Phương Pháp Tính - Phương Trình Vi Phân Thường

Phương Pháp Tính - Phương Trình Vi Phân Thường 1. Bài toán Cauchy 2. Hệ phương trình vi phân 3. Bài toán biên tuyến tính cấp 2

B ÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

TP HCM — 2016

NỘI DUNG

1 B ÀI TOÁN C AUCHY

2 H Ệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Bài toán Cauchy Đặt vấn đề

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn

đến việc giải phương trình vi phân Bài toán

đơn giản nhất là bài toán Cauchy

y(a) = y0

(1)

với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn

[a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)

tại x = a.

Bài toán Cauchy Đặt vấn đề

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn

đến việc giải phương trình vi phân Bài toán

đơn giản nhất là bài toán Cauchy

(

y0(x) = f (x,y(x)), a É x É b, y(a) = y0

(1)

với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn

[a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)

tại x = a.

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫnđến việc giải phương trình vi phân Bài toánđơn giản nhất là bài toán Cauchy

(

y0(x) = f (x,y(x)), a É x É b, y(a) = y0

(1)

với y = y(x) là hàm cần tìm, khả vi trên đoạn

[a, b], y0 là giá trị ban đầu cho trước của y(x)

tại x = a.

Bài toán Cauchy Đặt vấn đề

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm

được nghiệm đúng của một số phương

trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)

có dạng bất kỳ thì nói chung không có

phương pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thểtìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng

Vì vậy, việc tìm những phương pháp giảigần đúng bài toán Cauchy có vai trò rấtquan trọng trong thực tế

Bài toán Cauchy Đặt vấn đề

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm

được nghiệm đúng của một số phương

trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)

có dạng bất kỳ thì nói chung không có

phương pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thể

tìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)

quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng

gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rấtquan trọng trong thực tế

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìmđược nghiệm đúng của một số phương

trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x, y)

có dạng bất kỳ thì nói chung không có

phương pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thểtìm ra nghiệm đúng của bài toán Cauchy (1)quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng

Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải

gần đúng bài toán Cauchy có vai trò rất

quan trọng trong thực tế

Bài toán Cauchy Công thức Euler

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta

chia đoạn [a, b] thành nđoạn nhỏ bằng

(1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn

[a, b]. Với mỗik = 0,1,2, ,n − 1 theo côngthức Taylor trên đoạn [x k , x k+1], ta có

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) tachia đoạn [a, b] thành nđoạn nhỏ bằng

Bài toán Cauchy Công thức Euler

y(x k+1)≈y k+1 = y k +hf (x k , y k ), k = 0,1,2, ,n−1.

Bài toán Cauchy Công thức Euler

y(x k+1)≈y k+1 = y k +hf (x k , y k ), k = 0,1,2, ,n−1.

Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PHƯƠNG PHÁP EULER

Ý nghĩa hình học của công thức Euler là từ điểm

(x k , y k) thuộc đường congy = y(x), kẻ tiếp tuyến với đường cong Đường tiếp tuyến sẽ cắtx = x k+1tạiy k+1

chính là giá trị gần đúng của hàm tạix = x k

y(x) = (x + 1)2− 0.5e x.

Bài toán Cauchy Công thức Euler

Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X2+ 1) : X = X + 0.2

1 CALC Y = 0.5 =,X = 0 =

2 Y =,X = 0.2 =

Với n = 10 thì h = 2 − 0

10 = 0.2, x k = 0.2k, y0 = 0.5.Công thức tính nghiệm gần đúng là

y k+1 = y k + h(y k − x2k+ 1)với k = 0,1, ,9.

Bấm máy. Y = Y + 0.2(Y − X2+ 1) : X = X + 0.2

1 CALC Y = 0.5 =,X = 0 =

2 Y =,X = 0.2 =

Trong công thức Euler, thay f (x k , y k) bởi

VÍ DỤ 1.2

Sử dụng phương pháp Euler cải tiến để xấp

xỉ nghiệm của bài toán Cauchy

y(x) = (x + 1)2− 0.5e x.

Với n = 10 thì h = 2 − 0

10 = 0.2, y0 = 0.5. Côngthức tính nghiệm gần đúng là

y k+1 = y k + h f (x k , y k ) + f (x k+1 , y k + hf (x k , y k))

2với k = 0,1, ,9.

Bấm máy.Y = Y + 0.1 × (Y − X2+ 1 + Y + 0.2(Y −

X2+ 1) − (X + 0.2)2+ 1) : X = X + 0.2

1 CALC Y = 0.5 = X = 0 =

2 Y =,X = 0.2

được xác định theo phương pháp sau Đặt

ϕ0(0) = ϕ00(0) = = ϕ (m)(0) = 0.

Công thức Runge-Kutta có độ chính xác caohơn công thức Euler, vì dùng khai triển

Taylor nghiệm y = y(x) của bài toán (1) vớinhiều số hạng hơn

Trong trường hợp n = m = 4 ta cócông thứcRunge-Kutta bậc bốn

VÍ DỤ 1.3

Sử dụng phương pháp Runge-Kutta bậc 4 để xấp xỉ nghiệm của bài toán Cauchy

y(x) = (x + 1)2− 0.5e x.

y k = y(t k)

CÔNG THỨC EULER CẢI TIẾN

, t Ê 1

Sử dụng công thức Euler cải tiến để xấp xỉ

h = 0.2.

VÍ DỤ 2.2

Cho phương trình vi phân cấp 2

x00− 2x0+ 2x = e 2t sin t, (0 < t < 1) với điều kiện

phương pháp Runge-Kutta bậc 4 để xấp xỉ nghiệm gần đúng của phương trình với bước

h = 0.1. So sánh kết quả thu được với nghiệm chính xác x(t) = 0.2e 2t (sin t − 2cost),

y(t) = x0(t) = 0.2e 2t (4 sin t − 3cost).

Đặt y(t) = x0(t).Phương trình đã cho đượcbiến đổi thành hệ

t k x(t k) x k x0(t k) y k

0.0 −0.4000 −0.4000 −0.60000 −0.6000 0.1 −0.4617 −0.4617 −0.6316 −0.6316 0.2 −0.5256 −0.5256 −0.6401 −0.6401 0.3 −0.5886 −0.5886 −0.6136 −0.6136 0.4 −0.6466 −0.6466 −0.5366 −0.5366

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúngcủa phương trình vi phân thường đòi hỏicác điều kiện được cho tại một thời điểmban đầu nào đó.

Đối với phương trình vi phân bậc hai, tacần 2 giá trị y(x0) và y0(x0).

Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tếcho thấy điều kiện của hàm cần tìm đượccho tại nhiều thời điểm khác nhau Vấn

đề này dẫn tới việc tìm nghiệm gần đúngcủa bài toán biên

Trong phần này chúng ta chỉ xét bài toánbiên của phương trình vi phân thườngtuyến tính cấp hai với điều kiện biên

được cho ở 2 điểm có dạng

với phương pháp sai phân hữu hạn

Chọn số tự nhiên bất kỳ n > 0.Chia đềuđoạn [a, b] thànhn đoạn bởi các điểm

y0(x k) ≈ y(x k+1 ) − y(x k−1)

2h = y k+1 − y k−1

2h

y00(x k) ≈ y(x k+1 ) − 2y(x k ) + y(x k−1)

Từ các điều kiện biêny0= α, yn = βsau khi biến đổi ta thu được hệ phương trình

Y = [y1, y2, , y n−1]Tvà

Ma trận A ở trên là ma trận 3 đường chéo.

Để giải hệ phương trình trên thì ta dùng

phương pháp phân rã LU

Khi đó phân rã Doolittle cho ta

8 ·

Bài toán biên tuyến tính cấp 2 Ví dụ

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE