Điểm bất động trong không gian Metric xác suất có kỳ vọng toán học

HàN®i,tháng9năm2010Tác giá LêTh%ThanhHoa... HàN®i,tháng9năm2010Tác giá LêTh%ThanhHoa... Lýdochonđetài Trongkhoahoccũngnhưtrongkythu¾tnhieubàitoándantóivi¾cnghiêncúuvanđesau: Vóikhônggian

B®GIÁODUCVÀĐÀOTAOTRƯèN GĐAIHOCSƯPHAMHÀN®I2

â u s ac nhatđe n thay.

TácgiáxinđưocgúilòicámơnchânthànhđenBangiámhi¾utrưòngĐaihocsưphamHàN®i2,phòngSau

đaihoc,cácthaycôgiáotrongnhàtrưòngvàcác thayc ô giáodaycaohocchuyênngànhToánG iá i tíchđ ãtaođieuki¾nthu¾nloitrongquátrìnhtácgiáhoct¾pvànghiêncúu

Tácgiáxinbàytólòngbietơntóigiađình,ngưòithânđãđ®ngviênvàtaomoiđieuki¾nđetácgiácóthehoànthànhbánlu¾nvănnày

HàN®i,tháng9năm2010Tác

giá

LêTh%ThanhHoa

Tácgiáxincamđoanlu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtácgiádưóisnhưóngdancnaTSHàĐúcVưong

Trongquátrìnhnghiêncúuvàhoànthànhlu¾nvăn,tácgiáđãkethùanhungthànhquákhoahoccnacácnhàkhoahocvóisntrântrongvàbietơn

HàN®i,tháng9năm2010Tác

giá

LêTh%ThanhHoa

Làicámơn i

Làicamđoan ii

Mnclnc iii

Máđau 1 Chương1.KienthNcchuanb% 6 1.1 Khônggianmetricxácsuat 6

1.1.1 Hàmphânbo 6

1.1.2 Chuantamgiác 9

1.1.3 M®tsochuantamgiáccơbán 9

1.1.4 Khônggianmetricxácsuat 10

1.2 Khônggianđ%nhchuanxácsuat 23

Chương2.Điembatđ®ngtrongkhônggianmetriccau 30 2.1 Khônggianmetric 30

2.1.1 Khônggianmetric 30

2.1.2 Ánhxacovàđiembatđ®ngtrongkhônggianmetric 45 2.1.3 M®tsovíduúngdung 48

toánhoc 64

Ketlu¾n 68

Tàili¾uthamkháo 69

1 Lýdochonđetài

Trongkhoahoccũngnhưtrongkythu¾tnhieubàitoándantóivi¾cnghiêncúuvanđesau:

VóikhônggianXbatkỳ,Mlàm®tt¾phopconcnaX,A :M−→M

làánhxatùMvàochínhnó.XétphươngtrìnhAx =x,vóicácđieuki¾n

cuthetakhangđ

%nhsntontainghi¾mcnanó.Khiđó,điemx ∈MthóamãnphươngtrìnhAx=x đưocgoilàđiembatđ®ngcnaánhxaAtrênt¾phopM.Vi¾cnghiêncúuveđie

mbatđ®ngđãthuhútđôngđáocácnhàtoánhocquantâm.Cácketquánghiêncúu

velĩnhvncnàyđãhìnhthànhnên“Lýthuyetđiembatđ®ng”.

Snpháttriencna“Lýthuyetđiembatđ®ng”ganlienvóitêntuoicnacácnhàtoán

hoclóntrênthegióinhư:Banach,Brouwer,Schauder,Tykhonov,K a k u t a n i , KyFan, M®ttrongnhungđ%nhlýnoitiengtronglýthuyetnàylàđ

Năm1942,K.Mengerđãđưarakháini¾m“metricxácsuat”.Đólàsnmór®n g“xácsuat”cnakháini¾mmetricthôngthưòng:thay

chovi¾cxétkhoángcáchd(x,y)giuahaiđiemx,ytrongkhônggianmetric(X,d ),ngưòitaxéthàmphânboF x,y( t )bieudienxácsu a t đechod (x,y)<t,vóitlàm®

tsothnc.Kháini¾mnàyđãthuhútsnquantâmcnanhieunhàtoánhoc,đ¾cbi¾tlàSchweizervàSklarđãxâydnnglýthuyetvekhônggianmetricxácsuat,vietthànhsáchchuyênkháoxuatbánnăm1983

Vóimongmuonđưoctìmhieuvelýthuyetđiembatđ®ngvàđưoctiepc¾nvóinhungketquámóitronglĩnhvncnàytácgiáchonđetàinghiêncú u:

"ĐIEMBATĐ®NGTRONGKHÔNGGIANMETRICXÁCS

UATCÓKÌVONGTOÁNHOC"

Lu¾nvănđưoctrìnhbàygombachươngn®idungvàm®tdanhmuctàili¾uthamkháo

Chương1 trìnhbàyc á c kháini¾mvehàmphânbo,chuantamgiácđetùđóxâydnngđ%nhnghĩavekhônggianmetricxácsuatvàkhônggianđ%nhchuanxácsuat

Nhưtađãbiet,“NguyênlýánhxacoBanach(1922)”làketquákinhđiencna“Lýthuyetđiembatđ®ng”.Năm1972,V.M.SehgalvàA.T.Bharucha–

Reidmór®ngketquáveđiembatđ®ngcnaánhxacoBanachtrongkhônggianmetricsangkhônggianmetricxácsuat.KetquáđóđưoctrìnhbàytrongĐ%nhlý1.1.1.Trongkhônggianmetricxács u a t M e n g e r(X,F,∆),n e u t -chuan

thóamãnđieuki¾n∆(a,a)“a,∀a∈[0;1)thì(X,F,∆)chúam®thogiámetric.Đóchínhlàn®idungĐ%nhlý1.1.2

Phanc u o i c n a chươngnày,tácgiátrìnhbàyvekhônggianđ%nhchuanxácsuat.Vóimoikhônggianđ%nhchuanxácsuat(X,F,min)tacóthexâydnng

đưocm®tkhônggianloiđ%aphươngtách{X,p λ: λ∈(0;1)}

(vóip λlà núachuantrênX)màt ô p ôc n a chúngtrùngnhau.

Chương2nóiveđiembatđ®ngtrongkhônggianmetriccau.Đauchương,tácgiátrìnhbàynhungkienthúcc ơ bánvekhônggianmetricnhư:đ

%nhnghĩakhônggianmetric,s n h®itu,dãyCauchy,khônggianmetricđayđn

Tiepđó,tácgiátrìnhbàynguyênlýánhxacoBanachvàm®tsovíduúngdungcnanó

Phanc u o i tácgiátrìnhbàym®tkháini¾mmóilàkhônggianmetriccau

Khônggianmetriccauđưocđ

%nhnghĩagannhưtươngtnkhônggianmetric.Tuynhiênó đieuki¾nc u o i c ù n g thayvìbatđangthúctamgiácthôngthưòng,batđangthúctamgiácó đâyxuathi¾nm®thangs o

K“1:d K (x,y)™K(d K (x,z)+d K (z,y)).Trongkhônggianmetric

cau,nhungđ

%nhnghĩaveh®itu,dãyCauchy,tínhđayđnc ũ n g tươngtnnhưtrongkhônggianmetric

%nhlý2.2.1veđiembatđ®ngtrongkhônggianmetricc a u

Chương3 tácgiátrìnhbàyveđiembatđ®ngtrongkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhoc.Trongchươngnàytácgiátrìnhbàyveđ

%nhnghĩakhônggianmetricxácsuatc ó kỳvongtoánh o c,s a u đótrìnhbàymoiquanh¾giuakhônggianmetriccau vàkhônggianmetricxácsuat cókỳvongtoánhoc(Đ

%nhlý3.1.1)

Tieptheotácgiátrìnhbàycáchxâydnngtôpôtrongkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhoc(Đ%nhlý3.1.2)

gbàibáo:“MathematicalExpectationofProbabilisticMetricSpacesandBanachFix

edP o i n t Theorem”.

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

Nghiêncúucácketquáđãđatđưocveđiembatđ®ngkhônggianmetricxácsuat,khônggianmetriccauvàkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhoc

4 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

Nghiêncúuve:“Điembatđ®ngtrongkhônggianmetricxácsuatcókỳv ongtoánhoc”.

5 PhươngphápnghiêncNu

- Đocsách,nghiêncúutàili¾uchuyênkháo

- Tonghopkienthúc,v¾ndungchomucđíchnghiêncúu.

6 NhÑngđónggópmái

Trìnhbàym®tcáchh¾thongcáckienthúccơbánvenguyênlýánhxacotrongkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhoc

V¾yF x,y( t)làhàmkhônggiám.

Tieptheo,tachúngminhF x,y( t )làhàmnúaliêntucdưói.DoF x,y

( t )làhàmliêntucnênF x,y( t)lànúaliêntucdưói

Cuoicùngtatínhs up Fx,y( t)vàinf F x,y (t).

Tacó

lim

3.F x,y (t)=F y,x (t),∀t∈R,∀x,y∈X.

4.NeuF x,z (t1)=1vàF z,y (t2)=1thìF x,y (t1+t2)=1,∀x,y,z∈X.

2.TachúngminhF x,y (t)=1,∀t>α0⇐⇒P{d(x,y)<t}=1,∀t>α0.

Neux ƒ=y=⇒d(x,y)>α0.Đ¾tt1=d(x,y),dotín

htrùm¾tcnat¾pRnên

t1>α0=⇒∃t2>α0vói0<t2<t1.SuyraP { d(x,y)<t2}=0mâuthuanvóigiáthiet.V¾yx=y.

1.F x,y (0)=0,∀x,y∈X.

2.F x,y (t)=1,∀t>α0⇐⇒x=y.

3.F x,y (t) =F y,x (t),∀t∈R,∀x,y∈X.

4.∆(Fx,y (t),F y,z (s))™F x,z (t+s),∀t,s∈R,∀x,y,z∈X.

Dođ%nhnghĩacnahàmphânbo:supFx,y( t )=1nênsuyraF x,z( t+s)=1.

,F x n+1 ,x n+m .t

2

t.

,F x n+2 ,x n+m

4

F T x,Ty (t)“F x,

y

t k

Năm1972,V.M SehgalvàA.T Bharucha–

Reidđãmór®ngketquáveđiembatđ®ngcnaánhxacoBanachtrongkhônggianmetricsangkhônggianmetricxácsuat.Sauđâytácgiátrìnhbàyketquánày

,F x n ,x ∗

t

2

3.d (x,z)™d(x,y)+d(y,z),∀x,y,z∈X.

Đ%nhnghĩa1.1.12.[26]Chot¾phopXkhácrong,hoánhxa {d λ },vói λ∈(0;1)xácđ%nhbói:

V¾yd λ (x,y)=d λ (y,x).

3.Dod λ (x,y)=sup{t∈R:F x,y (t)™1−λ},∀λ∈(0,1).

Theođ%nhnghĩacnasupre mum,∃t n ∈ {t n }saochot n −→d λ (x,y)

Vàdo

Nên

b=d λ (x,y)<s⇐⇒F x,y (s)>α1−λ, c=d λ (y,z)<t⇐⇒F y,z (t)>α1−λ.

F x,z (t+s)“min{F x,y (s),F y,z (t)}>α1−λ.d λ

neucácđieuki¾nsa u đưocthóamãn:

1.F x (t)=1,∀t>α0⇐⇒x=0.

2.F x (0)=0,∀x∈X.

ε

,suyra4

ε t+s=b+c+

n, m

Đ%nhnghĩa1.2.4.[14]M®tdãy{x n }⊂ . X,{p λ }.đưocgoilàdãyCauchy

neuvóimoiλ ∈ ( 0 ; 1):p λ (x n −x m )→0 khin , m→ ∞ Nghĩalà

Nh¾nxét1.2.2.M® t khônggianđ

%nhchuanxácsuatđưocgoilàđayđntươngúngvóikhônggianloiđ

%aphươngtươngúngcnanólàđayđn

Trongchươngnàychúngtađãh¾thonglaim®tsokienthúcquantrongvekhônggianmetricxácsuat,cũng nhưvi¾cxâydnngtôpôtrongkhônggianmetricxács u a t

M e n g e r , khônggianđ%nhchuanxács u a t

Điembatđ®ngtrongkhônggianmetric cau

NguyênlýánhxacoBanachlàm®tketquákinhđiencna“Lýthuyetđiembatđ

®ng”.Trongchươngnày,tácgiáh¾thonglaim®tsokienthúcquantrongvekhônggianmetric,ánhxacovànguyênlýđiembatđ®ngBanachtrongkhônggianmetric

d(x,y)=0⇐⇒ ( x j −y j )2=0.

Suyra

j=1 k

d(x,y)= (x j −y j )2

j=1

‚ .k

ĐautiêntachúngminhF x,y (t)làhàmkhônggiám∀x,y∈X.

Vói∀t1,t2∈R.Giásút1<t2tacó:

F x,y (t1) = P{d(x,y)<t1}

™P {d(x,y)<t1}+P{t2−t1™d(x,y<t2}

= P{d(x,y)<t2}

= F x,y (t2).

V¾yF x,y (t1)™F x,y (t2)

TieptheotachúngminhF x,y (t)làhàmnúaliêntucdưói.Xétt¾phop

{t∈R:F x,y (t)™1−λ}.

ĐechúngminhF x,y( t)làhàmnúaliêntucdưói,theoNh¾nxét1.1.1ta

vóit =0thìF x,y (0)=0,∀x,y∈X.

SuyrainfFx,y (t)=0=F x,y (0).

V¾yF x,y (t)làhàmphânbo.

BâygiòtachúngminhF={F x,y (t)},∀x,y∈Xthóamãncácđieuki¾ncnaĐ

2 Dod (x,y)=0⇐⇒x=ynênsuyraF x,y (t)=1,∀t>α0.

3 Vìd (x,y)=d(y,x)nênF x,y (t)=F y,x (t).

4 NeuF x,z (t1)=1thìt1>αd(x,z)

NeuF z,y (t2)=1thìt2>α d (z,y).Khiđó

d(x,y)™ d(x,z)+d(z,y)

< t1+t2.

[1]Chokhônggianmetric(X,d),dãy{xn }⊂X,điemx0∈X.Dãy{x n }goilàh®it

utóiđiemx0thu®cXkhin→∞neuvóimoiε>α0,∃n0∈N ∗,vói∀n“n0:d (x n ,x0)

,

j=1

.(

n) j

Suyra .

x (n) .2 ε2

Tacó

j −x j k

x (n)

.2,

2

2™t™ 2+n

(n“2) 

2 n

Chúngminh{x n }làdãyCauchytrongkhônggian.C[0;1],d.

2 +n

¸

1 2

|x n (t)−y m (t)|dt™

2 +m

¸

1 2

Đ¾tx =(x1,x2, ,x k )tanh¾nđưocdãy,x (n),⊂R k h®itutheotoađ®

tóix.Nhưngsnh®itutrongkhônggianEuclideR ktươngđươngvóisnh®itutheot

k k

k=1 p

x (n1 ) +2ε2vóin1>αn0.

k=1

.k

k=1

2 +2n

¸

1 2

|x n (t)−x(t)|dt→0,khin→∞.

1 2

1

¸

|x n (t)−1|dt→0,khin→∞,

0 1

¸

|x n (t)−0|dt→0,khin→∞.

1 2

Nhưv¾yhaihàmx (t)và1cùnglàgióihancnax n( t)trongCL



1.0;

2

Vìa ∈[0;1),suyraTlàánhxaco.Rlàkhônggianmetricđayđn,theo

Nguyênlýđiembatđ®ngcnaBanachveánhxaco,ánhxaTc ó điembatđ®ngduyn hatx ∗ ,nghĩalàphươngtrình(2.12)c ó nghi¾mduynhatx ∗

™r.Wlàm®tkhônggianđayđn.T h ¾ t v¾y,neu{ x n (t)}làm®tdãyCauchytrong

W thìnóc ũ n g làdãyCauchytrongC[t0−r,t0+r]chonênpháih®itutóim®thàms o liên

tucx (t)nàođó(vìkhônggianC [t0−r,t0+r] đayđn).Chon→ ∞ thìtù

t0

t

f(s,x(s))ds.

d(x,y)= | x i −y i |2

i=1

vóix =(x1,x2, ,x n ),y=(y1,y2, ,y n),thì(Rn ,

d)làkhônggianmetricđayđn

%nhnghĩa2.2.2.C h o khônggianmetricc a u(X,d K ),dãy{x n }⊂X,điemx0∈ X.Dãy{x n }goilàh®itutóiđiemx0thu®cXkhin→∞,neuvóimoiε>α0,∃n0∈N ∗ sao

%nhnghĩa2.2.3.C h o khônggianmetricc a u(X,d K ).Dãy{x n }⊂XgoilàdãyC

auchy,neuvóimoiε>α 0,tontain0∈N ∗ saocho∀n,m“n0,

™ K i h n+i−1 d K (x0,x1)

i=1 m

Khiđótacó

d K (x ∗ ,y ∗ )=d K (T x ∗ ,T y ∗ )™hd K (x ∗ ,y ∗ ).

− K K K

Chương3

Điembatđ®ngtrongkhônggianmetric xácsuatcókỳvongtoánhoc

Trongchương nàytácgiátrìnhbàycáckháini¾mcơbánvekhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhocvàđiembatđ®ngcnaánhxacotrongđó

Dođód (x,y)= 0⇐⇒x=y.

TheotínhchatcnahàmphânboF x,y (t)=F y,x (t).Tacó

t tdF x,y

2

t.

+2

trongXđeuh®itutrungbìnhđenm®tđiemthu®cX.

Đ%nhlý3.1.2.[22]Cho (X,F)làm®tkhônggianmetricxácsuatcókỳ vongtoánhoc,cácm¾nhđesauluônđúng

1 M®tdãy{x n }trongXh®itntrungbìnhtóix∈Xthì{x n }h®itntói

n→∞ 0

lim

ình)tóix 0∈ X.

Tacó

Hay

lim

Nhưv¾y,khônggianmetricxács u a t M e n g e r đayđnc ó kỳvongtoánhoc(X,

F,∆)vàánhxaT thóamãnđayđnc á c đieuki¾nc n a Đ%nhlý

2.2.1đoivóikhônggianmetriccau(X,d2)

TheoketquácnaĐ%nhlý2.2.1,Tc ó điembatđ®ngduynhat.

Khônggianmetriccauvàkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhocđeulànhungkhônggianđưocxâydnngtùnhungmetriccótínhchat

kháđ¾cbi¾t.Tuynhiêndnatheokythu¾tcnanguyênlýđiembatđ®ngBanach,chúngtađãcóketquáveđiembatđ®ngchokhônggianmetricc a u vàdnavàomoiquanh¾giuakhônggianmetriccauvàkhônggianmetricxácsuatcókỳvongtoánhoctađãcóketquáveđiembatđ®ngtrongkhônggiannày.

Lu¾nvănđãtrìnhbàym®tcáchngangon,cóh¾thongcáckháini¾mvekhônggianmetricxácsuatc ó kỳvongtoánhocvàđiembatđ®ngc n a nó.C u thelà:

Snmór®ngkháini¾mmetricxácsuatlàrathuuíchchosnpháttriencnalýthuyetđiembatđ®ng.Ngoàicáckháini¾mveđiembatđ®ngđưoctrìnhbàytronglu¾nvăncònnhieukháini¾mcũngnhưnhieuvanđeveđiembatđ®ngđangđưocmór

®ngvàpháttrien

Vóiphamvivàthòigiancóhanchacchanlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusó t Mong quýthaycô vàc ác bangópýđelu¾nvănđưochoànthi¾n.Tácgiáxinchânthànhcámơn!

eviewogresearch,FacSci Math Series,UnivofNoviSad,13,63-72.

[21]V.I s t r ă t e s c u andSacuiu(1973),“ F i x e d pointtheoremsf o r c o n

-tractionmappingsonprobabilisticmetricspa ces”, Rev.RoumainneMat