Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc Stampacchia v  c¡c cëng sü ÷a ra nghi¶n cùu v o nhúng n«m ¦u cõa thªp k 60 trong khi nghi¶n cùu b i to¡n bi¶n cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. Tø â ph÷ìng ph¡p b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc quan t¥m nghi¶n cùu rëng r¢i v  trð th nh mët cæng cö húu hi»u trong vi»c x¥y düng c¡c kÿ thuªt º gi£i sè c¡c b i to¡n c¥n b¬ng trong kinh t¸ t i ch½nh, b i to¡n vªn t£i, lþ thuy¸t trá chìi v  nhi·u b i to¡n thuëc l¾nh vüc vªt lþ v  kÿ thuªt. Nhi·u b i to¡n trong to¡n håc ÷ñc ph¡t biºu d÷îi d¤ng b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n nh÷ b i to¡n bò phi tuy¸n, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n tèi ÷u, b i to¡n iºm b§t ëng : : : . Do vªy vi»c nghi¶n cùu b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v  ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n n y luæn l  · t i thíi sü, ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l  düa tr¶n c¡ch ti¸p cªn thæng qua iºm b§t ëng. Nëi dung cõa ph÷ìng ph¡p n y l  ÷a b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v· b i to¡n t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ nghi»m th½ch hñp. Ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient l  mët k¸t qu£ theo h÷îng ti¸p cªn n y b¬ng c¡ch sû döng ph²p chi¸u m¶tric PC º x¥y düng mët d¢y l°p hëi tö m¤nh ¸n nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Ph÷ìng ph¡p n y câ ÷u iºm l  d¹ lªp tr¼nh v  tèc ë hëi tö nhanh. Tuy nhi¶n vîi ph÷ìng ph¡p n y th¼ vi»c t½nh to¡n ¡nh x¤ chi¸u m¶tric PC khæng ìn gi£n v¼ sü phùc t¤p cõa tªp con lçi âng b§t ký C. º kh­c phöc khâ kh«n n y, Yamada 6 ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai ÷íng dèc nh§t v o n«m 2001 º gi£i b§t ¯ng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Công trình được hoàn thành tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học:TS.Nguyễn Thị Thu Thủy

Phản biện 1: Phản biện 2: .

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Vào hồi giờ ngày tháng năm 2014

Có thể tìm hiểu luận văn tại trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

Và thư viện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên.

Mục lục

Mở đầu ii

Bảng ký hiệu v

1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 1 1.1 Không gian Banach 1

1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn đều 1

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 3

1.1.3 Ánh xạ J -đơn điệu 4

1.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 8

1.2.1 Ánh xạ chiếu 8

1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn 8

1.3 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn 9

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 9 1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach 11 1.4 Giới hạn Banach 11

2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 15

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia và các cộng sự đưa ranghiên cứu vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứubài toán biên của phương trình đạo hàm riêng Từ đó phương phápbất đẳng thức biến phân được quan tâm nghiên cứu rộng rãi và trởthành một công cụ hữu hiệu trong việc xây dựng các kỹ thuật để giải

số các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, bài toán vận tải, lýthuyết trò chơi và nhiều bài toán thuộc lĩnh vực vật lý và kỹ thuật.Nhiều bài toán trong toán học được phát biểu dưới dạng bất đẳngthức biến phân như bài toán bù phi tuyến, bài toán cân bằng, bàitoán tối ưu, bài toán điểm bất động Do vậy việc nghiên cứu bấtđẳng thức biến phân và phương pháp giải bài toán này luôn là đề tàithời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựatrên cách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phươngpháp này là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bấtđộng của một ánh xạ nghiệm thích hợp Phương pháp chiếu gradient

là một kết quả theo hướng tiếp cận này bằng cách sử dụng phép chiếu

đẳng thức biến phân Phương pháp này có ưu điểm là dễ lập trình

và tốc độ hội tụ nhanh Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính

con lồi đóng bất kỳ C Để khắc phục khó khăn này, Yamada [6] đã đềxuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001 để giải bất đẳng

thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trongkhông gian Hilbert Từ đó đến nay đã có nhiều công trình nhằm mởrộng hướng nghiên cứu của Yamada để giải bất đẳng thức biến phântrên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn.

Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu kết quả mới đây trong[5] về phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức trên tập điểm bất độngcủa nửa nhóm ánh xạ không giãn trong không gian Banach - một mởrộng hướng nghiên cứu của Yamada

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chươngmột giới thiệu bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động củaánh xạ không giãn Trong chương này đề cập tới khái niệm về ánh xạ

J -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn, nửa nhómánh xạ không giãn, bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểmbất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn và một số bổ đề bổ trợ.Chương hai trình bày ba phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãntrong bài báo [5]

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của Tiến SĩNguyễn Thị Thu Thủy Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới Cô, người đã dành nhiều thời gian và tâm huyết đểhướng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian làmluận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo

sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, các Thầy Cô trong trường

Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêmrất nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bảnthân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các Thầy Cô.

Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạođơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điềukiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và làmluận văn

Hải Phòng, tháng 5 năm 2014

Học viên

Nguyễn Thị Hương Lý

BẢNG KÝ HIỆU

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả

về ánh xạ J -đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, ánh xạ không giãn,nửa nhóm ánh xạ không giãn và bài toán bất đẳng thức biến phântrên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Nội dung của chươngnày được viết dựa trên các tài liệu [2] - [6] và một số tài liệu trích dẫntrong đó

1.1.1 Không gian Banach lồi đều, trơn đều

miền xác định là D(T ) và miền giá trị là R(T ) và Fix(T ) là tập điểm

bất động của ánh xạ T , nghĩa là

F ix(T ) = {x ∈ D(T ) : T (x) = x}

Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E được gọi là không gian

(i) lồi chặt nếu với x, y ∈ SE, x 6= y thì

Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E được gọi là

(i) có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc không gian trơn) nếu giới hạn

lim

t→0

kx + tyk − kxk

t

(ii) có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn trên đạt được đềuvới x ∈ SE

Định nghĩa 1.3 Giả sử E là một không gian tuyến tính định chuẩnthực với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, và x, y ∈ E Mô đun trơn của

Ta có định nghĩa khác về không gian trơn đều như sau:

Định nghĩa 1.4 Một không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E nếu

J (x) = {x∗ ∈ E∗ : hx∗, xi = kxkkx∗k, kx∗k = kxk}

Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian Banach

và nói chung là ánh xạ đa trị Nếu E là không gian Hilbert thì ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong không gian Hilbert

đó Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có một số tính chất sau:

Mệnh đề 1.1 Giả sử E là một không gian Banach Khi đó,

(i) J (x) là tập lồi, J (λx) = λJ (x), với mọi λ > 0;

Trong trường ánh xạ J đơn trị ta ký hiệu là j

Nếu E là không gian Banach trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J

là đơn trị Nếu E là không gian Banach trơn đều thì ánh xạ đối ngẫuchuẩn tắc J liên tục đều trên các tập con bị chặn của E

Bổ đề sau được sử dụng để chứng minh định lý ở Chương 2

Bổ đề 1.1 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn thực Khiđó,

1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu

Định nghĩa 1.6 Ánh xạ A : E → E được gọi là

(i) J -đơn điệu (accretive) nếu tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

(ii) J -đơn điệu ngặt nếu dấu bằng ở bất đẳng thức trên chỉ đạtđược khi x = y;

(iii) J -đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm tăng γ(t), t ≥ 0, γ(0) = 0,

và j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

(v) không giãn nếu

Ví dụ 1.1 Ánh xạ đồng nhất I : E → E, trong đó E là không gianHilbert là ánh xạ J -đơn điệu

Thật vậy với mọi x, y ∈ E, x 6= y ta có

hI(x) − I(y), j(x − y)i = hx − y, j(x − y)i

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ A được gọi là giả co nếu

trong đó I là ánh xạ đồng nhất

Dễ thấy, mọi ánh xạ không giãn đều là giả co

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ A : E → E được gọi là ánh xạ λ-giả co chặtnếu với mỗi x, y ∈ D(A), tồn tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

với mỗi λ ∈ (0, 1)

Ta thấy (1.3) có thể được viết lại như sau

Rõ ràng, từ (1.3), kéo theo kA(x)−A(y)k ≤ Lkx−yk với L = 1+1/λ.Nếu A thỏa mãn (1.3) với λ = 0, thì nó được gọi là ánh xạ giả co Mọiánh xạ không giãn đều là ánh xạ giả co

Ta có mối liên hệ giữa ánh xạ J -đơn điệu và giả co như sau

Bổ đề 1.2 Cho T : D(T ) ⊂ E → E là một ánh xạ Khi đó, T là ánh

xạ J -đơn điệu khi và chỉ khi I − T là ánh xạ giả co, ở đây I là ánh xạđơn vị trong E

Sau đây là định nghĩa ánh xạ đơn điệu

(i) Ánh xạ đơn điệu nếu

(ii) η-đơn điệu mạnh nếu

Bổ đề 1.3 Cho E là một không gian Banach trơn thực và A : E → E

λ (iii) Nếu A là ánh xạ δ-J -đơn điệu mạnh và λ-giả co chặt với δ + λ > 1thì với số cố định bất kỳ τ ∈ (0, 1), I − τ A là ánh xạ co với hằng số

1 − τ (1 −

É 1−δ

λ )

Chứng minh (i) Từ (1.4) ta nhận được

≤ k(I − A)(x) − (I − A)(y)kkx − yk,

k(I − A)(x) − (I − A)(y) ≤

„Ì

1 − δλ

Ž

kx − yk,

và vì vậy I − A là ánh xạ co với hằng số

É 1−δ

λ (iii) Vì I − A là ánh xạ co với hằng số

É 1−δ

τ ∈ (0, 1) ta có

kx − y − τ (A(x) − A(y))k = k(1 − τ )(x − y)

+ τ [(I − A)(x) − (I − A)(y)]k

≤ (1 − τ )kx − yk + τ k(I − A)(x) − (I − A)(y)k

≤ (1 − τ )kx − yk + τ

„Ì

1 − δλ

ŽŽ

kx − yk

É 1−δ 

1.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn

1.2.1 Ánh xạ chiếu

Định nghĩa 1.11 Cho E là không gian Banach thực, C là một tập

lên tập lồi C, nếu

Tính chất của toán tử chiếu:

Bổ đề 1.4 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianHilbert thực H Với mỗi x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho

hz − x, y − zi ≥ 0 với mọi y ∈ C

1.2.2 Nửa nhóm ánh xạ không giãn

Cho T là một ánh xạ không giãn trên tập con C lồi đóng và khácrỗng của không gian Banach E {T (s) : s > 0} được gọi là một nửanhóm ánh xạ không giãn trên C nếu thỏa mãn:

(1) Với mỗi s > 0, T (s) là một ánh xạ không giãn trên C;

(2) T (0)x = x với mọi x ∈ C;

(3) T (s1 + s2) = T (s1) ◦ T (s2) với mọi s1, s2 > 0;

(4) Với mỗi x ∈ C, ánh xạ T (.)x từ (0, ∞) vào C là liên tục

Bổ đề 1.5 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng và giới nội củakhông gian Banach lồi đều E và giả sử {T (s) : s > 0} là nửa nhóm

không giãn trong C Khi đó với mọi r > 0 và h > 0,

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i vàchuẩn k.k, C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của H, và F : H → H

là một ánh xạ phi tuyến Bài toán bất đẳng thức biến phân được phát

Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C, thì bàitoán VI(F, C) có nghiệm duy nhất Bài toán VI(F, C) tương đươngvới phương trình điểm bất động

tùy ý Nếu F là ánh xạ đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C

và µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.5) làánh xạ co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặpPicard

xn+1 = PC(xn− µF (xn))

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, C) Phương phápnày được gọi là phương pháp chiếu Tuy nhiên phương pháp này lạikhông dễ dàng thực thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ.

Để khắc phục nhược điểm này, Yamada [6] (xem thêm [3]) đã đưa

ra phương pháp lai đường dốc nhất để giải bài toán VI(F, C) Ý tưởngcủa ông được trình bày như sau: Cho C là tập điểm bất động của ánh

xạ không giãn T : H → H, tức là, C = {x ∈ H : T (x) = x} Giả sử

F là ánh xạ η-đơn điệu mạnh và κ-liên tục Lipschitz trên C Lấy một

các điều kiện sau:

bởi thuật toán:

định bởi (1.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán VI(F, C)

nσ, 0 < σ < 1

1.3.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

xạ Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach được

cho

giãn trong không gian Banach lồi đều E có chuẩn khả vi Gâteaux đều

-ngược-đơn điệu mạnh, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianBanach trơn E đã được Aoyama và các đồng nghiệp nghiên cứu (xemtài liệu trích dẫn trong [6]) Nếu đặt F = I − S, trong đó S : E → E

Fix(T )) Một số ví dụ cho bài toán (1.7) có thể kể đến, chẳng hạn, ta

ánh xạ co, bài toán tìm không điểm của toán tử J -đơn điệu, bài toánđiểm bất động

Cho (E, d) là một không gian mêtric Giả sử x ∈ E và D ⊂ E, khi

x ∈ E tồn tại duy nhất phần tử y ∈ D sao cho d(x, y) = d(x, D) Chú

ý rằng mỗi tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach phản

xạ lồi chặt E là một tập Chebyshev

với mỗi a = (a1, a2, ) ∈ l∞ Ta sẽ viết µ∼n(a) thay cho µ(a).∼ ∼µ trên

N được gọi là giới hạn Banach nếu

∼

µn(a) =µ∼n(an+1)

giới hạn Banach thì

lim infn→∞ an ≤ µ∼n(an) ≤ lim sup

n→∞ an

E Khi đó, ta có thể định nghĩa hàm lồi liên tục nhận giá trị thực

g : E → R bởi

Bổ đề 1.6 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian

∼

Chương 2

Phương pháp lặp ẩn giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn

Chương này nghiên cứu một số phương pháp lặp ẩn giải bất đẳngthức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ khônggiãn trong không gian Banach Các kiến thức của chương này đượcviết từ bài báo [5] và một số tài liệu trích dẫn trong đó

Chúng ta nhắc lại bài toán bất đẳng thức biến phân đã được đề cập

xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều E có chuẩn khả viGâteaux đều

2.1 Một số phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phânCho {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm không giãn trong C, với C

là một tập con lồi đóng của không gian Banach lồi đều có chuẩn khả

vi Gâteaux đều Năm 2007, Chen và Song đã đề xuất thuật toán tìmnghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) như sau:

xk = γkf (xk) + (1 − γk)1

tk

Z t k

chứng minh kết quả sau đây

Định lý 2.1 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Banachlồi đều E với chuẩn khả vi Gâteaux đều và cho {T (s) : s > 0} là một

dãy thực dương và phân kỳ Sau đó, năm 2003 Suzuki đã cải tiến kếtquả của Shijoi và Takahashi và chứng minh định lý dưới đây

Định lý 2.2 Cho {T (s) : s > 0} là nửa nhóm không giãn trong C,với C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H,

và chứng minh kết quả dưới đây.

Định lý 2.3 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khônggian Hilbert H Cho f là một ánh xạ co trong C với hệ số α ∈ (0, 1)

và gọi {T (s) : s > 0} là nửa nhóm không giãn trong C sao cho

∩s>0Fix(T (s)) 6= ∅ Giả sử {γk} và {tk} là hai dãy số thực thỏa mãn

là nghiệm của bất đẳng thức biến phân

với F = I − f

Năm 2005 Xu đã đưa ra một cải tiến của (2.4) trong không gianBanach Năm 2007 Chen và He đã nghiên cứu sự hội tụ mạnh của

thuật toán (2.5) trong không gian Banach, và năm 2009 Li và nhómnghiên cứu đã mở rộng các kết quả từ không gian Hilbert sang khônggian Banach lồi đều với các điều kiện bổ sung sau

lim

s→0sup

x∈K

với bất kỳ tập con lồi đóng K ⊂ C và một ánh xạ η-đơn điệu mạnh

và γ-giả co chặt f Năm 2009 Ceng và các cộng sự đã nghiên cứu dãylặp (2.5) trong trường hợp E là không gian Banach lồi chặt và phản

xạ với chuẩn khả vi Gâteaux đều, {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm

Khi F = A − γf , với A là ánh xạ tuyến tính giới nội và xác địnhdương trong không gian Hilbert H, Li và các cộng sự đã nghiên cứuphương pháp lặp sau đây:

xk = γkγf (xk) + (I − λkA)1

tk

Z tk

và kết quả được chứng minh như sau

Định lý 2.4 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của khônggian Hilbert H Cho f là một ánh xạ co trong C với hệ số α ∈ (0, 1)

và gọi {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm không giãn trong C sao cho

∩s>0Fix(T (s)) 6= ∅, và A là một ánh xạ tuyến tính giới nội dương mạnh

Gần đây, năm 2011 Yao và Liou đã giới thiệu một phương pháp lặp:

và chứng minh kết quả sau

Định lý 2.5 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianHilbert H Giả sử f : C → H là một ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1),cho {T (s) : s > 0} là một nửa nhóm không giãn trong C sao cho

giới nội với hằng số ˜γ > 0 Cho {λt}0<t<1 là một dãy các số thực dương