phương trinh vi phân cấp 1 phuong_trinh_vi_phan_cap_1

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

3 P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

4 P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẲNG CẤP CẤP MỘT

5 P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BERNOULI

7 BÀI TẬP

Phương trình vi phân đóng vai trò quan trọng của việc ứng dụng toán học trong những lĩnh vực khoa học khác vì nhiều quá trình thực tế được mô tả bằng

phương trình vi phân 1 cách dễ dàng và đầy đủ.

Tuy nhiên, để hiểu được những ứng dụng của phương trình vi phân, chúng ta cần nắm vững những kiến thức về khoa học

tự nhiên (vật lý, hóa học, sinh học,v.v), kỹ thuật, v.v.

Đ ỊNH NGHĨA 1.1

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 1

f (x, y, y 0 ) = 0 là biểu thức tổng quát của tập hợp vô hạn các hàm, thỏa mãn phương trình vi phân Nó có thể được xác định ở dạng tường minh y = F(x,C) hoặc dạng ẩn Φ(x,y,C) = 0, trong đó C là hằng số tùy ý.

Nghiệm của phương trình vi phân tương ứng với một giá trị C cụ thể được gọi là nghiệm riêng Nghiệm của phương trình vi phân không tương ứng với một giá trị C cụ thể nào được gọi là nghiệm kỳ dị

B ÀI TOÁN LÀM LẠNH VẬT THỂ

V Í DỤ 2.1

Nhiệt độ của bánh mỳ mới ra lò sẽ giảm từ

100 o C xuống 60 o C trong vòng 20min Nhiệt

độ của môi trường xung quanh là 25 o C. Hỏi sau bao nhiêu phút từ lúc lấy bánh mỳ ra, nhiệt độ của bánh mỳ hạ xuống còn 30 o C?

d τ = k(T − t), k-hệ số tỉ lệ

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Hệ số tỉ lệ k được tìm dựa vào điều kiện khi

60 − 25 = 75e k.20 ⇒ e k = µ 7

15

¶ 1 20

P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

Đ ỊNH NGHĨA 2.1

Phương trình vi phân có dạng

được gọi là phương trình vi phân tách biến

Nghiệm tổng quát của phương trình này là

Z

P(x)dx +

Z

Q(y)dy = C.

P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ DẠNG

f 1 (x).g 1 (y)dx + f 2 (x).g 2 (y)dy = 0

Nếu như f 1 (x), f 2 (x), g 1 (y), g 2 (y) 6= 0 thì ta chia 2

vế của phương trình đã cho cho f 2 (x)g 1 (y).

V Í DỤ 2.3

Giải phương trình x(y 2 − 4)dx + ydy = 0.

Chia 2 vế của phương trình đã cho cho

V Í DỤ 2.4

Giải phương trình y 0 = cos(x − y − 1).

Đặt z = x − y − 1 ⇒ z 0 = 1 − y 0 ⇒ y 0 = 1 − z 0 Thay vào phương trình ta được

V ẬT THỂ RƠI VỚI KHỐI LƯỢNG THAY ĐỔI

V Í DỤ 3.1

Quan sát hiện tượng mưa đá Hạt mưa đá có khối lượng M (gam), rơi tự do trong không trung, sẽ bị bốc hơi đều mỗi giây giảm m

(gam) Lực cản của không khí tỉ lệ với vận tốc rơi của hạt mưa Hãy tìm mối quan hệ giữa vận tốc rơi của hạt mưa và thời gian rơi của hạt mưa, biết rằng tại thời điểm ban

đầu vận tốc của hạt mưa là 0(m/s) và hệ số tỉ

lệ k 6= m.

Hạt mưa đá bốc hơi đều nên tại thời

điểm t khối lượng của nó là M − mt và

Phương trình vi phân thu được

Tìm C theo điều kiện t = 0 thì v = 0 ta

M

¶

phương trình thuần nhất Nếu Q(x) 6= 0thì phương trình (2) được gọi là phương trình không thuần nhất

1 Nghiệm tổng quát của phương trình

thuần nhất có dạng y = Ce − R P(x)dx

2 Nghiệm tổng quát của phương trình

không thuần nhất có dạng

y = C(x).e − R P(x)dx , với C(x) là hàm khả vi liên tục ( phương pháp Lagrange ) Thay nghiệm này vào (2) ta được

C 0 (x)e − R P(x)dx = Q(x)

⇒ C(x) =

Z

Q(x)e − R P(x)dx dx + C

N GHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP MỘT

y = e − R P(x)dx

µZ

e R P(x)dx Q(x)dx + C

¶

Nhân 2 vế của phương trình (2) cho e R P(x)dx

Tìm nghiệm của phương trình (2) ở dạng

y = u(x).v(x) ⇒ y 0 = u 0 v + uv 0 Thay vào phương trình (2) ta được

u 0 v + uv 0 + P(x)uv = Q(x)

⇒ (u 0 + P(x)u)v + uv 0 = Q(x)

Chọn u(x) là 1 nghiệm của phương trình

u 0 + P(x)u = 0 ⇒ u = e − R P(x)dx

Q UỸ ĐẠO BAY CỦA MÁY BAY

V Í DỤ 4.1

Phi công lái máy bay từ thành phố A đến

thành phố B, nằm về hướng Tây theo

phương ngang so với thành phố A Hãy tìm phương trình quỹ đạo bay của máy bay, biết vận tốc của nó là v(km/h) và vận tốc gió thổi

từ hướng Nam với vận tốc w(km/h). Khoảng cách từ thành phố Ađến thành phố B theo phương ngang là a(km)

Hướng thật sự của véc-tơ vận tốc của

máy bay tại thời điểm t là − → u = − → v + − → w

Véc-tơ − → u là véc-tơ tiếp tuyến với quỹ đạo bay của máy bay tại điểm M

Chiếu véc-tơ vận tốc − → u xuống trục Ox ta được u 0 x = dx

dt = −v cos ϕ

Chiếu véc-tơ vận tốc − → u xuống trục Oy ta được u 0 y = dy

dt = −v sinϕ + w

Giải phương trình vi phân với điều kiện khi t = 0 thì

(3)

được gọi là phương trình vi phân đẳng cấp

P HƯƠNG PHÁP GIẢI

Đặt u = y

x ⇒ y = u.x ⇒ y 0 = u 0 .x + u. Đưa

phương trình (3) về dạng phương trình tách biến

du

f (u) − u =

dx x

P HƯƠNG TRÌNH CÓ DẠNG

y 0 = f (x, y),

trong đó f (x, y) là hàm đẳng cấp bậc0, có nghĩa là f (tx, ty) = t 0 .f (x, y) = f (x,y)

V Í DỤ 4.3

Giải phương trình (x 2 + 2xy)dx + xydy = 0

phương trình đã cho viết lại

Như vậy phương trình đã cho viết lại

Z dx x

⇒

Z

u + 1 − 1 (u + 1) 2 du = −

Z dx x

phương trình

(

a 1 x + b 1 y + c 1 = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 có nghiệm duy nhất là (x 0 , y 0 ).

Đổi biến X = x + 1,Y = y − 1 ⇒ Y 0 = y 0 Phương trình đã cho viết lại

⇒ X 2 .(u 2 + u + 1) = C.

Thay u = Y

X ta được Y 2 + XY + X 2 = C hay

(y − 1) 2 + (x + 1)(y − 1) + (x + 1) 2 = C

G ƯƠNG PARABOL

V Í DỤ 5.1

Điểm phát sáng đặt tại điểm 0 Hỏi hình

dạng của gương phải như thế nào để ảnh của tia sáng khi đi qua gương song song với trục Ox?

Xét đường cong mặt cắt của gương bởi mặt phẳng xOy. Góc tới sẽ bằng góc ra gương nên 4OPQ là tam giác cân,

Cho OS = a. Khi đó với điều kiện x = −a thì

parabol cần tìm là

y 2 = 4a(x + a)

P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

C ÁCH TÌM NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA VI PHÂN TOÀN PHẦN

Nghiệm tổng quát của vi phân toàn phần là

trong đó (x 0 , y 0 ) là điểm tùy ý mà

P(x, y), Q(x, y) liên tục tại đó

Khi phương trình

không là phương trình vi phân toàn phần ,

có thể tồn tại một hàm số m(x, y) sao cho khi nhân với phương trình (5) ta được một

phương trình vi phân toàn phần

m(x, y).P(x, y)dx + m(x,y).Q(x,y)dy = 0

Hàm số m(x, y) được gọi là thừa số tích phân

đối với (5)

x 2 .(x 2 − sin 2 y)dx + 1

x 2 .x sin 2ydy = 0

là phương trình vi phân toàn phần Khi đó

x 2 + sin 2 y = Cx

Tìm phương trình đường cong đi qua điểm (1, 1) thỏa điều kiện p xy = y 0

2y biết (0, y 0 ) là giao điểm của tiếp tuyến tại điểm (x, y)với trục Oy.

Giải phương trình vi phân

p

xy = y − x.

dy dx

⇒ dy

x y = 2x − 1 2 y 3 2

Nghiệm tổng quát là x − y(x − C) 2 = 0 Với

điều kiện y(1) = 1, ta được C = 0 ∨ C = 2. Vậy 2 phương trình đường cong cần tìm là xy = 1

và x − y(x − 2) 2 = 0.

P HƯƠNG TRÌNH VI PHÂN B ERNOULI

z 0 + (1 − α)P(x).z = (1 − α)Q(x).

V Í DỤ 6.1

Giải phương trình y 0 + y

x = x 2 y 4 Khi y 6= 0, đặt z = y y 4 = y −3 Phương trình đã cho trở thành phương trình tuyến tính cấp 1

⇒ z = x 3 (−3ln|x| + C) ⇒ y = 1

x p 3

−3 ln |x| + C

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TÁCH BIẾN

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT I

1 y 0 = y cotx + sin x. ĐS. y = sinx(x + C)

2 (x 2 + 1)y 0 + 4xy = 3. ĐS. x

3

+ 3x + C (x 2 + 1) 2

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT II

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

G IẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN B ERNOULI

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI