◦ T dµ.

Do đó, ket quá này đúng vói các hàm đơn gián Vói f ∈ C (X, R) sao cho f ≥ 0, ta có

the chon m®t dãy tăng cna các hàm đơn gián f n h®i tu đen f Ta có

¸

¸

fnd (T∗µ) = X X

Cho T : X → X là m®t ánh xa liên tuc cna các không gian metric compact.

Các m¾nh đe sau đây tương đương:

i T ∗µ = µ;

ii Vói ∀f ∈ C (X, R), ta có: ¸ fdµ = ¸ f ◦ T dµ.

ChNng minh:

Ta thay cá ω1 và ω2 là các hàm tuyen tính, b% ch¾n dương trên C (X, R) Hơn nua,

Nên ω1 và ω2 xác đ%nh cùng m®t hàm so tuyen tính Theo tính duy nhat trong đ%nh lý

bieu dien Riesz có: T ∗µ = µ.

2.2 Không gian cúa các đ® đo bat bien

2.2.1 SN ton tai cúa các đ® đo bat bien

Đ%nh lý 2.4 Cho T : X → X là m®t ánh xa liên tuc cna m®t không gian metric

compact thì ton tai ít nhat m®t đ® đo xác suat T-bat bien

1 ¸

.

fdµ = X X

f ◦ T dµn.

f ◦ T dµ.

Suy ra µ ∈ M (X, T ) Đieu này chí ra rang M (X, T ) là đóng Nó là compact vì nó

là t¾p con đóng cna t¾p compact M(X

2.3 Các ví dn ve các phép bien đoi báo toàn đ® đo

Phan này chúng ta se đưa ra m®t so ví du ve các phép bien đoi báo toàn đ® đobang cách sú dung đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov và sú dung chuoi Fourier

Đe chí ra T báo toàn m®t đ® đo xác suat µ ta phái chí ra rang T ∗µ = µ Bang h¾

quá trên ta chí can chí ra rang T ∗ µ = µ trên m®t đai so Túc đe chí ra rang T xác đ

%nh trên X báo toàn m®t đ® đo µ trên m®t t¾p huu han thì ta can chí ra

· Phép bien đoi đưoc xác đ%nh như sau T : R/Z → R/Z

x ›→ x + α mod 1

là phép quay đưòng tròn theo góc α.

Đong thòi T báo toàn đ® đo Lebesgue trên X

Do đó T ∗ µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con Vì đai so này tao ra σ

- đai so Borel, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov ta thay rang

= b − a = µ (b, a)

Do đó T ∗µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con Khi núa đai so này tao

ra σ -đai so, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov, ta thay T ∗ µ = µ,

nghĩa là đ® đo Lebesgue là T- bat bien

iii )Ánh xa liên phân so

Ánh xa liên phân so T : [0, 1) → [0, 1) đưoc xác đ%nh bói:

De dàng thay rang ánh xa liên phân so không báo toàn đ® đo Lebesgue vì ton tai

M¾c dù ánh xa liên phân so không báo toàn đ® đo Lebesgue nhưng nó báo toàn đ®

đo Gauss’ đưoc xác đ%nh bói

µ (B) =

Th¾t v¾y, trưóc het, chú ý rang:

1

ln2

¸1

ln 2 (ln (b + 1) − ln (a + 1))

1 ¸

ln 2

Do đó T ∗µ = µ trên đai so cna hop huu han các khoáng con Vì đai so này tao ra σ

-đai so, theo tính duy nhat trong đ%nh lý mó r®ng Kolmogorov ta thay rang T ∗µ = µ,

nghĩa là đ® đo Gauss là T -bat bien

Bo đe 2.8(Bo đe Riemann-Lebesgue)

Neu f ∈ L1 (R/Z, β, µ) thì cn → 0 khi |n| → ∞, nghĩa là:

1

¸lim

ii Neu f ∈ C (R/Z) thì δ n h®i tu đeu đen f khi n → ∞, nghĩa là: "δn − f" ∞ → 0

khi n → ∞.

M®t so ví dn:

i)Phép quay m®t đưàng tròn

Cho T (x) = x + α mod 1 là phép quay đưòng tròn Ta se chí ra µ là T-bat bien bang sú dung chuoi Fourier Ta đã biet: µ là T-bat bien neu và chí neu

cne 2πinα e 2πinx

f ◦ T dµ = X X

Cho T : X → X xác đ%nh bói T (x) = 2x mod 1.

Ta se chí ra rang µ là T-bat bien bang sú dung chuoi Fourier.

Neu f có chuoi Fourier cne 2πinx thì f ◦ T có chuoi Fourier cne 2πi2nx Do đó

Chương 3

Đ® ĐO TRONG KHÔNG GIAN ERGODIC

3.1 Đ%nh nghĩa cúa Ergodic

Đ%nh nghĩa 3.1: Cho (X, β, µ) là m®t không gian xác suat và cho T : X → X

là m®t phép bien đoi báo toàn đ® đo Ta nói rang T là m®t phép bien đoi Ergodic(ho¾c

Chú ý: Neu T −1 A = A vói 0 < µ (A) < 1 thì có the cat T : X → X thành T : A → A

và T : (X \A) → (X\A) vói các đ® đo xác suat bat bien tương úng 1

đen µ (T −1 B∆B) = 0, ó đó ∆ bieu th% hi¾u so đoi xúng

A∆B = (A\B) ∪ (B\A)

= j−1 i=0T −i .

T

−1 B∆B .

∪

Vì T báo toàn đ® đo µ, ta có:

Neu T là Ergodic và µ (B∆B ∞ ) = 0 thì µ (B) = 0 ho¾c 1.

3.2 Đ¾c trưng cúa Ergodic

Nên

và vì v¾y có duy nhat k n mà µ (X (k, n)) = 1 Cho

n=1X

(k n , n)

Thì µ (Y ) = 1 và theo cách xây dnng thì f là hàm hang trên Y, nghĩa là, f là hàm hang

µ - h.k.n.

(ii) ⇒ (i) Giá sú B ∈ β vói T −1 B = B thì ta có χB ∈ L1 (X, β, µ) và χ B ◦ T (x) = χB

T là Ergodic

3.3 Các ví dn

a)Các phép quay m®t đưàng tròn

Co đ%nh α ∈ R và đ%nh nghĩa T : R/Z → R/Z bói T (x) = x + α mod 1.

Ta đã biet rang T báo toàn đ® đo Lebesgue

Giá sú T là Ergodic Khi đó ta có

2πiq x+p/

2πi(qx+p) = e 2πiqx = f (x)

Mà f không là hàm hang Đieu này mâu thuan vói m¾nh đe 3.2

V¾y T không là Ergodic

(ii) Giá sú rang α ∈/ Q Giá sú f ∈ L2 (X, β, µ) sao cho f ◦ T = f h.k.n Giá

So sánh các h¾ so Fourier ta thay rang

cne 2πinα e 2πinx

c n = c n e 2πinα

có chuoi Fourier c0, nghĩa là, f là hàm hang h.k.n

V¾y T là Ergodic

b)Ánh xa kép

Cho X = R/Z và đ%nh nghĩa T : X → X bói T (x) = 2x mod 1.

Tính chat 3.5

Ánh xa kép T là Ergodic đoi vói đ® đo Lebesgue µ.

ChNng minh Cho f ∈ L2 (X, β, µ) và giá sú rang f ◦ T = f µ -h.k.n

Giá sú f có chuoi Fourier

f (x) =

∞

m =−∞ ame 2πimx .trongL2 .

Vói moi j ≥ 0, f ◦ T j có chuoi Fourier

vói ∀m ∈ Z, j=0,1,2, Bo đe Riemann-Lebesgue nói rang an → 0 khi |n| → ∞ Do đó,

neu m ƒ= 0, ta có am = a2j m → 0 khi j → ∞ Do đó vói m ƒ= 0 ta có am = 0 Túc f

có chuoi Fourier là a0 và phái là m®t hang so h.k.n

¸1

B 1 +

x

dx.

3.4 SN ton tai cúa các đ® đo Ergodic

Đ%nh nghĩa 3.2: µ ∈ M (X, T ) đưoc goi là điem cnc tr% neu có

vói µ1, µ2 ∈ M (X, T ), 0 < α < 1 thì ta có µ = µ1 = µ2

Đ%nh lý 3.7

Các m¾nh đe sau đây là tương đương:

i Đ® đo xác suat T- bat bien µ là Ergodic;

ii µ là m®t điem cnc tr% cna M (X, T ).

ChNng minh.

i ⇒ ii Hien nhiên.

ii⇒ i Giá sú µ không là Ergodic.

Khi đó ton tai B ∈ β sao cho T −1 B = B và 0 < µ (B) < 1 Ta đ%nh nghĩa đ® đo

xác suat µ1 và µ2 trên X bói

µ1 (A) = µ ( A ∩ B )

, µ (A)

=

Cho T : X → X là m®t ánh xa liên tuc cna m®t không gian metric compact thì

ton tai ít nhat m®t đ® đo Ergodic trong M (X, T ).

ChNng minh

Theo đ%nh lý 3.7, nó tương đương vói chúng minh rang M (X, T ) có điem cnc tr%.

Chon m®t dãy con trù m¾t đem đưoc {fi} ∞ cna C (X, R) Xét hàm so đau tiên

∩

i=0