Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNHỮ VĂN HUẤN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NHỮ VĂN HUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NHỮ VĂN HUẤN

BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

VÀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LỒI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

Bảng ký hiệu 5

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều 6 1.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid 6

1.1.1 Định nghĩa và ví dụ 6

1.1.2 Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân 8

1.1.3 Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu 8

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Phép chiếu mêtric 11

1.2.2 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm 12

2 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị lồi 19 2.1 Bất đẳng thức biến phân và bài toán cực trị 19

2.1.1 Bài toán cực trị 19

2.1.2 Mối liên hệ giữa bài toán cực trị và bất đẳng thức biến phân 22

2.2 Bất đẳng thức biến phân với hệ phương trình, bài toán bù và bài toán điểm bất động 24

2.2.1 Hệ phương trình 24

2.2.2 Bài toán bù 25

2.2.3 Bài toán điểm bất động 26

2.2.4 Bài toán cân bằng kinh tế dưới dạng bất đẳng thức biến phân 29

Kết luận 32

Mở đầu

Bài toán cân bằng cổ điển (hay còn gọi là bài toán cân bằng vô hướng)đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toánhọc lý thuyết cũng như ứng dụng Từ bài toán này có thể suy ra đượccác bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu: bài toán tối ưu, bài toáncân bằng Nash, bài toán bù, bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân được Stampacchia đề xuất vànghiên cứu đầu tiên từ đầu những năm 60 của thế kỉ trước (xem [11]).Những nghiên cứu của Stampacchia về bất đẳng thức biến phân liênquan đến việc giải bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng Năm

1979, Smith [10] đưa ra bài toán cân bằng mạng giao thông và năm 1980Dafermos [2] chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này là nghiệm củamột bất đẳng thức biến phân Cho tới nay, đã có nhiều bài toán quantrọng trong thực tế được thiết lập và nghiên cứu dưới dạng bất đẳngthức biến phân Chẳng hạn, bài toán cân bằng mạng giao thông, bàitoán cân bằng thị trường độc quyền, bài toán cân bằng tài chính và bàitoán cân bằng di cư (xem [7]) Ngoài ra, bất đẳng thức biến phân còn làmột công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và xây dựng các phương pháp giải

số cho nhiều lớp bài toán cân bằng trong kỹ thuật, vận tải, lý thuyết tròchơi Do vậy việc nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm, cũngnhư xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đã và đang

là một đề tài thời sự thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiềunhà toán học

Luận văn này nhằm trình bày tổng quan về bất đẳng thức biến phântrong không gian hữu hạn chiều và bài toán cực trị lồi Nội dung củaluận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 giới thiệu về bài

toán bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn chiều và nghiêncứu điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Chương 2 trìnhbày mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều với bàitoán cực trị lồi.

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại họcThái Nguyên Tác giả xin cảm ơn sâu sắc tới người hướng dẫn luận văncao học của mình, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, giảng viên trường Đạihọc Khoa học – Đại học Thái Nguyên, người đã dành nhiều thời gian

và tâm huyết để hướng dẫn và giải quyết những thắc mắc cho tôi trongsuốt quá trình tôi làm luận văn Tôi cũng xin bày tỏ lời cảm ơn chânthành tới các thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩ, các thầy côgiảng dạy lớp Cao học toán K7D, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tạonhững điều kiện thuận lợi nhất để tôi có thể hoàn thiện khóa học cũngnhư luận văn của mình

Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015

Học viên

Nhữ Văn Huấn

Bảng ký hiệu

Rn không gian Euclide n chiều

D(A) miền xác định của toán tử A

R(A) miền giá trị của toán tử A

C tập con lồi đóng của Rn

PC phép chiếu mêtrix Rn lên tập con lồi đóng C của RnFix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian hữu hạn chiều

Chương này trình bày một cách sơ lược về bất đẳng thức biến phântrong không gian hữu hạn chiều và một số tính chất về sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân Mục 1.1 giới thiệu tổngquan về bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid Rn và một sốtính chất của tập nghiệm của bài toán Trong Mục 1.2 trình bày điềukiện tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân Các kiếnthức của chương được viết trên cơ sở các tài liệu [1]–[11]

1.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Euclid1.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Trong mục này ta luôn giả thiết Rn là không gian Euclid với tích vôhướng và chuẩn lần lượt được ký hiệu bởi h., i và k.k

Định nghĩa 1.1 Cho C là tập con lồi đóng trong Rn và F : C → Rn làmột ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều vớiánh xạ phi tuyến đơn trị F , ký hiệu là VI(F, C) (variational inequality),được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.1)

Ví dụ 1.1 Cho hàm một biến thực f khả vi trên [a, b] ⊂ R Tìm phần

tử x0 ∈ [a, b] thỏa mãn

f (x0) = min

x∈[a,b]f (x)

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:

(i) Nếu x0 ∈ (a, b) thì f0(x0) = 0;

(ii) Nếu x0 = a thì f0(x0) ≥ 0;

(iii) Nếu x0 = b thì f0(x0) ≤ 0

Những phát biểu trên được tổng hợp thành

f0(x0)(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],đây là một bất đẳng thức biến phân

Ví dụ 1.2 Cho f là một hàm số thực khả vi trên một tập con lồi đóng

C của không gian Euclid n chiều Rn Tìm phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn

1.1.2 Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân

Cho C 6= ∅ là tập lồi đóng trong Rn và x∗ ∈ C Nón chuẩn tắc tới Ctại x∗ là tập

NC(x∗) =

n

d ∈ Rn : hd, x − x∗i ≤ 0 ∀x ∈ Co.Véctơ d ∈ NC(x∗) được gọi là véctơ chuẩn tắc tới C tại x∗

Dễ thấy,

(1.1) ⇔ h−F (x∗), x − x∗i ≤ 0 ∀x ∈ C

⇔ −F (x∗) là vec tơ chuẩn tắc tới C tại x∗

⇔ −F (x∗) ∈ NC(x∗)hay

0 ∈ F (x∗) + NC(x∗)

Định nghĩa 1.2 Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1) được gọi

là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là S

Các giả thiết thường đặt lên bài toán VI(F, C) là:

(A1) Tập C 6= ∅ là tập con lồi và đóng trong Rn;

(A2) Ánh xạ F là ánh xạ liên tục (trên một tập con mở chứa C).Khi C là tập con lồi đóng của Rn và F là ánh xạ liên tục thì tập S

là tập hợp đóng trong Rn

1.1.3 Bất đẳng thức biến phân đối ngẫu

Nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) có mối liên hệ với bàitoán:

Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn hF (x), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.2)Bài toán (1.2) được gọi là bất đẳng thức biến phân đối ngẫu của VI(F, C),

ký hiệu là DVI(F, C) (dual variational inequality) với tập nghiệm được

ký hiệu là S∗ Để khảo sát mối liên hệ giữa S và S∗ ta cần thêm giảthiết về tính đơn điệu cho ánh xạ F

Định nghĩa 1.3 Cho C là một tập con lồi trong không gian Rn và F

là một ánh xạ từ C vào Rn Ánh xạ F là:

(i) Ánh xạ η-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại một hằng số η > 0 saocho

hF (u) − F (v), u − vi ≥ ηku − vk2 ∀u, v ∈ C;

(ii) Ánh xạ đơn điệu ngặt trên C nếu

hF (u) − F (v), u − vi > 0 ∀u, v ∈ C, u 6= v;

(iii) Ánh xạ đơn điệu trên C nếu

hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ C;

(iv) Ánh xạ giả đơn điệu trên C nếu

hF (v), u − vi ≥ 0 suy ra hF (u), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ C;(v) Ánh xạ tựa đơn điệu trên C nếu

hF (v), u − vi > 0 suy ra hF (u), u − vi ≥ 0 ∀u, v ∈ C

Ví dụ 1.3 Xét các ánh xạ Ti : R → 2R (i = 1, 2) cho bởi các công thức:

T1(x) =

({1} , x ≥ 0

∅, x < 0,

T2(x) = {1} ∀x ∈ R

Ta thấy T1 và T2 là các ánh xạ đơn điệu

Tính đơn điệu của ánh xạ có mối liên hệ với tính không giãn của ánh

xạ đó

Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con của không gian Rn Ánh xạ

T : C → C được gọi là không giãn nếu với mọi x, y ∈ C ta có

Ký hiệu Fix(T ) := x ∈ C : x = T (x) là tập điểm bất động của ánh

xạ không giãn T

Mệnh đề 1.1 [5] Cho C là một tập con lồi đóng trong Rn Nếu T :

C → C là ánh xạ không giãn thì ánh xạ F xác định bởi F = I − T làđơn điệu với I là ánh xạ đồng nhất của Rn

Chứng minh Thật vậy, giả sử ánh xạ T : C → C, với C là tập con lồiđóng trong Rn, là ánh xạ không giãn, tức là T thỏa mãn (1.3) Xét ánh

S∗ của bài toán DVI(F, C) được trình bày trong mệnh đề sau đây.Mệnh đề 1.2 [5] (Bổ đề Minty)

(i) S∗ là tập lồi và đóng;

(ii) S∗ ⊆ S;

(iii) nếu F là ánh xạ giả đơn điệu thì S ⊆ S∗

Sự tồn tại nghiệm của bài toán DVI(F, C) đóng vai trò quan trọngtrong việc xây dựng các phương pháp giải cho bài toán VI(F, C) Chú ýrằng khẳng định (iii) trong Mệnh đề 1.2 không còn đúng trong trườnghợp F là tựa đơn điệu Ngoài ra bài toán (1.2) còn có thể vô nghiệmtrong trường hợp F là tựa đơn điệu

1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức

biến phân

Mục này trình bày một số điều kiện đặt lên ánh xạ F và miền chấpnhận được C cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biếnphân VI(F, C)

1.2.1 Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.5 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Euclid

Rn, phép chiếu mêtric PC từ Rn lên C cho tương ứng mỗi x ∈ Rn vớiphần tử PC(x) ∈ C thỏa mãn

kz − xk2 trên tập C với 5g(z) = 2(z − x) Từ điều kiện tối ưu của bàitoán cực trị có ràng buộc ta có điều phải chứng minh

2

Hệ quả 1.1 [7] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng của Rn Khi đóphép chiếu mêtric PC là một ánh xạ không giãn, tức là

kPCx − PCx0k ≤ kx − x0k ∀x, x0 ∈ Rn (1.5)Chứng minh Lấy x, x0 ∈ Rn Giả sử y = PCx và y0 = PCx0 Khi đótheo Định lý 1.1 ta có

với y ∈ C : hy, z − yi ≥ hx, z − yi ∀z ∈ C, (1.6)

với y0 ∈ C : hy0, z − y0i ≥ hx0, z − y0i ∀z ∈ C (1.7)Lấy z = y0 trong (1.6) và z = y trong (1.7) và cộng hai vế của hai bấtđẳng thức thu được ta có

Định lý 1.2 [3] Giả sử C là tập con lồi và compact của không gian Rn

và F : C → Rn là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C Khi đó, tồntại ít nhất một điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.1)

Để chứng minh Định lý 1.2 ta cần một số kết quả sau

Bổ đề 1.1 [7] Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong Rn Khi đóvới mỗi x ∈ Rn, tồn tại duy nhất một điểm y ∈ C sao cho

Mặt khác do chuẩn bình phương là hàm lồi chặt nên điểm y như vậy làduy nhất Vậy g là hàm lồi chặt và cực tiểu của nó là duy nhất.

2Định lý 1.3 (Định lý điểm bất động Brouwer) Giả sử T : C → C làánh xạ liên tục trên tập con C compact và lồi của không gian Euclid Rn.Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗)

Chứng minh Định lý 1.2 Vì các ánh xạ PC và I − tF với t > 0 làliên tục nên ánh xạ PC(I − tF ) cũng liên tục Do đó, theo Định lý điểmbất động của Brouwer, tồn tại điểm x∗ ∈ C sao cho

x∗ = (PC(I − tF ))(x∗) = PC(x∗ − tF (x∗)) với t > 0

Suy ra, x∗ = PC(x∗ − tF (x∗)) là điểm cực tiểu của hàm

g(x) = 1

2kx − [x∗− tF (x∗)]k2với mọi x ∈ C Mà 5g(x) = x − [x∗ − tF (x∗)], suy ra từ điều kiện tối

ưu cho bài toán cực trị có ràng buộc minx∈Cg(x), nên

h5g(x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C,tức là

hx∗ − [x∗ − tF (x∗)], x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C,hay

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ C

2Định lý 1.2 đòi hỏi tập C phải là tập compact Tuy nhiên khi C khôngphải là tập compact thì bài toán (1.1) vẫn tồn tại nghiệm nếu điều kiệntrong định lý sau được thỏa mãn

Định lý 1.4 [4] Cho C là một tập con khác rỗng lồi đóng trong khônggian Euclid Rn và F : C → Rn là ánh xạ liên tục trên C Giả sử tồn tại

tập con compact U khác rỗng của C sao cho: với mọi u ∈ C \ U , tồn tại

v ∈ U thỏa mãn

hF (u), u − vi > 0

Khi đó, bài toán (1.1) có ít nhất một nghiệm

Khi C là tập không bị chặn thì sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân VI(F, C) sẽ được đảm bảo nếu thêm điều kiện được chỉ rasau đây Cho C là tập con khác rỗng lồi đóng trong Rn Khi đó, CR =

C ∩ B(0, R) là một tập lồi compact, với B(0, R) := {u ∈ Rn : kuk ≤ R}

là hình cầu đóng tâm 0, bán kính R trong Rn Tập CR là bị chặn vàtheo Định lý 1.2, ta có

xR ∈ CR : hF (xR), x − xRi ≥ 0 ∀x ∈ CR (1.9)Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệmcủa bất đẳng thức biến phân (1.1) liên quan đến nghiệm của bất đẳngthức (1.9)

Định lý 1.5 [3] Cho C là một tập con lồi và compact của không gianEuclid Rn và F : C → Rn là một ánh xạ đơn điệu và liên tục trên C.Khi đó, điều kiện cần và đủ để bất đẳng thức biến phân (1.1) có nghiệm

là tồn tại một số R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm xR của bất đẳngthức biến phân (1.9) thỏa mãn điều kiện kxRk < R

Chứng minh

Điều kiện cần: Giả sử x∗ ∈ S, tức là x∗ thỏa mãn (1.1) với mọi x ∈ C.Lấy một số R > 0, sao cho kx∗k < R Khi đó,

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0 ∀x ∈ CR,tức là x∗ thỏa mãn (1.9)

Điều kiện đủ: Giả sử xR ∈ CR thỏa mãn kxRk < R và (1.9) Ta sẽ chứngminh xR là nghiệm bài toán VI(F, C) Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ C, ta có

y = xR + ε(x − xR) ∈ CR với mọi ε > 0 đủ bé

vì kyk ≤ kxRk + εkx − xRk ≤ R do kxRk < R Khi đó, từ (1.9) suy ra

0 ≤ hF (xR), [xR+ ε(x − xR)] − xRi = ε hF (xR), x − xRi ∀x ∈ C,

tức là

hF (xR), x − xRi ≥ 0 ∀x ∈ C

Vậy xR ∈ S với xR ∈ CR ⊂ C

2Chú ý 1.1 Mặc dù, điều kiện kxRk < R là khó kiểm tra nhưng người

ta có thể xác định giá trị của R một cách thích hợp trong các bài toán

lim

kxk→∞

hF (x) − F (x), x − xi

với x ∈ C Khi đó bài toán VI(F, C) luôn có nghiệm

Chứng minh Theo giả thiết (1.10), ta có thể chọn hằng số c > 0 và

R > 0 sao cho 0 < kF (x)k < c và 0 < kxk < R thỏa mãn

hF (x) − F (x), x − xi ≥ ckx − xk ∀x ∈ C và kxk ≥ R (1.11)Khi đó,

của VI(F, C) Thật vậy, ta có xR thỏa mãn (1.9) với mọi x ∈ CR Xéttrường hợp x = x, ta có

hF (xR), x − xRi ≥ 0 ⇒ hF (xR), xR − xi ≤ 0

Kết hợp với (1.12), ta suy ra kxRk 6= R, mà ta biết rằng kxRk ≤ R Vậy

kxRk < R

2Nghiệm của bất đẳng thức biến phân nói chung không duy nhất nếukhông có thêm các điều kiện đặt lên ánh xạ F Sau đây ta nghiên cứutính duy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân phụ thuộc vào cáctính chất kiểu đơn điệu của ánh xạ F

Định lý 1.6 [3] Nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) là duynhất nếu F : C → Rn là ánh xạ đơn điệu ngặt

Chứng minh Thật vậy, giả sử x1 ∈ C và x2 ∈ C là hai nghiệm khácnhau của VI(F, C) Khi đó,

hF (x1), x − x1i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.13)và

hF (x2), x − x2i ≥ 0 ∀x ∈ C (1.14)Lần lượt thay x = x2 trong (1.13) và x = x1 trong (1.14), sau đó cộnghai vế tương ứng của hai bất đẳng thức thu được ta có:

hF (x1) − F (x2), x1 − x2i ≤ 0

Điều này vô lý vì giả thiết F là đơn điệu ngặt Suy ra x1 = x2

2Cho C ⊂ Rn và F : C → Rn Ma trận Jacobian của hàm F , ký hiệu

Định lý 1.7 [8] Giả sử F là hàm khả vi liên tục trên tập C ⊂ Rn Nếu

ma trận Jacobian 5F (x) của F (không nhất thiết là đối xứng) là

(i) nửa xác định dương (tương ứng xác định dương), tức là

hy, 5F (x)yi ≥ 0 (tương ứng hy, 5F (x)yi > 0),với y ∈ Rn, thì F là ánh xạ đơn điệu (tương ứng đơn điệu ngặt).(ii) xác định dương mạnh, tức là với mọi x ∈ C

hy, 5F (x)yi ≥ αkyk2với α > 0 và y ∈ Rn thì F là ánh xạ đơn điệu mạnh

Ta có hệ quả sau đây về tính đơn điệu của ánh xạ F khi F là ánh xạaffine

Hệ quả 1.3 [8] Cho F là ánh xạ affine, tức là F = q + M x, M ∈ Rn×n

và q ∈ Rn Khi đó,

(i) F là đơn điệu khi và chỉ khi M là nửa xác định dương

(ii) F đơn điệu mạnh khi và chỉ khi M là xác định dương

Định lý sau đây cho ta một điều kiện để đảm bảo cho sự tồn tại vàduy nhất nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(F, C) mà không cầnđến tính compact của tập C

Định lý 1.8 [3] Giả sử F là đơn điệu mạnh Khi đó tồn tại duy nhấtnghiệm x∗ thỏa mãn bất đẳng thức biến phân VI(F, C)

Chứng minh Thật vậy, do F đơn điệu mạnh nên F thỏa mãn điềukiện bức và đơn điệu ngặt Tính bức của ánh xạ F bảo đảm cho cho sựtồn tại nghiệm của VI(F, C) và tính đơn điệu ngặt của F bảo đảm chotính duy nhất nghiệm của VI(F, C)

2Nhận xét 1.1 Như vậy,