phương pháp tính nguyễn quốc lân c5 giai phương trình vi phân thuong sinhvienzone com

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ---PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV CHƯƠNG 5 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG • TS.. NGUYỄN QUỐC LÂN 5/2006 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn SinhVienZone.

Trang 1

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-PHƯƠNG PHÁP TÍNH – SV

CHƯƠNG 5

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

• TS NGUYỄN QUỐC LÂN (5/2006)

SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn

SinhVienZone.Com

Trang 2

NỘI DUNG

-

-A- BÀI TOÁN CÔSI (GIÁ TRỊ ĐẦU)

B- BÀI TOÁN BIÊN

SinhVienZone.Com

Trang 3

BÀI TOÁN CÔSI

-

-Tìm hàm y = y(t) thoả phương trình vi phân thường & điều kiện đầu

Giải xấp xỉ: Chia [a, b] thành n đoạn bằng nhau, độ dài h

= (b – a)/n, (n + 1) điểm chia t 0 = a < t 1 = a + h < … < t n = b

) (

), , ( '

a y

b t

a y

t f y

Trang 4

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

-

-Bài toán Côsi:

& công thức xấp xỉ đạo hàm 2 điểm:

3 1 ) 0 (

0 , 2 5

5

y

t t

t y

y

Từ đó xây dựng đa thức nội suy Lagrange (spline) y gđ và vẽ đồ thị so sánh với nghiệm chính xác g(t) =

hãy tính xấp xỉ nghiệm y tại t = 0.5, t = 1.

Với bước chia h = 0.5

h

x f h

x

f x

1

5 0 5

0

y

33 0 87

4 42

.

6 t 2 t

ygđ

c bt

at

ygđ.Lagrang e 2

SinhVienZone.Com

Trang 5

CÁC SƠ ĐỒ GIẢI XẤP XỈ PTRÌNH VPHÂN THƯỜNG

, ( '

a

y

b a t

y t f

y

Chia [a, b] n đoạn

ih a

t n

a

b

Tính w i , i = 0 n

Sơ đồ Euler (i = 0 n – 1)

S/đ Euler cải tiến (i = 0 n – 1)

2 ) (

) ,

( ),

, (

2 1

1

1 2

1 0

k k

w w

k w

h t

hf k

w t hf k

w w

i i

i đã biết sử

Giả

) , (

.

1

0

i i i

i

w t hf w

w

Sơ đồ Runge –

) ,

( ),

2 ,

2 (

) 2 ,

2 (

), ,

(

4 3

2 1

1

3 1

4 2

3

1 2

1

k k

w w

k w

t hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t hf k

i i

Btoán Côsi: Tìm y(t)

SinhVienZone.Com

Trang 6

VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP EULER

-

-Sơ đồ Euler:

Bằng p/pháp Euler, giải bài toán Côsi với n = 3 đoạn chia:

So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm g(t) = (t+1) 2 – 0.5e t

Từ đó tính xấp xỉ tích phân bằng c/t hình thang:

5 0 )

0 (

1 0

, 1

y

t t

y y

Giải: f(t,y) = y – t 2 + 1

5 0 ,

2 0 )

, (

5 0

2 1

0

i i

w w

SinhVienZone.Com

Trang 7

KẾT QUẢ PHƯƠNG PHÁP EULER

-

-Bảng kết quả:

Tính gần đúng tích phân với công thức hình thang

1 0

3 2

1 0

1

0

2 2

2

2 2

1

SinhVienZone.Com

Trang 8

VÍ DỤ EULER CẢI TIẾN

-

-Tính y(1.) của bt Côsi sau bằng

SĐ Euler cải tiến với h = 0.5: (0) 0.5

1 0

, 1

y

t t

y y

1 )

,

(t y y t 2 h

f

5 0 ,

( ,

) ,

1 1

2 1

k

k w

w k

w h t

hf k

w t hf k

i i

Trang 9

VÍ DỤ RUNGE – KUTTA

-

-Tính y(1.) bằng Runge – Kutta với h = 0.5

5 0 )

0 (

1

y

t y y

) ,

( ,

) 2 ,

2 (

) 2

, 2

( ,

) , (

4 3

2 1

1

3 4

2 3

1 2

1

k k

k

k w

w

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

k w

h t

hf k

w t hf k

i i

Runge –

Kutta 4:

w i w i+1

75

4251302

6396027

2

SinhVienZone.Com

Trang 10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

-

-Bài toán Côsi : Tìm hai hàm u 1 = u 1 (t), u 2 = u 2 (t) thoả

b t

a u

u t f dt

du

b t

a u

u t f dt

du

), ,

, (

), ,

, (

2 1 2

2

2 1 1

1

2 2

1 1

) (

&

a u

đầu kiện

Điều

2 2

1 1

i 2

i 1

0 2

0

1 w tính w w w

Biết

i t u w

t u w

i

i i

1 2 1

Trang 11

MINH HOẠ Ý TƯỞNG

-

-Xét bài toán Côsi với hệ phương trình vi phân thường:

1 0

, 4

2 4

'

1 0

, 1

2 2

3 '

2

2 2

2 1

2

1

2 2

2 1

1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u u

t t

Với bước chia h = 0.5, tính xấp xỉ nghiệm u 1 , u 2 tại t = 0.5; 1

So sánh giá trị tính được với giá trị nghiệm chính xác:

t t

e t e

e t

u e

e e

t

2

2 5

1

3

2 3

1

; 3

1 3

1

t u1 u2

0.51.0

1 0

0

? 5

0

? 1

Trang 12

SƠ ĐỒ EULER

a u

u t f dt

du

b t

a u

u t f dt

du

), ,

, (

), ,

, (

2 1 2

2

2 1 1

1

2 2

1 1

) (

&

a u

đầu kiện

Điều

i i i

i i

i i i

i i

w w t hf w

w w

w t hf w

w1 1 1 1 , 1 , 2 , 2 1 2 2 , 1 , 2

2

0 2 1

, 4

2 4

'

1 0

, 1

2 2

3 '

2 ,

,

2 2

2 1

2

1 ,

,

2 2

2 1

1

2 1 2

2 1 1

u e

t t

u u

u

u e

t u

u u

u u t f

t

u u t f

1

0 2

0 1 2

1

w w

1 , 1 , 0 5

0 1

1 , 1 , 0 5

0 1

2

1 2

1

1 1

f w

SinhVienZone.Com

Trang 13

ÁP DỤNG : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

"

a y a

y

a t

y y t f y

Đưa về bài toán Côsi cấp 1: Đổi biến u 1 (t)= y(t), u 2 (t)=y’(t)

2 1 2

2

2 1 1

2 1

, , '

' '

, , '

u u t f y

y t f y

u

u u t f u

u

Điều kiện đầu:

2 2

1 1

' a

y a

u

a y a

u

2

0 2

1

0 1

w w

Sơ đồ Euler:

2 1 2

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

2 1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

, , ,

,

, ,

a hf w

w t hf w

w

h w

w t hf w

w

SinhVienZone.Com

Trang 14

0 ( ' , 4 0 )

0 (

0 ,

sin 2

' 2

y y

t t e

y y

Đổi biến đưa về bài toán Côsi cấp 1: u 1 = y(t), u 2 = y’(t)

2 1 2

2 2

1

2 2

2 1

2 1 1

2 1

, , sin

2 2

sin '

2 2

'

6 0 0

, 4 0 0

&

, , '

u u t f t

e u

u t

e y y

u

u u

u u t f u

u

t t

6 0

4 0

0 6

0 ,

,

6 0 , 4 0 , 0 1

0 4

0 ,

,

2

0 2

0 1 0 2

0 2

1 2

1

0 2

0 1 0 1

0 1

1 1

f w

w t

hf w

w

f w

w t

hf w

w

SinhVienZone.Com

Trang 15

BÀI TOÁN BIÊN

-

-Bài toán biên cấp 2: Tìm hàm y = y(x) thoả phương trình

b y a

y

b x

a y

y x f y

, )

(

), ' , , ( '

Hay gặp: Bài toán biên tuyến tính cấp 2

b y a

y

b x

a x

r y x q y x p y

,

), ( )

( '

) (

"

SinhVienZone.Com

Trang 16

, 1 0

1 0

, 1

2 ' 1 '

y y

x e

x y

y x

SinhVienZone.Com

Trang 17

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

-

-BT biên tuyến tính

b y a

y

b x

a x r y x q y x p y

,

* ),

( )

( '

) (

2 1

2 )

(

"

h

x y x

y x

3 2

2 )

(

"

h

x y x

y x

y

SinhVienZone.Com

Trang 18

CÔNG THỨC LẮP GHÉP

-

-n n

n

q h p

h

p h

p

h q

h p

h

p

h q

2 2

1 1

2

2 2

1 0

0

2 1

0 0

2

1

2 2

1

0

0 2

1 2

n

p

h r

h

r h

p

h r

h

b

2 1

2

1 2

3 2 2 2

1 1

Trang 19

LẬP BẢNG LẮP GHÉP

y

b x

a x r y x q y x p y

,

* ),

( )

( '

) (

Trang 20

2 )

0 (

3 2

2 ' 3

"

y y

x y

y y

h = 0.2 n = 5 6 điểm chia Hệ phương trình 4 ẩn

2 0

4 0

6 0

8 0

3 3 3 3

2 2 2 2

4 3 8 3 2 4 6 4

3 1 3 1 3 1

7 0 7 0 7 0

264 1 152 0 168 0 116 1

Ma trận cấp 4: Chéo chính a kk – 4 phần tử; Chéo trên a k, k+1 : 3

08 2 08 2 08 2 08 2

Trang 21

168 0

152 0

264 1

08 2

3 1 0 0

7 0 0

0

08 2 7

0 0

3 1 08

2 7

0

0 3

1 08

2

b A

116 1

168 0

273 0

608 0

08 2

3 1 0 0

7 0 0

0

08 2 7

0 0

3 1 642

1 0

0 625

0 1

b

A

736 0

593 0

636 0

006 1

y

SinhVienZone.Com

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	417,2 KB