Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn.. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của N ánh xạ không giãn... Để khắc phục nhược điểm này,Yam

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 5 1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian

Hilbert thực 5

1.1.1 Không gian Hilbert thực 5

1.1.2 Toán tử đơn điệu 7

1.1.3 Phép chiếu mêtric 8

1.1.4 Điểm bất động 9

1.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert 11

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11

1.2.2 Phương pháp chiếu 13

1.2.3 Phương pháp đường dốc nhất 14

1.3 Một số bổ đề 15

2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân 17 2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn 17

2.1.1 Phương pháp lai đường dốc nhất 17

2.1.2 Sự hội tụ 19

2.2 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của N ánh xạ không giãn 21

2.2.1 Mô tả phương pháp 212.2.2 Sự hội tụ 22

Lời cảm ơn

Sau thời gian nghiên cứu nghiêm túc, đến nay em đã hoàn thành bảnluận văn để bảo vệ tốt nghiệp theo đúng kế hoạch của trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên Có được kết quả này trước hết cho emđược gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy cô giáo đã truyền đạt nhữngtri thức quý giá trong thời gian em học tập tại trường Đặc biệt em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo TS Nguyễn Thị Thu Thủy đãhướng dẫn, giúp đỡ tận tình và đầy trách nhiệm để em hoàn thành luậnvăn này Cuối cùng em xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt thời gian

em nghiên cứu và học tập

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

Học viên

Bùi Hoàng Ngọc

Mở đầu

Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia [3] đưa ra nghiên cứuvào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biêncủa phương trình đạo hàm riêng Kể từ đó bất đẳng thức biến phân vàphương pháp giải bài toán này luôn là một đề tài thời sự, được nhiềunhà toán học quan tâm nghiên cứu

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H đượcphát biểu như sau:

Tìm phần tử p∗ ∈ C sao cho : hA(p∗), q − p∗i ≥ 0 ∀q ∈ C, (0.1)

ở đây C là một tập con lồi đóng của H, A : C → H là một ánh xạ phituyến Bất đẳng thức biến phân (0.1) tương đương với bài toán điểmbất động:

p∗ = PC(p∗ − µA(p∗)), (0.2)trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số tùy

ý Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và hằng số

µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (0.2) là ánh xạ

co Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

un+1 = PC(un− µA(un)) (0.3)hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (0.1) Phương pháp nàyđược gọi là phương pháp chiếu Phương pháp chiếu không dễ dàng thựcthi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ Để khắc phục nhược điểm này,Yamada [4] đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001

để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạkhông giãn trong không gian Hilbert H

Mục đích của đề tài luận văn là trình bày cải biên của phương pháplai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất độngcủa một ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bấtđộng chung của N ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (N ≥ 1)trên cơ sở bài báo [2] và [4].

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực, toán tửđơn điệu, và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbertcùng phương pháp chiếu gradient giải bài toán này

Trong chương 2 trình bày phương pháp lai ghép đường dốc nhất giảibất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn

và hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bấtđộng chung của N ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Bảng ký hiệu

R trường số thực

∅ tập rỗng

Rn không gian Euclide n-chiều

|x| giá trị tuyệt đối của số thực x

H không gian Hilbert thực H

C tập con C của H

||x|| chuẩn của véctơ x

hx, yi tích vô hướng của hai phần tử x và yD(A) miền xác định của ánh xạ A

Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

PC phép chiếu mêtric chiếu H lên C

VI(A, C) tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân

xn * x dãy xn hội tụ yếu đến x

xn → x dãy xn hội tụ mạnh đến x

I toán tử đơn vị

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong

không gian Hilbert

Chương này bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày khái niệm và một

số tính chất của không gian Hilbert thực Mục 1.2 giới thiệu bài toánbất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, đồng thời trình bàyphương pháp chiếu và phương pháp đường dốc nhất giải bất đẳng thứcbiến phân trong không gian Hilbert Các kiến thức của chương này đượctổng hợp từ các tài liệu [1]-[4]

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không

gian Hilbert thực

1.1.1 Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trên trường số thực

R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một hàmhai biến h·, ·i : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:

(i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

(ii) hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H;

(iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H;

(iv) hαx, yi = αhx, yi với mọi x ∈ H và với mọi α ∈ R

Hàm h·, ·i thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng trên

H và hx, yi là tích vô hướng của hai phần tử x và y

Chú ý 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn với chuẩn của véctơ x ∈ H được xác định như sau:

Chú ý 1.2 (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội

tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng

(b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy{xn} trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxnk →kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞.

1.1.2 Toán tử đơn điệu

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.Định nghĩa 1.4 Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ C vàvới mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx1+ (1 − λ)x2 ∈ C

Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi

Định nghĩa 1.5 Hàm f : C → R được gọi là:

(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x 6= y thì

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của khônggian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ Ánh xạ A được gọi là:(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

||A(x) − A(y)|| ≤ L||x − y|| ∀x, y ∈ C

Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ khônggiãn;

(ii) bị chặn trên C, nếu với mỗi tập con khác rỗng, bị chặn B của C,tồn tại hằng số dương kB chỉ phụ thuộc vào tập B sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≤ kB||x − y|| ∀x, y ∈ B;

(iii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C, A

là ánh xạ liên tục Lipschitz trên B;

(iv) đơn điệu trên C, nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

(v) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho

hA(x) − A(y), x − yi ≥ η||x − y||2 ∀x, y ∈ C

1.1.3 Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbertthực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng mỗi x ∈ H vớiphần tử PC(x) ∈ C thỏa mãn

(ii) z = PC(x) nếu và chỉ nếu hz − x, y − zi ≥ 0 với mọi y ∈ C

Nhận xét 1.1 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α

là góc tạo bởi các véc tơ x − PC(x) và y − PC(x), thì α ≥ π/2

Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gianHilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C Khi đó những điềusau thỏa mãn:

(a) PC(PC(x)) = PC(x) với mọi x ∈ H;

(b) hPC(x) − PC (y) , x − yi ≥ kPC(x) − PC(y)k2 với mọi x, y ∈ H;(c) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là

kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ H;

(d) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là

hPC(x) − PC(y) , x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ H;

(e) Nếu xn * x0 và PC (xn) → y0 thì PC (x0) = y0.

Chứng minh (a) Giả sử PC(x) ∈ C với mọi x ∈ H và PC(z) = z với mọi

z ∈ C, khi đó PC(PC(x)) = PC(x) với mọi x ∈ H

(b) Với mọi x, y ∈ H ta có

hx − PC(x) , PC(x) − PC(y)i ≥ 0và

hy − PC (y) , PC(x) − PC(y)i ≥ 0

Điều đó kéo theo

hx − y, PC(x) − PC(y)i ≥ kPC(x) − PC(y)k2.(c) là hệ quả trực tiếp của (b)

Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ

Định nghĩa 1.8 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H đượcgọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x

Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ) Chú ý rằng tậpđiểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, nếukhác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H

Cho C là một tập con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H làmột ánh xạ Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:

Hãy tìm phần tử u ∈ C sao cho T (u) = u (1.1)

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.1) tương đương vớiviệc giải phương trình toán tử:

T (u) − u = 0 (1.2)Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banachvào năm 1992 như sau:

Định lý 1.1 Cho (X, ρ) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X làánh xạ co Khi đó, T có duy nhất điểm bất động u trong X và với xấp xỉban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn} được định nghĩa bởi xn+1 = T (xn),với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới u

Chứng minh (i) Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn) với

n ≥ 0 Do T là ánh xạ co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng

Vì dãy {xn} hội tụ về phần tử u ∈ X nên

ρ(u, xn) + θρ(xn−1, u) → 0 khi n → ∞

Từ đó 0 ≤ ρ(u, T (u)) ≤ 0 suy ra ρ(u, T (u)) = 0 hay T (u) = u Vậy u làđiểm bất động của ánh xạ T

(ii) Tính duy nhất: Giả sử tồn tại v ∈ X sao cho T (v) = v Khi đó

ρ(u, v) = ρ(T (u), T (v)) ≤ θρ(u, v) (1.3)

Vì θ ∈ [0, 1) nên từ (1.3) suy ra ρ(u, v) = 0 do đó u = v Vậy u là điểmbất động duy nhất

Ví dụ 1.2 Cho f (x) là một hàm một biến thực khả vi trên tập C =[a, b] Hãy tìm p∗ ∈ C sao cho

f (p∗) = min

p∈C f (p)

Nếu a < p∗ < b thì f0(p∗) = 0

Nếu p∗ = a thì f0(p∗) ≥ 0.

Nếu p∗ = b thì f0(p∗) ≤ 0

Ta có thể tổng hợp thành:

f0(p∗)(p − p∗) ≥ 0 ∀p ∈ C,

và đây là một bất đẳng thức biến phân

Bổ đề 1.2 Giả sử C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không gianHilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ liên tục Lipschitz và đơn điệumạnh Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.4) có duy nhất nghiệm

Bổ đề 1.3 Phần tử p∗ ∈ int C là nghiệm của bài toán (1.4) khi và chỉkhi A(p∗) = 0

Chứng minh (⇒) Ký hiệu S là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân(1.4) Giả sử p∗ ∈ S ∩ intC Chọn ε > 0 sao cho B(p∗, ε) ⊂ C, ở đây

B(p∗, ε) = {p : ||p − p∗|| < ε}

Ta có B(p∗, ε) = p∗ + εB(0, 1) Thay p = p∗ + εv, v ∈ B(0, 1) vào bấtđẳng thức (1.4) ta được

Suy ra hA(p∗), vi = 0 với mọi v ∈ B(0, 1) Do đó A(p∗) = 0

Ngược lại, nếu A(p∗) = 0 thì bất đẳng thức (1.4) được thỏa mãn Do

đó p∗ ∈ S

2Định lý 1.3 Giả sử ánh xạ A : C → H bị chặn Lipschitz trên C vàη-đơn điệu mạnh trên C Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.4) có duynhất nghiệm p∗ ∈ C thỏa mãn

||p∗− p|| ≤ 1

η||A(p)||, (1.5)trong đó p ∈ C là một điểm tùy ý

1.2.2 Phương pháp chiếu

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trongnghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính, Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trêncách tiếp cận thông qua điểm bất động Nội dung của phương pháp này

là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của mộtánh xạ nghiệm thích hợp

Bài toán (1.4) tương đương với

p∗ = PC(p∗ − µA(p∗)), (1.6)trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ là hằng số dương.Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert, A : H → H là ánh xạđơn điệu, C là tập lồi đóng khác rỗng của H Khi đó ba khẳng định sauđây là tương đương:

(a) p∗ ∈ C là nghiệm của VI(A, C), tức là hp − p∗, A(p∗)i ≥ 0 với mọi

p ∈ C

(b) Với số µ > 0 tùy ý, p∗ ∈ C thỏa mãn

hp − p∗, (p∗ − µA(p∗)) − p∗i ≤ 0 với mọi p ∈ C

(c) Với số µ > 0 tùy ý,

p∗ ∈ Fix(PC(I − µA)) (1.7)Khi ta đặt thêm một số điều kiện cho ánh xạ A : H → H và tập lồiđóng C trong bài toán VI(A, C), ánh xạ PC(I − µA) co chặt trên C với

số µ > 0 tùy ý

Bổ đề 1.4 Giả sử A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơnđiệu mạnh trên tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ H Khi đó với mọi u, v ∈ C,

kPC(I − µA)(u) − PC(I − µA)(v)k2 ≤ {1 − µ(2η − µL2)}ku − vk2, (1.8)

từ đó suy ra PC(I−µA) : H → H là ánh xạ co chặt trên C với µ ∈ (0, L2η2)

Chứng minh Từ điều kiện của ánh xạ A, với mọi u, v ∈ C ta có

đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.6) là ánh xạ co Do

đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard

un+1 = PC(un− µA(un))hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.4)

Mệnh đề 1.3 Giả sử A : H → H là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz vàη-đơn điệu mạnh trên tập C lồi đóng khác rỗng của H Khi đó

(a) VI(A, C) có nghiệm duy nhất p∗ ∈ C;

(b) với mỗi u0 ∈ C và µ ∈ (0, 2ηL2), dãy {un}n≥0 được cho bởi công thức

un+1 = PC(I − µA)(un) với n = 0, 1, 2, (1.9)hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p∗ ∈ C của VI(A, C)

Phương pháp lặp (1.9) được gọi là phương pháp chiếu gradient

1.2.3 Phương pháp đường dốc nhất

Phương pháp chiếu có ưu điểm là dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh.Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính toán phép chiếu mêtric PCkhông đơn giản vì sự phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C của H Đểkhắc phục khó khăn này, Yamada [4] đã đề xuất phương pháp lai đườngdốc nhất (hybrid steepest descent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thứcbiến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong khônggian Hilbert như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H

là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) 6= ∅ Giả sử A : H → H

là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipchitz trên D(A) Cho

Chúng ta nhắc lại một số bổ đề sau đây

Bổ đề 1.5 Trong không gian Hilbert H,

(i) kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, x + yi;

(ii) Với t ∈ [0, 1] ta có,

k(1 − t)x + tyk2 = (1 − t)kxk2+ tkyk2− (1 − t)tkx − yk2 ∀x, y ∈ H

Bổ đề 1.6 (Nguyên lý nửa đóng) Giả sử C là một tập con lồi đóng củakhông gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn Nếu T cóđiểm bất động thì I − T là nửa đóng, nghĩa là nếu dãy {xn} ⊂ C hội tụyếu đến phần tử x ∈ C và dãy {(I − T )xn} hội tụ mạnh đến phần tử y,thì suy ra (I − T )x = y

Bổ đề 1.7 Cho {xn} và {zn} là các dãy bị chặn trong không gian Hilbert

H sao cho xn+1 = (1 − βn)xn+ βnzn với n ≥ 1 ở đây {βn} thuộc [0, 1]thỏa mãn

(i) bn ∈ [0, 1] và P∞

n=1bn = ∞;

(ii) lim supn→∞cn ≤ 0

Khi đó, limn→∞an = 0

A là một ánh xạ từ H vào H Nội dung của chương này được viết trên

cơ sở bài báo [2] và [4]

2.1 Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

của một ánh xạ không giãn

Trong mục này, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4) ởChương 1 trong trường hợp C là tập điểm bất động của ánh xạ khônggiãn T : H → H, nghĩa là C := {x ∈ H : T (x) = x}

2.1.1 Phương pháp lai đường dốc nhất

Trước hết, ta có kết quả về sự hội tụ của dãy điểm bất động đếnnghiệm của bài toán VI(A, Fix(T ))

Bổ đề 2.1 Cho T : H → H là một ánh xạ không giãn với Fix(T ) 6= ∅.Giả sử A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnhtrên D(A) Với số µ ∈ (0,L2η2) tùy ý, ta xác định ánh xạ T(λ) : H → Hbởi

T(λ)(x) = T (x) − λµA(T (x)) với mọi λ ∈ [0, 1] (2.1)Khi đó,

(a) G = µA − I thỏa mãn

kG(x) − G(y)k2 ≤ {1 − µ(2η − µL2)}kx − yk2 với mọi x, y ∈ D(A),

(2.2)suy ra G là ánh xạ co chặt trên D(A) Hơn nữa

0 < τ = 1 −p1 − µ(2η − µL2) ≤ 1 (2.3)đảm bảo cho hình cầu đóng

Cf = nx ∈ H : kx − f k ≤ kµA(f )k

τ

o

(2.4)xác định với mọi f ∈ Fix(T )

Phương pháp lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C)được mô tả như sau: Cho T : H → H là một ánh xạ không giãn vớiFix(T ) 6= ∅, A : H → H là một ánh xạ, µ là một hằng số dương Với u0bất kỳ thuộc H, dãy {un}n≥0 được xác định bởi

un+1 = T(λn +1)(un) = T (un) − λn+1µA(T (un)) (2.6)