He toa do trong khong gian-01

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ i   j o Ox là trục hoành Oy là trục tung Điểm O là gốc toạ độ y x Kiểm tra bài cũ: Hệ trục toạ độ gồm hai trục và vuông góc với nhau.. 1 Hệ

Kiểm tra bài cũ:

Câu 1: Em hãy nêu định nghĩa trục toạ độ?

Trả lời:

.i



Câu1: Trục toạ độ là một đ ờng thẳng trên đó đã xác định

một điểm O gọi là điểm gốc và một véc tơ đơn vị

Ký

hiệu: ( ; )O i



i



Ta lấy điểm I sao cho

OI i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( ; ),O i

Tia OI còn đ ợc ký hiệu là Ox,tia đối của Ox là Ox’ Khi

đó trục còn gọi là trục x’Ox hay trục Ox

Câu 2: Em hãy nêu định nghĩa hệ trục toạ độ

i





j

o

Ox là trục hoành

Oy là trục tung

Điểm O là gốc toạ độ

y

x

Kiểm tra bài cũ:

Hệ trục toạ độ gồm hai trục và vuông góc với nhau Điểm gốc O của hai trục gọi là gốc

toạ độ Trục gọi là trục hoành, kí hiệu là Ox Trục gọi là trục tung, kí hiệu là Oy.

Các vectơ là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và

Hệ trục toạ độ còn đ ợc kí hiệu là Oxy

( )O i j; ,r r ( )O i;r ( )O j;r

,i j

r r

( )O i;r

( )O j;r

1

i = =j

r r

( )O i j; ,r r

Chú ý: Mặt phẳng trên

đó đã cho một hệ trục

toạ độ Oxy đ ợc gọi là

mặt phẳng Oxy

Ch ơng III

Ph ơng pháp toạ độ trong không gian

Hệ toạ độ trong không

gian

Ph ơng trình mặt phẳng

Ph ơng trình đ ờng thẳng

1 Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

x’Ox là trục hoành

Điểm O

là gốc toạ độ

y’Oy là trục

tung

z’Oz là trục

cao

y

i



j r

k r

O

x

z

x’

z’

y’

1) Hệ toạ

độ :

+) Điểm O đ ợc gọi là gốc toạ độ

+) Trục x’Ox đ ợc gọi là trục hoành

+) Trục y’Oy đ ợc gọi là trục tung

+) Trục z’Oz đ ợc gọi là trục cao

2 2 2

i = = = j k i j = j k ki = =

r r r r r r r r r

i  r j k r

+) , , là ba véc tơ đơn

vị đôi một

vuông góc, ta có:

+) Các mặt phẳng toạ độ (Oxy),

(Oyz), (Ozx)

+) Không gian với hệ toạ độ Oxyz

còn

đ ợc gọi là không gian Oxyz

Ký hiệu: Oxyz.Định nghĩa (SGK)

1 Hệ toạ độ trong không gian

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

1) Hệ toạ độ

E

M

O

y

x

z

k

Hoạt động 1: Trong không gian Oxyz cho một điểm

M Hãy phân tích vectơ theo ba vectơ không

đồng phẳng , , đã cho trên các các trục Ox; Oy; Oz

j



k

i

OM

Lời giải

Biểu diễn theo và

?

OMuuur OEuuur ONuuur

Biểu diễn theo và

?

uuur

OE OKuuur OHuuur

Biểu diễn:

theo ? theo ? theo ?

r i

+ ) OKuuur + ) OHuuur r

j

+ ) ONuuur r

k

Biểu diễn theoOMuuur r r r

i, j,k?

Ta có OM OE ON   

OE OH OK   

OK x i OH y j ON z k                    

     

     

     

     

     

     

Gọi K, H, N lần l ợt là hình chiếu

của M

lên các trục Ox, Oy, Oz

.

OM OK OH ON

x i y j z k

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Vậy

K x

H y

N z

2) Toạ độ của một

điểm

y

x

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

OM  x i  y j z k

ĐN: Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn

gọi là toạ độ của điểm M đối với hệ trục toạ

độ Oxyz

Viết M(x;y;z) hoặc M= (x;y;z)

Nhận xét: x; y; z là toạ độ t ơng ứng

của các điểm K; H; N Trên các trục toạ

độ Ox, Oy, Oz

Trong không gian Oxyz

cho điểm M và 3 vectơ

không đồng

phẳng Có bao nhiêu bộ

3 số (x; y; z) thoả mãn:OM  x i y j z k   ?

, ,

i j k

  

Với bộ 3 số (x; y; z)

có bao nhiêu điểm

M thoả mãn OM  x i y j z k   ?

O z

k

M

E

H K

N

x

y z

2) Toạ độ của một

điểm.

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

Ví dụ1:

a Cho OM )                                2 5 i                       j k ON                     ,                               2 k j

Xác định toạ độ của các

điểm M, N? ) điểm M(-2; 0; 0), N(0; -2; 1), P(-3; 2; 1) Hãy biểu thị OM, ON và OP theo các vectơ đơn vị?

b Cho

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz

Giải:

Vậy N(0;-1;2)

a) M(2;5;-1);

ON  k  j  i  j  k

)   2 ,   2  ,   3  2 

Đ án: Trong không gian cho 3 vectơ a, b, c không đồng phẳng Khi đó vớ i mọi vectơ x ta đều đ ợ c bộ 3 số m, n, p sao cho

x =ma+nb+pc Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất.

  



I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

Em hãy nêu định lý

về biểu diễn một vectơ theo 3 vectơ

không đồng phẳng?

3 Toạ độ của véc

tơ

1 2 3

Đ ịnh nghĩa: Trong không gian Oxyz cho vectơ a, khi đó luôn tồn tại duy nhất bộ 3 số (a ; a ;a ) sao cho a=a i + a j + a k Ta gọi bộ 3 số (a ; a ;a ) là toạ độ của vectơ a đối vớ i

hệ toạ độ Oxyz



  

1 2 3 1 2 3 Viết a=(a ; a ;a ) hoặc a(a ; a ;a ) 

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

Nhận xét:

)Trong hệ toạ độ Oxyz, toạ độ của điểm M là toạ độ của vectơ OM

Ta có: M= (x;y;z) OM = (x;y;z)





) i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1)

) 0 (0;0;0).

 

3 Toạ độ của véc

tơ

I- Toạ độ của điểm và của

véc tơ.

A O

A’

B’

C’

D

D’

M

c

x

z

y

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a,

AD =b, AA’ = c Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của C’D’

Giải:

AB AD AA

  

, , ',

AB AC AC AM

     i j k, ,

  ) AB ai AD b j AA ck AB a, , ' ;0;0

                                   

  ) AC AB AD ai bj AC a b; ;0

                                    

 

                                                    

                                                

1 ; ; 2

   

Ta có:

AB AD AA

  

, , ',

AB AC AC AM

     i j k, ,

Hoạt động 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, có theo thứ tự cùng h ớng với và có AB = a,

AD =b, AA’ = c Hãy tính toạ độ các vectơ với M là trung điểm của C’D’

AB AD AA

  

, , ',

AB AC AC AM

     i j k, , AB AD AA, , '

  

, , ',

AB AC AC AM

     i j k, , AB AD AA, , '

  

, , ',

AB AC AC AM

     i j k, ,

                     

1 Hệ toạ độ trong không gian

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ

độ Oxy cho

Kiến thức

cũ a (a ; a ), b (b ;b ) 1 2   1 2

5) Vớ i b 0, a cù ng ph ơng b       k  :a kb ,a   kb

1 1 2 2

2) a b (a b ; a     b )

1 2

3) k.a (ka ; ka ), k  

1 1

2 2

a b 4) a b





   



 

1 1 2 2

1) a b (a b ; a     b )

B A B A

6) Trong mặt phẳng vớ i hệ Oxy cho A(x ; y ), B(x ; y ) thì

AB = OB -OA = (x -x ; y -y ).

               

Ta có:

x + x y + y



1 Hệ toạ độ trong không gian

II- Biểu thức toạ độ của các phép

toán vectơ

1 1 2 2 3 3.

2) Vớ i b 0, a cù ng ph ơng b       k  :a kb ,a   kb ,a kb 

1 1 2 2 3 3

2) a b (a b ; a     b ;a  b ).

1 2 3

3) ka (ka ; ka ;ka ), k   

1 1

a b 1) a b a b

a b







   

 



 

1 1 2 2 3 3

1) a b (a b ; a     b ;a  b ).

B A B A B A

3)Trong k/g vớ i hệ Oxyz cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z ) thì

) AB = OB -OA = (x -x ; y -y ;z -z ).

                

a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b )  

Định lý : Trong không gian Oxyz cho

hai vectơ

Ta

có:

Hệ quả:

+) Toạ độ trung điểm M của đoạn

thẳng AB là :

A B A B A B

x x y y z z

1 Hệ toạ độ trong không gian

a a a a a a a a

a a i a j a k

Củng

cố: Qua bài học cần nắm đ ợc các kiến thức trọng tâm sau:

1) Định nghĩa hệ

toạ độ

2)Toạ độ của một

điểm.

.

OM   x i y j z k 

Bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn

gọi là toạ độ của điểm M đối

với hệ trục toạ độ Oxyz Viết

M(x;y;z) hoặc M = (x;y;z)

I- Toạ độ của điểm và của véc tơ.

3) Toạ độ của véc tơ

II- Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1 1 2 2 3 3.



1 1 2 2 3 3

3) ka (ka ; ka ;ka ), k   

a b







 



 

1 1 2 2 3 3

1) a b (a    b ; a  b ;a  b ).

A A A B B B

B A B A B A

A B A B A B

3)Cho A(x ; y ;z ), B(x ; y ;z )

AB = (x -x ; y -y ;z -z ).

Toạ độ trung điểm M của AB:







1 2 3 1 2 3

a (a ; a ;a ), b (b ;b ;b ) 

Định lý: Trong không gian Oxyz cho

hai vectơ

Ta có:

Hệ quả:

1 Hệ toạ độ trong không gian

Câu hỏi thảo

luận

Trong không gian với hệ toạ độ

Oxyz

Nhóm 1, 2: a) Tìm toạ độ của

các véc tơ:

1

AB, AC, v 3AB AC.

2

 

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

CMR :Ba điểm A, B, C

thẳng hàng

Nhóm 3, 4: b)Xác định toạ độ trung điểm của

đoạn thẳng BC

Đáp án: a) AB ( 2;1; 1), AC (4; 2;2)      

3AB ( 6;3; 3), AC (2; 1;1), v 3AB AC ( 8;4; 4).

Hai véc tơ cùng ph ơng vì AB,AC  AC 2.AB

b) Toạ độ trung điểm M của đoạn

thẳng BC là:

3 5 M(2; ; )

2 2

Vậy ba điểm A, B, C thẳng hàng

1 Hệ toạ độ trong không gian

Công việc về nhà:

Làm bài tập 1, 2, 3 SGK trang

68 Nghiên cứu phần III, IV SGK

Ôn tập lý thuyết

Hệ trục tọa độ nh ta đã học còn đ ợc gọi là hệ trục

tọa độ Đêcac vuông góc, đó là tên của nhà toán

học phát minh ra nó

Một vài nét về nhà toán

học Đêcac

Đêcac (Descartes) sinh ngày

31/03/1596 tại Pháp và mất ngày

11/02/1650 tại Thuỵ Điển

Đêcac đã có rất nhiều đóng góp cho

toán học Ông đã sáng lập ra môn hình

học giải tích Cơ sở của môn này là ph

ơng pháp toạ độ do ông phát minh Nó

cho phép nghiên cứu hình học bằng

ngôn ngữ và ph ơng pháp của đại số

Các ph ơng pháp toán học của ông đã có

ảnh h ởng sâu sắc đến sự phát triển của

toán học và cơ học sau này

Một vài nét về nhà toán học Đêcac

17 năm sau ngày mất ,ông đ ợc đ a về

Pháp và chôn cất tại nhà thờ mà sau

này trở thành điện

Păngtêông(Panthéon), nơi yên nghỉ

của các danh nhân n ớc Pháp

Tên của Đêcác đ ợc đặt tên cho một

miệng núi lửa trên phần trông thấy

của mặt trăng