Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình vi phân thường

KHOA TOÁNTrần Thị Thu Loan MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2017... KHOA TOÁNTrần Thị Thu Loan MỘT SỐ PHƯƠ

KHOA TOÁN

Trần Thị Thu Loan

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017

KHOA TOÁN

Trần Thị Thu Loan

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - Năm 2017

Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơnchân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường ĐạiHọc Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian

em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất VănNinh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, ngườitrực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trongsuốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạnsinh viên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Thu Loan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong khi nghiêncứu đề tài này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệutham khảo Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Một số phương phápgiải tích giải gần đúng phương trình vi phân thường” là kết quảcủa việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùnglặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Trần Thị Thu Loan

LỜI NÓI ĐẦU 1

1.1 Chuỗi lũy thừa 3

1.1.1 Định nghĩa chuỗi lũy thừa 3

1.1.2 Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa 4 1.1.3 Một số tính chất của chuỗi lũy thừa 4

1.1.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 5

1.2 Khái quát về phương trình vi phân 7

1.2.1 Khái niệm phương trình vi phân thường 7

1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n 9 1.2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một 11

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 14 2.1 Phương pháp chuỗi lũy thừa 14

2.1.1 Định nghĩa hàm giải tích 15

2.1.2 Nội dung phương pháp 15

2.2 Phương pháp hệ số bất định 22

2.2.1 Phương pháp cho phương trình vi phân cấp một 22 2.2.2 Phương pháp cho phương trình vi phân cấp hai 25 2.2.3 Ví dụ minh họa 26

2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 33

2.3.1 Nội dung phương pháp 34

2.3.2 Ví dụ minh họa 35

3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN 38 3.1 Giới thiệu về phần mềm Maple 38

3.2 Một số ứng dụng của Maple trong tính toán giải phương trình vi phân 39

3.2.1 Ví dụ minh họa 40

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Toán học là môn học khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sự

phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học

chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng Trong lĩnh vực toán ứng

dụng, ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi

phân thường Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng

vai trò rất quan trọng trong lí thuyết Toán học Chúng ta biết rằng, chỉ

có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm

chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ

các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác Do vậy,

một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương

trình vi phân Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà Toán học đã tìm ra

nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường

Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình về vấn

đề: “Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình

vi phân thường” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú

kiến thức của mình và ứng dụng giải toán đại học

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về

cách giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường

bằng phương pháp giải tích Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng

3 Phương pháp nghiên cứu

+Phương pháp nghiên cứu lí luận

+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu

Luận văn gồm ba chương

Chương 1: " Kiến thức chuẩn bị"

Mục đích chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi lũy

thừa, khái quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với

phương trình vi phân cấp một và cấp n

Chương 2: "Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình

vi phân thường"

Mục đích chương này là trình bày một số phương pháp giải tích và ứng

dụng vào việc giải gần đúng các phương trình vi phân thường

Chương 3: "Ứng dụng Maple trong tính toán"

Mục đích chương này là giới thiệu về phần mềm Maple và một số ứng

dụng của Maple trong tính toán giải phương trình vi phân thường

Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô của khoa Toán đã

quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên

các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể

tránh khỏi có những sai sót Em mong nhận được sự góp ý của thầy cô

và các bạn Em xin chân thành cảm ơn!

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi lũy thừa, khái

quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với phương trình

vi phân cấp một và cấp n

1.1.1 Định nghĩa chuỗi lũy thừa

∞

X

n=0

anyn

với tâm tại y = 0.

1.1.2 Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa

Nếu tồn tại một số thực dương R sao cho chuỗi (1.1) hội tụ khi

|x − x0| < R và phân kì khi |x − x0| > R thì R được gọi là bán kính hội

tụ của chuỗi lũy thừa, khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của

chuỗi (1.1)

Thực tế, nó là khoảng hội tụ tuyệt đối của chuỗi lũy thừa

Chú ý: Bán kính hội tụ R có thể được tính bằng công thức

R = lim

n→∞

an

an+1

Bán kính hội tụ có thể bằng 0, hữu hạn hoặc là vô hạn

1.1.3 Một số tính chất của chuỗi lũy thừa

Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với x0 = 0, tức là chuỗi có dạng

1.1.4 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

• Điều kiện để một hàm có thể khai triển thành chuỗi lũy thừaGiả sử chuỗi lũy thừa

với ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)

• Định nghĩa chuỗi Taylor

Nếu f khả vi vô hạn trong một lân cận nào đó của điểm x0 thì chuỗi

f(n)(x0)n! (x − x0)

n

+

được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f (x) tại điểm x0

Khi x0 = 0 thì chuỗi trên trở thành

f00(0)2! x

2 + + f

(n)(0)n! x

n+ Đây được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x)

• Một vài khai triển cơ bản

x1! +

x22! + +

xnn! + với x ∈ (−∞, +∞)

x22! +

x44! − x

6

6! + + (−1)

n x2n(2n)! + với x ∈ (−∞, +∞)

1.2.1 Khái niệm phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần

tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó

Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm

cần tìm được gọi là một phương trình vi phân

Phương trình vi phân thường có dạng

Cấp của phương trình vi phân là n nếu n là cấp cao nhất của đạo hàm

của ẩn có mặt trong phương trình

• Định nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp một

Phương trình vi phân thường cấp một được biểu diễn dưới dạng

trong đó hàm F xác định trong miền D ⊂ R3

• Định nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp n

Phương trình vi phân thường cấp n có dạng

Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)

thỏa mãn phương trình này với những giá trị x ∈ (a; b) hữu hạn hoặc vô

hạn

Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng

y = y (x, c1, c2, , cn) trong đó c1, c2, , cn là các hằng số tùy ý, mỗigiá trị của hằng số đều cho một nghiệm

Trong bài toán Cauchy cần tìm nghiệm riêng thỏa mãn n điều kiện ban

y (x0) = y0, y0(x0) = y00, , y(n−1)(x0) = y(n−1)0 (1.5)trong đó x0, y0, y00, , y0(n−1) là các giá trị cho trước

1.2.2 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

trên có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm, vì nếu

thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần

tìm

• Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1, u2, , un) thỏa mãn điều kiệnLipschitz theo biến u1, u2, , un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho vớihai điểm (x,u1, u2, , un) ∈ G, (x, u1, u2, , un) ∈ G bất kỳ ta có bấtđẳng thức:

Nếu f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 thì tồn tại

ít nhất một nghiệm y = y (x, c1, c2, , cn) của phương trình (1.4) thỏamãn điều kiện (1.5) tức là y = y (x, c1, c2, , cn) là nghiệm của bài toán(1.4 – 1.5)

• Định lý duy nhất nghiệm

Xét bài toán (1.4 – 1.5)

Nếu hàm f (x, u1, u2, , un) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và hàm

f (x, u1, u2, , un) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1, u2, , un tức là

1.2.3 Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một

(1.6)

(t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r; x0 + r]

trong đó x(t) là hàm một biến xác định trên [0, T ]

Bài toán đi tìm nghiệm của phương trình

• Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo

biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với hai điểm (x, ¯y) ∈ G, x, y
∈

G bất kỳ ta có bất đẳng thức:

... PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

THƯỜNG

Chương trình bày số phương pháp giải tích ứng dụng vào

vi? ??c giải gần phương trình. .. nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp một< /p>

Phương trình vi phân thường cấp biểu diễn dạng

trong hàm F xác định miền D ⊂ R3

• Định nghĩa: Phương trình vi phân thường. .. niệm phương trình vi phân thường< /p>

Phương trình vi phân phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần

tìm y = f (x) đạo hàm cấp

Nói cách khác, phương trình chứa đạo hàm vi phân