HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (Minh)

O A

B

C M

M' x

y z

Ngày soạn: 01/12 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

I Mục tiêu:

1 Kiến thức: Xây dựng hệ tọa độ, tọa độ của điểm, của vectơ

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng của nó

Phương trình mặt cầu

2 Kỹ năng: Biết xác định tọa độ của một điểm trong gian và tọa độ của một vectơ cùng với các phép toán về vectơ

Biết tích tích vô hướng của hai vectơ , khoảng cách giữa hai điểm, độ dài của vectơ, góc giữa hai vectơ

Biết viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và bán kính và ngược lại

3 Tư duy: Biết quy lạ về quen, phát triển tư duy logit

4 Thái độ: Nghiêm túc trong giờ học, cẩn thận chính xác trong tính toán

II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở đan xen hoạt động nhóm

III Chuẩn bị của thầy và trò:

GV: giáo án , phấn , thước kẽ

HS: xem lại chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10

IV Tiến trình bài giảng:

Hoạt động 1: Chiếm lĩnh kiến thức tọa độ của điểm và vectơ

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Hãy nhắc lại khái niệm

hệ tọa độ Oxy trong mặt

phẳng

Cho hs xem mô hình hệ

tọa độ Oxyz

Vẽ hình

Hãy nêu các khái niệm

về hệ trục tọa độ Oxyz

trong không gian

Vì i, j,k là các vectơ

đơn vị ta có kết luận gì

về độ dài của chúng ?

k

j

i,,  đôi một vuông

góc ta được ?

Hướng dẫn biểu diễn

vectơ OM theo 3 vectơ

k

j

i,, 

Nhắc lại khái niệm hệ

tọa độ Oxy trong mặt phẳng

Vẽ hình nêu các khái niệm về

hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian

1





 j k





j k



0 j j k i k 

i  

Quan sát trã lời câu hỏi của GV để xác định tọa độ điểm M

I TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ

1 Hệ tọa độ:

Hệ gồm 3 trụ x’Ox, y’Oy, z’Oz đôi một vuông góc trên đó đã chon các vectơ đơn vị lần lượt là i, j,k gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz trong không gian

Vì i, j,k là các vectơ đơn vị đôi một vuông góc nên

1 2 2 2





j k

i   và i.j j.ki.k 0

2 Tọa độ của một điểm.

k z j y i x

OC OB OA

OC OM OM





















 '

Viết:

)

;

; (x y z

)

;

; (x y z M

x

z

y

i



j



k

O

Hình học 12 chương trình chuẩn

Cho a bao giờ cũng

phân tích được theo 3

vectơ i, j,k thành

k a j

a

i

a

a 1 2 3 khi đó

ta nói a có tọa độ là

)

;

;

(a1 a2 a3

Rút ra nhận xét

Cho hs tiến hành hoạt

động 2 sgk

Nghe giảng và ghi nhận

Tiến hành hoạt động 3

3 Tọa độ của vectơ.

Trong không gian Oxyz cho a bao giờ cũng tồn tại bộ 3 số (a1 ;a2 ;a3 )sao cho :

k a j a i a

a 1 2 3 Viết a  (a1 ;a2 ;a3 ) hoặc

)

;

; (a1 a2 a3

a

Nhận xét: M (x;y;z)  OM (x;y;z)

Hoạt động 2: Chiếm lĩnh biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Trong mặt phẳng Oxy hãy

nhắc lại công thức tính tổng

, hiệu hai vectơ, tích của

vectơ với một số

Tương tự trong không gian

cũng quy định tính tổng ,

hiệu hai vectơ, tích của

vectơ với một số

Đưa ra ví dụ 1

Từ định lí c) ta có ak b

khi nào ?

?



b

Hãy cho biết tọa độ của

vectơ 0

Hãy định nghĩa hai vectơ

cùng phương

Theo quy tắc 3 điểm ta có

OA

OB

AB  tiếp theo

dựa vào định lí b) ta có ?

Khi đó tọa độ trung điểm M

của AB là ?

Trong mp Oxy cho

)

; (a1 a2

a  , b  (b1 ;b2 )

Ta có:

a) ab(a1b1 ;a2b2 ) b) a b(a1 b1 ;a2  b2 )

c) k  a (ka1 ;ka2 ) với k là

một số thực Ghi nhận định lí

Giải ví dụ 1

3 3 2 2 1

3 3 2 2 1

1 b ;a b ;a b a

b a













) 0

; 0

; 0 (

0 

a cùng phương b

b a R



x B x A y B y A z B z A

OA OB AB













;

;

II BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

Định lí: Trong không gian cho hai vectơ

)

;

; (a1 a2 a3

a  và b  (b1 ;b2 ;b3 ) Ta có:

a) ab(a1 b1 ;a2 b2 ;a3 b3 )

b) a b(a1 b1 ;a2  b2 ;a3  b3 )

c) k  a (ka1 ;ka2 ;ka3 ) với k là một số thực chứng minh (sgk )

VD1 : Cho a(  2 ; 3 ; 1 )và b( 0 ; 1 ;5 )tính

b

a , 2 a 3b

Hệ quả:

a) Cho hai vectơ a  (a1 ;a2 ;a3 ) và

)

;

; (b1 b2 b3

3 3 2 2 1

a b

b) Vectơ 0có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 0 ) c) Với b0 thì a cùng phương b

:

R

k 



 a1 kb1 ;a2 kb2 ;a3 kb3

d) Nếu cho hai điểm A(xA ; yA ; zA) và

B(xB ;yB ;zB) thì :

x B x A y B y A z B z A

OA OB

Tọa độ trung điểm M của AB là











2

; 2

; 2

A B A B A

x M

Hoạt động 3 : Chiếm lĩnh kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Hãy phát biểu định lí tích vô

hướng của 2 vectơ trong mặt

phẳng

Tương tự ta có định lí tích

vô hướng của 2 vectơ trong

không gian

Phát biểu định lí tích vô hướng của 2 vectơ trong mặt phẳng

Đọc định lí sgk

III TÍCH VÔ HƯỚNG 1) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Định lí : trong không gian Oxyz, tích vô

hướng của hai vectơ a  (a1 ;a2 ;a3 ) và

)

;

; (b1 b2 b3

b  được xác định bởi công thức

3 3 2 2 1 1

.b a b a b a b

Hướng dẫn chứng minh

Cho a  (a1 ;a2 ;a3 ) tính

?

a

a  , tứ đó tính a

? )

z

;

y

;



 AB z

y

x

, từ đó tính độ dài AB = ?

Hãy viết công thức tính góc

giữa 2 vectơ trong mặt

phẳng

Hoàn toàn tương tự hãy viết

công thức tính góc giữa 2

vectơ trong không gian

HĐ3 cho a( 3 ; 0 ; 1 ),

) 1

; 1

; 2 ( ), 2

;

1

;

1

Hãy tính

  ; a b ?

.    



c

b

a

Chứng minh

2 3

2 2

2 1

a     

Vì a2 a2 

2 3 2 2 2

a

Nhe hiểu nhiệm vụ trả lời

b a

b a b









.

) , cos(

Viết công thức

2 ứng dụng :

a) Cho a  (a1 ;a2 ;a3 ) có 2

3 2 2 2

a

b) Cho A(x A;y A;z A) và B(x B ; y B ; z B ) ta có

A B A B A

x

AB AB















c) Gọi  là góc giữa hai vectơ a  (a1 ;a2 ;a3 )

và b  (b1 ;b2 ;b3 )với a,b0 ta có:

2 3

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

.

) , cos(

cos

b b b a a a

b a b a b a

b a

b a b a



























Vậy ab a1b1a2b2a3b3 0

HĐ3 KQ: a.bc ; ab 3 2

Hoạt động 4 : Chiếm lĩnh kiến thức về phương trình mặt cầu

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Đưa ra bài toán

Hãy nhắc lại định nghĩa mặt

cầu tâm I bán kính r

Từ OM= r ta có điều gì?

Hãy phát biểu bài toán trên

thành định lí

Đưa ra ví dụ 1

Đưa ra ví dụ 2

Áp dụng công thức bình

phương của một hiệu vào

phương trình (*) được ?

Khi nào phương trình (**) là

phương trình đường tròn ?

Đưa ra ví dụ 3

Ghi nhận đề toán Nhắc lại định nghĩa

R

OM  dẫn đến phương trình mặt cầu

Phát biêu3 định lí

Giải ví dụ 1 Giải ví dụ 2 Viết dạng khai triển của phương trình (*)

Rút ra nhận xét

Giải ví dụ 3

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Bài toán: Viết phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c)

bán kính r Gọi M(x; y; z) là một điểm nằm trên mặt cầu khi

2 2

2

r c z b y a x

r c z b y a x OM





























Định lí: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm

I(a; b;c) bán kính r có phương trình là :

x a2y b2z c2 r2 (*)

VD1: phương trình mặt cầu tâm I(1;-2;3) bán kính

r = 5 là x 12y22z 32 25

VD2: Phương trình mặt cầu tâm O bán kính r là

2 2 2

Phương trình (*) có dạng khại triển là:

0 2

2 2

2 2

2y z  ax by czd 

Với d a2b2c2 r2

Nhận xét:

Mọi phương trình có dạng

0 2

2 2

2 2

2 y z  ax by czd 

0

2 2

2 b c  d

I(a;b;c) bán kính r a2b2c2 d

VD3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu có phương trình : x2y2z2 4x6y 2z110

Giải Phương trình mặt cầu có dạng

0 2

2 2

2 2

2y z  ax by czd 

x

































1 3 2 2

2

c b c

b

Vậy tâm I(2;-3;1) bán kính

3

2 2

 a b c d r

Hình học 12 chương trình chuẩn

Củng cố : cho hs nhắc lại các định nghĩa và định lí sau :

 Định nghĩa hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxyz

 Viết công thức tọa độ của tổng , hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số

 Phát biểu định lí tích vô hướng của hai vectơ

 Viết công thức tính cosin của góc tạo bởi hai vectơ khác 0

 Viết công thức tính khoảng cách của hai điểm

 Viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính r

Hướng dẫn về nhà giải ccác bài tập sgk

Ngày soạn: 01/01 Luyện tập:§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Tiết:

I Mục tiêu:

1 Kiến thức: luyện giảib các bài tập về các phép toán trên vectơ, ứng dụng của tích vô hướng, phương trình mặt cầu

2 Kỹ năng: Vận dụng thành thạo các công thúc tổng, hiệu hai vectơ, tích của vectơ với một số

Biết tính tích vô hướng của hai vectơ Tọa độ của một điểm

Biết viết phương trình của mặt cầu khi biết tâm và bán kính

3 Tư duy: Vận dụng linh hoạt kiến thức hệ tọa độ trong mặt phẳng vào không gian

Hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ

4 Thái độ: HS tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo sự hướng dẫn của Gv, năng động, sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới

II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở, đan xen hoạat động nhóm

III Chuẩn bị:Giáo viên: giáo án, sgk, thước kẻ, phấn, …

Học sinh: Sgk, vở ghi, dụng cụ học tập,…

IV.TIẾN TRÌNH BÀI HỌC

a Kiềm tra bài cũ:

HS1: Trong kg Oxyz cho a = (2 ; -5 ; 3), b = (0 ; 2 ; -1)

Tính ab và cos(a,b)

Cho một VD về một vectơ c cùng phương với a

HS2: Viết phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I(1; -1; 0), bán kính r = 3

Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A( 2 ; 0 ; 1 ) ,B( 0 ;2 ;1 )

HS3: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình 2 2 2 2 6 10 31 0













x

b Bài tập:

Bài1: Cho ba vectơ a = (2 ; -5 ; 3), b = (0 ; 2 ; -1), c= (1 ; 7 ; 2)

a) Tính toạ độ của vectơ d a b 3c

3

1

4  



b) Tính toạ độ của vectơ e = a - 4b- 2 c

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Ghi đề

Hãy cho biết cách giải

Có thể gợi ý thêm cho HS

Nghe hiểu nhiệm vụ trả lời Tiến hành giải theo gợi ý của GV

a) 4a( 8 ;20 ; 12 )

) 3

1

; 3

2

; 0 ( 3

1





 b

3 c ( 3 ; 21 ; 6 )





















3

55

; 3

1

; 11 3

3

1

4a b c

b/ e = a - 4 b- 2 c = (0;-27;3)

Bài 2: Cho ba điểm A = (1 ; - 1 ;1 ), B = ( 0 ; 1 ; 2 ), C = ( 1 ; 0 ; 1 )

Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

G là trọng tâm của tam giác

ABC ta có ?

Từ đó hãy chỉ ra công thức

tính tọa độ điểm G

0





GB GC GA

3 1

Viết công thức và giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có

3 1













































3 4

; 0

; 3 2

3 4 3

0 3

3 2 3

G z

z z z

y y y y

x x x x

C B A G

C B A G

C B A G

Bài 3: Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ biết A = ( 1 ; 0 ; 1 ), B = (2 ; 1 ; 2 ), D = ( 1 ; -1 ; 1 ), C’= ( 4 ; 5 ; - 5 ).

Tính toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Vẽ hình hộp

ABCD.A’B’C’D’ hãy chỉ ra

các cặp vecrơ bằng nhau

?



b

Yêu cầu hs lên bảng trình

bày

Quan sát hình vẽ chỉ ra các cặp vecrơ bằng nhau

3 3 2 2 1

1 b ;a b ;a b a

b a













Lên bảng trình bày lời giải



















































2 0 2

C C C

A B D C

A B D C

A B D C

z y x z

z z z

y y y y

x x x x AB DC

) 2

; 0

; 2 (



 C

tương tự AA'BB'DD'CC'

) 6

; 4

; 3 ( ' ), 5

; 6

; 4 ( ' ), 6

; 5

; 3 (

A

4 Tính

a) a b với a = ( 3 ; 0 ; - 6 ), b= ( 2 ; - 4 ; 0 )

b) c d với c= ( 1 ;- 5 ; 2 ), d= (4 ; 3 ; - 5)

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Hãy viết công thức tính tích

vô hướng của hai vectơ

Yêu cầu hs lên bảng trình

bày

3 3 2 2 1 1

.b a b a b a b

Lên bảng trình bày lời giải

6

3 3 2 2 1

a b a b a b b

a

c d =-21

5 Tìm tâm của bán kính mặt cầu có phương trình sau đây :

a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0

b/3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x – 8y + 15z - 3 = 0

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

Hãy viết dạng khai triển của

phương trình mặt cầu tâm

I(a; b; c) , bk: r

Gọi HS giải

Câu b) đã có dạng khai triển

chưa?

Viết dạng khai triển của phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) , bk: r

Lên bảng trình bày lời giải

Chia 2 vế của phương trình cho 3

Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) , bk: r có

dạng x2 y2 z2  2ax 2by 2czd 0

d c b a

r 2 2 2 a) x2 + y2 + z2 – 8x – 2y + 1 = 0























































4 0 1 4

1 0

2

r

c b

a

d c b

a

tâm I(4 ; 1 ; 0) , r = 4

b) 3x2 + 3y2 + 3z2 – 6x + 8y + 15z - 3 = 0

Hình học 12 chương trình chuẩn

Hãy đưa về dạng khai trển

8 2

2 2 2













 y z x y z x

2

5

; 3

4

; 1 (  

6

19



r

6 Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây :

a) Có đường kính AB với A = ( 4 ; - 3 ; 7 ), B = (2 ; 1 ; ;3 ).

b) Đi qua điểm A = ( 5 ; - 2 ; 1 ) và có tâm C = ( 3 ; - 3 ; 1).

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng

a) Hãy cho biết tọa độ tâm và

bán kính mặt cầu cần tìm

Yêu cầu hs lên bảng trình

bày lời giải

a) Tâm I là trung điểm của AB bán kính AB:2

Lên bảng trình bày lời giải

a) Tâm I là trung điểm của AB ta có

3 ; 1 ; 5

2

; 2

;











z z y y x x I













 x B x A y B y A z B z A AB

3

2 

AB r

KQ: (x – 3)2 + (y +1)2 +(z – 5)2 = 9 b) KQ: (x – 3)2 + (y +3)2 +(z – 1)2 = 5

Củng cố: nhắc lại các kiến thức đã học trong bài