Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

Chauhan đã công bo ket quá ve điembat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trong không gian metric mò qua bài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly 5... Hà Đnc Vưong, tôi ma

LèI CÁM ƠN

Lu¤n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc sư pham

Hà N®i 2 dưói su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong

Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói TS Hà Đnc Vưong, ngưòi thay đã luôn quan tâm, đ®ng viên và t¤n tình hưóng dan tôi trong quá trình thuc hi¾n lu¤n văn

Tôi xin đưoc gni lòi cám ơn chân thành tói Ban giámhi¾u trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, cácthay cô giáo trong nhà trưòng và các thay cô giáo day cao hocchuyên ngành Toán giái tích đã tao đieu ki¾n thu¤n loi cho tôitrong quá trình hoc t¤p và nghiên cnu

Tôi xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên và tao moi đieu ki¾n đe tôi hoàn thành lu¤n văn này

Hà N®i, tháng 10 năm 2012

Tác giá

Nguyen Th% Huyen

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan lu¤n văn là ket quá nghiên cnu cúa riêng tôi dưói su hưóng dan cúa TS Hà Đnc Vưong

Quá trình nghiên cnu tôi đã sn dnng và ke thna thành quá cúa các nhà khoa hoc vói su trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2012

Tác giá

Nguyen Th% Huyen

12

171.4

Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thíc h y eu

trong không gian metric 26

Không gian metric mà 32

2.1 Đ%nh nghĩa v à ví dn 32

2.3 Moi quan h¾ giña không gian metric

v à không gian metric mò . 47

trong không gian metric mà 49

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Cho G là m®t t¤p hop khác rong và ánh xa T : G →

G Điem x ∈ G thóa mãn phương trình T x = x đưoc goi làđiem bat đ®ng cúa ánh xa T trên t¤p G

Vi¾c nghiên cnu ve điem bat đ®ng có ý nghĩa rat lón cá

ve lý thuyet và nng dnng trong toán hoc nói riêng và khoa hoc

ky thu¤t nói chung, do đó đã thu hút nhieu nhà toán hoc quantâm Các ket quá nghiên cnu ve lĩnh vuc này đã hình thành

nên “ Lý thuyet điem bat đ®ng”.

Năm 1965, Zadeh là ngưòi đau tiên đưa ra khái ni¾m “t¾p

mò”, đó là các ánh xa đi tn t¤p X vào đoan [0 ; 1] Sau đó córat nhieu nhà toán hoc nghiên cnu van đe này như: Erceg,

Kaleva, Derg, và “không gian metric mò” đã đưoc xây dung.

Năm 1986, Jungck đưa ra khái ni¾m các ánh xa tươngthích Nhieu nhà toán hoc đã có ket quá ve điem bat đ®ngchung cho các ánh xa loai này

Năm 2010, các tác giá ngưòi An Đ® : V S Chouhan,

V H Badshah và M S Chauhan đã công bo ket quá ve điembat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trong không gian

metric mò qua bài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly

5

compatible maps ”

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve van đe này, đưoc sugiúp đõ và hưóng dan t¤n tình cúa TS Hà Đnc Vưong, tôi manhdan chon đe tài nghiên cnu:

“Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trong

không gian metric mà”

2 Mnc đích nghiên cNu

H¾ thong lai các ket quá ve điem bat đ®ng cho cácánh xa tương thích yeu trong không gian metric mò Công trìnhnghiên cnu dua trên ket quá cúa các nhà toán hoc V S.Chouhan, V H Badshah và M S Chauhan trong bài báo

“Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly compatible maps ”

(xem [6])

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cnu ve không gian metric mò, các ánh xa tươngthích yeu và điem bat đ®ng cúa chúng trong lóp không gian này

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cnu ve điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thíchyeu trong không gian metric mò

5 Phương pháp nghiên cNu

D%ch, đoc, nghiên cnu tài li¾u và tong hop, phân tích,v¤n dnng kien thnc cho mnc đích nghiên cnu

6 DN kien đóng góp

Đây là bài tong quan ve điem bat đ®ng cho các ánh xatương thích yeu trong không gian metric mò Đe tài này giúpngưòi đoc hieu đưoc nhñng khái ni¾m cơ bán ve không gianmetric mò, các ánh xa tương thích yeu và ket quá ve điem batđ®ng cúa chúng trong lóp không gian này

Chương 1

Kien thNc chuan b%

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái ni¾m cơbán ve không gian metric, không gian metric đay đú, các ánh xatương thích, tương thích yeu trong không gian metric và moiquan h¾ giña hai loai ánh xa này Đong thòi chúng tôi cũngtrình bày ket quá ve điem bat đ®ng cúa các ánh xa tương thíchyeu trong không gian metric và các ví dn minh hoa

Đ%nh nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là m®t c¤p (X, d)

trong đó X là m®t t¤p hop khác rong, d là m®t ánh xa tn tíchDescartes X × X vào t¤p hop so thuc R thóa mãn các đieuki¾n sau:

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y

2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.

Ánh xa d đưoc goi là metric trên X Các phan tn cúa X

goi là các điem Khi đó, ta có không gian metric (X, d)

Ví dn 1.1.1 Cho C [a, b] là không gian các hàm so nh¤n giá

tr% thuc xác đ%nh và liên tnc trên đoan [a, b], (−∞ < a < b

< + ∞) Vói hai hàm so bat kỳ x = x (t) , y = y (t) thu®c C [a, b] ta đ¤t :

d (x, y) = max

a≤t≤b |x (t) − y (t)|

Khi đó (C [a, b] , d) là m®t không gian metric

Chúng minh Ta có d (x, y) xác đ%nh trên C [a, b]

Th¤t v¤y, vì các hàm so x (t) , y (t) liên tnc trên đoan [a, b] nên hàm so |x (t) − y (t)| cũng liên tnc trên đoan [a, b]

Do đó, hàm so này đat giá tr% lón nhat trên đoan [a, b] Suy rah¾ thnc cúa d (x, y) xác đ%nh m®t ánh xa tn tích Descartes C [a, b] × C [a, b] vào t¤p hop so thuc R

|x (t) − y

(t) | = 0

thì ta có

|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b]

Do

đó d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) vói ∀x, y, z ∈ C [a, b]

V¤y (C [a, b] , d) là m®t không gian metric

Ví dn 1.1.2 Cho P là t¤p hop tat cá các dãy so thuc x = {x n }.Đoi vói hai dãy so bat kỳ x = {x n }, y = {y n } ta đ¤t :

∞

n= 1

n= 1

1 |y n − x n |

.

2n 1 + |y n − x n |

V¤y d (x, y) = d (y, x) vói ∀x, y ∈ P.

Cuoi cùng tn bat đang thnc

V¤y (P, d) l¤p thành m®t không gian metric.

Đ%nh nghĩa 1.1.2 [1]. Cho không gian metric (X, d), điem x0

Điem x0 đưoc goi là m®t điem trong cúa t¤p G neu ton tai m®t lân c¤n cúa nó nam tron trong t¤p G, tnc là lân c¤n đó chí chna toàn

nhñng điem cúa G.

Điem x0 đưoc goi là điem ngoài cúa t¤p G neu ton tai m®t lânc¤n cúa nó nam tron ngoài t¤p G, tnc là lân c¤n đó hoàn toànkhông chna điem nào cúa t¤p G

Đ%nh nghĩa 1.1.5 [1]. Cho không gian metric (X, d), m®t t¤p

hop

G ⊂ X

T¤p G đưoc goi là t¤p mó trong không gian X neu moi điemthu®c

G đeu là điem trong cúa G

T¤p G đưoc goi là t¤p đóng trong không gian X neu moi điem không thu®c G đeu là điem ngoài cúa G

Đ%nh lí 1.1.1 [1]. Cho không gian metric (X, d) , « là ho tat

cá các t¾p mó trong X thì « sinh ra m®t tôpô trên X

Chúng minh Ta có X và φ là các t¤p mó nên X ∈ «, φ ∈ « Giá sn ho (Gα)α∈I ⊂ « vói I là t¤p chí so

Ví dn 1.1.3 Cho X = R vói metric thông thưòng d Khi đó, ho các khoáng trên R là m®t tôpô trên R và đưoc goi là tôpô tu nhiên trên R.

1.2 Không gian metric đay đú

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [1]. Dãy {x n } trong không gian metric (X,

Điem x0 đưoc goi là giói han cúa dãy {x n }

Ví dn 1.2.1 Su h®i tn cúa m®t dãy điem trong không gian C [a, b]

tương đương vói su h®i tn đeu cúa dãy hàm liên tnc trên đoan

[a, b] Chúng minh Th¤t v¤y, giá sn dãy hàm {x n (t) } ⊂ C [a, b] h®i tn tói hàm x (t) trong không gian C [a, b] Theo đ%nhnghĩa su h®i tn

Do đó, dãy hàm {x n (t) } ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm x (t)

trên đoan [a, b]

Ngưoc lai, giá sn dãy hàm {x n (t) } ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm

x (t) trên đoan [a, b] Khi đó hàm x (t) liên tnc trên đoan [a, b] nên

x (t) ∈ C [a, b]

Theo đ%nh nghĩa su h®i tn đeu cúa dãy hàm ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] thì

không gian C [a, b]

Đ%nh nghĩa 1.2.2 [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy

Đ%nh nghĩa 1.2.3 [1]. Không gian metric (X, d) đưoc goi làkhông gian metric đay đú neu moi dãy Cauchy trong X đeu h®i

tn tói m®t

điem thu®c X.

Ví dn 1.2.2 C [a, b] là m®t không gian metric đay đú.

Chúng minh Th¤t v¤y, giá sn {x n (t) } là dãy Cauchy tùy ý

trong không gian C [a, b] Theo đ%nh nghĩa dãy Cauchy:

Do đó, dãy hàm {x n (t) } ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm x (t)

trên đoan [a, b]

Ngưoc lai, giá sn dãy hàm {x n (t) } ⊂ C [a, b] h®i tn đeu tói hàm

x (t) trên đoan [a, b] Khi đó ta có x (t) liên tnc trên đoan [a, b] nên

x (t) ∈ C [a, b] Theo đ%nh nghĩa su h®i tn đeu cúa dãy hàm thì

Ví dn 1.2.3 Cho không gian X gom tat cá các hàm so x (t)

liên tnc trên toàn không gian metric R1 sao cho x (t) = 0 ngoàim®t đoan nào đó (đoan này phn thu®c tnng hàm so x (t))cùng vói metric





t2 + 1

1

−

n2 + 1

V¤y {x n } là m®t dãy Cauchy trong X.

Giá sn X là không gian metric đay đú Khi đó ton tai x ∈ X

trong không gian metric

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [12] Cho A và S là các ánh xa đi tnkhông gian metric (X, d) vào chính nó Các ánh xa A và S

đưoc goi là tương thích (compatible) neu vói moi dãy {x n }

d (ASx n , SAx n) =

n→∞ n→∞

n9 .V¤y A và S là các ánh xa tương thích trên R

Đ%nh nghĩa 1.3.2 [9]. Cho A và S là các ánh xa đi tn khônggian metric (X, d) vào chính nó Các ánh xa A và S đưoc goi

là không tương thích (noncompatible) neu ton tai ít nhat m®tdãy {x n } trong X thóa mãn

≥

Ví dn 1.3.2 Cho t¤p so thuc R vói metric thông thưòng

Khi đó, A và S là các ánh xa không tương thích trên R

Chúng minh Th¤t v¤y, ta xét dãy {x n } vói:

1

Khi đó, ta

có

x n = 2 +

n

4 . . 8+

n.

+

Đ%nh nghĩa 1.3.3 [14]. Các ánh xa A, S : X → X đưoc goi làgiao hoán (commuting) khi và chí khi

Khi đó, A và S là các ánh xa giao hoán

Chúng minh Th¤t v¤y, vói ∀x ∈ R ta có:

ASx = SAx = x + 2012.

Do đó A và S là các ánh xa giao hoán trên R

Đ%nh nghĩa 1.3.4 [3] Cho X là m®t t¤p hop bat kỳ và xétcác ánh xa A, S : X → X M®t điem x trong X đưoc goi làđiem trùng (coincidence point) cúa c¤p ánh xa A, S neu Ax =

Sx

Ví dn 1.3.4 Cho t¤p so thuc R vói metric d (x, y) = |x −

y| Ta xét các ánh xa A, S : R → R xác đ%nh bói :

Ax = sinx, ∀x ∈ R.

Chúng minh Th¤t v¤y, vói moi x ∈ [1; 3] ta có

Ví dn 1.3.6 Cho t¤p so thuc R vói metric d (x, y) = |x − y| Xét các ánh xa A, S : R → R đưoc xác đ%nh bói:

Do đó A và S là các ánh xa không tương thích yeu trên R.

Nh¾n xét 1.3.1 Moi c¤p ánh xa tương thích thì đeu là các

vói moi dãy {x n } trong X thóa mãn

Do đó c¤p ánh xa A, S giao hoán tai điem trùng

0 V¤y A, S cũng là các ánh xa tương thích yeu

Chúng minh Th¤t v¤y, ta xét dãy {x n } đưoc xác đ%nh bói :

Ax n = 1.

nên t¤p hop các điem trùng cúa A và S là đoan

[1; 2] Hơn nña, lai có:

ASx = SAx = 2 vói moi x ∈ [1; 2]

Do đó A và S là các ánh xa giao hoán tai moi điem trùng cúa chúng V¤y A và S là các ánh xa tương thích yeu

1.4 Điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu

trong không gian metric

Bo đe 1.4.1 [10]. Cho A, B, S và T là các ánh xa đi tù

không gian metric (X, d) vào chính nó sao cho

AX ⊂ T X, BX ⊂ SX.

Khi đó ∀ε > 0, ∃δ > 0 thì ta có:

1) ε < M (x, y) < ε + δ suy ra d (Ax, By) ≤ ε, ∀x, y ∈ X,

2) d (Ax, By) < M (x, y) vói moi M (x, y) > 0, ∀x, y ∈ X,

trong đó

M (x, y) = max {d (Sx, T y) , d (Ax, Sx) , d (By, T y) ,

[d (Sx, By) + d(Ax, T y)].

ε < M (x, y) < ε + δ suy ra d (Ax, By) ≤ ε.

3) d (Ax, By) < k[d (Sx, T y) + d (Ax, Sx) + d(By, T y)

Chúng minh Lay x0 là m®t điem bat kỳ trong không gian X

Do đieu ki¾n 1) cúa đ%nh lí 1.4.1 ta có the chon đưoc các dãy

{x n } ,

{y n } trong X xác đ%nh như sau:

y 2n = Ax 2n = T x 2n+1 ,

y 2n+1 = Bx 2n+1 = Sx 2n+2

Vì đieu ki¾n 2) cúa đ%nh lí 1.4.1 thóa mãn bo đe 1.4.1 nên ta có

{y n }

là m®t dãy Cauchy trong X

Giá sn T X là m®t không gian con đú cúa X Khi đó ta có dãy con

y 2n = T x 2n+1 là m®t dãy Cauchy trong T X và có giói han

S w

=

u

Ta đ¤t x = w, y = x 2n+1 trong đieu ki¾n 3) cúa đ%nh lí 1.4.1 có

d (Aw, Bx 2n+1 ) < k[d (Sw, T x 2n+1 ) + d (Aw, Sw) +

d (Bx 2n+1 , T x 2n+1 ) + d (Sw, Bx 2n+1 ) + d (T x 2n+1 , Aw) ]

Tương tu, do u = Sw = Aw và do c¤p ánh xa (A, S) là

tương thích yeu nên ta có

ASw = SAw.

Suy

Như v¤y, tn đieu ki¾n 3) cúa đ%nh lí 1.4.1 suy ra

d (Aw, Bu) < k [d (Sw, T u) + d (Sw, Aw) + d (T u, Bu)

+ d (Sw + Bu) + d (T u, Aw)].

Suy ra u là điem bat đ®ng chung cúa các ánh xa A, B, S, T

Trưòng hop SX là không gian con đú cúa X chnng minh

tương tu như trên

Neu AX là không gian con đú cúa X thì

và moi quan h¾ giña hai loai ánh xa này Đong thòi, trình bàyket quá ve điem bat đ®ng cho các ánh xa tương thích yeu trongkhông gian metric và đưa ra các ví dn minh hoa.

Chương 2

Không gian metric mà

Năm 1965, Zadeh đã đưa ra khái ni¾m “t¾p mò” Sau

đó đã có rat nhieu nhà toán hoc quan tâm nghiên cnu van đe này

như Deng, Erceg, Kaleva, Seikkala, và “không gian metric mò”

đã đưoc xây dung

Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m

cơ bán cúa không gian metric mò, các ví dn minh hoa, su h®i

tn trong không gian metric mò, moi quan h¾ giña không gianmetric và không gian metric mò

Đ%nh nghĩa 2.1.2 [15]. M®t t¤p mò thuc x đưoc goi là loi

(convex) neu vói ∀s, r ∈ R và ∀µ ∈ [0; 1] thì

Chúng minh Th¤t v¤y, x (t) xác đ%nh vói moi t ∈ R và ta có

(1 + 2s2)2

[ s + µs + (1 − µ ) r ] [ s − µs − (1 − µ

[( s + r ) + µ ( s − r )] [ s − r − µ ( s −

r )]

2,

1 + 2[µs + (1 − µ) r]

(1 + 2s2)

2 .(1 − µ) (s2 − r2) + µ (1 − µ) (s − r)2.

2,

1 + 2[µs + (1 − µ) r]

(1 + 2s2)

V¤y x (t) là m®t t¤p mò thuc loi.

Đ%nh nghĩa 2.1.3 [15]. M®t t¤p mò thuc x đưoc goi là chuantac (normal) neu ton tai t0 ∈ R sao cho

Chúng minh Ta có các hàm so x (t), y (t) là các t¤p mò thuc (xem ví dn 2.1.1) M¤t khác,

2

= 1.

Suy ra x (t) là t¤p mò thuc chuan tac

y (0) = cos20 = 1.

V¤y y (t) cũng là t¤p mò thuc chuan tac

Đ%nh nghĩa 2.1.4 [15]. M®t t¤p mò thuc x đưoc goi là nna liên tnc trên tai t0 neu ánh xa x : R → [0; 1] nna liên tnc trên tai t0

Ví dn 2.1.4 Cho hàm so :

x (t) =



0 khi t < 0,1



1 + 2tkhi t ≥ 0.

Khi đó, x (t) là m®t t¤p mò thuc nna liên tnc trên

Chúng minh Ta có x (t) xác đ%nh vói moi t ∈ R và có

0 ≤ x (t) ≤ 1 vói ∀t ∈ R,

nên x (t) là m®t t¤p mò thuc

Vì x (t) là hàm so liên tnc vói moi t ƒ= 0 nên x (t) cũng là hàm

so nna liên tnc trên vói moi t ƒ= 0

Suy ra hàm so x (t) nna liên tnc trên tai t = 0.

V¤y x (t) là hàm so nna liên tnc trên vói moi t ∈

R Hay x (t) là t¤p mò thuc nna liên tnc trên

Đ%nh nghĩa 2.1.5 [15]. T¤p mò thuc x đưoc goi là không âm(non – negative) neu thóa mãn



1 + 2t khi t ≥ 0.

Khi đó x (t) là m®t t¤p mò thuc không âm

Chúng minh Th¤t v¤y, ta có x (t) là m®t t¤p mò thuc (xem ví

dn 2.1.4) M¤t khác, ta lai có:

x (t) = 0 vói ∀t < 0,

nên theo đ%nh nghĩa 2.1.5 ta có x (t) là m®t t¤p mò thuc không âm

Đ%nh nghĩa 2.1.6 [15]. M®t so mò (fuzzy number) là m®t t¤p mò thuc loi, chuan tac và nna liên tnc trên.

Ký hi¾u t¤p các so mò là R

M®t so mò không âm (non – negative fuzzy number) là m®t t¤p

mò thuc, loi, chuan tac, nna liên tnc trên và không âm

Ký hi¾u t¤p các so mò không âm là R+

3) ∆ (a, b) ≤ ∆ (c, d) neu a ≤ c, b ≤ d; ∀a, b, c, d ∈ [0; 1]

4) ∆ (a, ∆(b, c)) = ∆ (∆(a, b), c) vói ∀a, b, c ∈ [0; 1]

5) ∆ liên tnc