phương pháp tính: Giải phương trình vi phân thường

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ---PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS... KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER ---Bảng kết quả: Tính gần đúng tích phân với công thức h

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV

CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)

NỘI DUNG

BÀI TOÁN CÔSI

-Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu

Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h

= (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t 0 = a < t 1 = a + h < … < t n = b

),,(

'

a y

b t

a y

t f y

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

-Bài toán Côsi:

& công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:

+

−

=

31)

0(

0,25

5

y

t t

t y

y

đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) =

hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1.

Với bước chia h = 0.5

h

x f h

x

f x

.442

e gđ.Lagrang

CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG

,(

'

a

y

b a t

y t f

y

ih a

t n

a

b

Tính w i , i = 0 → n

Sơ đồ Euler (i = 0 → n – 1)

S/đ Euler cải tiến (i = 0 → n – 1)

2)(

),

(),

,(

2 1

1

1 2

1 0

k k

w w

k w

h t

hf k

w t hf k

w w

i i

i i

i i

i

++

=

++

sửGiả

α

),(

1

0

i i i

i

i

w t hf w

sửGiả

++

=

+

=+

+

=

++

2(

),

(),

2,

2(

)2,

2(

),,

(

4 3

2 1

1

3 1

4 2

3

1 2

1

k k

k k

w w

k w

t hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t hf k

i i

i i

i i

i i

i i

Btoán Côsi: Tìm y(t)

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER

-Sơ đồ Euler:

Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:

So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1) 2 – 0.5e t

Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:

−

=

5.0)

0(

10

,1

y

t t

y y

I

Giải: f(t,y) = y – t 2 + 1

5.0,

=+

=

=

5

0

2 1

0

i i

i i

i i

w w

KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER

-Bảng kết quả:

Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang

2

22

1

=

VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN

-Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng



=

≤

≤+

−

=

5.0)

0(

10

,1

y

t t

y y

1)

,

(t y = y −t2 + h =

f

5.0,

(,

),

1 1

2 1

k

k w

w k

w h t

hf k

w t hf

VÍ DUÏ RUNGE – KUTTA

0(

1

y

t y y

++

=

++

=+

+

=

++

=

=

22

),

(,

)2,

2(

)2

,2

(,

),

(

4 3

2

1 1

3 4

2 3

1 2

1

k k

k

k w

w

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t hf k

i i

i i

i i

i i

i i

Runge –

Kutta 4:

w i → w i+1

75

0 0.90625 0.9451325 1.09765634251302

1 1.0875651 1.2032064 1.2331167 1.32862356396027

.2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

a u

u t

f dt

du

b t

a u

u t

f dt

du

),,

,(

),,

,(

2 1 2

2

2 1 1

1 1

)(

a

u

đầukiện

0

1 =α , w =α

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

++

=

=+

−+

=

10

,4

24

'

10

,1

22

3'

2

2

2 2

1 2

1

2

2 2

1 1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u

u

t t

Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u 1 , u 2 tại t = 0.5; 1

So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác:

( )t e t e t e t u ( )t e t e t t e t

3

23

1

;3

13

( ) ( )0 1

10

.0

SƠ ĐỒ EULER

a u

u t

f dt

du

b t

a u

u t

f dt

du

),,

,(

),,

,(

2 1 2

2

2 1 1

1 1

)(

a

u

đầukiện

Điều

i

i i

i

i i

i

2 2

1 1

++

=

=+

−+

=

10

,4

24

'

10

,1

22

3'

2 ,

,

2

2 2

1 2

1 ,

,

2

2 2

1 1

2 1 2

2 1 1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u u

u u t f

t

u u t f

1

0 2

0 1 2

=

=+

=

1,1,05

.01

1,1,05

.01

2

1 2

1

1 1

f w

f w

ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

-Bài toán Côsi cấp 2 (Ph/trình vi phân cấp 2 và đkiện đầu):

( ) ( ) ( )

"

α

a y

a t

y y t f y

Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u 1 (t)= y(t), u 2 (t)=y’(t)

( ) ( ) ( )

2

2 1 1

2 1

,,'

,,''

'

,,

'

u u t f y

y t f y

u

u u t f u

1 1

α

a y a

u

a y a

1

0 1

α

α

w w

=

+

=+

=

2 1 2

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

2 1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

,,,

,

,

,

ααα

α

α

a hf w

w t

hf w

w

h w

w t

hf w

w

VÍ DỤ

-Với h = 0.1, tính xấp xỉ giá trị y(0.2), y’(0.2) của nghiệm

bài toán sau bằng phương pháp Euler:

−

6.0)

0(',4.0)

0(

0,

sin2

'2

y y

t t e

y y

+

−

=+

2 2

1

2 2

2 1

2 1 1

2 1

,,sin

22

sin'

22

'

6.00

,4.00

&

,,

'

u u t f t

e u

u t

e y y

u

u u

u u t f u

u

t t

4

−

=+

=

−

−+

−

=+

=

⇒

6.0,4.0,01

.06

.0,

,

6.0,4.0,01

.04.0,

,

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

f w

w t

hf w

w

f w

w t

hf w

w

BÀI TOÁN BIÊN

b x

a y

y x f

y

,)

(

),',,(''

Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2

b x

a x

r y x q y x p

y

,

),()

('

)(

"

−

01

,10

10

,1

2'1

y y

x e

x y

y x

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

b x

a x r y x q y x p

y

,

*),

()

('

)(

"

(*) Xấp xỉ y’(x k ) , y’’(x k ): công thức đạo hàm hướng tâm

( ) ( ) ( )

2

0 1

2 1

2)

(

"

h

x y x

y x

y x

y x

y x

3 2

2)

(

"

h

x y x

y x

y x

CÔNG THỨC LẮP GHÉP

−

−

+

− +

=

−

n n

n

q h p

h

p h

p

h q

h p

h

p

h q

2 2

1 1

2

2 2

1 0

0

2 1

0 0

2

1

2 2

1

0

0 2

1 2

n

p

h r

h

r h

r h

r h

p

h r

h

b

2 1

2 1

2

1 2

3 2 2 2

1 1

LẬP BẢNG LẮP GHÉP

- Chia [a, b] thành các đoạn nhỏ độ dài h n điểm chia x k

(không kể 2 đầu) – ứng với y k chưa biết → n ẩn số y k

b x

a x r y x q y x p

y

,

*),

()

('

)(

"

 Lập bảng cột x k → p k = p(x k ), q k = q(x k ), r k = r(x k ) → a kk (đ/chéo chính), a k,k+1 (chéo trên), a k-1,k (dưới), b k → Nghiệm y k

 Đ/chéo a kk : k = 1 → n; a k,k+1 : k = 1 → (n – 1), a k-1,k : k = 2 → n

−

=

1)

1(,

2)

0(

32

2'3

"

y y

x y

y y

2

0

4

0

6

0

8.0

3

−3

−3

−3

−

2222

4

38

32

46.4

3

13

13.1

7

07

07.0

264

1

−152

0168

0116

1

−

Ma trận cấp 4: Chéo chính a kk – 4 phần tử; Chéo trên a k, k+1 : 3

08.2

−

08.2

−

08.2

−

08.2

168

0

152

0

264

1

08.2

3.100

7.00

0

08.27

.00

3.108

.27

.0

03

.108

.2

b A

1

168

0

273

0

608

0

08.2

3.100

7.00

0

08.27

.00

3.1642

.10

0625

.01

0

593

0

636

0

006

1

y