Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert: các định lý điểm bất động, đặc trưng hình chiếu trên một tập lồi, sự chặt cụt, nguyên lý cực đại yếu, bất đẳng thức biến phân, một số bài toán dẫn tới bất đẳng thức biến phân.

Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Nguyễn Văn Tuyên đã tậntình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ giải tích-khoaToán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ

em hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo mọi điềukiện thuận lợi cho em trong quá trình thực hiện khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Trần Thị Phượng

i

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của Thầy Nguyễn Văn Tuyênkhóa luận tốt nghiệp “Bất đẳng thức biến phân trong không gianHilbert” được hoàn thành không trùng với bất kỳ đề tài nào khác.

Trong quá trình hoàn thành khóa luận, em đã thừa kế những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Trần Thị Phượng

ii

Mục lục

1.1 Các định lý điểm bất động 3

1.2 Đặc trưng của hình chiếu trên một tập lồi 5

1.3 Định lý thứ nhất về bất đẳng thức biến phân 8

1.4 Bất đẳng thức biến phân 11

1.5 Một số bài toán dẫn tới bất đẳng thức biến phân 14

2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 18 2.1 Dạng song tuyến tính 18

2.2 Sự tồn tại nghiệm 19

2.3 Sự chặt cụt 23

2.4 Không gian Solobev và bài toán biên 24

2.5 Nguyên lý cực đại yếu 31

iii

1 Lý do chọn đề tài

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality lem) ra đời vào những năm 1960, gắn liền với các công trình của G.Stampacchia, J L Lions và G Fichera [24, 30] Hiện nay, bài toán bấtđẳng thức biến phân đã được phát triển thành nhiều dạng khác nhau,

Prob-ví dụ: bất đẳng thức biến phân vector, tựa bất đẳng thức biến phân, giảbất đẳng thức biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thứcbiến phân suy rộng

Bài toán này thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vìcác mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vựckhác nhau trong toán học như là trường hợp riêng, ví dụ: tối ưu hóa, lýthuyết trò chơi, cân bằng Nash, cân bằng mạng giao thông

Trong những năm gần đây, bài toán mở rộng của bài toán bất đẳngthức biến phân là bài toán cân bằng cũng đã thu hút được sự quan tâmcủa nhiều người, chẳng hạn: A N Iusem, W Sosa [14], P Q Khanh và

N X Hai [6], M Bianchi và S Schaible [20]

Trong khóa luận này, chúng tôi hệ thống lại một số kết quả liênquan tới bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert Khóa luậnđược chia thành hai chương Chương 1 hệ thống lại các kết quả về bấtđẳng thức biến phân trên không gian Rn và một số bài toán dẫn tới bấtđẳng thức biến phân Chương 2 trình bày các kết quả liên quan đến bấtđẳng thức biến phân trong không gian Hilbert và mối liên hệ của bàitoán này với một số bài toán khác, ví dụ: bài toán biên, nguyên lý cựcđại yếu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

và mối liên hệ với một số bài toán khác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả cơ bản về bất đẳng thức biến phân và cácbài toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân

Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

và mối liên hệ với một số bài toán khác

4 Phương pháp nghiên cứu

Tra cứu tài liệu, tổng hợp và theo sự chỉ đạo của người hướng dẫn

để hoàn thành mục tiêu đề ra

5 Cấu trúc khoá luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thìkhoá luận bao gồm 2 chương:

Chương 1: Bất đẳng thức biến phân trong Rn:

Chương 2: Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hn:

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong R n

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của toán học, nhiều vấn

đề của giải tích có thể được giải quyết bằng các định lý về điểm bấtđộng Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện

từ đầu thế kỷ XX, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất độngBrouwer(1912) và nguyên lý ánh xạ co Banach(1922) Các kếtquả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không giankhác nhau

Định nghĩa 1.1 Cho F là một ánh xạ từ tập A vào chính nó, F : A →

A Điểm x ∈ A được gọi là điểm bất động của F nếu F (x) = x

Nói cách khác, các điểm bất động của F là nghiệm của phươngtrình F (x) = x

Định nghĩa 1.2 Cho (S, d) là không gian metric Ánh xạ F : S → Sđược gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại hằng số a ∈ [0, 1) sao cho

d(F (x), F (y)) ≤ ad(x, y), x, y ∈ S (1.1)Khi a = 1, thì ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn

Định lý 1.1 Cho S là không gian metric đầy và F : S → S là một ánh

xạ co Khi đó, ánh xạ F có ít nhất một điểm bất động

Chứng minh Lấy x0 ∈ S bất kỳ và lập dãy xn = F (xn−1) ∀n = 1, 2,

Với bất kỳ n, p = 1, 2, sử dụng bất đẳng thức tam giác liên tiếp

Vì S là không gian đầy nên tồn tại lim

n→∞xn = ¯x ∈ S Ta cód(F (¯x), ¯x) ≤ d(F (¯x), xn) + d(xn, ¯x) = d(F (¯x), F (xn−1)) + d(xn, ¯x)

≤ ad(xn−1, ¯x) + d(xn, ¯x), ∀n = 1, 2,

cho n → ∞ ta được d(F (¯x), ¯x) = 0 hay F (¯x) = ¯x, nghĩa là ¯x là điểmbất động của ánh xạ F

*Chứng minh duy nhất

Giả sử tồn tại điểm ¯x0 ∈ S cũng là điểm bất động của ánh xạ F

Ta có

d(¯x, ¯x0) = d(F ¯x, F ¯x0) ≤ ad(¯x, ¯x0)

⇒ (1 − a)d(¯x, ¯x0) ≤ 0 vì 0 ≤ a < 1 ⇒ d(¯x, ¯x0) = 0

Suy ra: ¯x = ¯x0

Vì vậy ¯x là điểm bất động duy nhất của F

Chú ý rằng định lý không còn đúng khi F là ánh xạ không giãn.Chẳng hạn, một phép tịnh tiến từ không gian tuyến tính vào chính nó

là một ánh xạ không giãn và nó cũng không có điểm bất động

Định lý 1.2 (Định lý Brouwer) Cho F là ánh xạ liên tục từ hìnhcầu đóng P ⊂ Rn vào chính nó Khi đó, ánh xạ F có điểm bất động duynhất

Trong phần này, chúng ta xét phép chiếu lên một tập lồi trongkhông gian Hilbert H trên trường số thực Chú ý rằng, các chứng minhtương tự như trong trường hợp H là không gian hữu hạn chiều

Bổ đề 1.1 Giả sử K là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H.Khi đó, với mỗi x ∈ H sẽ tồn tại duy nhất y ∈ K sao cho:

kx − yk = inf

Chứng minh Kí hiệu d := inf

η∈Kkη − xk Theo tính chất của infimum tồntại dãy {ηk} ∈ K sao cho

lim

k→∞kηk − xk = d = inf

Định lý 1.3 Giả sử K là một tập con lồi, đóng của không gian Hilbert

H Khi đó, y là chân hình chiếu của x trên K khi và chỉ khi:

{y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y) ∀η ∈ K} (1.5)

Chứng minh Giả sử x ∈ H và y = P rKx Vì K là tập lồi nên:

(1 − t)y + tη = y + t(η − y) ∈ K ∀η ∈ K, 0 ≤ t ≤ 1,

và do (1.2) hàm

Φ(t) = kx − y − t(η − y)k2 = kx − yk2 − 2t(x − y, η − y) + t2kη − yk2đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 0 Suy ra Φ0(0) ≥ 0, có nghĩa là:

y ∈ K : (y, η − y) ≥ (x, η − y), η ∈ K (1),

y0 ∈ K : (y0, η − y0) ≥ (x0, η − y0), η ∈ K (2).

Trong bất đẳng thức (1) ta chọn η = y0, trong bất đẳng thức (2) ta chọn

η = y Ta được:

ky − y0k = (y − y0, y − y0) ≤ (x − x0, y − y0) ≤ kx − x0kky − y0k.Suy ra

Nhắc lại rằng, không gian đối ngẫu (Rn)0 của Rn là không gian tất

cả các hàm tuyến tính có dạng

a : Rn → R, x → ha, xixác định trên Rn Ánh xạ song tuyến tính

(Rn)0 × Rn → R, a, x → ha, xiphép nhân giữa (Rn)0 và Rn

Mặt khác, chúng ta luôn có thể đồng nhất (Rn)0 với Rn Ví dụ,chúng ta có thể đồng nhất a ∈ (Rn)0 với πa ∈ Rn, như vậy ha, xi =(πa, x) Phép đồng nhất xác định là duy nhất, nhưng chúng ta luôn giảđịnh rằng

ha, xi = (πa, x), a ∈ Rn0, x ∈ Rntrong đó, π : (Rn)0 → Rn là một phép đồng nhất và (.,.) là tích vô hướngtrên Rn Hàm

Định lý 1.5 (Định lý thứ nhất về bất đẳng thức biến phân) Giả

sử K ⊂ Rn là một tập lồi compact và ánh xạ F : R → (Rn)0 liên tục Khi

đó, tồn tại một điểm x ∈ K sao cho:

hF (x), y − xi ≥ 0 ∀y ∈ K (1.7)Chứng minh Chứng minh của định lý tương đương với việc chỉ ra sựtồn tại:

x ∈ K : (x, y − x) ≥ (x − πF (x), y − x) ∀y ∈ K

xét ánh xạ

P rKx(I − πF ) : K → Ktrong đó, I(x) = x liên tục; do đó theo Định lý 1.4, có một điểm bấtđộng x ∈ K, cụ thể là

Hệ quả 1.3 Cho x là nghiệm của bất đẳng thức (1.7) và giả sử rằng

x ∈ ∂K Khi đó, F (x) xác định một siêu phẳng tựa của K, miễn là

f (x)(y − x) ≥ 0 ∀y ∈ Rkhông có nghiệm với f (x) = ex

Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ cho sự tồn tạinghiệm Cho K là một tập lồi, ta đặt : KR = K ∩P

R Trong đó, PR làmột hình cầu đóng bán kính R, tâm O ∈ Rn Chúng ta chú ý rằng, ánh

xạ F : K → Rn0 luôn tồn tại ít nhất một điểm

xR ∈ KR : hF (xR), y − xRi ≥ 0 với mọi y ∈ KR, (1.8)với KR 6= ∅ được xác định như trong các định lý trước

Định lý 1.6 Cho K ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và F : K → Rn0 liên tục.Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm cho Bài toán 1.1 là tồn tại một

R > 0 sao cho một nghiệm xR ∈ KR của (1.8) thỏa mãn

Chứng minh Rõ ràng, nếu tồn tại một nghiệm của Bài toán 1.1, thì x

là nghiệm của bất đẳng thức (1.8) với |x| < R

Bây giờ giả sử rằng, xR ∈ KR thỏa mãn (1.9) Thì xR cũng lànghiệm của Bài toán (1.1) Thật vậy, vì |x|R < R, nên y ∈ K, ω =

xR + ε(y − xR) ∈ KR với ε ≥ 0 đủ nhỏ Suy ra

xR ∈ KR ⊂ K : 0 ≤ hF (xR), ω − xRi = ε hF (xR), y − xRi với y ∈ K,điều này có nghĩa là, xR là một nghiệm của Bài toán 1.1

Hệ quả 1.4 Cho ánh xạ F : K → (Rn)0 thỏa mãn

hF (x) − F (x0), x − x0i

|x − x0| → +∞ khi |x| → +∞, x ∈ K (1.10)với x0 ∈ K nào đó thì tồn tại một nghiệm cho Bài toán 1.1

Chứng minh Chọn H > F (x0) và R > |x0| sao cho:

duy nhất Giả sử rằng, x, x0 ∈ K là 2 nghiệm khác nhau của Bài toán1.1 Khi đó, ta có

Định nghĩa 1.5 Bằng cách tương tự như (1.12), chúng ta nói ánh xạ

F : K → Rn0 đơn điệu nếu

hF (x) − F (x0), x − x0i ≥ 0 ∀x, x0 ∈ K

Ánh xạ F được gọi là đơn điệu chặt nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x = x0,

có nghĩa là, khi điều kiện (1.12) được thỏa mãn

Mệnh đề 1.1 Cho F : K1 → Rn0 là ánh xạ liên tục đơn điệu chặt trêntập lồi đóng K1 ⊂ Rn

Cho K2 ⊂ K1 lồi, đóng Giả sử, tồn tại nghiệmcủa các bài toán

xj ∈ Kj : hF (xj), y − xji ≥ 0 với y ∈ Kj, j = 1, 2,

(i) Nếu F (x2) = 0 thì x1 = x2

(ii) Nếu F (x2) 6= 0 và x1 6= x2 thì siêu phẳng hF (x2), y − x2i = 0 tách

x1 và K2

1.5 Một số bài toán dẫn tới bất đẳng thức biến

phân

Chúng ta tiếp tục làm sáng tỏ một số bài toán cơ bản liên quanđến bất đẳng thức biến phân Đặc biệt, chúng ta đưa ra mối quan hệgiữa các hàm lồi và các toán tử đơn điệu

Cho f ∈ C1(K), K ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và đặt F = gradf (x).Tại điểm này, chúng ta không phân biệt giữa không gian Rn và khônggian đối ngẫu (Rn)0

Mệnh đề 1.2 Giả sử tồn tại một điểm x ∈ K sao cho

Suy ra

0 ≤ ϕ0(0) = (grad f (x), y − x) = (F (x), y − x)

Điều ngược lại xảy ra khi f là hàm lồi

Mệnh đề 1.3 Giả sử f là hàm lồi và điểm x thỏa mãn

x ∈ K : (F (x), y − x) ≥ 0 ∀y ∈ K

Khi đó, f (x) = min

y∈K f (y)

Chứng minh Thật vậy, vì f là hàm lồi nên

f (x0) ≥ f (x) + (F (x), x0− x)Cộng theo vế của hai bất đẳng thức trên, ta được:

|ϕ(x1) − ϕ(x01)| ≤ |x1 − x01| ∀x1, x01 ∈ R1

lồi được nghiên cứu sâu hơn bởi Rockafellar.

Để kết thúc chương này, chúng ta đề cập đến một bài toán

của quy hoạch toán học mà nó có thể quy về bất đẳng thức

biến phân

Bài toán 1.2 (Bài toán bù) Cho

Rn+ = {x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn : xi ≥ 0}

là một tập lồi, đóng của không gian Rn và ánh xạ F : Rn+ → Rn Tìm

điểm x0 ∈ Rn+ sao cho:

toán bù 1.2, thì (F (x0), y) ≥ 0 với bất kỳ y ∈ Rn+, do đó

(F (x0), y − x0) = (F (x0), y) − (F (x0), x0) = (F (x0), y) ≥ 0

Ngược lại, giả sử rằng, x0 ∈ Rn

+ là một nghiệm của bất đẳng thứcbiến phân Khi đó,

y = x0 + ei, ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) (1 ở vị trí thứ i)

là một phần tử của Rn+, vì vậy

0 ≤ (F (x0), x0 + ei− x0) = (F (x)0, ei) = (F (x0))hay là (F (x0)) ∈ Rn+ Do đó, vì y = 0 ∈ Rn+ nên

Chương 2

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Hilbert

Nhiều câu hỏi thú vị trong lý thuyết của bất đẳng thức biến phân

có thể được xây dựng theo quan điểm của các dạng song tuyến tính trênkhông gian Hilbert Lý thuyết này là một sự tổng quát hóa của lý thuyếtbiến phân của các bài toán biên của phương trình Eliptic tuyến tính

Cho H là một không gian Hilbert trên trường số thực và H0 làkhông gian đối ngẫu của nó Chúng ta thiết lập tích trong (.,.) và chuẩn

|| || và

H × H0 → R

f, x → hf, xi

là phép nhân giữa H và H0

Cho a(u, v) là một dạng song tuyến tính (thực) trên H, có nghĩa

là, a : H × H → R liên tục và tuyến tính theo từng biến u, v Một dạngsong tuyến tính a(u, v) là đối xứng nếu

a(u, v) = a(v, u) với mọi u, v ∈ H

Một ánh xạ tuyến tính và liên tục

A : H → H0xác định một dạng song tuyến tính thông qua phép nhân

Điều kiện của tính tuyến tính được thỏa mãn và |a(u, v)| ≤ c kuk kvkvới hằng số c ≥ 0, nó kéo theo a liên tục Và ngược lại, cho một dạngsong tuyến tính a(u, v), ánh xạ tuyến tính

v → a(u, v) với v ∈ Hxác định một ánh xạ tuyến tính liên tục A : H → H thỏa mãn (2.1).Định nghĩa 2.1 Dạng song tuyến tính a(u, v) thỏa điều kiện bức trên

H, nếu tồn tại số α ≥ 0 sao cho:

a(u, v) ≥ αkvk2 với v ∈ H (2.2)

Dạng song tuyến tính a(u, v) thỏa điều kiện bức khi và chỉ khi ánh

xạ A được xác định bởi (2.1) là thỏa điều kiện bức theo nghĩa của Địnhnghĩa 1.4 (trong Chương 1) Rõ ràng, một dạng song tuyến tính đối xứngbức a(u, v) xác định một chuẩn a(v, v)1/2 trên H tương đương với kvk

Định lý 2.1 Cho a(u, v) là một dạng song tuyến tính thỏa điều kiện bứctrên H, K ⊂ H lồi, đóng và f ∈ H0 Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệmcho Bài toán 2.1 Ngoài ra, nếu ánh xạ f → u là Lipschitz, nghĩa lànnếu u1, u2 là các nghiệm của Bài toán 2.1, tướng ứng với f1, f2 ∈ H0 thì

* Chứng minh sự tồn tại của u:

Đầu tiên, chúng ta giả sử rằng a(u, v) là đối xứng, và định nghĩahàm

= 2a(un, un) + 2a(um, um) − 4a(1/2(un+ um), 1/2(un+ um))

= 2I(un) + 2I(um) − 4I(1/2(un + um))

≤ 2[(1/n) + (1/m)]

Chúng ta đã sử dụng

4 hf, uni + 4 hf, umi − 8 hf, 1/2(un + um)i = 0

Do đó, dãy {un} là dãy Cauchy và do K đóng, nên tồn tại một phần tử

u ∈ K sao cho un → u trong H và I(un) → I(u) Do đó, I(u) = d

Bây giờ, với bất kỳ v ∈ K, u + ε(v − u) ∈ K, 0 ≤ ε ≤ 1, và

I(u + ε(v − u)) ≥ I(u)

Bây giờ, chúng ta xét trường hợp chung như là một nhiễu của đốixứng đơn và xét dạng song tuyến tính thỏa điều kiện bức.

at = a0(u, v) + t.b(u, v), 0 ≤ t ≤ 1,trong đó

a0(u, v) = 1

2(a(u, v) + a(v, u))và

b(u, v) = 1

2(a(u, v) − a(v, u))

là các phần đối xứng và phản đối xứng của a Thấy rằng, a1(u, v) =a(u, v) và at(u, v) là thỏa điều kiện bức với cùng hằng số α

Bổ đề 2.1 Nếu Bài toán 2.1 là giải được với aτ(u, v) và với mọi f ∈ H0,thì nó cũng giải được với at(u, v) và với mọi f ∈ H0, trong đó τ ≤ t ≤

u ∈ K : aτ(u, v − u) ≥ hFt, v − ui, ∀u ∈ K,trong đó

với t0Mα < 1 Do đó, T là một ánh xạ co và có điểm bất động duy nhất(theo Định lý 1.2 của Chương 1) Cho u = ω,

Cho E ⊂ Rn đo được (Lebesgue) và chọn ϕ ∈ L2(E) Ta đặt

K = {v ∈ L2(E) : v ≥ ϕ h.k.n trong E} ⊂ L2(E),(1)

Thực vậy, với u được xác định bởi (2.6), chúng ta tính toán được

Khi đó, nghiệm u của (2.5) thỏa mãn u ∈ H1,p(Ω)

Định nghĩa 2.2 Cho Ω ⊂ Rn là một tập mở bị chặn với bao đóng ¯Ω

và biên ∂Ω Ta ký hiệu Ck(Ω) là không gian các hàm khả vi (thực) cấp

k trên Ω Và Ck,λ(Ω) là không gian các hàm khả vi liên tục cấp k có đạohàm bậc k là liên tục Holder với số mũ λ, (0 < λ < 1) Nhắc lại rằng,

u ∈ C0,λ(Ω) hoặc u là liên tục Holder với số mũ λ trong Ω, nếu

[u]λ = sup

x,x 0 ∈ ¯ Ω

|u(x) − u(x0)|

|x − x0|λ < +∞.

Nếu chúng ta cho λ = 1, thì u được gọi là hàm Lipschitz

Bộ n số của số nguyên không âm α = (α1, α2, , αn) được gọi làmột đa chỉ số của độ dài |α| = α1 + α2 + + αn ≥ 0

Chúng ta đặt, Dα = (∂x∂

1)α1 (∂x∂

n)αn là toán tử vi phân bậc |α| Ởđây, (∂x∂0

Trong định nghĩa của H1,s(Ω) chúng ta có thể thay thế không gian

C1(Ω) bởi C1,0( ¯Ω) = H1,∞(Ω), cụ thể là, hàm Lipschitz trong Ω Trongtrường hợp mà ∂Ω là Lipschitz: cho u ∈ H1,∞0 (Ω) dễ thấy, u có một mởrộng ˜u ∈ H1,∞0 (Rn) (hàm Lipschitz trong Rn có giá compact) Vì ˜u có thểxấp xỉ được trong H1,s0 (Rn), 1 ≤ s < ∞ bởi các hàm trơn Ví dụ, bằngcách làm giảm đi thì u sẽ là giới hạn trong H1,s(Ω) của hàm trơn trong

Ω Do đó, C1 ⊂ H1,∞

(Ω) ⊂ H1,s(Ω), 1 ≤ s < ∞ và các hàm Lipschitz là