giải tích 1 lê xuân đại 7 phương trình vi phân tuyến tính cấp hai sinhvienzone com

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàmXét phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng TS.. Lê Xuân Đại BK TPHCM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP... Lê Xuân Đại BK TPHCM PHƯƠNG TR

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Trang 2

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hàm

Xét phương trình tuyến tính cấp 2 có dạng

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2013 2 / 38

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 3

Phương pháp giải

không thuần nhất L(y ) = F (x )

SinhVienZone.Com

Trang 4

Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm của phươngtrình vi phân đòi hỏi phải thỏa mãn các điều kiện

cao nhất của phương trình Ví dụ đối với phươngtrình vi phân cấp 2 sẽ có 2 điều kiện bổ sung tại

Định nghĩa

Phương trình vi phân cấp 2 với điều kiện bổ sung

duy nhất

SinhVienZone.Com

Trang 5

Dao động tự do

SinhVienZone.Com

Trang 6

là hệ số đàn hồi của lò xo.

Phản lực tỉ lệ với vận tốc chuyển động của quả

Trang 7

trình vi phân cấp 2, thuần nhất, với hệ số hằng.

SinhVienZone.Com

Trang 8

Dao động cưỡng bức

Trong trường hợp lực cản không tồn tại, cònquả nặng sẽ dao động theo 1 ngoại lực có chu

kỳ, theo quy luật là ` sin ωt

Trong trường hợp này, chỉ có lực có xu hướngđưa quả nặng về vị trí cân bằng là

Trang 9

Phương trình vi phân cấp hai với hệ số hằng

Trang 10

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất

Giải phương trình thuần nhất

Trang 11

Bước 2.

Tính ∆ = B 2 − 4AC

1 Nếu ∆ > 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phân biệt k 1 6= k2 Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất là y tn = C1ek1 x + C2ek2 x

2 Nếu ∆ = 0 thì phương trình đặc trưng có nghiệm kép

k = k 0 Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất

là y tn = C 1 ek0 x + C 2 x ek0 x

3 Nếu ∆ < 0 thì phương trình đặc trưng có 2 nghiệm phức liên hợp k1 = a + bi , k2 = a − bi Khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất là

y tn = ea (C 1 cos b x + C 2 sin b x ).

SinhVienZone.Com

Trang 12

Bước 3 Tìm nghiệm riêng trường hợp f (x) = e αx Pn(x )

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất

sẽ có dạng y r = xs.eαx.Q n (x ), trong đó Q n (x ) là đa thức cần tìm có cùng bậc với P n (x ).

1 Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng yr = eαx.Qn(x )

2 Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì

Trang 13

Bước 3 Tìm nghiệm riêng trường hợp

f (x ) = eαx.(Pn(x ) cos βx + Qm(x ) sin βx )

Nghiệm riêng của phương trình vi phân không thuần nhất

sẽ có dạng yr = xs.eαx.(Hk(x ) cos βx + Tk(x ) sin βx ),

trong đó H k (x ), T k (x ) là những đa thức cần tìm có cùng bậc k = max{m, n}.

1 Nếu α + i β không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì s = 0 và nghiệm riêng có dạng

Trang 14

Nguyên lý chồng chất nghiệm

Nếu f (x) = f1(x ) + f2(x ), trong đó f1(x ), f2(x ) là một trong 2 trường hợp đặc biệt trên thì

1 Ta tìm nghiệm riêng y r1 của phương trình

Trang 15

Bước 4 Nghiệm tổng quát

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấphai với hệ số hằng là

SinhVienZone.Com

Trang 16

Bước 2 Nghiệm của phương trình thuần nhất

SinhVienZone.Com

Trang 17

Bước 3 Tìm nghiệm riêng của phương trình

không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

Trang 18

Bước 4 Nghiệm tổng quát y tq = C 1 e−x + C 2 e3x + 1

5e

4x Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

Trang 20

SinhVienZone.Com

Trang 21

Trang 22

Ví dụ

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất

Bước 2 Nghiệm của phương trình thuần nhất

SinhVienZone.Com

Trang 23

y00 + y0 − 2y = cos x − 3 sin x Nghiệm riêng có dạng yr = xs.e0x.(A cos x + B sin x ) Vì

α = 0 + i không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và yr = A cos x + B sin x

−2 yr = A cos x + B sin x

1 yr0 = −A sin x + B cos x

1 yr00 = −A cos x − B sin x

yr00 + yr0 − 2yr = (B − 3A) cos x +(−3B − A) sin x =

Trang 24

SinhVienZone.Com

Trang 25

Ví dụ

Bước 1 Giải phương trình thuần nhất y00+ y = 0

Trang 26

Bước 3 Tìm nghiệm riêng y r1 của phương trình

y00 + y = xexNghiệm riêng có dạng yr1 = xs.ex.(Ax + B) Vì α = 1

không là nghiệm của phương trình đặc trưng nên s = 0 và

yr1 = ex(Ax + B)

0 yr01 = Aex + (Ax + B)ex

1 yr001 = 2Aex + (Ax + B)ex

yr00 + y r = 2Axex + (2A + 2B)ex = xex

⇒

2A = 1 2A + 2B = 0 ⇒ A = 1

Trang 27

Bước 3 Tìm nghiệm riêng yr2 của phương trình

Trang 28

Trang 29

Phương pháp biến thiên hằng số

Phương pháp này áp dụng để tìm nghiệm củaphương trình không thuần nhất tuyến tính cấp 2

trên

y = C 1 (x ).y 1 (x ) + C 2 (x ).y 2 (x ),

y0 = C10(x ).y1(x ) + C1(x ).y10(x ) + C20(x ).y2(x ) + C2(x ).y20(x )

y00 = C100(x ).y1(x )+C10(x ).y10(x )+C10(x ).y10(x )+C1(x ).y100(x )+ +C200(x ).y2(x ) + C20(x ).y20(x ) + C20(x ).y20(x ) + C2(x ).y200(x )

SinhVienZone.Com

Trang 30

⇒ [Ay100(x ) + By10(x ) + Cy 1 (x )].C 1 (x )+

+[Ay200(x ) + By20(x ) + Cy2(x )].C2(x )+

+A[C10(x )y1(x ) + C20(x )y2(x )]0+ +A[C10(x )y10(x )+C20(x )y20(x )]+B[C10(x )y1(x )+C20(x )y2(x )]

Trang 31

Từ đó, ta chọn các hàm C1(x), C2(x) thỏa mãn hệphương trình

Trang 32

W (x ) =

y1(x ) y2(x )

y10(x ) y20(x )

,

D1 =

tanx

2 +

π 4

+ sin x + C1 cos x + +(− cos x + C2) sin x

SinhVienZone.Com

Trang 37

Nghiệm của phương trình thỏa điều kiện

π 4

+ C 1

cos 0 = 0

− ln

tan

π

12 +

π 4

+ sin π

6 + C1

cos π

6 ++

− cos π

6 + C2

sinπ

6 = 0

⇒ C1 = 0, C 2 =

√ 3

2 ln 3.

Vậy nghiệm của bài toán

y =

√ 3

2 ln 3 sin x − cos x ln

...

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2 013 37 / 38

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>... Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2 013 43 / 38

SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn

SinhVienZone. Com< /h3>

14

TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI TP HCM — 2 013 41 /

Định dạng
Số trang	43
Dung lượng	514,42 KB